Serie de Hilbert y polinomio de Hilbert

Herramienta en la teoría de la dimensión matemática

En álgebra conmutativa , la función de Hilbert , el polinomio de Hilbert y la serie de Hilbert de un álgebra conmutativa graduada generada finitamente sobre un campo son tres nociones fuertemente relacionadas que miden el crecimiento de la dimensión de los componentes homogéneos del álgebra.

Estas nociones se han extendido a álgebras filtradas y módulos graduados o filtrados sobre estas álgebras, así como a haces coherentes sobre esquemas proyectivos .

Las situaciones típicas en las que se utilizan estas nociones son las siguientes:

• El cociente por un ideal homogéneo de un anillo de polinomios multivariados , graduado por el grado total.
• El cociente por un ideal de un anillo polinomial multivariado, filtrado por el grado total.
• La filtración de un anillo local por las potencias de su ideal máximo . En este caso, el polinomio de Hilbert se denomina polinomio de Hilbert-Samuel .

La serie de Hilbert de un álgebra o un módulo es un caso especial de la serie de Hilbert-Poincaré de un espacio vectorial graduado .

El polinomio de Hilbert y la serie de Hilbert son importantes en la geometría algebraica computacional , ya que son la forma más sencilla conocida de calcular la dimensión y el grado de una variedad algebraica definida por ecuaciones polinómicas explícitas. Además, proporcionan invariantes útiles para familias de variedades algebraicas porque una familia plana tiene el mismo polinomio de Hilbert sobre cualquier punto cerrado . Esto se utiliza en la construcción del esquema de Hilbert y el esquema Quot . ${\displaystyle \pi :X\to S}$ ${\displaystyle s\in S}$

Definiciones y propiedades principales

Consideremos un álgebra conmutativa graduada finitamente generada S sobre un cuerpo K , que es finitamente generado por elementos de grado positivo. Esto significa que

${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}$

y eso . ${\displaystyle S_{0}=K}$

La función de Hilbert

${\displaystyle HF_{S}:n\longmapsto \dim _{K}S_{n}}$

asigna el entero n a la dimensión del espacio vectorial K S _n . La serie de Hilbert, que se denomina serie de Hilbert-Poincaré en el contexto más general de los espacios vectoriales graduados, es la serie formal

${\displaystyle HS_{S}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }HF_{S}(n)t^{n}.}$

Si S está generado por h elementos homogéneos de grados positivos , entonces la suma de la serie de Hilbert es una fracción racional ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{h}}$

${\displaystyle HS_{S}(t)={\frac {Q(t)}{\prod _{i=1}^{h}\left(1-t^{d_{i}}\right)}},}$

donde Q es un polinomio con coeficientes enteros.

Si S está generado por elementos de grado 1, entonces la suma de la serie de Hilbert puede reescribirse como

${\displaystyle HS_{S}(t)={\frac {P(t)}{(1-t)^{\delta }}},}$

donde P es un polinomio con coeficientes enteros y es la dimensión de Krull de S. ${\displaystyle \delta }$

En este caso la expansión en serie de esta fracción racional es

${\displaystyle HS_{S}(t)=P(t)\left(1+\delta t+\cdots +{\binom {n+\delta -1}{\delta -1}}t^{n}+\cdots \right)}$

dónde

${\displaystyle {\binom {n+\delta -1}{\delta -1}}={\frac {(n+\delta -1)(n+\delta -2)\cdots (n+1)}{(\delta -1)!}}}$

es el coeficiente binomial para y es 0 en caso contrario. ${\displaystyle n>-\delta ,}$

Si

${\displaystyle P(t)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}t^{i},}$

El coeficiente de in es entonces ${\displaystyle t^{n}}$ ${\displaystyle HS_{S}(t)}$

${\displaystyle HF_{S}(n)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}{\binom {n-i+\delta -1}{\delta -1}}.}$

Para el término de índice i en esta suma hay un polinomio en n de grado con coeficiente principal Esto demuestra que existe un único polinomio con coeficientes racionales que es igual a para n suficientemente grande. Este polinomio es el polinomio de Hilbert y tiene la forma ${\displaystyle n\geq i-\delta +1,}$ ${\displaystyle \delta -1}$ ${\displaystyle a_{i}/(\delta -1)!.}$ ${\displaystyle HP_{S}(n)}$ ${\displaystyle HF_{S}(n)}$

${\displaystyle HP_{S}(n)={\frac {P(1)}{(\delta -1)!}}n^{\delta -1}+{\text{ terms of lower degree in }}n.}$

El menor n ₀ tal que para n ≥ n ₀ se llama regularidad de Hilbert . Puede ser menor que . ${\displaystyle HP_{S}(n)=HF_{S}(n)}$ ${\displaystyle \deg P-\delta +1}$

El polinomio de Hilbert es un polinomio numérico , ya que las dimensiones son números enteros, pero el polinomio casi nunca tiene coeficientes enteros (Schenck 2003, pp. 41).

Todas estas definiciones pueden extenderse a módulos graduados finitamente generados sobre S , con la única diferencia de que aparece un factor t ^m en la serie de Hilbert, donde m es el grado mínimo de los generadores del módulo, que puede ser negativo.

La función de Hilbert , la serie de Hilbert y el polinomio de Hilbert de un álgebra filtrada son los del álgebra graduada asociada.

El polinomio de Hilbert de una variedad proyectiva V en P ⁿ se define como el polinomio de Hilbert del anillo de coordenadas homogéneo de V .

Álgebra graduada y anillos polinómicos

Los anillos polinómicos y sus cocientes por ideales homogéneos son álgebras graduadas típicas. Por el contrario, si S es un álgebra graduada generada sobre el cuerpo K por n elementos homogéneos g ₁ , ..., g _n de grado 1, entonces la función que envía X _i sobre g _i define un homomorfismo de anillos graduados de sobre S . Su núcleo es un ideal homogéneo I y éste define un isomorfismo de álgebra graduada entre y S . ${\displaystyle R_{n}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle R_{n}/I}$

Así pues, las álgebras graduadas generadas por elementos de grado 1 son exactamente, salvo isomorfismo, los cocientes de anillos de polinomios por ideales homogéneos. Por tanto, el resto de este artículo se limitará a los cocientes de anillos de polinomios por ideales.

Propiedades de la serie de Hilbert

Aditividad

Las series de Hilbert y los polinomios de Hilbert son aditivos con respecto a las secuencias exactas . Más precisamente, si

${\displaystyle 0\;\rightarrow \;A\;\rightarrow \;B\;\rightarrow \;C\;\rightarrow \;0}$

es una secuencia exacta de módulos calificados o filtrados, entonces tenemos

${\displaystyle HS_{B}=HS_{A}+HS_{C}}$

y

${\displaystyle HP_{B}=HP_{A}+HP_{C}.}$

Esto se desprende inmediatamente de la misma propiedad para la dimensión de los espacios vectoriales.

Cociente por un divisor distinto de cero

Sea A un álgebra graduada y f un elemento homogéneo de grado d en A que no es divisor de cero . Entonces tenemos

${\displaystyle HS_{A/(f)}(t)=(1-t^{d})\,HS_{A}(t)\,.}$

Se deduce de la aditividad en la secuencia exacta.

${\displaystyle 0\;\rightarrow \;A^{[d]}\;{\xrightarrow {f}}\;A\;\rightarrow \;A/f\rightarrow \;0\,,}$

donde la flecha marcada f es la multiplicación por f , y es el módulo graduado que se obtiene de A al desplazar los grados por d , de modo que la multiplicación por f tenga grado 0. Esto implica que ${\displaystyle A^{[d]}}$ ${\displaystyle HS_{A^{[d]}}(t)=t^{d}\,HS_{A}(t)\,.}$

Serie de Hilbert y polinomio de Hilbert de un anillo de polinomios

La serie de Hilbert del anillo de polinomios en indeterminados es ${\displaystyle R_{n}=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle HS_{R_{n}}(t)={\frac {1}{(1-t)^{n}}}\,.}$

De ello se deduce que el polinomio de Hilbert es

${\displaystyle HP_{R_{n}}(k)={{k+n-1} \choose {n-1}}={\frac {(k+1)\cdots (k+n-1)}{(n-1)!}}\,.}$

La prueba de que la serie de Hilbert tiene esta forma simple se obtiene aplicando recursivamente la fórmula anterior para el cociente por un divisor distinto de cero (aquí ) y observando que ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle HS_{K}(t)=1\,.}$

Forma de la serie de Hilbert y dimensión

Un álgebra graduada A generada por elementos homogéneos de grado 1 tiene dimensión de Krull cero si el ideal homogéneo máximo, es decir el ideal generado por los elementos homogéneos de grado 1, es nilpotente . Esto implica que la dimensión de A como espacio vectorial K es finita y la serie de Hilbert de A es un polinomio P ( t ) tal que P (1) es igual a la dimensión de A como espacio vectorial K.

Si la dimensión de Krull de A es positiva, existe un elemento homogéneo f de grado uno que no es divisor de cero (de hecho, casi todos los elementos de grado uno tienen esta propiedad). La dimensión de Krull de A / (f) es la dimensión de Krull de A menos uno.

La aditividad de la serie de Hilbert muestra que . Iterando esto un número de veces igual a la dimensión de Krull de A , obtenemos finalmente un álgebra de dimensión 0 cuya serie de Hilbert es un polinomio P ( t ) . Esto muestra que la serie de Hilbert de A es ${\displaystyle HS_{A/(f)}(t)=(1-t)\,HS_{A}(t)}$

${\displaystyle HS_{A}(t)={\frac {P(t)}{(1-t)^{d}}}}$

donde el polinomio P ( t ) es tal que P (1) ≠ 0 y d es la dimensión de Krull de A .

Esta fórmula para la serie de Hilbert implica que el grado del polinomio de Hilbert es d y que su coeficiente principal es . ${\displaystyle {\frac {P(1)}{d!}}}$

Grado de una variedad proyectiva y teorema de Bézout

La serie de Hilbert nos permite calcular el grado de una variedad algebraica como el valor en 1 del numerador de la serie de Hilbert. Esto también proporciona una demostración bastante simple del teorema de Bézout .

Para mostrar la relación entre el grado de un conjunto algebraico proyectivo y la serie de Hilbert, considérese un conjunto algebraico proyectivo V , definido como el conjunto de los ceros de un ideal homogéneo , donde k es un campo, y sea el anillo de las funciones regulares en el conjunto algebraico. ${\displaystyle I\subset k[x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle R=k[x_{0},\ldots ,x_{n}]/I}$

En esta sección no se necesita la irreducibilidad de los conjuntos algebraicos ni la primalidad de los ideales. Además, como las series de Hilbert no se modifican al extender el campo de coeficientes, se supone que el campo k es algebraicamente cerrado sin pérdida de generalidad.

La dimensión d de V es igual a la dimensión de Krull menos uno de R , y el grado de V es el número de puntos de intersección, contados con multiplicidades, de V con la intersección de hiperplanos en posición general . Esto implica la existencia, en R , de una sucesión regular de d + 1 polinomios homogéneos de grado uno. La definición de sucesión regular implica la existencia de sucesiones exactas ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle h_{0},\ldots ,h_{d}}$

${\displaystyle 0\longrightarrow \left(R/\langle h_{0},\ldots ,h_{k-1}\rangle \right)^{[1]}{\stackrel {h_{k}}{\longrightarrow }}R/\langle h_{1},\ldots ,h_{k-1}\rangle \longrightarrow R/\langle h_{1},\ldots ,h_{k}\rangle \longrightarrow 0,}$

Porque esto implica que ${\displaystyle k=0,\ldots ,d.}$

${\displaystyle HS_{R/\langle h_{0},\ldots ,h_{d-1}\rangle }(t)=(1-t)^{d}\,HS_{R}(t)={\frac {P(t)}{1-t}},}$

donde es el numerador de la serie de Hilbert de R . ${\displaystyle P(t)}$

El anillo tiene dimensión de Krull uno, y es el anillo de funciones regulares de un conjunto algebraico proyectivo de dimensión 0 que consiste en un número finito de puntos, que pueden ser múltiples puntos. Como pertenece a una sucesión regular, ninguno de estos puntos pertenece al hiperplano de ecuación El complemento de este hiperplano es un espacio afín que contiene Esto forma un conjunto algebraico afín , que tiene como anillo de funciones regulares. El polinomio lineal no es divisor de cero en y uno tiene por tanto una sucesión exacta ${\displaystyle R_{1}=R/\langle h_{0},\ldots ,h_{d-1}\rangle }$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle h_{d}}$ ${\displaystyle h_{d}=0.}$ ${\displaystyle V_{0}.}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle R_{0}=R_{1}/\langle h_{d}-1\rangle }$ ${\displaystyle h_{d}-1}$ ${\displaystyle R_{1},}$

${\displaystyle 0\longrightarrow R_{1}{\stackrel {h_{d}-1}{\longrightarrow }}R_{1}\longrightarrow R_{0}\longrightarrow 0,}$

Lo que implica que

${\displaystyle HS_{R_{0}}(t)=(1-t)HS_{R_{1}}(t)=P(t).}$

Aquí utilizamos la serie de Hilbert de álgebras filtradas y el hecho de que la serie de Hilbert de un álgebra graduada es también su serie de Hilbert como álgebra filtrada.

Por lo tanto , es un anillo artiniano , que es un espacio vectorial k de dimensión P (1) , y el teorema de Jordan-Hölder puede usarse para demostrar que P (1) es el grado del conjunto algebraico V. De hecho, la multiplicidad de un punto es el número de ocurrencias del ideal maximal correspondiente en una serie de composición . ${\displaystyle R_{0}}$

Para demostrar el teorema de Bézout, se puede proceder de manera similar. Si es un polinomio homogéneo de grado , que no es divisor de cero en R , la secuencia exacta ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle 0\longrightarrow R^{[\delta ]}{\stackrel {f}{\longrightarrow }}R\longrightarrow R/\langle f\rangle \longrightarrow 0,}$

muestra que

${\displaystyle HS_{R/\langle f\rangle }(t)=\left(1-t^{\delta }\right)HS_{R}(t).}$

Mirando los numeradores esto demuestra la siguiente generalización del teorema de Bézout:

Teorema - Si f es un polinomio homogéneo de grado , que no es divisor de cero en R , entonces el grado de la intersección de V con la hipersuperficie definida por es el producto del grado de V por ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta .}$

En una forma más geométrica, esto podría resumirse así:

Teorema - Si una hipersuperficie proyectiva de grado d no contiene ningún componente irreducible de un conjunto algebraico de grado δ , entonces el grado de su intersección es dδ .

El teorema de Bézout habitual se deduce fácilmente partiendo de una hipersuperficie e intersecándola con n − 1 hipersuperficies más, una tras otra.

Intersección completa

Un conjunto algebraico proyectivo es una intersección completa si su ideal definitorio está generado por una sucesión regular . En este caso, existe una fórmula explícita simple para la serie de Hilbert.

Sean k polinomios homogéneos en , de respectivos grados. Fijando uno se tienen las siguientes sucesiones exactas ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$ ${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \delta _{1},\ldots ,\delta _{k}.}$ ${\displaystyle R_{i}=R/\langle f_{1},\ldots ,f_{i}\rangle ,}$

${\displaystyle 0\;\rightarrow \;R_{i-1}^{[\delta _{i}]}\;{\xrightarrow {f_{i}}}\;R_{i-1}\;\rightarrow \;R_{i}\;\rightarrow \;0\,.}$

La aditividad de la serie de Hilbert implica lo siguiente

${\displaystyle HS_{R_{i}}(t)=(1-t^{\delta _{i}})HS_{R_{i-1}}(t)\,.}$

Una recursión simple da

${\displaystyle HS_{R_{k}}(t)={\frac {(1-t^{\delta _{1}})\cdots (1-t^{\delta _{k}})}{(1-t)^{n}}}={\frac {(1+t+\cdots +t^{\delta _{1}})\cdots (1+t+\cdots +t^{\delta _{k}})}{(1-t)^{n-k}}}\,.}$

Esto demuestra que la intersección completa definida por una secuencia regular de k polinomios tiene una codimensión de k , y que su grado es el producto de los grados de los polinomios en la secuencia.

Relación con resoluciones libres

Cada módulo graduado M sobre un anillo regular graduado R tiene una resolución libre graduada debido al teorema de sicigia de Hilbert , lo que significa que existe una secuencia exacta

${\displaystyle 0\to L_{k}\to \cdots \to L_{1}\to M\to 0,}$

donde los son módulos libres graduados y las flechas son mapas lineales graduados de grado cero. ${\displaystyle L_{i}}$

La aditividad de las series de Hilbert implica que

${\displaystyle HS_{M}(t)=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}HS_{L_{i}}(t).}$

Si es un anillo polinómico, y si se conocen los grados de los elementos base de entonces las fórmulas de las secciones anteriores permiten deducir de De hecho, estas fórmulas implican que, si un módulo libre graduado L tiene una base de h elementos homogéneos de grados entonces su serie de Hilbert es ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle L_{i},}$ ${\displaystyle HS_{M}(t)}$ ${\displaystyle HS_{R}(t)=1/(1-t)^{n}.}$ ${\displaystyle \delta _{1},\ldots ,\delta _{h},}$

${\displaystyle HS_{L}(t)={\frac {t^{\delta _{1}}+\cdots +t^{\delta _{h}}}{(1-t)^{n}}}.}$

Estas fórmulas pueden considerarse como una forma de calcular la serie de Hilbert, pero rara vez es así, ya que con los algoritmos conocidos, el cálculo de la serie de Hilbert y el cálculo de una resolución libre parten de la misma base de Gröbner , a partir de la cual la serie de Hilbert puede calcularse directamente con una complejidad computacional que no es mayor que la complejidad del cálculo de la resolución libre.

Cálculo de la serie de Hilbert y del polinomio de Hilbert

El polinomio de Hilbert se deduce fácilmente de la serie de Hilbert (véase más arriba). Esta sección describe cómo se puede calcular la serie de Hilbert en el caso de un cociente de un anillo de polinomios, filtrado o graduado por el grado total.

Sea entonces K un cuerpo, un anillo de polinomios e I un ideal en R . Sea H el ideal homogéneo generado por las partes homogéneas de mayor grado de los elementos de I . Si I es homogéneo, entonces H = I . Finalmente, sea B una base de Gröbner de I para un ordenamiento monomial que refina el ordenamiento parcial de grado total y G el ideal (homogéneo) generado por los monomios principales de los elementos de B . ${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

El cálculo de la serie de Hilbert se basa en el hecho de que el álgebra filtrada R/I y las álgebras graduadas R/H y R/G tienen la misma serie de Hilbert .

De este modo, el cálculo de la serie de Hilbert se reduce, mediante el cálculo de una base de Gröbner, al mismo problema para un ideal generado por monomios, que suele ser mucho más fácil que el cálculo de la base de Gröbner. La complejidad computacional de todo el cálculo depende principalmente de la regularidad, que es el grado del numerador de la serie de Hilbert. De hecho, la base de Gröbner puede calcularse mediante álgebra lineal sobre los polinomios de grado acotado por la regularidad.

El cálculo de series de Hilbert y polinomios de Hilbert está disponible en la mayoría de los sistemas de álgebra computacional . Por ejemplo, en Maple y Magma, estas funciones se denominan HilbertSeries y HilbertPolynomial .

Generalización a haces coherentes

En geometría algebraica , los anillos graduados generados por elementos de grado 1 producen esquemas proyectivos por construcción Proj mientras que los módulos graduados finitamente generados corresponden a haces coherentes. Si es un haz coherente sobre un esquema proyectivo X , definimos el polinomio de Hilbert de como una función , donde χ es la característica de Euler del haz coherente, y un giro de Serre . La característica de Euler en este caso es un número bien definido por el teorema de finitud de Grothendieck . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle p_{\mathcal {F}}(m)=\chi (X,{\mathcal {F}}(m))}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(m)}$

Esta función es, en efecto, un polinomio. ^[1] Para valores grandes de m, coincide con dim según el teorema de desaparición de Serre . Si M es un módulo graduado finitamente generado y el haz coherente asociado, las dos definiciones de polinomio de Hilbert coinciden. ${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {F}}(m))}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$

Resoluciones libres graduadas

Dado que la categoría de haces coherentes en una variedad proyectiva es equivalente a la categoría de módulos graduados módulo un número finito de piezas graduadas, podemos usar los resultados de la sección anterior para construir polinomios de Hilbert de haces coherentes. Por ejemplo, una intersección completa de multigrado tiene la resolución ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (d_{1},d_{2})}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-d_{1}-d_{2}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}f_{2}\\-f_{1}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-d_{1})\oplus {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-d_{2}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}&f_{2}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0}$

Véase también

• Regularidad Castelnuovo–Mumford
• Esquema de Hilbert
• Sistema de cuotas

Citas

1. Ravi Vakil (2015). Fundamentos de geometría algebraica (PDF) ., Teorema 18.6.1

Referencias

• Harris, Joe (1992). Geometría algebraica, primer curso. Springer Science . ISBN 978-0-387-97716-4.
• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa. Con vistas a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 150, Nueva York: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 0-387-94268-8, Sr.  1322960.
• Schenck, Hal (2003), Geometría algebraica computacional , Cambridge : Cambridge University Press , CiteSeerX  10.1.1.57.7472 , ISBN 978-0-521-53650-9, Sr.  0011360
• Stanley, Richard (1978), "Funciones de Hilbert de álgebras graduadas", Advances in Mathematics , vol. 28, núm. 1, págs. 57–83, doi : 10.1016/0001-8708(78)90045-2 , MR  0485835.