Espacio resistente

Concepto dentro del análisis complejo

En análisis complejo , los espacios de Hardy (o clases de Hardy ) Hp ^son ciertos espacios de funciones holomorfas en el disco unitario o semiplano superior . Fueron introducidos por Frigyes Riesz (Riesz 1923), quien los nombró en honor a GH Hardy , debido al artículo (Hardy 1915). En el análisis real, los espacios de Hardy son ciertos espacios de distribuciones en la línea real, que son (en el sentido de distribuciones) valores límite de las funciones holomorfas de los espacios complejos de Hardy, y están relacionados con los espacios L p del análisis funcional . Para 1 ≤  p  < ∞ estos espacios reales de Hardy H ^p son ciertos subconjuntos de L ^p , mientras que para p < 1 los espacios L ^p tienen algunas propiedades indeseables, y los espacios de Hardy se comportan mucho mejor.

También hay generalizaciones de dimensiones superiores, que consisten en ciertas funciones holomorfas en dominios de tubo en el caso complejo, o ciertos espacios de distribuciones en R ⁿ en el caso real.

Los espacios resistentes tienen una serie de aplicaciones en el propio análisis matemático , así como en la teoría de control (como los métodos H ∞ ) y en la teoría de la dispersión .

Espacios resistentes para el disco unitario.

Para espacios de funciones holomorfas en el disco unitario abierto , el espacio de Hardy H ² consta de las funciones f cuyo valor cuadrático medio en el círculo de radio r permanece acotado como r → 1 desde abajo.

De manera más general, el espacio de Hardy H ^p para 0 < p < ∞ es la clase de funciones holomorfas f en el disco unitario abierto que satisface

${\displaystyle \sup _{0\leqslant r<1}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|f\left(re^{i\theta }\right)\right|^{p}\;\mathrm {d} \theta \right)^{\frac {1}{p}}<\infty .}$

Esta clase H ^p es un espacio vectorial. El número en el lado izquierdo de la desigualdad anterior es la norma p del espacio Hardy para f , denotada por Es una norma cuando p ≥ 1, pero no cuando 0 < p  < 1. ${\displaystyle \|f\|_{H^{p}}.}$

El espacio H ^∞ se define como el espacio vectorial de funciones holomorfas acotadas en el disco, con la norma

${\displaystyle \|f\|_{H^{\infty }}=\sup _{|z|<1}\left|f(z)\right|.}$

Para 0 < p ≤ q ≤ ∞, la clase H ^q es un subconjunto de H ^p , y la norma H ^p aumenta con p (es una consecuencia de la desigualdad de Hölder que la norma L ^p aumenta para las medidas de probabilidad , es decir, medidas con masa total 1).

Espacios resistentes en el círculo unitario

Los espacios de Hardy definidos en la sección anterior también pueden verse como ciertos subespacios vectoriales cerrados de los espacios L p complejos en el círculo unitario. Esta conexión la proporciona el siguiente teorema (Katznelson 1976, Thm 3.8): Dado f ∈ H ^p , con p ≥ 1, el límite radial

${\displaystyle {\tilde {f}}\left(e^{i\theta }\right)=\lim _{r\to 1}f\left(re^{i\theta }\right)}$

existe para casi todos los θ. La función pertenece al espacio L ^p para el círculo unitario, ^{[ se necesita aclaración ]} y se tiene que ${\displaystyle {\tilde {f}}}$

${\displaystyle \|{\tilde {f}}\|_{L^{p}}=\|f\|_{H^{p}}.}$

Denotando el círculo unitario por T , y por H ^p ( T ), el subespacio vectorial de L ^p ( T ) que consta de todas las funciones límite , cuando f varía en H ^p , entonces se tiene eso para p  ≥ 1, (Katznelson 1976) ${\displaystyle {\tilde {f}}}$

${\displaystyle g\in H^{p}\left(\mathbf {T} \right){\text{ if and only if }}g\in L^{p}\left(\mathbf {T} \right){\text{ and }}{\hat {g}}(n)=0{\text{ for all }}n<0,}$

donde los ĝ ( n ) son los coeficientes de Fourier de una función g integrable en el círculo unitario,

${\displaystyle \forall n\in \mathbf {Z} ,\ \ \ {\hat {g}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }g\left(e^{i\phi }\right)e^{-in\phi }\,\mathrm {d} \phi .}$

El espacio H ^p ( T ) es un subespacio cerrado de L ^p ( T ). Dado que L ^p ( T ) es un espacio de Banach (para 1 ≤ p ≤ ∞), también lo es H ^p ( T ).

Lo anterior se puede revertir. Dada una función , con p ≥ 1, se puede recuperar una función ( armónica ) f en el disco unitario mediante el núcleo de Poisson P _r : ${\displaystyle {\tilde {f}}\in L^{p}(\mathbf {T} )}$

${\displaystyle f\left(re^{i\theta }\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r}(\theta -\phi ){\tilde {f}}\left(e^{i\phi }\right)\,\mathrm {d} \phi ,\quad r<1,}$

y f pertenece a H ^p exactamente cuando está en H ^p ( T ). Suponiendo que está en H ^p ( T ), es decir que tiene coeficientes de Fourier ( _an ) n _{∈ Z con} an = 0 para cada n < 0 _, entonces el elemento f del espacio de Hardy asociado a H ^p es la función holomorfa ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\ \ \ |z|<1.}$

En las aplicaciones, aquellas funciones con coeficientes de Fourier negativos que desaparecen se interpretan comúnmente como soluciones causales . ^{[ se necesita aclaración ]} Por lo tanto, se ve que el espacio H ^{2 se ubica naturalmente dentro del espacio} L ² y está representado por secuencias infinitas indexadas por N ; mientras que L 2 ^consta de secuencias bi-infinitas indexadas por Z.

Conexión a espacios reales de Hardy en el círculo.

Cuando 1 ≤ p < ∞, los espacios reales de Hardy H ^p que se analizan más adelante ^{[ se necesita aclaración ]} en este artículo son fáciles de describir en el presente contexto. Una función real f en el círculo unitario pertenece al espacio real de Hardy H ^p ( T ) si es la parte real de una función en H ^p ( T ), y una función compleja f pertenece al espacio real de Hardy si y solo si Re ( f ) e Im( f ) pertenecen al espacio (consulte la sección sobre espacios reales de Hardy a continuación). Así, para 1 ≤ p < ∞, el espacio real de Hardy contiene el espacio de Hardy, pero es mucho más grande, ya que no se impone ninguna relación entre la parte real e imaginaria de la función.

Para 0 < p < 1, herramientas como los coeficientes de Fourier, la integral de Poisson y la función conjugada ya no son válidas. Por ejemplo, considere la función

${\displaystyle F(z)={\frac {1+z}{1-z}},\quad |z|<1.}$

Entonces F está en H ^p para cada 0 < p < 1, y el límite radial

${\displaystyle f(e^{i\theta }):=\lim _{r\to 1}F(re^{i\theta })=i\,\cot({\tfrac {\theta }{2}}).}$

existe para ae θ y está en H ^p ( T ), pero Re( f ) es 0 en casi todas partes, por lo que ya no es posible recuperar F de Re( f ). Como consecuencia de este ejemplo, se ve que para 0 < p < 1, no se puede caracterizar el H ^p ( T ) real (definido a continuación) de la manera simple dada anteriormente, ^{[ se necesita aclaración ]} sino que se debe usar la definición real usando funciones máximas, que se proporciona más adelante en algún lugar a continuación.

Para la misma función F , sea f _r (e ^iθ ) = F ( re ^iθ ). El límite cuando r → 1 de Re( f _r ), en el sentido de distribuciones en el círculo, es un múltiplo distinto de cero de la distribución de Dirac en z = 1. La distribución de Dirac en un punto del círculo unitario pertenece a la distribución real - H ^p ( T ) para cada p  < 1 (ver más abajo).

Factorización en funciones internas y externas (Beurling)

Para 0 <  p ≤ ∞, cada función f  distinta de cero en H ^p se puede escribir como el producto f = Gh donde G es una función externa y h es una función interna , como se define a continuación (Rudin 1987, Thm 17.17). Esta " factorización de Beurling " permite que el espacio de Hardy se caracterice completamente por los espacios de funciones internas y externas. ^{[1] [2]}

Se dice que G ( z ) ^{[ se necesita aclaración ]} es una función externa (exterior) si toma la forma

${\displaystyle G(z)=c\,\exp \left({\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}}\log \!\left(\varphi \!\left(e^{i\theta }\right)\right)\,\mathrm {d} \theta \right)}$

para algún número complejo c con | c | = 1, y alguna función positiva medible en el círculo unitario tal que sea integrable en el círculo. En particular, cuando es integrable en el círculo, G está en H ¹ porque lo anterior toma la forma del núcleo de Poisson (Rudin 1987, Thm 17.16). Esto implica que ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \log(\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \lim _{r\to 1^{-}}\left|G\left(re^{i\theta }\right)\right|=\varphi \left(e^{i\theta }\right)}$

para casi cada θ.

Se dice que h es una función interna (interior) si y sólo si | h | ≤ 1 en el disco unitario y el límite

${\displaystyle \lim _{r\to 1^{-}}h(re^{i\theta })}$

existe para casi todos los θ y su módulo es igual a 1 ae En particular, h está en H ^∞ . ^{[ se necesita aclaración ]} La función interna se puede factorizar aún más en una forma que involucre un producto de Blaschke .

La función f , descompuesta como f = Gh , ^[ se ^{necesita aclaración ]} está en H ^p si y sólo si φ pertenece a L ^p ( T ), donde φ es la función positiva en la representación de la función externa G.

Sea G una función externa representada como arriba a partir de una función φ en el círculo. Reemplazando φ por φ ^α , α > 0, se obtiene una familia ( G _{α ) de funciones externas, con las propiedades:}

G ₁  = G , G _α+β = G _α  G _β   y | Gα |_​ = | GRAMO | ^α casi en todas partes del círculo.

De ello se deduce que siempre que 0 < p , q , r < ∞ y 1/ r = 1/ p + 1/ q , toda función f en H ^r puede expresarse como el producto de una función en H ^p y una función en H ^q . Por ejemplo: toda función en H ¹ es el producto de dos funciones en H ² ; toda función en H ^p , p < 1, se puede expresar como producto de varias funciones en algún H ^q , q  > 1.

Técnicas de variable real en el círculo unitario.

Las técnicas de variables reales, principalmente asociadas al estudio de espacios reales de Hardy definidos en R ⁿ (ver más abajo), también se utilizan en el marco más simple del círculo. Es una práctica común permitir funciones (o distribuciones) complejas en estos espacios "reales". La definición que sigue no distingue entre caso real o complejo.

Sea P _r el núcleo de Poisson en el círculo unitario T . Para una distribución f en el círculo unitario, establezca

${\displaystyle (Mf)(e^{i\theta })=\sup _{0<r<1}\left|(f*P_{r})\left(e^{i\theta }\right)\right|,}$

donde la estrella indica convolución entre la distribución f y la función e ^iθ → P _r (θ) en el círculo. Es decir, ( f ∗ P _r )(e ^iθ ) es el resultado de la acción de f sobre la función C ^∞ definida en el círculo unitario por

${\displaystyle e^{i\varphi }\rightarrow P_{r}(\theta -\varphi ).}$

Para 0 < p  < ∞, el espacio real de Hardy H ^p ( T ) consta de distribuciones f tales que M f   está en L ^p ( T ).

La función F definida en el disco unitario por F ( re ^iθ ) = ( f ∗ P _r )(e ^iθ ) es armónica y M f   es la función radial máxima de F . Cuando M f   pertenece a L ^p ( T ) y p  ≥ 1, la distribución f   " es " una función en L ^p ( T ), es decir, el valor límite de F . Para p  ≥ 1, el espacio real de Hardy H ^p ( T ) es un subconjunto de L ^p ( T ).

función conjugada

A cada polinomio trigonométrico real u en el círculo unitario, se asocia el polinomio real conjugado v tal que u + i v se extiende a una función holomorfa en el disco unitario,

${\displaystyle u(e^{i\theta })={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k\geqslant 1}a_{k}\cos(k\theta )+b_{k}\sin(k\theta )\longrightarrow v(e^{i\theta })=\sum _{k\geqslant 1}a_{k}\sin(k\theta )-b_{k}\cos(k\theta ).}$

Este mapeo u → v se extiende a un operador lineal acotado H en L ^p ( T ), cuando 1 < p  < ∞ (hasta un múltiplo escalar, es la transformada de Hilbert en el círculo unitario), y H también mapea L ¹ ( T ) a débil- L ¹ ( T ) . Cuando 1 ≤ p  < ∞, lo siguiente es equivalente para una función integrable de valor real f en el círculo unitario:

• la función f es la parte real de alguna función g ∈ H ^p ( T )
• la función f y su conjugado H(f) pertenecen a L ^p ( T )
• la función radial máxima M f   pertenece a L ^p ( T ).

Cuando 1 < p < ∞, H(f) pertenece a L ^p ( T ) cuando f ∈ L ^p ( T ), por lo tanto, el espacio real de Hardy H ^p ( T ) coincide con L ^p ( T ) en este caso. Para p = 1, el espacio real de Hardy H ¹ ( T ) es un subespacio propio de L ¹ ( T ).

El caso de p = ∞ fue excluido de la definición de espacios reales de Hardy, porque la función máxima M f   de una función L ^∞ siempre está acotada, y porque no es deseable que H ^∞ real sea igual a L ^∞ . Sin embargo, las dos propiedades siguientes son equivalentes para una función de valor real f

• la función f   es la parte real de alguna función g ∈ H ^∞ ( T )
• la función f   y su conjugado H(f) pertenecen a L ^∞ ( T ).

Espacios Real Hardy para 0 < p < 1

Cuando 0 < p < 1, una función F en H ^p no puede reconstruirse a partir de la parte real de su función límite en el círculo, debido a la falta de convexidad de L ^p en este caso. La convexidad falla pero permanece una especie de " convexidad compleja ", es decir, el hecho de que z → | z | ^q es subarmónico para todo q > 0. Como consecuencia, si

${\displaystyle F(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}z^{n},\quad |z|<1}$

está en H ^p , se puede demostrar que c _n = O( n ^{1/ p –1} ). De ello se deduce que la serie de Fourier

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}e^{in\theta }}$

converge en el sentido de distribuciones a una distribución f en el círculo unitario, y F ( re ^iθ ) =( f  ∗  P _r )(θ). La función F ∈ H ^p se puede reconstruir a partir de la distribución real Re( f ) en el círculo, porque los coeficientes de Taylor c _n de F se pueden calcular a partir de los coeficientes de Fourier de Re( f ).

Las distribuciones en el círculo son lo suficientemente generales para manejar espacios de Hardy cuando p  < 1. Se producen distribuciones que no son funciones, como se ve con las funciones F ( z ) = (1− z ) ^{− N} (para | z | < 1), que pertenecen a H ^p cuando 0 < N  p  < 1 (y N un número entero ≥ 1).

Una distribución real en el círculo pertenece a H ^p ( T ) real si es el valor límite de la parte real de algún F ∈ H ^p . Una distribución de Dirac δ _x , en cualquier punto x del círculo unitario, pertenece a H ^p ( T ) real para todo p < 1; las derivadas δ′ _x pertenecen cuando p < 1/2, las segundas derivadas δ′′ _x cuando p < 1/3, y así sucesivamente.

Espacios resistentes para el semiplano superior.

Es posible definir espacios de Hardy en otros dominios además del disco y, en muchas aplicaciones, se utilizan espacios de Hardy en un semiplano complejo (normalmente el semiplano derecho o el semiplano superior).

El espacio de Hardy H ^p ( H ) en el semiplano superior H se define como el espacio de funciones holomorfas f en H con norma acotada, estando la norma dada por

${\displaystyle \|f\|_{H^{p}}=\sup _{y>0}\left(\int _{-\infty }^{+\infty }|f(x+iy)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}.}$

La correspondiente H ^∞ ( H ) se define como funciones de norma acotada, con la norma dada por

${\displaystyle \|f\|_{H^{\infty }}=\sup _{z\in \mathbf {H} }|f(z)|.}$

Aunque el disco unitario D y el semiplano superior H pueden mapearse entre sí mediante transformaciones de Möbius , no son intercambiables ^{[ se necesita aclaración ]} como dominios para los espacios de Hardy. A esta diferencia contribuye el hecho de que el círculo unitario tiene una medida de Lebesgue finita (unidimensional), mientras que la línea real no. Sin embargo, para H 2 , se tiene el siguiente teorema: si m  : D → H denota la transformación de Möbius

${\displaystyle m(z)=i\cdot {\frac {1+z}{1-z}}.}$

Entonces el operador lineal M  : H ² ( H ) → H ² ( D ) definido por

${\displaystyle (Mf)(z):={\frac {\sqrt {\pi }}{1-z}}f(m(z)).}$

es un isomorfismo isométrico de los espacios de Hilbert.

Espacios Real Hardy para R n

En el análisis del espacio vectorial real R ⁿ , el espacio de Hardy H ^p (para 0 <  p  ≤ ∞) consta de distribuciones templadas f tales que para alguna función de Schwartz Φ con ∫Φ = 1, la función máxima

${\displaystyle (M_{\Phi }f)(x)=\sup _{t>0}|(f*\Phi _{t})(x)|}$

está en L ^p ( R ⁿ ), donde ∗ es convolución y Φ _t ( x ) = t ^{− n} Φ( x  /  t ) . La H ^p - cuasinorma || f  || _Hp de una distribución f de H ^p se define como la norma L ^p de M _Φ f (esto depende de la elección de Φ, pero diferentes elecciones de funciones de Schwartz Φ dan normas equivalentes). La H ^p -quasinorm es una norma cuando p ≥ 1, pero no cuando p  < 1.

Si 1 < p  < ∞, el espacio de Hardy H ^p es el mismo espacio vectorial que L ^p , con norma equivalente. Cuando p  = 1, el espacio de Hardy H ¹ es un subespacio propio de L ¹ . Se pueden encontrar secuencias en H ¹ que están acotadas en L ¹ pero no acotadas en H ¹ , por ejemplo en la línea

${\displaystyle f_{k}(x)=\mathbf {1} _{[0,1]}(x-k)-\mathbf {1} _{[0,1]}(x+k),\ \ \ k>0.}$

Las normas L ¹ y H ¹ no son equivalentes en H ¹ y H ¹ no está cerrado en L ¹ . El dual de H ^{1 es el} BMO espacial de funciones de oscilación media acotada . El espacio BMO contiene funciones ilimitadas (lo que demuestra nuevamente que H ¹ no está cerrado en L ¹ ).

Si p  < 1 entonces el espacio de Hardy H ^p tiene elementos que no son funciones, y su dual es el espacio homogéneo de Lipschitz de orden n (1/ p  − 1). Cuando p < 1, la cuasinorma H ^p no es una norma, ya que no es subaditiva. La p -ésima potencia || f  || _Hp ^p es subaditivo para p  < 1 y por lo tanto define una métrica en el espacio de Hardy H ^p , que define la topología y convierte a H ^p en un espacio métrico completo.

Descomposición atómica

Cuando 0 < p ≤ 1, una función acotada y medible f de soporte compacto está en el espacio de Hardy H ^p si y sólo si todos sus momentos

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(x)x_{1}^{i_{1}}\ldots x_{n}^{i_{n}}\,\mathrm {d} x,}$

cuyo orden i ₁ + ... + i _n es como máximo n (1/ p  − 1), desaparece. Por ejemplo, la integral de f debe anularse para que f ∈ H ^p , 0 < p ≤ 1, y siempre que p  > n  / ( n +1) esto también es suficiente.

Si además f tiene apoyo en alguna bola B y está acotado por | B | ^{−1/ p} entonces f se llama átomo de H ^p (aquí | B | denota el volumen euclidiano de B en R ⁿ ). La cuasinorma H ^p de un átomo H ^p arbitrario está limitada por una constante que depende únicamente de p y de la función de Schwartz Φ.

Cuando 0 < p ≤ 1, cualquier elemento f de H ^p tiene una descomposición atómica como una combinación infinita convergente de H ^p -átomos,

${\displaystyle f=\sum c_{j}a_{j},\ \ \ \sum |c_{j}|^{p}<\infty }$

donde los a _j son átomos de H ^p y los c _j son escalares.

En la recta, por ejemplo, la diferencia de distribuciones de Dirac f  = δ ₁ −δ ₀ se puede representar como una serie de funciones de Haar , convergentes en H ^p -quasinorm cuando 1/2 < p  < 1 (en el círculo, la representación correspondiente es válida para 0 < p  < 1, pero en la recta, las funciones de Haar no pertenecen a H ^p cuando p ≤ 1/2 porque su función máxima es equivalente en el infinito a a  x ⁻² para algunos a  ≠ 0).

Martingala H p

Sea ( M _n ) _{n ≥0} una martingala en algún espacio de probabilidad (Ω, Σ,  P ), con respecto a una secuencia creciente de σ-campos (Σ _n ) _{n ≥0} . Supongamos por simplicidad que Σ es igual al campo σ generado por la secuencia (Σ _n ) _{n ≥0} . La función máxima de la martingala está definida por

${\displaystyle M^{*}=\sup _{n\geq 0}\,|M_{n}|.}$

Sea 1 ≤ p < ∞. La martingala ( M _n ) _{n ≥0} pertenece a la martingala - H ^p cuando M* ∈ L ^p .

Si M* ∈ L ^p , la martingala ( M _n ) _{n ≥0} está acotada en L ^p ; por lo tanto, converge casi con seguridad a alguna función f según el teorema de convergencia de la martingala . Además, M _n converge a f en L ^p -norma según el teorema de convergencia dominada ; por lo tanto, M _n puede expresarse como expectativa condicional de f en Σ _n . Por tanto, es posible identificar la martingala- H ^p con el subespacio de L ^p (Ω, Σ,  P ) formado por aquellos f tales que la martingala

${\displaystyle M_{n}=\operatorname {E} {\bigl (}f|\Sigma _{n}{\bigr )}}$

pertenece a la martingala- H ^p .

La desigualdad máxima de Doob implica que la martingala- H ^p coincide con L ^p (Ω, Σ,  P ) cuando 1 < p < ∞. El espacio interesante es martingala- H ¹ , cuyo dual es martingala-BMO (Garsia 1973).

Las desigualdades de Burkholder-Gundy (cuando p  > 1) y la desigualdad de Burgess Davis (cuando p = 1) relacionan la norma L ^p de la función máxima con la de la función cuadrada de la martingala.

${\displaystyle S(f)=\left(|M_{0}|^{2}+\sum _{n=0}^{\infty }|M_{n+1}-M_{n}|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.}$

Martingala- H ^p se puede definir diciendo que S ( f )∈ L ^p (Garsia 1973).

También se pueden considerar martingalas con parámetro de tiempo continuo. Se obtiene un vínculo directo con la teoría clásica a través del movimiento browniano complejo ( B _t ) en el plano complejo, comenzando desde el punto z = 0 en el instante t = 0. Sea τ el tiempo de impacto del círculo unitario. Para cada función holomorfa F en el disco unitario,

${\displaystyle M_{t}=F(B_{t\wedge \tau })}$

es una martingala, que pertenece a martingala- H ^p iff F  ∈  H ^p (Burkholder, Gundy & Silverstein 1971).

Ejemplo: martingala diádica- H 1

En este ejemplo, Ω = [0, 1] y Σ _n es el campo finito generado por la partición diádica de [0, 1] en 2 ⁿ intervalos de longitud 2 ^{− n} , para cada n ≥ 0. Si una función f en [0, 1] está representado por su expansión en el sistema Haar ( h _k )

${\displaystyle f=\sum c_{k}h_{k},}$

entonces la norma martingala- H ¹ de f puede definirse mediante la norma L ¹ de la función cuadrada

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\Bigl (}\sum |c_{k}h_{k}(x)|^{2}{\Bigr )}^{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} x.}$

Este espacio, a veces denotado por H ¹ (δ), es isomorfo al espacio real clásico H ¹ en el círculo (Müller 2005). El sistema de Haar es una base incondicional para H ¹ (δ).

Notas

1. Beurling, Arne (1948). "Sobre dos problemas relativos a transformaciones lineales en el espacio de Hilbert". Acta Matemática . 81 : 239–255. doi : 10.1007/BF02395019 .
2. Voichick, Michael; Zalcman, Lawrence (1965). "Funciones interiores y exteriores en superficies de Riemann". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 16 (6): 1200–1204. doi : 10.1090/S0002-9939-1965-0183883-1 .

Referencias

• Burkholder, Donald L.; Gundy, Richard F.; Silverstein, Martin L. (1971), "Una caracterización de función máxima de la clase H ^p ", Transactions of the American Mathematical Society , 157 : 137–153, doi :10.2307/1995838, JSTOR  1995838, MR  0274767, S2CID  53996980.
• Cima, José A.; Ross, William T. (2000), El cambio hacia atrás en el espacio Hardy , Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-2083-4
• Colwell, Peter (1985), Productos Blaschke: funciones analíticas limitadas , Ann Arbor: University of Michigan Press , ISBN 978-0-472-10065-1
• Duren, P. (1970), Teoría de los espacios H ^p , Academic Press
• Fefferman, Carlos ; Stein, Elias M. (1972), " H ^p espacios de varias variables", Acta Mathematica , 129 (3–4): 137–193, doi : 10.1007/BF02392215 , SEÑOR  0447953.
• Folland, GB (2001) [1994], "Espacios resistentes", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Garsia, Adriano M. (1973), Martingala Desigualdades: notas de seminario sobre avances recientes , Serie de notas de conferencias de matemáticas, WA Benjamin Señor 0448538
• Hardy, GH (1915), "Sobre el valor medio del módulo de una función analítica", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , 14 : 269–277, doi :10.1112/plms/s2_14.1.269, JFM  45.1331.03
• Hoffman, Kenneth (1988), Espacios de Banach de funciones analíticas , Publicaciones de Dover , ISBN 978-0-486-65785-1
• Katznelson, Yitzhak (1976), Introducción al análisis armónico , Publicaciones de Dover , ISBN 978-0-486-63331-2
• Koosis, P. (1998), Introducción a los espacios H _p (Segunda ed.), Cambridge University Press
• Mashreghi, J. (2009), Teoremas de representación en espacios resistentes, Cambridge University Press, ISBN 9780521517683
• Müller, Paul FX (2005), Isomorfismos entre espacios H ¹ , Instituto de Matemáticas de la Academia Polaca de Ciencias. Monografías matemáticas (nueva serie), Basilea: Birkhäuser , ISBN 978-3-7643-2431-5, señor  2157745
• Riesz, F. (1923), "Über die Randwerte einer analytischen Funktion", Mathematische Zeitschrift , 18 : 87–95, doi :10.1007/BF01192397, S2CID  121306447
• Rudin, Walter (1987), Análisis real y complejo , McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-100276-9
• Shvedenko, SV (2001) [1994], "Clases resistentes", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press