La prueba ontológica de Gödel

Argumento lógico para la existencia de Dios

La prueba ontológica de Gödel es un argumento formal del matemático Kurt Gödel (1906-1978) para la existencia de Dios . El argumento se encuentra en una línea de desarrollo que se remonta a Anselmo de Canterbury (1033-1109). El argumento ontológico de San Anselmo , en su forma más sucinta, es el siguiente: "Dios, por definición, es aquello para lo cual no se puede concebir nada mayor. Dios existe en el entendimiento. Si Dios existe en el entendimiento, podríamos imaginarlo como mayor existiendo en la realidad . Por lo tanto, Dios debe existir". Gottfried Leibniz (1646-1716) dio una versión más elaborada ; esta es la versión que Gödel estudió e intentó aclarar con su argumento ontológico.

El argumento utiliza la lógica modal , que se ocupa de afirmaciones sobre lo que es necesariamente cierto o posiblemente cierto. A partir de los axiomas de que una propiedad solo puede ser positiva si no tenerla no es positivo, y de que las propiedades implicadas por una propiedad positiva deben ser también todas ellas positivas, concluye que (ya que las propiedades positivas no implican contradicción ) para cualquier propiedad positiva, posiblemente haya un ser que la instancia. Define a Dios como el ser que instancia todas las propiedades positivas. Después de definir lo que significa que una propiedad sea "la esencia" de algo (la única propiedad que implica necesariamente todas sus otras propiedades), concluye que la instanciación de todas las propiedades positivas por parte de Dios debe ser la esencia de Dios. Después de definir una propiedad de "existencia necesaria" y tomarla como un axioma de que es positiva, el argumento concluye que, dado que Dios debe tener esta propiedad, Dios debe existir necesariamente.

Historia

Gödel dejó un esquema de catorce puntos de sus creencias filosóficas en sus escritos. ^[1] Los puntos relevantes para la prueba ontológica incluyen:

4. Hay otros mundos y seres racionales de tipo distinto y superior.

5. El mundo en que vivimos no es el único en el que viviremos o habremos vivido.

13. Existe una filosofía y una teología científicas (exactas), que tratan conceptos de la más alta abstracción; y esto es también sumamente fructífero para la ciencia.

14. Las religiones son, en su mayoría, malas, pero la religión no lo es.

La primera versión de la prueba ontológica en los documentos de Gödel está fechada "alrededor de 1941". No se sabe que Gödel haya hablado a nadie sobre su trabajo en la prueba hasta 1970, cuando pensó que se estaba muriendo. En febrero, permitió a Dana Scott copiar una versión de la prueba, que circuló privadamente. En agosto de 1970, Gödel le dijo a Oskar Morgenstern que estaba "satisfecho" con la prueba, pero Morgenstern anotó en la entrada de su diario del 29 de agosto de 1970 que Gödel no la publicaría porque temía que otros pudieran pensar "que él realmente cree en Dios, mientras que solo está involucrado en una investigación lógica (es decir, en demostrar que tal prueba con supuestos clásicos (completitud, etc.) correspondientemente axiomatizados, es posible)". ^[2] Gödel murió el 14 de enero de 1978. Otra versión, ligeramente diferente de la de Scott, fue encontrada en sus documentos. Finalmente se publicó, junto con la versión de Scott, en 1987. ^[3]

En cartas a su madre, que no iba a la iglesia y había criado a Kurt y a su hermano como librepensadores , ^[4] Gödel defendió extensamente la creencia en una vida después de la muerte. ^[5] Hizo lo mismo en una entrevista con un escéptico Hao Wang , quien dijo: "Expresé mis dudas mientras G hablaba [...] Gödel sonrió mientras respondía a mis preguntas, obviamente consciente de que sus respuestas no me convencían". ^[6] Wang informa que la esposa de Gödel, Adele, dos días después de la muerte de Gödel, le dijo a Wang que "Gödel, aunque no iba a la iglesia, era religioso y leía la Biblia en la cama todos los domingos por la mañana". ^[7] En una respuesta no enviada por correo a un cuestionario, Gödel describió su religión como "bautizado luterano (pero no miembro de ninguna congregación religiosa). Mi creencia es teísta , no panteísta , siguiendo a Leibniz en lugar de Spinoza ". ^{[nota 1]}

Describir

La prueba ^{[8] [10]} utiliza la lógica modal , que distingue entre verdades necesarias y verdades contingentes . En la semántica más común de la lógica modal, se consideran muchos " mundos posibles ". Una verdad es necesaria si es verdadera en todos los mundos posibles. Por el contrario, si una afirmación es verdadera en nuestro mundo, pero es falsa en otro mundo, entonces es una verdad contingente . Una afirmación que es verdadera en algún mundo (no necesariamente el nuestro) se llama verdad posible .

Además, la prueba utiliza lógica de orden superior (modal) porque la definición de Dios emplea una cuantificación explícita sobre las propiedades. ^[11]

En primer lugar, Gödel axiomatiza la noción de una "propiedad positiva": ^{[nota 2]} para cada propiedad φ , φ o su negación ¬ φ deben ser positivos, pero no ambos (axioma 2). Si una propiedad positiva φ implica una propiedad ψ en cada mundo posible, entonces ψ también es positivo (axioma 1). ^{[nota 3]} Gödel argumenta entonces que cada propiedad positiva está "posiblemente ejemplificada", es decir, se aplica al menos a algún objeto en algún mundo (teorema 1). Al definir un objeto como semejante a Dios si tiene todas las propiedades positivas (definición 1), ^{[nota 4]} y requerir que esa propiedad sea positiva en sí misma (axioma 3), ^{[nota 5]} Gödel muestra que en algún mundo posible existe un objeto semejante a Dios (teorema 2), llamado "Dios" en lo sucesivo. ^{[nota 6]} Gödel procede a demostrar que existe un objeto parecido a Dios en cada mundo posible.

Para ello, define esencias : si x es un objeto en algún mundo, entonces se dice que una propiedad φ es una esencia de x si φ ( x ) es verdadera en ese mundo y si φ implica necesariamente todas las demás propiedades que x tiene en ese mundo (definición 2). Al requerir que las propiedades positivas sean positivas en cada mundo posible (axioma 4), Gödel puede demostrar que la semejanza a Dios es una esencia de un objeto semejante a Dios (teorema 3). Ahora bien, se dice que x existe necesariamente si, para cada esencia φ de x , hay un elemento y con la propiedad φ en cada mundo posible (definición 3). El axioma 5 requiere que la existencia necesaria sea una propiedad positiva.

Por lo tanto, debe seguirse de la semejanza a Dios. Además, la semejanza a Dios es una esencia de Dios, ya que implica todas las propiedades positivas, y cualquier propiedad no positiva es la negación de alguna propiedad positiva, por lo que Dios no puede tener ninguna propiedad no positiva. Dado que la existencia necesaria también es una propiedad positiva (axioma 5), ​​debe ser una propiedad de todo objeto semejante a Dios, ya que todo objeto semejante a Dios tiene todas las propiedades positivas (definición 1). Dado que cualquier objeto semejante a Dios es necesariamente existente, se sigue que cualquier objeto semejante a Dios en un mundo es un objeto semejante a Dios en todos los mundos, por la definición de existencia necesaria. Dada la existencia de un objeto semejante a Dios en un mundo, probada anteriormente, podemos concluir que hay un objeto semejante a Dios en cada mundo posible, como se requiere (teorema 4). Además del axioma 1-5 y la definición 1-3, algunos otros axiomas de la lógica modal ^{[ aclaración necesaria ]} se usaron tácitamente en la prueba.

A partir de estas hipótesis, también es posible demostrar que sólo hay un Dios en cada mundo por la ley de Leibniz, la identidad de los indiscernibles : dos o más objetos son idénticos (iguales) si tienen todas sus propiedades en común, y por tanto, sólo habría un objeto en cada mundo que poseyera la propiedad G. Sin embargo, Gödel no intentó hacerlo, ya que limitó deliberadamente su prueba a la cuestión de la existencia, en lugar de la unicidad.

Argumento

A continuación se presenta el argumento original en notación simbólica, luego una explicación de cada símbolo individual utilizado y luego una traducción al inglés del argumento completo.

Argumento formal original

${\displaystyle {\begin{array}{rl}{\text{Ax. 1.}}&\left(P(\varphi )\;\wedge \;\Box \;\forall x(\varphi (x)\Rightarrow \psi (x))\right)\;\Rightarrow \;P(\psi )\\{\text{Ax. 2.}}&P(\neg \varphi )\;\Leftrightarrow \;\neg P(\varphi )\\{\text{Th. 1.}}&P(\varphi )\;\Rightarrow \;\Diamond \;\exists x\;\varphi (x)\\{\text{Df. 1.}}&G(x)\;\Leftrightarrow \;\forall \varphi (P(\varphi )\Rightarrow \varphi (x))\\{\text{Ax. 3.}}&P(G)\\{\text{Th. 2.}}&\Diamond \;\exists x\;G(x)\\{\text{Df. 2.}}&\varphi {\text{ ess }}x\;\Leftrightarrow \;\varphi (x)\wedge \forall \psi \left(\psi (x)\Rightarrow \Box \;\forall y(\varphi (y)\Rightarrow \psi (y))\right)\\{\text{Ax. 4.}}&P(\varphi )\;\Rightarrow \;\Box \;P(\varphi )\\{\text{Th. 3.}}&G(x)\;\Rightarrow \;G{\text{ ess }}x\\{\text{Df. 3.}}&E(x)\;\Leftrightarrow \;\forall \varphi (\varphi {\text{ ess }}x\Rightarrow \Box \;\exists y\;\varphi (y))\\{\text{Ax. 5.}}&P(E)\\{\text{Th. 4.}}&\Box \;\exists x\;G(x)\end{array}}}$

Traducción de símbolos individuales

Notación común en lógica simbólica:

• ${\displaystyle \varphi (x)}$: "El objeto tiene propiedad " ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$

" (notación para predicados de primer orden )

• ${\displaystyle \Rightarrow }$: "implica" ( implicación material )
• ${\displaystyle \forall x}$:"Para cada ", o "para todos " ( cuantificador universal ) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \exists x}$: "Existe un ", o "para algún " ( cuantificador existencial ) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \neg \varphi }$: "La negación de " (es decir, no ) ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Operadores modales (utilizados en lógica modal ):

• ${\displaystyle \Diamond }$: "Es posible que...", o, "en al menos un mundo posible , es cierto que..." (operador modal de posibilidad)
• ${\displaystyle \Box }$: "Es necesario que...", o, "en todos los mundos posibles, es cierto que..." (operador modal para necesidad)

Predicado primitivo en este argumento:

• ${\displaystyle P(\varphi )}$:"La propiedad es positiva" (dado que se aplica a las propiedades, "ser positivo" es una propiedad de segundo orden ) ${\displaystyle \varphi }$

Predicados derivados (definidos en términos de otros predicados dentro del argumento):

• ${\displaystyle G(x)}$: " es como Dios". (Definición 1) ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \varphi {\text{ ess }}x}$: " es una propiedad esencial de " (Definición 2) ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle E(x)}$:“El objeto existe necesariamente” (Definición 3) ${\displaystyle x}$

Traducción del argumento completo

Se han añadido entre paréntesis las lecturas de términos modales en términos de mundos posibles , es decir, "en todos los mundos posibles" en lugar de "necesariamente" y "en al menos un mundo posible" en lugar de "posiblemente". Para completar, se debería añadir "en el mundo real" a todas las oraciones que se dijeron sin "necesariamente" o "posiblemente", pero se ha omitido este punto porque podría dificultar la lectura del texto.

• Axioma 1: Si es una propiedad positiva, y si es necesariamente cierto (cierto en todos los mundos posibles) que todo objeto con propiedad también tiene la propiedad , entonces también es una propiedad positiva. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$
• Axioma 2: La negación de una propiedad es positiva si, y sólo si, no es positiva. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$
• Teorema 1: Si una propiedad es positiva, entonces es posible que exista un objeto que tenga esta propiedad (en al menos un mundo posible, existe un objeto que tiene esta propiedad). ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• Definición 1: Un objeto es semejante a Dios si, y sólo si, tiene todas las propiedades positivas. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• Axioma 3: La propiedad de ser semejante a Dios es en sí misma una propiedad positiva.
• Teorema 2: Es posible que exista un objeto parecido a Dios (en al menos un mundo posible, existe un objeto parecido a Dios ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• Definición 2: Una propiedad es una propiedad esencial de un objeto si, tiene la propiedad , y toda propiedad de necesariamente (en todos los mundos posibles) y generalmente (para todos los objetos) se sigue de . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$
• Axioma 4: Si una propiedad es positiva, entonces es necesariamente positiva (positiva en todos los mundos posibles). ${\displaystyle \varphi }$
• Teorema 3: Si es semejante a Dios, entonces ser semejante a Dios es una propiedad esencial de . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• Definición 3: Un objeto "existe necesariamente" si cada una de sus propiedades esenciales se aplica, en cada mundo posible, a algún objeto . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle y}$
• Axioma 5: "La existencia necesaria" es una propiedad positiva.
• Teorema 4: Es necesariamente cierto (cierto en todos los mundos posibles) que existe un objeto parecido a Dios.

Crítica

La mayoría de las críticas a la prueba de Gödel se dirigen a sus axiomas: como ocurre con cualquier prueba en cualquier sistema lógico, si se duda de los axiomas de los que depende la prueba, también se puede dudar de las conclusiones. Esto es particularmente aplicable a la prueba de Gödel, porque se basa en cinco axiomas, algunos de los cuales se consideran cuestionables. Una prueba no exige que la conclusión sea correcta, sino que, al aceptar los axiomas, la conclusión se deduzca lógicamente.

Muchos filósofos han puesto en tela de juicio los axiomas. La primera capa de crítica es simplemente que no se presentan argumentos que den razones por las que los axiomas son verdaderos. Una segunda capa es que estos axiomas particulares conducen a conclusiones no deseadas. Esta línea de pensamiento fue defendida por Jordan Howard Sobel ^[12] , mostrando que si se aceptan los axiomas, conducen a un " colapso modal " donde cada afirmación que es verdadera es necesariamente verdadera, es decir, los conjuntos de verdades necesarias, contingentes y posibles coinciden todos (siempre que haya mundos accesibles ). ^{[nota 7]} Según Robert Koons [ ^{9] : 9} Sobel sugirió en un artículo de conferencia de 2005 ^{[ cita requerida ]} que Gödel podría haber dado la bienvenida al colapso modal. ^[13]

Hay enmiendas sugeridas a la prueba, presentadas por C. Anthony Anderson , ^[14] pero que Anderson y Michael Gettings sostienen que son refutables. ^[15] La prueba de Sobel del colapso modal ha sido cuestionada por Koons, ^{[9] [nota 8]} pero Sobel ha dado una contradefensa. ^{[ cita requerida ]}

La prueba de Gödel también ha sido cuestionada por Graham Oppy ^[16], quien pregunta si muchos otros casi dioses también podrían ser "probados" a través de los axiomas de Gödel. Este contraargumento ha sido cuestionado por Gettings ^[17], quien está de acuerdo en que los axiomas podrían ser cuestionados, pero no está de acuerdo en que el contraejemplo particular de Oppy pueda demostrarse a partir de los axiomas de Gödel.

El erudito religioso P. Robert J. Spitzer aceptó la prueba de Gödel, calificándola de "una mejora respecto del argumento ontológico anselmiano (que no funciona)". ^[18]

Sin embargo, hay muchas más críticas, la mayoría de ellas centradas en la cuestión de si estos axiomas deben rechazarse para evitar conclusiones extrañas. La crítica más amplia es que incluso si no se puede demostrar que los axiomas sean falsos, eso no significa que sean verdaderos. La famosa observación de Hilbert sobre la intercambiabilidad de los nombres de los primitivos se aplica a los de los axiomas ontológicos de Gödel ("positivo", "semejante a dios", "esencia"), así como a los de los axiomas geométricos de Hilbert ("punto", "línea", "plano"). Según André Fuhrmann (2005), queda por demostrar que la deslumbrante noción prescrita por las tradiciones y que a menudo se cree que es esencialmente misteriosa satisface los axiomas de Gödel. Esta no es una tarea matemática, sino teológica. ^{[19] : 364–366} Es esta tarea la que decide qué dios de la religión se ha demostrado que existe.

Versiones verificadas computacionalmente

Christoph Benzmüller y Bruno Woltzenlogel-Paleo formalizaron la prueba de Gödel a un nivel que es adecuado para la demostración automatizada de teoremas o al menos la verificación computacional a través de asistentes de prueba . ^[20] El esfuerzo fue noticia en los periódicos alemanes. Según los autores de este esfuerzo, se inspiraron en el libro de Melvin Fitting . ^[21]

En 2014, verificaron computacionalmente la prueba de Gödel (en la versión anterior). ^{[22] : 97  [nota 9]} También demostraron que los axiomas de esta versión son consistentes, ^{[nota 10]} pero implican colapso modal, ^{[nota 11]} confirmando así el argumento de Sobel de 1987. En el mismo artículo, sospecharon que la versión original de los axiomas de Gödel ^{[nota 12]} era inconsistente, ya que no pudieron demostrar su consistencia. ^{[nota 13]}

En 2016, dieron una prueba automatizada de que la versión original implica , es decir, es inconsistente en cada lógica modal con una relación de accesibilidad reflexiva o simétrica . ^{[24] : 940 lf} Además, dieron un argumento de que esta versión es inconsistente en toda lógica, ^{[nota 14]} pero no pudieron duplicarlo mediante probadores automatizados. ^{[nota 15]} Sin embargo, pudieron verificar la reformulación del argumento de Melvin Fitting y garantizar su consistencia. ^[25] ${\displaystyle \Diamond \Box \bot }$

En la literatura

Una variante humorística de la prueba ontológica de Gödel se menciona en la novela de Quentin Canterel The Jolly Coroner . ^{[26] [ página necesaria ]} La prueba también se menciona en la serie de televisión Hand of God . ^{[ especificar ]}

La novela de Jeffrey Kegler de 2007, The God Proof , describe el redescubrimiento (ficticio) del cuaderno perdido de Gödel sobre la prueba ontológica. ^[27]

Véase también

• Filosofía de la religión

Notas

1. Respuesta de Gödel a un cuestionario especial que le envió el sociólogo Burke Grandjean. Esta respuesta se cita directamente en Wang 1987, p. 18, e indirectamente en Wang 1996, p. 112. También se cita directamente en Dawson 1997, p. 6, que cita a Wang 1987. El cuestionario de Grandjean es quizás el elemento autobiográfico más extenso de los documentos de Gödel. Gödel lo completó a lápiz y escribió una carta de presentación, pero nunca la devolvió. "Teísta" está en cursiva tanto en Wang 1987 como en Wang 1996. Es posible que esta cursiva sea de Wang y no de Gödel. La cita sigue a Wang 1987, con dos correcciones tomadas de Wang 1996. Wang 1987 dice "luterano bautista" donde Wang 1996 dice "luterano bautizado". "Bautista Luterano" no tiene sentido, especialmente en el contexto, y presumiblemente se trata de un error tipográfico o de transcripción. Wang 1987 tiene "congregación religiosa", que en Wang 1996 se amplía a "congregación religiosa".
2. Se supone que es posible distinguir propiedades positivas de entre todas las propiedades. Gödel comenta que "Positivo significa positivo en el sentido estético moral (independientemente de la estructura accidental del mundo)... También puede significar atribución pura en oposición a privación (o privación que contiene)" (Gödel 1995), véase también el manuscrito en (Gawlick 2012).
3. Como ejemplo profano, si la propiedad de ser verde es positiva, la de no ser rojo también lo es (por el axioma 1), por lo tanto la de ser rojo es negativa (por el axioma 2). De manera más general, como máximo un color puede considerarse positivo.
4. Continuando con el ejemplo del color, un objeto divino debe tener el color único que se considera positivo, o ningún color en absoluto; ambas alternativas pueden parecer contrarias a la intuición.
5. Si se considera el orden parcial definido por si , entonces los axiomas 1-3 pueden resumirse diciendo que las propiedades positivas forman un ultrafiltro en este orden. La definición 1 y el axioma 4 son necesarios para establecer la propiedad de semejanza con Dios como elemento principal del ultrafiltro. ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle \varphi \preceq \psi }$ ${\displaystyle \square \forall y(\varphi (y)\to \psi (y))}$
6. Si se eliminan todos los operadores modales de los axiomas, definiciones, demostraciones y teoremas, se obtiene una versión modificada del teorema 2 que dice "∃ x G ( x )", es decir, "Existe un objeto que tiene todas las propiedades positivas, pero ninguna negativa". Para obtener este resultado, no es necesario tener en cuenta nada más que los axiomas 1 a 3, la definición 1 y los teoremas 1 y 2.
7. Formalmente, para todo p implica para todo p por prueba indirecta , y es válido para todo p siempre que haya mundos accesibles. ${\displaystyle p\Rightarrow \Box p}$ ${\displaystyle \Diamond p\Rightarrow p}$ ${\displaystyle \Box p\Rightarrow \Diamond p}$
8. Dado que la prueba de colapso modal de Sobel utiliza la abstracción lambda , pero la prueba de Gödel no, Koons sugiere prohibir esta operación de construcción de propiedades como la medida "más conservadora", antes de "rechazar o enmendar... axiomas (como lo hace Anderson)".
9. Líneas "T3" en la Fig.2, y punto 3 en la sección 4 ("Principales hallazgos"). Su teorema "T3" corresponde al "Th.4" mostrado arriba.
10. Línea "CO" en la Fig.2, y ítem 1 en la sección 4 (p. 97).
11. Línea "MC" en la Fig.2, y elemento 6 en la sección 4 (p. 97).
12. La versión que se muestra aquí es de Dana Scott. ^[23] Se diferencia del original de Gödel al omitir el primer conjuntivo, , en Df.2. ${\displaystyle \varphi (x)}$
13. Líneas "CO'" en la Fig.2, y el ítem 5 en la sección 4 (p. 97).
14. Punto 8 del apartado 4.1 “Argumento informal” (p. 940).
15. Véase la discusión detallada en la sección 4 "Argumento de inconsistencia intuitiva" (p. 939–941).

Referencias

1. En: Wang, Hao. Un viaje lógico: de Gödel a la filosofía. A Bradford Book, 1997. Impreso. p.316.
2. Citado en Gödel 1995, p. 388. El original alemán se cita en Dawson 1997, p. 307. Los paréntesis anidados se encuentran en la entrada del diario original de Morgenstern, según lo cita Dawson.
3. El historial de publicación de la prueba en este párrafo es de Gödel 1995, p. 388
4. Dawson 1997, págs. 6.
5. Dawson 1997, págs. 210-212.
6. Wang 1996, p. 317. Los puntos suspensivos son de Wikipedia.
7. Wang 1996, pág. 51.
8. La prueba de Gödel se reproduce en las páginas 403-404, 429-437 de: Kurt Gödel (marzo de 1995). Solomon Feferman y John W. Dawson Jr. y Warren Goldfarb y Charles Parsons y Robert M. Solovay (ed.). Ensayos y conferencias inéditos (PDF) . Obras completas. Vol. III (1.ª ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-507255-3.
9. Robert C. Koons (julio de 2005). Sobel sobre la prueba ontológica de Gödel (PDF) (artículo inédito). Universidad de Texas en Austin. Archivado desde el original (PDF) el 2 de agosto de 2020.
10. La presentación que sigue sigue a la de Koons (2005), ^[9] p.3-7.
11. Ajuste, 2002, pág. 139
12. Jordan Howard Sobel (noviembre de 1987). "La prueba ontológica de Gödel". En Judith Jarvis Thomson (ed.). Sobre el ser y el decir: ensayos para Richard Cartwright . Cambridge/MA y Londres, Inglaterra: MIT Press. pp. 241–261. ISBN 978-0262200639.
13. Kurt Gödel (marzo de 1995). "Textos relacionados con la prueba ontológica (Apéndice B)". En Solomon Feferman; John W. Dawson Jr.; Warren Goldfarb; Charles Parsons; Robert M. Solovay (eds.). Ensayos y conferencias inéditos (PDF) . Obras completas. Vol. III (1.ª ed.). Oxford: Oxford University Press. págs. 429–437. ISBN. 0-19-507255-3.Aquí: p.435; probablemente, Sobel se refirió a la nota 4 de Gödel: "... Si se supone [como si se siguiera de la esencia de ], ... pero esa es la vía inferior. Más bien, debería seguirse primero de la existencia de Dios". ${\displaystyle \varphi (x)\Rightarrow \Box \varphi (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi (x)\Rightarrow \Box \varphi (x)}$ La nota podría indicar que Gödel era consciente de que sus axiomas implicaban un colapso modal.
14. Curtis Anthony Anderson (julio de 1990). "Algunas enmiendas a la prueba ontológica de Gödel" (PDF) . Fe y filosofía . 7 (3): 291–303. doi :10.5840/faithphil19907325. Archivado (PDF) desde el original el 4 de junio de 2015.
15. Curtis Anthony Anderson y Michael Gettings (agosto de 1996). "Revisitando la prueba ontológica de Gödel". En Petr Hájek (ed.). Proc. Gödel '96: Fundamentos lógicos de las matemáticas, la informática y la física: el legado de Kurt Gödel . Apuntes de clase sobre lógica. Vol. 6. Springer. págs. 167-172.
16. Graham Oppy (octubre de 1996). "Argumentos ontológicos godelianos". Análisis . 54 (4): 226–230. doi :10.1093/analys/56.4.226.— Versión más larga (2005)
17. Gettings Michael (1999). "El argumento ontológico de Gödel: una respuesta a Oppy". Análisis . 59 (264): 309–313. doi :10.1111/1467-8284.00184.
18. "El teorema de Gödel y la existencia de Dios". Magis Center . 2017-04-26 . Consultado el 2018-05-23 .
19. André Fuhrmann (2005). "Existenz und Notwendigkeit - Kurt Gödels axiomatische Theologie" [Existencia y necesidad - Teología axiomática de Kurt Gödel] (PDF) . En W. Spohn (ed.). Logik in der Philosophie [ Lógica en Filosofía ] (en alemán). Heidelberg: sincrónico. págs. 349–374. Archivado (PDF) desde el original el 18 de mayo de 2016.
20. "Teología formal / GoedelGod". GitHub . 28 de junio de 2021.
21. Knight, David (23 de octubre de 2013). "Los científicos utilizan la computadora para demostrar matemáticamente el teorema de Dios de Gödel". Der Spiegel . Consultado el 28 de octubre de 2013 .
22. Christoph Benzmüller y Bruno Woltzenlogel-Paleo (2014). "Automatización de la prueba ontológica de la existencia de Dios según Gödel con demostradores de teoremas automatizados de orden superior" (PDF) . Proc. Conferencia Europea sobre Inteligencia Artificial . Fronteras en Inteligencia Artificial y Aplicaciones. Vol. 263. IOS Press. págs. 93–98. Archivado (PDF) desde el original el 14 de julio de 2014.
23. D. Scott (2004). "Apéndice B: Notas de la mano de Dana Scott [1972]". En JH Sobel (ed.). Lógica y teísmo: argumentos a favor y en contra de las creencias en Dios . Cambridge: Cambridge University Press. págs. 145-146. ISBN 978-0511497988.
24. Christoph Benzmüller y Bruno Woltzenlogel-Paleo (julio de 2016). "La inconsistencia en el argumento ontológico de Gödel: una historia de éxito para la IA en la metafísica" (PDF) . En Subbarao Kambhampati (ed.). Proc. 25.ª Conferencia conjunta internacional sobre inteligencia artificial . AAAI Press. págs. 936–942. Archivado (PDF) desde el original el 13 de noviembre de 2016.
25. Christoph Benzmüller y David Fuenmayor (mayo de 2017). «Tipos, cuadros y el Dios de Gödel en Isabelle/HOL». Archivo de pruebas formales . ISSN  2150-914X.
26. Quentin Canterel (2015). El forense alegre: una novela picaresca . Acorn Independent Press.
27. Jeffrey Kegler (2007), The God Proof, archivado desde el original el 28 de julio de 2021 , consultado el 25 de marzo de 2021, texto completo en línea.

Lectura adicional

• Frode Alfson Bjørdal , "Entendiendo el argumento ontológico de Gödel", en T. Childers (ed.), The Logica Yearbook 1998 , Praga 1999, 214–217.
• Frode Alfson Bjørdal, "Todas las propiedades son divinas, o Dios existe", en Lógica y filosofía lógica, vol. 27 núm. 3, 2018, págs. 329–350.
• Bromand, Joaquín. "Gödels ontologischer Beweis und andere modallogische Gottesbeweise", en J. Bromand und G. Kreis (Hg.), Gottesbeweise von Anselm bis Gödel , Berlín 2011, 381–491.
• John W. Dawson Jr. (1997). Dilemas lógicos: la vida y la obra de Kurt Godel . Wellesley, Mass.: AK Peters, Ltd. ISBN 1-56881-025-3.
• Melvin Fitting , "Tipos, cuadros y el Dios de Gödel" Editorial: Dordrecht Kluwer Academic, 2002, ISBN 1-4020-0604-7 , ISBN 978-1-4020-0604-3  
• Kurt Gödel (marzo de 1995). Solomon Feferman; John W. Dawson Jr.; Warren Goldfarb; Charles Parsons; Robert M. Solovay (eds.). Ensayos y conferencias inéditos (PDF) . Obras completas. Vol. III (1.ª ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-507255-3.— Véase el Capítulo «Prueba ontológica», págs. 403–404, y el Apéndice B «Textos relacionados con la prueba ontológica», págs. 429–437.
• Goldman, Randolph R. "El argumento ontológico de Gödel", Tesis doctoral, Universidad de California, Berkeley 2000.
• Hazen, AP "Sobre la prueba ontológica de Gödel", Australasian Journal of Philosophy, vol. 76, n.º 3, págs. 361–377, septiembre de 1998
• Small, Christopher. "Reflexiones sobre el argumento ontológico de Gödel" (PDF) . Universidad de Waterloo . Archivado desde el original (PDF) el 22 de diciembre de 2009. Consultado el 31 de agosto de 2010 .
• Wang, Hao (1987). Reflexiones sobre Kurt Gödel . Cambridge, Masa: MIT Press. ISBN 0-262-23127-1.
• Wang, Hao (1996). Un viaje lógico: de Gödel a la filosofía . Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 0-262-23189-1.

Enlaces externos

• Oppy, Graham. "Argumentos ontológicos". En Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .
• Bibliografía comentada de estudios sobre el argumento ontológico de Gödel
• Thomas Gawlick, ¿Was sind und was sollen mathematische Gottesbeweise? , enero de 2012: muestra el manuscrito de prueba original de Gödel en la p. 2-3
• Una prueba de consistencia divina para las matemáticas: un trabajo presentado por Harvey Friedman que muestra que si Dios existe (en el sentido de Gödel), entonces las matemáticas, tal como se formalizan mediante los axiomas ZFC habituales , son consistentes.