Dimensión de Assouad

La dimensión de Assouad del triángulo de Sierpiński es igual a su dimensión de Hausdorff , . En la ilustración, vemos que para una elección particular de r , R y x , Para otras elecciones, la constante C puede ser mayor que 1, pero aún está acotada. ${\displaystyle \alpha ={\frac {\log(3)}{\log(2)}}}$ $${\displaystyle N_{r}(B_{R}(x)\cap E)=3=2^{\alpha }=\left({\frac {R}{r}}\right)^{\alpha }.}$$

En matemáticas —específicamente, en geometría fractal— la dimensión de Assouad es una definición de dimensión fractal para subconjuntos de un espacio métrico . Fue introducida por Patrice Assouad en su tesis doctoral de 1977 y publicada posteriormente en 1979, ^[1] aunque la misma noción había sido estudiada en 1928 por Georges Bouligand . ^[2] Además de usarse para estudiar fractales, la dimensión de Assouad también se ha usado para estudiar aplicaciones cuasiconformales y problemas de incrustabilidad .

Definición

La dimensión Assouad de , es el ínfimo de todos los que son -homogéneos para algún . ^[3] ${\displaystyle X,d_{A}(X)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (X,\varsigma )}$ ${\displaystyle (M,s)}$ ${\displaystyle M\geq 1}$

Sea un espacio métrico y sea E un subconjunto no vacío de X. Para r > 0 , sea el menor número de bolas métricas abiertas de radio menor o igual a r con el que es posible cubrir el conjunto E. La dimensión de Assouad de E se define como el mínimo para el que existen constantes positivas C y de modo que, siempre que se cumpla la siguiente cota: ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle N_{r}(E)}$ ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle 0<r<R\leq \rho ,}$$ $${\displaystyle \sup _{x\in E}N_{r}(B_{R}(x)\cap E)\leq C\left({\frac {R}{r}}\right)^{\alpha }.}$$

La intuición que subyace a esta definición es que, para un conjunto E con dimensión entera "ordinaria" n , el número de bolas pequeñas de radio r necesarias para cubrir la intersección de una bola más grande de radio R con E escalará como ( R / r ) ⁿ .

Relaciones con otras nociones de dimensión

• La dimensión de Assouad de un espacio métrico es siempre mayor o igual que su dimensión de Assouad–Nagata . ^[4]
• La dimensión de Assouad de un espacio métrico es siempre mayor o igual que la dimensión de su caja superior , que a su vez es mayor o igual que la dimensión de Hausdorff . ^[5]
• La dimensión de recubrimiento de Lebesgue de un espacio metrizable X es la dimensión mínima de Assouad de cualquier métrica en X. En particular, para cada espacio metrizable hay una métrica para la cual la dimensión de Assouad es igual a la dimensión de recubrimiento de Lebesgue. ^[5]

Referencias

1. Assouad, Patrice (1979). "Étude d'une dimension métrique liée à la possibilité de plongements dans R ⁿ ". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série AB (en francés). 288 (15): A731 – A734. ISSN  0151-0509. Señor 532401
2. Bouligand, Georges (1928). "Conjuntos impropres et nombre dimensionnel". Bulletin des Sciences Mathématiques (en francés). 52 : 320–344.
3. Robinson, James C. (2010). Dimensiones, incrustaciones y atractores. Cambridge University Press. pág. 85. ISBN 9781139495189.
4. Le Donne, Enrico; Rajala, Tapio (2015). "Dimensión de Assouad, dimensión de Nagata y tangentes métricas uniformemente cercanas". Revista de Matemáticas de la Universidad de Indiana . 64 (1): 21–54. arXiv : 1306.5859 . doi :10.1512/iumj.2015.64.5469. S2CID  55039643.
5. Luukkainen, Jouni (1998). "Dimensión de Assouad: metrización antifractal, conjuntos porosos y medidas homogéneas". Revista de la Sociedad Coreana de Matemáticas . 35 (1): 23–76. ISSN  0304-9914.

Lectura adicional

• Fraser, Jonathan M. (2020). Dimensión de Assouad y geometría fractal . Cambridge University Press. doi :10.1017/9781108778459. ISBN 9781108478656. Número de identificación del sujeto  218571013.