Imágenes dinámicas

Formulaciones de la mecánica cuántica.

En mecánica cuántica , las imágenes (o representaciones ) dinámicas son múltiples formas equivalentes de formular matemáticamente la dinámica de un sistema cuántico.

Los dos más importantes son el cuadro de Heisenberg y el cuadro de Schrödinger . Estos difieren sólo por un cambio de base con respecto a la dependencia del tiempo, análoga a la especificación lagrangiana y euleriana del campo de flujo : en resumen, la dependencia del tiempo está asociada a los estados cuánticos en la imagen de Schrödinger y a los operadores en la imagen de Heisenberg.

También existe una formulación intermedia conocida como imagen de interacción (o imagen de Dirac ) que es útil para realizar cálculos cuando un hamiltoniano complicado tiene una descomposición natural en un hamiltoniano "libre" simple y una perturbación .

Las ecuaciones que se aplican en un cuadro no necesariamente se cumplen en los demás, porque las transformaciones unitarias dependientes del tiempo relacionan a los operadores en un cuadro con los operadores análogos en los demás. No todos los libros de texto y artículos especifican de qué imagen proviene cada operador, lo que puede generar confusión.

Imagen de Schrödinger

Fondo

En mecánica cuántica elemental, el estado de un sistema mecánico-cuántico está representado por una función de onda de valor complejo ψ ( x , t ) . De manera más abstracta, el estado puede representarse como un vector de estado, o ket , | ψ ⟩. Este ket es un elemento de un espacio de Hilbert , un espacio vectorial que contiene todos los estados posibles del sistema. Un operador mecánico cuántico es una función que toma un ket | ψ ⟩ y devuelve algún otro ket | ψ′ ⟩.

Las diferencias entre las ideas de Schrödinger y Heiseinberg sobre la mecánica cuántica giran en torno a cómo abordar los sistemas que evolucionan en el tiempo: la naturaleza dependiente del tiempo del sistema debe ser transmitida por alguna combinación de los vectores de estado y los operadores. Por ejemplo, un oscilador armónico cuántico puede estar en un estado | ψ ⟩ para el cual el valor esperado del momento, oscila de forma sinusoidal en el tiempo. Entonces podemos preguntarnos si esta oscilación sinusoidal debería reflejarse en el vector de estado | ψ ⟩, el operador de momento , o ambos. Las tres opciones son válidas; el primero muestra el cuadro de Schrödinger, el segundo el cuadro de Heisenberg y el tercero el cuadro de interacción. ${\displaystyle \langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$

La imagen de Schrödinger es útil cuando se trata de un hamiltoniano H independiente del tiempo , es decir, . ${\displaystyle \partial _{t}H=0}$

El operador de evolución del tiempo.

Definición

El operador de evolución temporal U ( t , t ₀ ) se define como el operador que actúa sobre el ket en el momento t ₀ para producir el ket en algún otro momento t :

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$

Para sujetadores , en cambio tenemos

${\displaystyle \langle \psi (t)|=\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0}).}$

Propiedades

Unitaridad

El operador de evolución temporal debe ser unitario . Esto se debe a que exigimos que la norma del mercado estatal no cambie con el tiempo. Eso es,

${\displaystyle \langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle =\langle \psi (t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$

Por lo tanto,

${\displaystyle U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=I.}$

Identidad

Cuando t  = t ₀ , U es el operador identidad , ya que

${\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle =U(t_{0},t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$

Cierre

La evolución temporal de t ₀ a t puede verse como una evolución temporal de dos pasos, primero desde t ₀ hasta un tiempo intermedio t ₁ y luego desde t ₁ hasta el tiempo final t . Por lo tanto,

${\displaystyle U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0}).}$

Ecuación diferencial para el operador de evolución temporal.

Eliminamos el índice t ₀ en el operador de evolución temporal con la convención de que t ₀ = 0 y lo escribimos como U ( t ). La ecuación de Schrödinger es

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle =H|\psi (t)\rangle ,}$

donde H es el hamiltoniano . Ahora, usando el operador de evolución temporal U para escribir , tenemos ${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t)|\psi (0)\rangle }$

${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)|\psi (0)\rangle =HU(t)|\psi (0)\rangle .}$

Dado que es un ket constante (el estado ket en t = 0 ), y dado que la ecuación anterior es cierta para cualquier ket constante en el espacio de Hilbert, el operador de evolución temporal debe obedecer a la ecuación ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$

${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)=HU(t).}$

Si el hamiltoniano es independiente del tiempo, la solución a la ecuación anterior es ^[1]

${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }.}$

Dado que H es un operador, esta expresión exponencial debe evaluarse mediante su serie de Taylor :

${\displaystyle e^{-iHt/\hbar }=1-{\frac {iHt}{\hbar }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {Ht}{\hbar }}\right)^{2}+\cdots .}$

Por lo tanto,

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle .}$

Tenga en cuenta que es un ket arbitrario. Sin embargo, si el ket inicial es un estado propio del hamiltoniano, con valor propio E , obtenemos: ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\psi (0)\rangle .}$

Así, vemos que los estados propios del hamiltoniano son estados estacionarios : sólo adquieren un factor de fase general a medida que evolucionan con el tiempo.

Si el hamiltoniano depende del tiempo, pero los hamiltonianos en diferentes momentos conmutan, entonces el operador de evolución del tiempo se puede escribir como

${\displaystyle U(t)=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right),}$

Si el hamiltoniano depende del tiempo, pero los hamiltonianos en diferentes momentos no conmutan, entonces el operador de evolución del tiempo se puede escribir como

${\displaystyle U(t)=\mathrm {T} \exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right),}$

donde T es el operador de ordenación del tiempo , que a veces se conoce como serie Dyson, en honor a Freeman Dyson .

La alternativa a la imagen de Schrödinger es cambiar a un sistema de referencia giratorio, que a su vez es girado por el propagador. Dado que la rotación ondulatoria ahora la asume el propio sistema de referencia, una función de estado no perturbada parece ser verdaderamente estática. Esta es la imagen de Heisenberg (abajo).

imagen de heisenberg

La imagen de Heisenberg es una formulación (hecha por Werner Heisenberg mientras estaba en Heligoland en la década de 1920) de la mecánica cuántica en la que los operadores ( observables y otros) incorporan una dependencia del tiempo, pero los vectores de estado son independientes del tiempo.

Definición

En la visión de Heisenberg de la mecánica cuántica, el vector de estado, , no cambia con el tiempo, y un A observable satisface ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)]+{\frac {\partial A(t)}{\partial t}},}$

donde H es el hamiltoniano y [•,•] denota el conmutador de dos operadores (en este caso H y A ). Tomando valores esperados se obtiene el teorema de Ehrenfest presentado en el principio de correspondencia .

Según el teorema de Stone-von Neumann , la imagen de Heisenberg y la imagen de Schrödinger son unitariamente equivalentes. En cierto sentido, la visión de Heisenberg es más natural y conveniente que la visión equivalente de Schrödinger, especialmente para las teorías relativistas . La invariancia de Lorentz se manifiesta en el cuadro de Heisenberg. Este enfoque también tiene una similitud más directa con la física clásica : al reemplazar el conmutador anterior por el soporte de Poisson , la ecuación de Heisenberg se convierte en una ecuación de la mecánica hamiltoniana .

Derivación de la ecuación de Heisenberg

El valor esperado de un observable A , que es un operador lineal hermitiano para un estado dado , viene dado por ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$

$${\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \psi (t)|A|\psi (t)\rangle .}$$

En la imagen de Schrödinger , el estado en el tiempo t está relacionado con el estado en el tiempo 0 mediante un operador unitario de evolución en el tiempo : ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle U(t)}$

$${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t)|\psi (0)\rangle .}$$

hamiltoniano

$${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar },}$$

Hconstante de Planck reducida

$${\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \psi (0)|e^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle .}$$

Definir, entonces,

$${\displaystyle A(t):=e^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }.}$$

Resulta que

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}A(t)&={\frac {i}{\hbar }}He^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }+{\frac {i}{\hbar }}e^{iHt/\hbar }A\cdot (-H)e^{-iHt/\hbar }\\&={\frac {i}{\hbar }}e^{iHt/\hbar }\left(HA-AH\right)e^{-iHt/\hbar }+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }\\&={\frac {i}{\hbar }}\left(HA(t)-A(t)H\right)+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }.\end{aligned}}}$$

La diferenciación se realizó de acuerdo con la regla del producto , mientras que ∂ A /∂ t es la derivada temporal de la A inicial , no el operador A ( t ) definido. La última ecuación se cumple ya que exp(− iHt / ħ ) conmuta con H .

De este modo

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)]+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar },}$$

xpmismaxtptAttXYconmutador[ X , Y ] := XY − YX

La ecuación se resuelve mediante la A ( t ) definida anteriormente, como se evidencia mediante el uso de la identidad del operador estándar ,

$${\displaystyle {e^{B}Ae^{-B}}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}}[B,[B,A]]+{\frac {1}{3!}}[B,[B,[B,A]]]+\cdots .}$$

$${\displaystyle A(t)=A+{\frac {it}{\hbar }}[H,A]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,A]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,A]]]+\dots }$$

Esta relación también es válida para la mecánica clásica , el límite clásico de lo anterior, dada la correspondencia entre los corchetes de Poisson y los conmutadores ,

$${\displaystyle [A,H]\leftrightarrow i\hbar \{A,H\}}$$

A

$${\displaystyle \{A,H\}={\frac {d}{dt}}A\,,}$$

Att

Relaciones del conmutador

Las relaciones del conmutador pueden verse diferentes a las del cuadro de Schrödinger, debido a la dependencia temporal de los operadores. Por ejemplo, considere los operadores x ( t ₁ ), x ( t ₂ ), p ( t ₁ ) y p ( t ₂ ) . La evolución temporal de dichos operadores depende del hamiltoniano del sistema. Considerando el oscilador armónico unidimensional,

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}}$,

la evolución de los operadores de posición y momento viene dada por:

${\displaystyle {d \over dt}x(t)={i \over \hbar }[H,x(t)]={\frac {p}{m}}}$,

${\displaystyle {d \over dt}p(t)={i \over \hbar }[H,p(t)]=-m\omega ^{2}x}$.

Diferenciando ambas ecuaciones una vez más y resolviéndolas con las condiciones iniciales adecuadas,

${\displaystyle {\dot {p}}(0)=-m\omega ^{2}x_{0},}$

${\displaystyle {\dot {x}}(0)={\frac {p_{0}}{m}},}$

lleva a

${\displaystyle x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {p_{0}}{\omega m}}\sin(\omega t)}$,

${\displaystyle p(t)=p_{0}\cos(\omega t)-m\omega \!x_{0}\sin(\omega t)}$.

El cálculo directo produce las relaciones de conmutador más generales,

${\displaystyle [x(t_{1}),x(t_{2})]={\frac {i\hbar }{m\omega }}\sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})}$,

${\displaystyle [p(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar m\omega \sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})}$,

${\displaystyle [x(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar \cos(\omega t_{2}-\omega t_{1})}$.

Para , simplemente se recuperan las relaciones de conmutación canónicas estándar válidas en todas las imágenes. ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$

Imagen de interacción

La imagen de interacción es más útil cuando la evolución de los observables se puede resolver exactamente, limitando cualquier complicación a la evolución de los estados. Por esta razón, el hamiltoniano de los observables se denomina "hamiltoniano libre" y el hamiltoniano de los estados se denomina "hamiltoniano de interacción".

Definición

Los operadores y vectores de estado en la imagen de interacción están relacionados mediante un cambio de base ( transformación unitaria ) con esos mismos operadores y vectores de estado en la imagen de Schrödinger.

Para pasar a la imagen de interacción, dividimos la imagen hamiltoniana de Schrödinger en dos partes,

${\displaystyle H_{S}=H_{0,S}+H_{1,S}~.}$

Cualquier posible elección de piezas producirá una imagen de interacción válida; pero para que la imagen de interacción sea útil para simplificar el análisis de un problema, las partes generalmente se elegirán de manera que sean bien entendidas y exactamente solucionables, al tiempo que contengan algunas perturbaciones más difíciles de analizar en este sistema. ${\displaystyle H_{0,S}}$ ${\displaystyle H_{1,S}}$

Si el hamiltoniano tiene una dependencia explícita del tiempo (por ejemplo, si el sistema cuántico interactúa con un campo eléctrico externo aplicado que varía en el tiempo), generalmente será ventajoso incluir los términos explícitamente dependientes del tiempo con , dejando los términos independientes del tiempo. Procedemos asumiendo que este es el caso. Si hay un contexto en el que tiene sentido ser dependiente del tiempo, entonces se puede proceder reemplazando por el operador de evolución temporal correspondiente en las definiciones siguientes. ${\displaystyle H_{1,S}}$ ${\displaystyle H_{0,S}}$ ${\displaystyle H_{0,S}}$ ${\displaystyle e^{\pm iH_{0,S}t/\hbar }}$

Vectores de estado

Un vector de estado en la imagen de interacción se define como ^[2]

${\displaystyle |\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle ~,}$

donde es el mismo vector de estado que en la imagen de Schrödinger. ${\displaystyle |\psi _{S}(t)\rangle }$

Operadores

Un operador en la imagen de interacción se define como

${\displaystyle A_{I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }A_{S}(t)e^{-iH_{0,S}t/\hbar }.}$

Tenga en cuenta que normalmente no dependerá de t y se puede reescribir como just . Sólo depende de t si el operador tiene una "dependencia explícita del tiempo", por ejemplo debido a su dependencia de un campo eléctrico aplicado, externo y variable en el tiempo. ${\displaystyle A_{S}(t)}$ ${\displaystyle A_{S}}$

operador hamiltoniano

Para el propio operador, la imagen de interacción y la imagen de Schrödinger coinciden, ${\displaystyle H_{0}}$

${\displaystyle H_{0,I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }H_{0,S}e^{-iH_{0,S}t/\hbar }=H_{0,S}.}$

Esto se ve fácilmente por el hecho de que los operadores conmutan con funciones diferenciables de ellos mismos. Este operador en particular puede entonces denominarse H ₀ sin ambigüedad.

Sin embargo, para la perturbación hamiltoniana H _{1, I} ,

${\displaystyle H_{1,I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }H_{1,S}e^{-iH_{0,S}t/\hbar },}$

donde la perturbación de la imagen de interacción hamiltoniana se convierte en un hamiltoniano dependiente del tiempo, a menos que [ H _1,s , H _0,s ] = 0 .

También es posible obtener la imagen de interacción para un hamiltoniano H _0,s ( t ) dependiente del tiempo, pero los exponenciales deben ser reemplazados por el propagador unitario para la evolución generada por H _0,s ( t ), o más. explícitamente con una integral exponencial ordenada en el tiempo.

Matriz de densidad

Se puede mostrar que la matriz de densidad se transforma en la imagen de interacción de la misma manera que cualquier otro operador. En particular, sea y la matriz de densidad en la imagen de interacción y la imagen de Schrödinger, respectivamente. Si existe probabilidad de estar en el estado físico , entonces ${\displaystyle \rho _{I}}$ ${\displaystyle \rho _{S}}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$

${\displaystyle \rho _{I}(t)=\sum _{n}p_{n}(t)|\psi _{n,I}(t)\rangle \langle \psi _{n,I}(t)|=\sum _{n}p_{n}(t)e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{n,S}(t)\rangle \langle \psi _{n,S}(t)|e^{-iH_{0,S}t/\hbar }=e^{iH_{0,S}t/\hbar }\rho _{S}(t)e^{-iH_{0,S}t/\hbar }.}$

Ecuaciones de evolución temporal

Estados

Transformando la ecuación de Schrödinger en la imagen de interacción se obtiene:

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi _{I}(t)\rangle =H_{1,I}(t)|\psi _{I}(t)\rangle .}$

Esta ecuación se conoce como ecuación de Schwinger - Tomonaga .

Operadores

Si el operador es independiente del tiempo (es decir, no tiene una "dependencia temporal explícita"; ver arriba), entonces la evolución temporal correspondiente viene dada por: ${\displaystyle A_{S}}$ ${\displaystyle A_{I}(t)}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}A_{I}(t)=\left[A_{I}(t),H_{0}\right].\;}$

En el cuadro de interacción los operadores evolucionan en el tiempo como los operadores del cuadro de Heisenberg con el hamiltoniano . ${\displaystyle H'=H_{0}}$

Matriz de densidad

Transformar la ecuación de Schwinger-Tomonaga al lenguaje de la matriz de densidad (o de manera equivalente, transformar la ecuación de von Neumann en la imagen de interacción) da:

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho _{I}(t)=\left[H_{1,I}(t),\rho _{I}(t)\right].}$

Existencia

La imagen de interacción no siempre existe. En las teorías de campos cuánticos de interacción, el teorema de Haag establece que la imagen de interacción no existe. Esto se debe a que el hamiltoniano no se puede dividir en una parte libre y otra que interactúa dentro de un sector de superselección. Además, incluso si en el cuadro de Schrödinger el hamiltoniano no depende del tiempo, por ejemplo H = H ₀ + V , en el cuadro de interacción sí lo hace, al menos, si V no conmuta con H ₀ , ya que

${\displaystyle H_{\rm {int}}(t)\equiv e^{{(i/\hbar })tH_{0}}\,V\,e^{{(-i/\hbar })tH_{0}}}$.

Comparación de imágenes

La imagen de Heisenberg es la más cercana a la mecánica hamiltoniana clásica (por ejemplo, los conmutadores que aparecen en las ecuaciones anteriores corresponden directamente a los corchetes de Poisson clásicos ). La imagen de Schrödinger, la formulación preferida en los textos introductorios, es fácil de visualizar en términos de rotaciones de vectores de estado en el espacio de Hilbert , aunque carece de una generalización natural a los sistemas invariantes de Lorentz. La imagen de Dirac es más útil en la teoría de perturbaciones covariantes y no estacionarias, por lo que es adecuada para la teoría cuántica de campos y la física de muchos cuerpos .

Comparación resumida de evoluciones.

Equivalencia

Es evidente que los valores esperados de todos los observables son los mismos en las imágenes de Schrödinger, Heisenberg e Interaction,

${\displaystyle \langle \psi \mid A(t)\mid \psi \rangle =\langle \psi (t)\mid A\mid \psi (t)\rangle =\langle \psi _{I}(t)\mid A_{I}(t)\mid \psi _{I}(t)\rangle ~,}$

como deben.

Ver también

• Ecuación de Hamilton-Jacobi
• Notación de freno

Notas

1. Aquí usamos el hecho de que en t = 0 , U ( t ) debe reducirse al operador de identidad.
2. The Interaction Picture, notas de conferencias en línea de la Universidad de Nueva York (Mark Tuckerman)

Referencias

• Cohen-Tannoudji, Claude ; Bernardo Diu; Frank Laloé (1977). Mecánica Cuántica (Volumen Uno) . París: Wiley. págs. 312–314. ISBN 0-471-16433-X.
• Albert Messiah , 1966. Mecánica cuántica (Vol. I), traducción al inglés del francés por GM Temmer. Holanda del Norte, John Wiley & Sons.
• Merzbacher E. , Mecánica cuántica (3ª ed., John Wiley 1998) p. 430-1ISBN 0-471-88702-1​ 
• LD Landau , EM Lifshitz (1977). Mecánica cuántica: teoría no relativista . vol. 3 (3ª ed.). Prensa de Pérgamo . ISBN 978-0-08-020940-1.copia en línea
• R. Shankar (1994); Principios de la mecánica cuántica , Plenum Press, ISBN 978-0306447907 . 
• JJ Sakurai (1993); Mecánica cuántica moderna (edición revisada), ISBN 978-0201539295 . 

enlaces externos

• Ayudas pedagógicas para la teoría cuántica de campos Haga clic en el enlace para ver el cap. 2 para encontrar una introducción extensa y simplificada a la imagen de Heisenberg.