Kurt Friedrich Gödel ( / ˈ ɡ ɜːr d əl / GUR -dəl , [2] alemán: [kʊʁt ˈɡøːdl̩] ⓘ ; 28 de abril de 1906 - 14 de enero de 1978) fue un lógico,matemáticoyfilósofo. Considerado junto conAristótelesyGottlob Fregecomo uno de los lógicos más importantes de la historia, Gödel influyó profundamente en el pensamiento científico y filosófico del siglo XX (en una época en la queBertrand Russell,[3] Alfred North Whitehead,[3]yDavid Hilbertutilizabanla lógicayla teoría de conjuntospara investigar losfundamentos de las matemáticas), basándose en trabajos anteriores deRichard Dedekind,Georg CantoryGottlob Frege.
Los descubrimientos de Gödel en los fundamentos de las matemáticas llevaron a la prueba de su teorema de completitud en 1929 como parte de su disertación para obtener un doctorado en la Universidad de Viena , y a la publicación de los teoremas de incompletitud de Gödel dos años después, en 1931. El primer teorema de incompletitud afirma que para cualquier sistema axiomático recursivo ω-consistente lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales (por ejemplo, la aritmética de Peano ), existen proposiciones verdaderas sobre los números naturales que no pueden ser probadas ni refutadas a partir de los axiomas. [4] Para demostrar esto, Gödel desarrolló una técnica ahora conocida como numeración de Gödel , que codifica expresiones formales como números naturales. El segundo teorema de incompletitud, que se deriva del primero, establece que el sistema no puede demostrar su propia consistencia. [5]
Gödel también demostró que ni el axioma de elección ni la hipótesis del continuo pueden refutar la teoría de conjuntos aceptada de Zermelo-Fraenkel , suponiendo que sus axiomas sean consistentes. El primer resultado abrió la puerta para que los matemáticos asumieran el axioma de elección en sus demostraciones. También hizo importantes contribuciones a la teoría de la prueba al aclarar las conexiones entre la lógica clásica , la lógica intuicionista y la lógica modal .
Gödel nació el 28 de abril de 1906 en Brünn, Austria-Hungría (ahora Brno , República Checa ), en la familia de habla alemana de Rudolf Gödel (1874-1929), director general y copropietario de una importante empresa textil, y Marianne Gödel ( de soltera Handschuh, 1879-1966). [6] En el momento de su nacimiento, la ciudad tenía una mayoría de habla alemana , entre la que se encontraban sus padres. [7] Su padre era católico y su madre era protestante y los niños fueron criados como protestantes. Los antepasados de Kurt Gödel participaron a menudo en la vida cultural de Brünn. Por ejemplo, su abuelo Joseph Gödel fue un cantante famoso en su época y durante algunos años miembro de la Brünner Männergesangverein (Unión Coral de Hombres de Brünn). [8]
Gödel se convirtió automáticamente en ciudadano de Checoslovaquia a los 12 años cuando el Imperio austrohúngaro colapsó tras su derrota en la Primera Guerra Mundial . Según su compañero de clase Klepetař , como muchos residentes de los Sudetes predominantemente alemanes , "Gödel siempre se consideró austríaco y exiliado en Checoslovaquia". [9] En febrero de 1929, se le concedió la liberación de su ciudadanía checoslovaca y luego, en abril, se le concedió la ciudadanía austriaca. [10] Cuando Alemania anexó Austria en 1938, Gödel se convirtió automáticamente en ciudadano alemán a los 32 años. En 1948, después de la Segunda Guerra Mundial , a la edad de 42 años, se convirtió en ciudadano estadounidense. [11]
En su familia, el joven Gödel fue apodado Herr Warum ("Mr. Por qué") debido a su insaciable curiosidad. Según su hermano Rudolf, a la edad de seis o siete años, Kurt padecía fiebre reumática ; se recuperó por completo, pero por el resto de su vida permaneció convencido de que su corazón había sufrido un daño permanente. A partir de los cuatro años, Gödel sufrió "frecuentes episodios de mala salud", que continuarían durante toda su vida. [12]
Gödel asistió a la Evangelische Volksschule , una escuela luterana en Brünn de 1912 a 1916, y estuvo matriculado en el Deutsches Staats-Realgymnasium de 1916 a 1924, sobresaliendo con honores en todas sus materias, particularmente en matemáticas, idiomas y religión. Aunque Gödel se destacó al principio en los idiomas, más tarde se interesó más por la historia y las matemáticas. Su interés por las matemáticas aumentó cuando en 1920 su hermano mayor Rudolf (nacido en 1902) se fue a Viena , donde asistió a la escuela de medicina en la Universidad de Viena . Durante su adolescencia, Gödel estudió la taquigrafía de Gabelsberger , [13] y las críticas a Isaac Newton , y los escritos de Immanuel Kant . [14]
A la edad de 18 años, Gödel se unió a su hermano en la Universidad de Viena . Ya dominaba las matemáticas a nivel universitario. [15] Aunque inicialmente tenía la intención de estudiar física teórica , también asistió a cursos de matemáticas y filosofía. [16] Durante este tiempo, adoptó ideas del realismo matemático . Leyó Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft de Kant y participó en el Círculo de Viena con Moritz Schlick , Hans Hahn y Rudolf Carnap . Gödel luego estudió teoría de números , pero cuando participó en un seminario dirigido por Moritz Schlick en el que se estudiaba el libro de Bertrand Russell Introducción a la filosofía matemática , se interesó por la lógica matemática . Según Gödel, la lógica matemática era "una ciencia anterior a todas las demás, que contiene las ideas y principios subyacentes a todas las ciencias". [17]
Asistir a una conferencia de David Hilbert en Bolonia sobre la integridad y la coherencia en los sistemas matemáticos puede haber marcado el curso de la vida de Gödel. En 1928, Hilbert y Wilhelm Ackermann publicaron Grundzüge der theoretischen Logik ( Principios de la lógica matemática ), una introducción a la lógica de primer orden en la que se planteaba el problema de la completitud: "¿Son suficientes los axiomas de un sistema formal para derivar cada enunciado que se ¿Es cierto en todos los modelos del sistema?" [18]
Este problema se convirtió en el tema que Gödel eligió para su trabajo doctoral. [18] En 1929, a la edad de 23 años, completó su tesis doctoral bajo la supervisión de Hans Hahn. En él, estableció su teorema de completitud homónimo sobre la lógica de primer orden . [18] Obtuvo su doctorado en 1930, [18] y su tesis (acompañada de trabajos adicionales) fue publicada por la Academia de Ciencias de Viena .
El logro de Kurt Gödel en la lógica moderna es singular y monumental; de hecho, es más que un monumento, es un hito que seguirá siendo visible en el espacio y el tiempo. ... El tema de la lógica ciertamente cambió completamente su naturaleza y sus posibilidades con el logro de Gödel.
—John von Neumann [19]
En 1930, Gödel asistió a la Segunda Conferencia sobre Epistemología de las Ciencias Exactas , celebrada en Königsberg del 5 al 7 de septiembre. Aquí entregó sus teoremas de incompletitud . [20]
Gödel publicó sus teoremas de incompletitud en Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (llamado en inglés " On Formally Unentscheidbare Propositions of Principia Mathematica and Related Systems "). En ese artículo, demostró para cualquier sistema axiomático computable que sea lo suficientemente potente como para describir la aritmética de los números naturales (por ejemplo, los axiomas de Peano o la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección ), que:
Estos teoremas pusieron fin a medio siglo de intentos, comenzando con el trabajo de Gottlob Frege y culminando con los Principia Mathematica y el Programa de Hilbert , para encontrar una axiomatización no relativamente consistente suficiente para la teoría de números (que serviría como base para otros campos de la ciencia). matemáticas).
La idea central del teorema de incompletitud es simple. Gödel construyó una fórmula que afirma que no es demostrable en un sistema formal determinado. Si fuera demostrable, sería falso. Por tanto, siempre habrá al menos una afirmación verdadera pero indemostrable. Es decir, para cualquier conjunto computable de axiomas de aritmética (es decir, un conjunto que en principio puede imprimirse mediante una computadora idealizada con recursos ilimitados), existe una fórmula que es verdadera para la aritmética, pero no demostrable en ese sistema. . Para precisar esto, Gödel tuvo que producir un método para codificar (como números naturales) enunciados, pruebas y el concepto de demostrabilidad; Lo hizo mediante un proceso conocido como numeración de Gödel .
En su artículo de dos páginas Zum intuitionistischen Aussagenkalkül (1932), Gödel refutó el valor finito de la lógica intuicionista . En la prueba, utilizó implícitamente lo que más tarde se conoció como lógica intermedia de Gödel-Dummett (o lógica difusa de Gödel ).
Gödel obtuvo su habilitación en Viena en 1932, y en 1933 se convirtió allí en Privatdozent (conferencista no remunerado). En 1933, Adolf Hitler llegó al poder en Alemania y, durante los años siguientes, la influencia de los nazis aumentó en Austria y entre los matemáticos de Viena. En junio de 1936, Moritz Schlick , cuyo seminario había despertado el interés de Gödel por la lógica, fue asesinado por uno de sus antiguos alumnos, Johann Nelböck . Esto provocó en Gödel "una grave crisis nerviosa". [21] Desarrolló síntomas paranoicos, incluido el miedo a ser envenenado, y pasó varios meses en un sanatorio por enfermedades nerviosas. [22]
En 1933, Gödel viajó por primera vez a Estados Unidos, donde conoció a Albert Einstein , con quien se convirtió en un buen amigo. [23] Pronunció un discurso en la reunión anual de la Sociedad Matemática Estadounidense . Durante este año, Gödel también desarrolló las ideas de computabilidad y funciones recursivas hasta el punto de poder presentar una conferencia sobre funciones recursivas generales y el concepto de verdad. Este trabajo fue desarrollado en teoría de números, utilizando la numeración de Gödel .
En 1934, Gödel dio una serie de conferencias en el Instituto de Estudios Avanzados (IAS) de Princeton, Nueva Jersey , tituladas Sobre proposiciones indecidibles de sistemas matemáticos formales . Stephen Kleene , que acababa de completar su doctorado en Princeton, tomó notas de estas conferencias que se publicaron posteriormente.
Gödel volvió a visitar la IAS en el otoño de 1935. Los viajes y el duro trabajo lo habían agotado y al año siguiente se tomó un descanso para recuperarse de un episodio depresivo. Regresó a la docencia en 1937. Durante este tiempo trabajó en la prueba de consistencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo ; Continuó demostrando que estas hipótesis no pueden refutarse a partir del sistema común de axiomas de la teoría de conjuntos.
Se casó con Adele Nimbursky (de soltera Porkert, 1899-1981), a quien conocía desde hacía más de 10 años, el 20 de septiembre de 1938. Los padres de Gödel se habían opuesto a su relación porque ella era una bailarina divorciada, seis años mayor que él.
Posteriormente, realizó otra visita a los Estados Unidos, pasando el otoño de 1938 en la IAS y publicando Consistencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo generalizado con los axiomas de la teoría de conjuntos, [24] un clásico de las matemáticas modernas. . En esa obra introdujo el universo construible , un modelo de teoría de conjuntos en el que los únicos conjuntos que existen son aquellos que pueden construirse a partir de conjuntos más simples. Gödel demostró que tanto el axioma de elección (AC) como la hipótesis del continuo generalizado (GCH) son ciertos en el universo construible y, por lo tanto, deben ser consistentes con los axiomas de Zermelo-Fraenkel para la teoría de conjuntos (ZF). Este resultado ha tenido consecuencias considerables para los matemáticos en activo, ya que significa que pueden asumir el axioma de elección al demostrar el teorema de Hahn-Banach . Posteriormente , Paul Cohen construyó un modelo de ZF en el que AC y GCH son falsos; En conjunto, estas pruebas significan que AC y GCH son independientes de los axiomas de ZF para la teoría de conjuntos.
Gödel pasó la primavera de 1939 en la Universidad de Notre Dame . [25]
Después del Anschluss del 12 de marzo de 1938, Austria pasó a formar parte de la Alemania nazi . Alemania abolió el título Privatdozent , por lo que Gödel tuvo que postularse para un puesto diferente según el nuevo orden. Su antigua asociación con miembros judíos del Círculo de Viena, especialmente con Hahn, pesaba en su contra. La Universidad de Viena rechazó su solicitud.
Su situación se intensificó cuando el ejército alemán lo encontró apto para el servicio militar obligatorio. La Segunda Guerra Mundial comenzó en septiembre de 1939. Antes de que terminara el año, Gödel y su esposa abandonaron Viena para ir a Princeton . Para evitar la dificultad de cruzar el Atlántico, los Gödel tomaron el Ferrocarril Transiberiano hacia el Pacífico, navegaron desde Japón hasta San Francisco (donde llegaron el 4 de marzo de 1940) y luego cruzaron Estados Unidos en tren hasta Princeton. Allí, Gödel aceptó un puesto en el Instituto de Estudios Avanzados (IAS), que había visitado anteriormente durante 1933-1934. [26]
Albert Einstein también vivía en Princeton durante este tiempo. Gödel y Einstein desarrollaron una fuerte amistad y eran conocidos por dar largos paseos juntos hacia y desde el Instituto de Estudios Avanzados. La naturaleza de sus conversaciones era un misterio para los demás miembros del Instituto. El economista Oskar Morgenstern relata que hacia el final de su vida Einstein confió que "su propio trabajo ya no significaba mucho, que vino al Instituto simplemente... para tener el privilegio de caminar a casa con Gödel". [27]
Gödel y su esposa, Adele, pasaron el verano de 1942 en Blue Hill, Maine , en el Blue Hill Inn en lo alto de la bahía. Gödel no estaba simplemente de vacaciones sino que tuvo un verano de trabajo muy productivo. Utilizando Heft 15 [volumen 15] de los Arbeitshefte [cuadernos de trabajo] aún inéditos de Gödel , John W. Dawson Jr. conjetura que Gödel descubrió una prueba de la independencia del axioma de elección de la teoría de tipos finitos, una forma debilitada de la teoría de conjuntos, mientras estaba en Blue Hill en 1942. El amigo cercano de Gödel, Hao Wang , apoya esta conjetura y señala que los cuadernos de Gödel en Blue Hill contienen su tratamiento más extenso del problema.
El 5 de diciembre de 1947, Einstein y Morgenstern acompañaron a Gödel a su examen de ciudadanía estadounidense , donde actuaron como testigos. Gödel les había confiado que había descubierto una inconsistencia en la Constitución estadounidense que podría permitir que Estados Unidos se convirtiera en una dictadura; Desde entonces, esto se ha denominado la laguna jurídica de Gödel . A Einstein y Morgenstern les preocupaba que el comportamiento impredecible de su amigo pudiera poner en peligro su solicitud. El juez resultó ser Phillip Forman , que conocía a Einstein y había prestado juramento en la audiencia de ciudadanía del propio Einstein. Todo salió bien hasta que Forman le preguntó a Gödel si pensaba que una dictadura como la del régimen nazi podría ocurrir en los EE. UU. Gödel y luego comenzó a explicarle su descubrimiento a Forman. Forman entendió lo que estaba pasando, interrumpió a Gödel y trasladó la audiencia a otras preguntas y a una conclusión rutinaria. [28] [29]
Gödel se convirtió en miembro permanente del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton en 1946. Por esta época dejó de publicar, aunque continuó trabajando. Se convirtió en profesor titular en el Instituto en 1953 y profesor emérito en 1976. [30]
Durante su estancia en el instituto, los intereses de Gödel se centraron en la filosofía y la física. En 1949, demostró la existencia de soluciones que involucraban curvas temporales cerradas a las ecuaciones de campo de Einstein en la relatividad general . [31] Se dice que le dio esta elaboración a Einstein como regalo por su 70 cumpleaños. [32] Sus "universos giratorios" permitirían viajar en el tiempo al pasado y provocaron que Einstein tuviera dudas sobre su propia teoría. Sus soluciones se conocen como métrica de Gödel (una solución exacta de la ecuación de campo de Einstein ).
Estudió y admiró las obras de Gottfried Leibniz , pero llegó a creer que una conspiración hostil había provocado la supresión de algunas de las obras de Leibniz. [33] En menor medida estudió a Immanuel Kant y a Edmund Husserl . A principios de la década de 1970, Gödel hizo circular entre sus amigos una elaboración de la versión de Leibniz de la prueba ontológica de la existencia de Dios de Anselmo de Canterbury . Esto se conoce ahora como prueba ontológica de Gödel .
Gödel recibió (junto con Julian Schwinger ) el primer Premio Albert Einstein en 1951, y también recibió la Medalla Nacional de Ciencias en 1974. [34] Gödel fue elegido miembro residente de la Sociedad Filosófica Estadounidense en 1961 y miembro extranjero de la la Royal Society (ForMemRS) en 1968 . [35] [1] Fue orador plenario de la ICM en 1950 en Cambridge, Massachusetts. [36]
Más adelante en su vida, Gödel sufrió períodos de inestabilidad mental y enfermedades. Tras el asesinato de su amigo íntimo Moritz Schlick , [37] Gödel desarrolló un miedo obsesivo a ser envenenado y sólo comía comida preparada por su esposa Adele. Adele fue hospitalizada a partir de finales de 1977 y, en su ausencia, Gödel se negó a comer; [38] pesaba 29 kilogramos (65 libras) cuando murió de "desnutrición e inanición causada por un trastorno de la personalidad" en el Hospital de Princeton el 14 de enero de 1978. [39] Fue enterrado en el cementerio de Princeton . Adele murió en 1981. [40]
Gödel creía que Dios [41] era personal y llamó a su filosofía "racionalista, idealista, optimista y teológica". [42]
Gödel creía en el más allá y decía: "Por supuesto, esto supone que existen muchas relaciones de las que la ciencia actual y la sabiduría recibida no tienen ni idea. Pero estoy convencido de esto [el más allá], independientemente de cualquier teología". Es "hoy posible percibir, por puro razonamiento" que "es enteramente consistente con hechos conocidos". "Si el mundo está construido racionalmente y tiene significado, entonces debe existir algo así [como una vida futura]". [43]
En una respuesta no enviada a un cuestionario, Gödel describió su religión como "luterana bautizada (pero no miembro de ninguna congregación religiosa). Mi creencia es teísta , no panteísta , y sigue a Leibniz más que a Spinoza ". [44] De las religiones en general, dijo: "Las religiones son, en su mayor parte, malas, pero la religión no lo es". [45] Según su esposa Adele, "Gödel, aunque no iba a la iglesia, era religioso y leía la Biblia en la cama todos los domingos por la mañana", [46] mientras que sobre el Islam , dijo: "Me gusta el Islam: es una idea consistente [o consecuente] de religión y de mente abierta". [47]
Douglas Hofstadter escribió el libro de 1979 Gödel, Escher, Bach para celebrar el trabajo y las ideas de Gödel, MC Escher y Johann Sebastian Bach . Explora en parte las ramificaciones del hecho de que el teorema de incompletitud de Gödel pueda aplicarse a cualquier sistema computacional completo de Turing , que pueda incluir el cerebro humano .
La Sociedad Kurt Gödel , fundada en 1987, es una organización internacional para la promoción de la investigación en lógica, filosofía e historia de las matemáticas . La Universidad de Viena alberga el Centro de Investigación de Lógica Matemática Kurt Gödel. La Asociación para la Lógica Simbólica ha celebrado una Conferencia anual de Gödel cada año desde 1990. Los Cuadernos filosóficos de Gödel Archivados el 14 de mayo de 2019 en Wayback Machine se editan en el Centro de Investigación Kurt Gödel Archivado el 14 de mayo de 2019 en Wayback Machine , que se encuentra en la Academia de Ciencias y Humanidades de Berlín-Brandeburgo en Alemania.
Se han publicado cinco volúmenes de las obras completas de Gödel. Los dos primeros incluyen sus publicaciones; el tercero incluye manuscritos inéditos de su Nachlass , y los dos últimos incluyen correspondencia.
En 2005, John Dawson publicó una biografía de Gödel, Dilemas lógicos: la vida y obra de Kurt Gödel ( AK Peters , Wellesley, MA, ISBN 1-56881-256-6 ). El libro de Stephen Budiansky sobre la vida de Gödel, Journey to the Edge of Reason: The Life of Kurt Gödel ( WW Norton & Company , Nueva York, NY, ISBN 978-0-393-35820-9 ), fue publicado en el New York Times. El mejor libro de la crítica de 2021. [48]
Gödel también fue uno de los cuatro matemáticos examinados en el documental de la BBC de 2008 de David Malone Dangerous Knowledge . [49]
El Premio Gödel se otorga anualmente por un artículo destacado en informática teórica.
En la película Oppenheimer de 2023 , Gödel, interpretado por James Urbaniak , aparece brevemente caminando con Einstein en los jardines de Princeton.
En alemán:
En Inglés:
En traducción al inglés:
{{cite book}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace )El departamento de Matemáticas de la Universidad de Notre Dame fue anfitrión... durante un solo semestre en la primavera de 1939 [de] Kurt Gödel
Gödel tuvo una infancia feliz y su familia lo llamaba "Mr. Why" debido a sus numerosas preguntas. Fue bautizado como luterano y siguió siendo teísta (un creyente en un Dios personal) durante toda su vida.
