Dimensión de Hausdorff

Medida invariante de dimensión fractal

Ejemplo de dimensiones no enteras. Las primeras cuatro iteraciones de la curva de Koch , donde después de cada iteración, todos los segmentos de línea originales se reemplazan por cuatro, cada uno una copia autosimilar que tiene 1/3 de la longitud del original. Un formalismo de la dimensión de Hausdorff utiliza el factor de escala (S = 3) y el número de objetos autosimilares (N = 4) para calcular la dimensión, D, después de la primera iteración, que es D = (log N)/(log S) = (log 4)/(log 3) ≈ 1,26. ^[1]

En matemáticas , la dimensión de Hausdorff es una medida de rugosidad , o más específicamente, dimensión fractal , que fue introducida en 1918 por el matemático Felix Hausdorff . ^[2] Por ejemplo, la dimensión de Hausdorff de un solo punto es cero, la de un segmento de línea es 1, la de un cuadrado es 2 y la de un cubo es 3. Es decir, para conjuntos de puntos que definen una forma suave o una forma que tiene un pequeño número de esquinas (las formas de la geometría y la ciencia tradicionales), la dimensión de Hausdorff es un número entero que concuerda con el sentido habitual de dimensión, también conocido como dimensión topológica . Sin embargo, también se han desarrollado fórmulas que permiten el cálculo de la dimensión de otros objetos menos simples, donde, únicamente sobre la base de sus propiedades de escala y autosimilitud , se llega a la conclusión de que objetos particulares, incluidos los fractales , tienen dimensiones de Hausdorff no enteras. Debido a los importantes avances técnicos realizados por Abram Samoilovitch Besicovitch que permitieron el cálculo de dimensiones para conjuntos altamente irregulares o "aproximados", esta dimensión también se conoce comúnmente como la dimensión de Hausdorff-Besicovitch.

Más específicamente, la dimensión de Hausdorff es un número dimensional asociado a un espacio métrico , es decir, un conjunto donde se definen las distancias entre todos los miembros. La dimensión se extrae de los números reales extendidos , , a diferencia de la noción más intuitiva de dimensión, que no está asociada a espacios métricos generales y solo toma valores en los números enteros no negativos. ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

En términos matemáticos, la dimensión de Hausdorff generaliza la noción de la dimensión de un espacio vectorial real . Es decir, la dimensión de Hausdorff de un espacio de producto interno n -dimensional es igual a n . Esto subyace a la afirmación anterior de que la dimensión de Hausdorff de un punto es cero, de una línea es uno, etc., y que los conjuntos irregulares pueden tener dimensiones de Hausdorff no enteras. Por ejemplo, el copo de nieve de Koch que se muestra a la derecha se construye a partir de un triángulo equilátero; en cada iteración, sus segmentos de línea componentes se dividen en 3 segmentos de longitud unitaria, el segmento medio recién creado se utiliza como base de un nuevo triángulo equilátero que apunta hacia afuera, y este segmento base se elimina luego para dejar un objeto final de la iteración de longitud unitaria de 4. ^[3] Es decir, después de la primera iteración, cada segmento de línea original ha sido reemplazado por N=4, donde cada copia autosimilar es 1/S = 1/3 tan larga como la original. ^[1] Dicho de otra manera, hemos tomado un objeto con dimensión euclidiana, D, y hemos reducido su escala lineal en 1/3 en cada dirección, de modo que su longitud aumenta a N=S ^D . ^[4] Esta ecuación se resuelve fácilmente para D, obteniendo la relación de logaritmos (o logaritmos naturales ) que aparecen en las figuras, y dando -en el caso de Koch y otros casos fractales- dimensiones no enteras para estos objetos.

La dimensión de Hausdorff es una sucesora de la dimensión de conteo de cajas o dimensión de Minkowski-Bouligand , más simple, pero generalmente equivalente .

Intuición

El concepto intuitivo de dimensión de un objeto geométrico X es el número de parámetros independientes que se necesitan para elegir un único punto en su interior. Sin embargo, cualquier punto especificado por dos parámetros puede especificarse en su lugar por uno, porque la cardinalidad del plano real es igual a la cardinalidad de la línea real (esto se puede ver mediante un argumento que implica entrelazar los dígitos de dos números para obtener un único número que codifica la misma información). El ejemplo de una curva que llena el espacio muestra que uno puede incluso mapear la línea real al plano real de manera sobreyectiva (tomando un número real en un par de números reales de manera que todos los pares de números estén cubiertos) y de manera continua , de modo que un objeto unidimensional llena por completo un objeto de dimensiones superiores.

Toda curva que llena el espacio toca algunos puntos varias veces y no tiene una inversa continua. Es imposible mapear dos dimensiones en una de una manera que sea continua y continuamente invertible. La dimensión topológica, también llamada dimensión de recubrimiento de Lebesgue , explica por qué. Esta dimensión es el mayor entero n tal que en cada recubrimiento de X por pequeñas bolas abiertas hay al menos un punto donde n  + 1 bolas se superponen. Por ejemplo, cuando se cubre una línea con intervalos abiertos cortos, algunos puntos deben cubrirse dos veces, dando la dimensión  n  = 1.

Pero la dimensión topológica es una medida muy burda del tamaño local de un espacio (tamaño cerca de un punto). Una curva que casi llena el espacio puede tener dimensión topológica uno, incluso si llena la mayor parte del área de una región. Un fractal tiene una dimensión topológica entera, pero en términos de la cantidad de espacio que ocupa, se comporta como un espacio de dimensiones superiores.

La dimensión de Hausdorff mide el tamaño local de un espacio teniendo en cuenta la distancia entre puntos, la métrica . Considere el número N ( r ) de bolas de radio como máximo r necesarias para cubrir X por completo. Cuando r es muy pequeño, N ( r ) crece polinomialmente con 1/ r . Para un X con un comportamiento suficientemente bueno , la dimensión de Hausdorff es el único número d tal que N( r ) crece como 1/ r ^{d a} medida que r se acerca a cero. Más precisamente, esto define la dimensión de conteo de cajas , que es igual a la dimensión de Hausdorff cuando el valor d es un límite crítico entre las tasas de crecimiento que son insuficientes para cubrir el espacio y las tasas de crecimiento que son sobreabundantes.

Para las formas que son suaves o con un pequeño número de esquinas, las formas de la geometría y la ciencia tradicionales, la dimensión de Hausdorff es un número entero que concuerda con la dimensión topológica. Pero Benoit Mandelbrot observó que los fractales , conjuntos con dimensiones de Hausdorff no enteras, se encuentran en todas partes en la naturaleza. Observó que la idealización adecuada de la mayoría de las formas rugosas que vemos a nuestro alrededor no se da en términos de formas suaves idealizadas, sino en términos de formas fractales idealizadas:

Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, la corteza no es lisa y los rayos no viajan en línea recta. ^[5]

En el caso de los fractales que se dan en la naturaleza, la dimensión de Hausdorff y la de conteo de cajas coinciden. La dimensión de empaquetamiento es otra noción similar que otorga el mismo valor para muchas formas, pero existen excepciones bien documentadas en las que todas estas dimensiones difieren. ^{[ ejemplos necesarios ]}

Definición formal

La definición formal de la dimensión de Hausdorff se obtiene definiendo primero la medida de Hausdorff de dimensión d , un análogo de dimensión fraccionaria de la medida de Lebesgue . Primero, se construye una medida externa : Sea un espacio métrico . Si y , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subset X}$ ${\displaystyle d\in [0,\infty )}$

${\displaystyle H_{\delta }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{i})^{d}:\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supseteq S,\operatorname {diam} U_{i}<\delta \right\},}$

donde el ínfimo se toma sobre todas las coberturas contables de . La medida exterior d-dimensional de Hausdorff se define entonces como , y la restricción de la aplicación a conjuntos mensurables la justifica como una medida, llamada la Medida de Hausdorff -dimensional. ^[6] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)}$ ${\displaystyle d}$

Dimensión de Hausdorff

La dimensión de Hausdorff de se define por ${\displaystyle \dim _{\operatorname {H} }{(X)}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \dim _{\operatorname {H} }{(X)}:=\inf\{d\geq 0:{\mathcal {H}}^{d}(X)=0\}.}$

Esto es lo mismo que el supremo del conjunto de tal que la medida de Hausdorff -dimensional de es infinita (excepto que cuando este último conjunto de números está vacío la dimensión de Hausdorff es cero). ${\displaystyle d\in [0,\infty )}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$

Contenido de Hausdorff

El contenido ilimitado de Hausdorff en dimensiones se define por ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle C_{H}^{d}(S):=H_{\infty }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{k})^{d}:\bigcup _{k=1}^{\infty }U_{k}\supseteq S\right\}}$

En otras palabras, tiene la construcción de la medida de Hausdorff donde se permite que los conjuntos de cobertura tengan tamaños arbitrariamente grandes (aquí, utilizamos la convención estándar de que ). ^[7] La ​​medida de Hausdorff y el contenido de Hausdorff se pueden usar para determinar la dimensión de un conjunto, pero si la medida del conjunto no es cero, sus valores reales pueden diferir. ${\displaystyle C_{H}^{d}(S)}$ ${\displaystyle \inf \varnothing =\infty }$

Ejemplos

Dimensión de otro ejemplo fractal . El triángulo de Sierpinski , un objeto con dimensión de Hausdorff de log(3)/log(2)≈1,58. ^[4]

• Los conjuntos contables tienen dimensión de Hausdorff 0. ^[8]
• El espacio euclidiano tiene dimensión de Hausdorff , y el círculo tiene dimensión de Hausdorff 1. ^[8] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{1}}$
• Los fractales a menudo son espacios cuya dimensión de Hausdorff excede estrictamente la dimensión topológica . ^[5] Por ejemplo, el conjunto de Cantor , un espacio topológico de dimensión cero , es una unión de dos copias de sí mismo, cada copia reducida por un factor de 1/3; por lo tanto, se puede demostrar que su dimensión de Hausdorff es ln(2)/ln(3) ≈ 0,63. ^[9] El triángulo de Sierpinski es una unión de tres copias de sí mismo, cada copia reducida por un factor de 1/2; esto produce una dimensión de Hausdorff de ln(3)/ln(2) ≈ 1,58. ^[1] Estas dimensiones de Hausdorff están relacionadas con el "exponente crítico" del teorema de Master para resolver relaciones de recurrencia en el análisis de algoritmos .
• Las curvas que llenan el espacio, como la curva de Peano, tienen la misma dimensión de Hausdorff que el espacio que llenan.
• Se supone que la trayectoria del movimiento browniano en dimensión 2 y superior es de dimensión 2 de Hausdorff. ^[10]

Estimación de la dimensión de Hausdorff de la costa de Gran Bretaña

• Lewis Fry Richardson realizó experimentos detallados para medir la dimensión aproximada de Hausdorff en varias costas. Sus resultados variaron desde 1,02 para la costa de Sudáfrica hasta 1,25 para la costa oeste de Gran Bretaña . ^[5]

Propiedades de la dimensión de Hausdorff

Dimensión de Hausdorff y dimensión inductiva

Sea X un espacio métrico separable arbitrario . Existe una noción topológica de dimensión inductiva para X que se define recursivamente. Siempre es un entero (o +∞) y se denota dim _ind ( X ).

Teorema . Supóngase que X no es vacío. Entonces

${\displaystyle \dim _{\mathrm {Haus} }(X)\geq \dim _{\operatorname {ind} }(X).}$

Además,

${\displaystyle \inf _{Y}\dim _{\operatorname {Haus} }(Y)=\dim _{\operatorname {ind} }(X),}$

donde Y se extiende sobre espacios métricos homeomorfos a X . En otras palabras, X e Y tienen el mismo conjunto subyacente de puntos y la métrica d _Y de Y es topológicamente equivalente a d _X .

Estos resultados fueron establecidos originalmente por Edward Szpilrajn (1907-1976), por ejemplo, véase Hurewicz y Wallman, Capítulo VII. ^{[ cita completa necesaria ]}

Dimensión de Hausdorff y dimensión de Minkowski

La dimensión de Minkowski es similar a la dimensión de Hausdorff y al menos tan grande como ella, y son iguales en muchas situaciones. Sin embargo, el conjunto de puntos racionales en [0, 1] tiene dimensión de Hausdorff cero y dimensión de Minkowski uno. También hay conjuntos compactos para los que la dimensión de Minkowski es estrictamente mayor que la dimensión de Hausdorff.

Dimensiones de Hausdorff y medidas de Frostman

Si hay una medida μ definida en subconjuntos de Borel de un espacio métrico X tal que μ ( X ) > 0 y μ ( B ( x , r )) ≤ r ^s se cumple para alguna constante s > 0 y para cada bola B ( x , r ) en X , entonces dim _Haus ( X ) ≥ s . El lema de Frostman proporciona una recíproca parcial . ^{[ cita requerida ] [11]}

Comportamiento en el marco de sindicatos y productos

Si es una unión finita o contable, entonces ${\displaystyle X=\bigcup _{i\in I}X_{i}}$

${\displaystyle \dim _{\operatorname {Haus} }(X)=\sup _{i\in I}\dim _{\operatorname {Haus} }(X_{i}).}$

Esto se puede verificar directamente desde la definición.

Si X e Y son espacios métricos no vacíos, entonces la dimensión de Hausdorff de su producto satisface ^[12]

${\displaystyle \dim _{\operatorname {Haus} }(X\times Y)\geq \dim _{\operatorname {Haus} }(X)+\dim _{\operatorname {Haus} }(Y).}$

Esta desigualdad puede ser estricta. Es posible encontrar dos conjuntos de dimensión 0 cuyo producto tenga dimensión 1. ^[13] En la dirección opuesta, se sabe que cuando X e Y son subconjuntos de Borel de R ⁿ , la dimensión de Hausdorff de X × Y está acotada desde arriba por la dimensión de Hausdorff de X más la dimensión de empaquetamiento superior de Y . Estos hechos se analizan en Mattila (1995).

Conjuntos autosimilares

Muchos conjuntos definidos por una condición de autosimilitud tienen dimensiones que se pueden determinar explícitamente. En términos generales, un conjunto E es autosimilar si es el punto fijo de una transformación de conjunto ψ, es decir ψ( E ) = E , aunque la definición exacta se da a continuación.

Teorema . Supongamos

${\displaystyle \psi _{i}:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n},\quad i=1,\ldots ,m}$

son cada uno una aplicación de contracción en R ⁿ con constante de contracción r _i < 1. Entonces existe un único conjunto compacto no vacío A tal que

${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(A).}$

El teorema se deriva del teorema de punto fijo de aplicación contractiva de Stefan Banach aplicado al espacio métrico completo de subconjuntos compactos no vacíos de R ⁿ con la distancia de Hausdorff . ^[14]

La condición de conjunto abierto

Para determinar la dimensión del conjunto autosimilar A (en ciertos casos), necesitamos una condición técnica llamada condición de conjunto abierto (OSC) en la secuencia de contracciones ψ _i .

Existe un conjunto abierto V con cierre compacto, tal que

${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(V)\subseteq V,}$

donde los conjuntos en unión de la izquierda son disjuntos por pares .

La condición de conjunto abierto es una condición de separación que garantiza que las imágenes ψ _i ( V ) no se superpongan "demasiado".

Teorema . Supóngase que se cumple la condición de conjunto abierto y que cada ψ _i es una semejanza, es decir, una composición de una isometría y una dilatación alrededor de algún punto. Entonces, el único punto fijo de ψ es un conjunto cuya dimensión de Hausdorff es s , donde s es la única solución de ^[15]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}r_{i}^{s}=1.}$

El coeficiente de contracción de una similitud es la magnitud de la dilatación.

En general, un conjunto E que se lleva sobre sí mismo mediante una aplicación

${\displaystyle A\mapsto \psi (A)=\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(A)}$

es autosimilar si y sólo si las intersecciones satisfacen la siguiente condición:

${\displaystyle H^{s}\left(\psi _{i}(E)\cap \psi _{j}(E)\right)=0,}$

donde s es la dimensión de Hausdorff de E y H ^s denota la medida de Hausdorff de dimensión s . Esto es claro en el caso de la junta de Sierpinski (las intersecciones son solo puntos), pero también es cierto de manera más general:

Teorema . En las mismas condiciones que el teorema anterior, el único punto fijo de ψ es autosimilar.

Véase también

• Lista de fractales por dimensión de Hausdorff Ejemplos de fractales deterministas, fractales aleatorios y naturales.
• Dimensión de Assouad , otra variación de la dimensión fractal que, al igual que la dimensión de Hausdorff, se define utilizando recubrimientos de bolas.
• Dimensión intrínseca
• Dimensiones del embalaje
• Dimensión fractal

Referencias

1. MacGregor Campbell, 2013, "5.6 Escalamiento y la dimensión de Hausdorff", en Annenberg Learner:MATHematics illuminated , véase [1], consultado el 5 de marzo de 2015.
2. Gneiting, Tilmann; Ševčíková, Hana; Percival, Donald B. (2012). "Estimadores de dimensión fractal: evaluación de la rugosidad de series temporales y datos espaciales". Ciencia estadística . 27 (2): 247–277. arXiv : 1101.1444 . doi :10.1214/11-STS370. S2CID  88512325.
3. Larry Riddle, 2014, "Classic Iterated Function Systems: Koch Snowflake", Agnes Scott College e-Academy (en línea), véase [2], consultado el 5 de marzo de 2015.
4. Keith Clayton, 1996, "Fractales y la dimensión fractal", Conceptos básicos en dinámica no lineal y caos (taller), reunión anual de la Sociedad para la teoría del caos en psicología y las ciencias de la vida, 28 de junio de 1996, Berkeley, California, véase [3], consultado el 5 de marzo de 2015.
5. Mandelbrot, Benoît (1982). La geometría fractal de la naturaleza . Apuntes de clase de matemáticas 1358. WH Freeman. ISBN 0-7167-1186-9.
6. Briggs, Jimmy; Tyree, Tim (3 de diciembre de 2016). "Medida de Hausdorff" (PDF) . Universidad de Washington . Consultado el 3 de febrero de 2022 .
7. Farkas, Abel; Fraser, Jonathan (30 de julio de 2015). "Sobre la igualdad de la medida de Hausdorff y el contenido de Hausdorff". arXiv : 1411.0867 [math.MG].
8. Schleicher, Dierk (junio de 2007). "Dimensión de Hausdorff, sus propiedades y sus sorpresas". The American Mathematical Monthly . 114 (6): 509–528. arXiv : math/0505099 . doi :10.1080/00029890.2007.11920440. ISSN  0002-9890. S2CID  9811750.
9. Falconer, Kenneth (2003). Geometría fractal: fundamentos matemáticos y aplicaciones (2.ª ed.). John Wiley and Sons .
10. Morters, Peres (2010). Movimiento browniano . Cambridge University Press .
11. Este artículo de Wikipedia también analiza otras caracterizaciones útiles de la dimensión de Hausdorff. ^{[ aclaración necesaria ]}
12. Marstrand, JM (1954). "La dimensión de los conjuntos de productos cartesianos". Proc. Cambridge Philos. Soc . 50 (3): 198–202. Bibcode :1954PCPS...50..198M. doi :10.1017/S0305004100029236. S2CID  122475292.
13. Falconer, Kenneth J. (2003). Geometría fractal. Fundamentos y aplicaciones matemáticas . John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, Nueva Jersey.
14. Falconer, KJ (1985). "Teorema 8.3". La geometría de los conjuntos fractales . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 0-521-25694-1.
15. Hutchinson, John E. (1981). "Fractales y autosimilitud". Indiana Univ. Math. J . 30 (5): 713–747. doi : 10.1512/iumj.1981.30.30055 .

Lectura adicional

• Dodson, M. Maurice; Kristensen, Simon (12 de junio de 2003). "Dimensión de Hausdorff y aproximación diofántica". Geometría fractal y aplicaciones: un jubileo de Benoît Mandelbrot . Actas de simposios sobre matemáticas puras. Vol. 72. págs. 305–347. arXiv : math/0305399 . Bibcode :2003math......5399D. doi :10.1090/pspum/072.1/2112110. ISBN: 9780821836378.S2CID119613948  .​
• Hurewicz, Witold ; Wallman, Henry (1948). Teoría de la dimensión. Princeton University Press.
• E. Szpilrajn (1937). "La dimensión y la medida". Fundamentos Mathematicae . 28 : 81–9. doi : 10.4064/fm-28-1-81-89 .
• Marstrand, JM (1954). "La dimensión de los conjuntos de productos cartesianos". Proc. Cambridge Philos. Soc . 50 (3): 198–202. Bibcode :1954PCPS...50..198M. doi :10.1017/S0305004100029236. S2CID  122475292.
• Mattila, Pertti (1995). Geometría de conjuntos y medidas en espacios euclidianos . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-65595-8.
• AS Besicovitch (1929). "Sobre conjuntos lineales de puntos de dimensiones fraccionarias". Mathematische Annalen . 101 (1): 161–193. doi :10.1007/BF01454831. S2CID  125368661.
• AS Besicovitch ; HD Ursell (1937). "Conjuntos de dimensiones fraccionarias". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 12 (1): 18–25. doi :10.1112/jlms/s1-12.45.18.
  Varias selecciones de este volumen se han reimpreso en Edgar, Gerald A. (1993). Classics on fractals . Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-58701-7.Ver capítulos 9, 10 y 11.
• F. Hausdorff (marzo de 1919). "Dimension und äußeres Maß" (PDF) . Annalen Matemáticas . 79 (1–2): 157–179. doi :10.1007/BF01457179. hdl :10338.dmlcz/100363. S2CID  122001234.
• Hutchinson, John E. (1981). "Fractales y autosimilitud". Indiana Univ. Math. J . 30 (5): 713–747. doi : 10.1512/iumj.1981.30.30055 .
• Falconer, Kenneth (2003). Geometría fractal: fundamentos matemáticos y aplicaciones (2.ª ed.). John Wiley and Sons .

Enlaces externos

• Dimensión de Hausdorff en la Enciclopedia de Matemáticas
• Medida de Hausdorff en la Enciclopedia de Matemáticas