El estudio de las variedades combina muchas áreas importantes de las matemáticas : generaliza conceptos como curvas y superficies , así como ideas del álgebra lineal y la topología . Ciertas clases especiales de variedades también tienen una estructura algebraica adicional; pueden comportarse como grupos , por ejemplo. En ese caso, se denominan grupos de Lie . Alternativamente, pueden describirse mediante ecuaciones polinómicas , en cuyo caso se denominan variedades algebraicas , y si además tienen una estructura de grupo, se denominan grupos algebraicos .
El término "variedad" proviene del alemán Mannigfaltigkeit, de Bernhard Riemann .
En inglés, " manifold " se refiere a espacios con una estructura diferenciable o topológica, mientras que "variedad" se refiere a espacios con una estructura algebraica, como en variedades algebraicas .
En las lenguas romances, variedad se traduce como "variedad"; los espacios con estructura diferenciable se traducen literalmente como "variedades analíticas", mientras que los espacios con estructura algebraica se denominan "variedades algebraicas". Así, por ejemplo, la palabra francesa "variété topologique" significa variedad topológica . En la misma línea, la palabra japonesa "多様体" (tayōtai) también engloba tanto variedad como variedad. ("多様" (tayō) significa varios.)
El concepto moderno de variedad se debe a varios resultados importantes de las matemáticas de los siglos XVIII y XIX. El más antiguo de ellos fue la geometría no euclidiana , que considera espacios en los que falla el postulado de las paralelas de Euclides . Saccheri estudió esta geometría por primera vez en 1733. Lobachevsky , Bolyai y Riemann desarrollaron el tema más a fondo 100 años después. Su investigación descubrió dos tipos de espacios cuyas estructuras geométricas difieren de la del espacio euclidiano clásico ; estos se denominan geometría hiperbólica y geometría elíptica . En la teoría moderna de variedades, estas nociones corresponden a variedades con curvatura constante, negativa y positiva , respectivamente.
Carl Friedrich Gauss fue probablemente el primero en considerar los espacios abstractos como objetos matemáticos por derecho propio. Su teorema egregium ofrece un método para calcular la curvatura de una superficie sin tener en cuenta el espacio circundante en el que se encuentra la superficie. En términos modernos, el teorema demostró que la curvatura de la superficie es una propiedad intrínseca. La teoría de variedades se ha centrado exclusivamente en estas propiedades intrínsecas (o invariantes), mientras que ignora en gran medida las propiedades extrínsecas del espacio circundante.
Otro ejemplo , más topológico, de una propiedad intrínseca de una variedad es la característica de Euler . Para un grafo no intersecante en el plano euclidiano , con V vértices (o esquinas), E aristas y F caras (contando el exterior), Euler demostró que V - E + F = 2. Por lo tanto, 2 se llama la característica de Euler del plano. Por el contrario, en 1813 Antoine-Jean Lhuilier demostró que la característica de Euler del toro es 0, ya que el grafo completo en siete puntos puede incrustarse en el toro. La característica de Euler de otras superficies es un invariante topológico útil , que se ha extendido a dimensiones superiores utilizando números de Betti . A mediados del siglo XIX, el teorema de Gauss-Bonnet vinculó la característica de Euler con la curvatura gaussiana .
La mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana , cuando se consideran geométricamente, son teorías naturalmente múltiples. Todas ellas utilizan la noción de varios ejes o dimensiones característicos (conocidos como coordenadas generalizadas en los dos últimos casos), pero estas dimensiones no se encuentran a lo largo de las dimensiones físicas de ancho, altura y amplitud.
A principios del siglo XIX, la teoría de las funciones elípticas logró sentar las bases para la teoría de las integrales elípticas , lo que dejó abierta una vía obvia de investigación. Las formas estándar de las integrales elípticas implicaban las raíces cuadradas de polinomios cúbicos y cuárticos . Cuando se las reemplazaba por polinomios de grado superior, por ejemplo, polinomios de quinto grado , ¿qué sucedía?
En el trabajo de Niels Henrik Abel y Carl Jacobi se formuló la respuesta: la integral resultante involucraría funciones de dos variables complejas , con cuatro períodos independientes (es decir, vectores de período). Esto dio el primer atisbo de una variedad abeliana de dimensión 2 (una superficie abeliana ): lo que ahora se llamaría el jacobiano de una curva hiperelíptica de género 2 .
Bernhard Riemann fue el primero en hacer un trabajo extenso generalizando la idea de una superficie a dimensiones superiores. El nombre variedad proviene del término alemán original de Riemann, Mannigfaltigkeit , que William Kingdon Clifford tradujo como "variedad". En su conferencia inaugural de Göttingen, Riemann describió el conjunto de todos los valores posibles de una variable con ciertas restricciones como una Mannigfaltigkeit , porque la variable puede tener muchos valores. Distingue entre stetige Mannigfaltigkeit y discrete Mannigfaltigkeit ( variedad continua y variedad discontinua ), dependiendo de si el valor cambia continuamente o no. Como ejemplos continuos, Riemann se refiere no solo a los colores y las ubicaciones de los objetos en el espacio, sino también a las posibles formas de una figura espacial. Utilizando la inducción , Riemann construye una Mannigfaltigkeit n-fach ausgedehnte ( variedad n veces extendida o variedad n-dimensional ) como una pila continua de variedades de (n−1) dimensiones. La noción intuitiva de Riemann de una Mannigfaltigkeit evolucionó hasta convertirse en lo que hoy se formaliza como variedad. Las variedades riemannianas y las superficies de Riemann reciben su nombre en honor a Bernhard Riemann.
En 1857, Riemann introdujo el concepto de superficies de Riemann como parte de un estudio del proceso de continuación analítica ; las superficies de Riemann se reconocen hoy en día como variedades complejas unidimensionales. También promovió el estudio de las funciones abelianas y otras funciones complejas multivariables.
Johann Benedict Listing , inventor de la palabra " topología ", escribió en 1847 un artículo titulado "Vorstudien zur Topologie" en el que definía un " complejo ". Definió por primera vez la banda de Möbius en 1861 (redescubierta cuatro años después por Möbius ), como un ejemplo de superficie no orientable .
Después de Abel, Jacobi y Riemann, algunos de los contribuyentes más importantes a la teoría de las funciones abelianas fueron Weierstrass , Frobenius , Poincaré y Picard . El tema era muy popular en la época, contando ya con una amplia literatura. A finales del siglo XIX, los matemáticos habían comenzado a utilizar métodos geométricos en el estudio de las funciones abelianas.
El artículo de Henri Poincaré de 1895 Analysis Situs estudiaba variedades tridimensionales y de dimensiones superiores (a las que llamaba "variedades"), dando definiciones rigurosas de homología, homotopía y números de Betti y planteaba una cuestión, hoy conocida como la conjetura de Poincaré , en la que se basaba su nuevo concepto de grupo fundamental . En 2003, Grigori Perelman demostró la conjetura utilizando el flujo de Ricci de Richard S. Hamilton , esto después de casi un siglo de esfuerzo por parte de muchos matemáticos.
Hermann Weyl dio una definición intrínseca de las variedades diferenciables en 1912. Durante la década de 1930, Hassler Whitney y otros aclararon los aspectos fundamentales del tema y, de este modo, las intuiciones que databan de la segunda mitad del siglo XIX se volvieron precisas y se desarrollaron a través de la geometría diferencial y la teoría de grupos de Lie .
El teorema de incrustación de Whitney demostró que las variedades definidas intrínsecamente por gráficos siempre podían estar incrustadas en el espacio euclidiano, como en la definición extrínseca, lo que demuestra que los dos conceptos de variedad eran equivalentes. Debido a esta unificación, se dice que es la primera exposición completa del concepto moderno de variedad.
Finalmente, en la década de 1920, Lefschetz sentó las bases para el estudio de las funciones abelianas en términos de toros complejos. También parece haber sido el primero en utilizar el nombre de " variedad abeliana "; en las lenguas romances , "variedad" se utilizó para traducir el término de Riemann "Mannigfaltigkeit". Fue Weil en la década de 1940 quien dio a esta materia sus fundamentos modernos en el lenguaje de la geometría algebraica.