teorema de fubini

Condiciones para cambiar el orden de integración en cálculo.

En análisis matemático , el teorema de Fubini proporciona las condiciones bajo las cuales es posible calcular una integral doble utilizando una integral iterada . Fue introducido por Guido Fubini en 1907. Afirma que si una función es integrable de Lebesgue en un rectángulo , entonces se puede evaluar la integral doble como una integral iterada: La fórmula no es cierta en general para las integrales de Riemann , pero sí lo es si la función es continua en el rectángulo. En cálculo multivariable , este resultado más débil a veces también se denomina teorema de Fubini, aunque ya lo conocía Leonhard Euler . ${\displaystyle X\times Y}$ $${\displaystyle \,\iint \limits _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y)=\int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right){\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right){\text{d}}y.}$$

El teorema de Tonelli , introducido por Leonida Tonelli en 1909, es similar pero se aplica a una función medible no negativa en lugar de a una función integrable en su dominio. Los teoremas de Fubini y Tonelli generalmente se combinan y forman el teorema de Fubini-Tonelli, que proporciona las condiciones bajo las cuales es posible cambiar el orden de integración en una integral iterada.

Un teorema relacionado suele denominarse teorema de Fubini para series infinitas , ^[1] aunque se debe a Alfred Pringsheim , ^[2] que establece que: si es una secuencia de números reales de doble índice, y si es absolutamente convergente, entonces ${\textstyle \{a_{m,n}\}_{m=1,n=1}^{\infty }}$ ${\textstyle \displaystyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}}$

${\displaystyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }a_{m,n}}$

Aunque el teorema de Fubini para series infinitas es un caso especial del teorema de Fubini más general, no es apropiado caracterizar al primero como una consecuencia lógica del segundo. Esto se debe a que algunas propiedades de las medidas, en particular la subaditividad, a menudo se demuestran utilizando el teorema de Fubini para series infinitas. ^[3] En este caso, el teorema de Fubini para integrales es una consecuencia lógica del teorema de Fubini para series infinitas.

Historia

El caso especial del teorema de Fubini para funciones continuas sobre un producto de subconjuntos acotados cerrados de espacios vectoriales reales lo conoció Leonhard Euler en el siglo ^XVIII . En 1904, Henri Lebesgue amplió este resultado a funciones acotadas y mensurables sobre un producto de intervalos. ^[4] Levi conjeturó que el teorema podría extenderse a funciones integrables en lugar de acotadas ^{[ cita necesaria ]} y esto fue demostrado por Fubini en 1907. ^[5] En 1909, Leonida Tonelli dio una variación del teorema de Fubini que se aplica a funciones no negativas en lugar de funciones integrables. ^[6]

Medidas del producto

Si y son espacios de medida , existen varias formas naturales de definir una medida de producto en el producto . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$

En el sentido de la teoría de categorías , los conjuntos medibles en el producto de espacios de medida son los elementos del σ-álgebra generados por los productos , donde es medible en y es medible en . ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$

Una medida μ en X  ×  Y se llama medida del producto si μ ( A  ×  B ) =  μ ₁ ( A ) μ ₂ ( B ) para subconjuntos medibles A  ⊂  X y B  ⊂  Y y mide μ ₁ en X y μ ₂ en Y. ​En general, puede haber muchas medidas diferentes de productos en X  ×  Y. Tanto el teorema de Fubini como el teorema de Tonelli necesitan condiciones técnicas para evitar esta complicación; la forma más común es asumir que todos los espacios de medidas son σ -finitos , en cuyo caso hay una medida de producto única en X × Y. Siempre hay una medida de producto máxima única en X  ×  Y , donde la medida de un conjunto medible es la inf de las medidas de los conjuntos que lo contienen y que son uniones contables de productos de conjuntos medibles. La medida del producto máximo se puede construir aplicando el teorema de extensión de Carathéodory a la función aditiva μ tal que μ ( A  ×  B ) =  μ ₁ ( A ) μ ₂ ( B ) en el anillo de conjuntos generados por productos de conjuntos medibles. (El teorema de extensión de Carathéodory da una medida en un espacio de medidas que en general contiene más conjuntos medibles que el espacio de medidas X  ×  Y , por lo que estrictamente hablando, la medida debe restringirse al σ-álgebra generada por los productos A  ×  B de subconjuntos medibles de X e Y. )

El producto de dos espacios de medida completos no suele ser completo. Por ejemplo, el producto de la medida de Lebesgue en el intervalo unitario I consigo mismo no es la medida de Lebesgue en el cuadrado I  ×  I. Existe una variación del teorema de Fubini para medidas completas, que utiliza la finalización del producto de medidas en lugar del producto incompleto.

Para funciones integrables

Supongamos que X e Y son espacios de medidas σ-finitas y supongamos que a X  ×  Y se le da la medida del producto (que es única ya que X e Y son σ-finitas). El teorema de Fubini establece que si f es X  ×  Y integrable, lo que significa que f es una función medible y entonces $${\displaystyle \int _{X\times Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}(x,y)<\infty ,}$$ $${\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).}$$

Las dos primeras integrales son integrales iteradas con respecto a dos medidas, respectivamente, y la tercera es una integral con respecto a la medida del producto. Las integrales parciales y no necesitan definirse en todas partes, pero esto no importa ya que los puntos donde no están definidas forman un conjunto de medida 0. ${\textstyle \int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y}$ ${\textstyle \int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x}$

Si la integral anterior del valor absoluto no es finita, entonces las dos integrales iteradas pueden tener valores diferentes. Vea a continuación una ilustración de esta posibilidad.

La condición de que X e Y sean σ-finitos suele ser inofensiva porque, en la práctica, casi todos los espacios de medida para los que se desea utilizar el teorema de Fubini son σ-finitos. El teorema de Fubini tiene algunas extensiones bastante técnicas al caso en el que no se supone que X e Y sean σ-finitos (Fremlin 2003). La principal complicación adicional en este caso es que puede haber más de una medida de producto en X × Y. El teorema de Fubini sigue siendo válido para la medida máxima del producto, pero puede fallar para otras medidas del producto. Por ejemplo, hay una medida del producto y una función medible no negativa f para la cual la integral doble de | f | es cero pero las dos integrales iteradas tienen valores diferentes; consulte la sección sobre contraejemplos a continuación para ver un ejemplo de esto. El teorema de Tonelli y el teorema de Fubini-Tonelli (indicados a continuación) pueden fallar en espacios no σ-finitos, incluso para la medida del producto máximo.

Teorema de Tonelli para funciones medibles no negativas

El teorema de Tonelli , llamado así en honor aLeonida Tonelli, es un sucesor del teorema de Fubini. La conclusión del teorema de Tonelli es idéntica a la del teorema de Fubini, pero el supuesto de quetiene una integral finita se reemplaza por el supuesto de quees una función mensurable no negativa. ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle f}$

El teorema de Tonelli establece que si y son espacios de medidas σ-finitas , mientras que es una función medible no negativa, entonces ${\displaystyle (X,A,\mu )}$ ${\displaystyle (Y,B,\nu )}$ ${\displaystyle f:X\times Y\to [0,\infty ]}$ $${\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).}$$

Un caso especial del teorema de Tonelli es el intercambio de sumatorias, como en , donde no son negativos para todos x e y . El quid del teorema es que el intercambio de orden de suma se mantiene incluso si la serie diverge. En efecto, la única forma en que un cambio en el orden de la sumatoria puede cambiar la suma es cuando existen algunas subsecuencias que divergen hacia y otras que divergen hacia . Con todos los elementos no negativos, esto no sucede en el ejemplo indicado. ${\textstyle \sum _{x}\sum _{y}a_{xy}=\sum _{y}\sum _{x}a_{xy}}$ ${\displaystyle a_{xy}}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Sin la condición de que los espacios de medida sean σ-finitos, estas tres integrales pueden tener valores diferentes. Algunos autores dan generalizaciones del teorema de Tonelli a algunos espacios de medida que no son σ-finitos, pero estas generalizaciones a menudo agregan condiciones que reducen inmediatamente el problema al caso σ-finito. Por ejemplo, se podría tomar el álgebra σ en A × B como la generada por el producto de subconjuntos de medida finita, en lugar de la generada por todos los productos de subconjuntos mensurables, aunque esto tiene la consecuencia indeseable de que las proyecciones del producto a sus factores A y B no son mensurables. Otra forma es agregar la condición de que el soporte de f esté contenido en una unión contable de productos de conjuntos de medidas finitas. Fremlin (2003) ofrece algunas extensiones bastante técnicas del teorema de Tonelli a algunos espacios no σ-finitos. Ninguna de estas generalizaciones ha encontrado aplicaciones significativas fuera de la teoría de la medida abstracta, en gran parte porque casi todos los espacios de medida de interés práctico son σ-finitos.

Teorema de Fubini-Tonelli

Combinando el teorema de Fubini con el teorema de Tonelli se obtiene el teorema de Fubini-Tonelli. A menudo llamado simplemente teorema de Fubini, establece que si y son espacios de medidas finitas , y si es una función medible, entonces Además, si cualquiera de estas integrales es finita, entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}|f(x,y)|\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}(x,y)}$$ $${\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).}$$

El valor absoluto de en las condiciones anteriores se puede reemplazar por la parte positiva o negativa de ; estas formas incluyen el teorema de Tonelli como un caso especial, ya que la parte negativa de una función no negativa es cero y, por tanto, tiene una integral finita. Informalmente, todas estas condiciones dicen que la integral doble de está bien definida, aunque posiblemente sea infinita. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

La ventaja del teorema de Fubini-Tonelli sobre el teorema de Fubini es que las integrales repetidas de pueden ser más fáciles de estudiar que la integral doble. Como en el teorema de Fubini, las integrales simples pueden no definirse en un conjunto de medida 0. ${\displaystyle |f|}$

Para medidas completas

Las versiones anteriores de los teoremas de Fubini y Tonelli no se aplican a la integración del producto de la recta real consigo misma con medida de Lebesgue. El problema es que la medida de Lebesgue no es el producto de la medida de Lebesgue consigo misma, sino la compleción de ésta: un producto de dos espacios de medida completos y, en general, no es completo. Por esta razón, a veces se utilizan versiones del teorema de Fubini para medidas completas: en términos generales, se reemplazan todas las medidas con sus compleciones. Las distintas versiones del teorema de Fubini son similares a las versiones anteriores, con las siguientes diferencias menores: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

• En lugar de tomar un producto de dos espacios de medida, se toma la finalización de algún producto. ${\displaystyle X\times Y}$
• Si es medible al finalizar entonces sus restricciones a las líneas verticales u horizontales pueden no ser medibles para un subconjunto de líneas de medida cero, por lo que hay que tener en cuenta la posibilidad de que las integrales verticales u horizontales no estén definidas en un conjunto de medidas 0 porque implican integrar funciones no medibles. Esto hace poca diferencia, porque ya pueden no estar definidos debido a que las funciones no son integrables. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X\times Y}$
• Por lo general, también se supone que las medidas de y están completas; de lo contrario, las dos integrales parciales a lo largo de líneas verticales u horizontales pueden estar bien definidas pero no ser mensurables. Por ejemplo, si la función característica de un producto de un conjunto medible y un conjunto no mensurable está contenida en un conjunto de medida 0, entonces su integral única está bien definida en todas partes excepto en no mensurable. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

Pruebas

Las demostraciones de los teoremas de Fubini y Tonelli son necesariamente algo técnicas, ya que tienen que utilizar una hipótesis relacionada con la σ-finitud. La mayoría de las demostraciones implican desarrollar los teoremas completos demostrándolos para funciones cada vez más complicadas, con los pasos siguientes.

1. Utilice el hecho de que la medida del producto es una medida del producto para demostrar los teoremas de las funciones características de los rectángulos.
2. Utilice la condición de que los espacios sean σ-finitos (o alguna condición relacionada) para demostrar el teorema de las funciones características de conjuntos mensurables. Esto también cubre el caso de funciones medibles simples (funciones medibles que toman sólo un número finito de valores).
3. Utilice la condición de que las funciones sean medibles para demostrar los teoremas de funciones medibles positivas aproximandolas mediante funciones medibles simples. Esto demuestra el teorema de Tonelli.
4. Usa la condición de que las funciones sean integrables para escribirlas como la diferencia de dos funciones integrables positivas y aplica el teorema de Tonelli a cada una de ellas. Esto prueba el teorema de Fubini.

Integrales de Riemann

Para las integrales de Riemann , el teorema de Fubini se demuestra refinando las particiones a lo largo de los ejes x e y para crear una partición conjunta de la forma , que es una partición sobre . Esto se utiliza para demostrar que las integrales dobles de cualquier orden son iguales a la integral sobre . ${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]\times [y_{j},y_{j+1}]}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$

Contraejemplos

Los siguientes ejemplos muestran cómo el teorema de Fubini y el teorema de Tonelli pueden fallar si se omite cualquiera de sus hipótesis.

Fallo del teorema de Tonelli para espacios no finitos σ

Supongamos que X es el intervalo unitario con los conjuntos medibles de Lebesgue y la medida de Lebesgue, y Y es el intervalo unitario con todos los subconjuntos medibles y la medida de conteo , de modo que Y no es σ-finito. Si f es la función característica de la diagonal de X × Y , entonces integrar f a lo largo de X da la función 0 en Y , pero integrar f a lo largo de Y da la función 1 en X. Entonces, las dos integrales iteradas son diferentes. Esto muestra que el teorema de Tonelli puede fallar en espacios que no son σ-finitos sin importar qué medida del producto se elija. Ambas medidas son descomponibles , lo que muestra que el teorema de Tonelli falla en el caso de medidas descomponibles (que son ligeramente más generales que las medidas σ-finitas).

Fallo del teorema de Fubini para medidas de productos no máximos

El teorema de Fubini es válido para espacios incluso si no se supone que sean σ-finitos, siempre que se utilice la medida del producto máximo. En el ejemplo anterior, para la medida máxima del producto, la diagonal tiene medida infinita, por lo que la integral doble de | f | es infinito y el teorema de Fubini se cumple de forma vacía. Sin embargo, si damos a X × Y la medida del producto tal que la medida de un conjunto es la suma de las medidas de Lebesgue de sus secciones horizontales, entonces la integral doble de | f | es cero, pero las dos integrales iteradas todavía tienen valores diferentes. Esto da un ejemplo de una medida del producto donde falla el teorema de Fubini.

Esto da un ejemplo de dos medidas de producto diferentes en el mismo producto de dos espacios de medida. Para productos de dos espacios de medidas finitas σ, solo hay una medida de producto.

Fallo del teorema de Tonelli para funciones no medibles

Supongamos que X es el primer ordinal incontable, con la medida finita donde los conjuntos medibles son contables (con medida 0) o los conjuntos de complemento contable (con medida 1). El subconjunto (no medible) E de X × X dado por pares ( x , y ) con x < y es contable en cada línea horizontal y tiene complemento contable en cada línea vertical. Si f es la función característica de E, entonces las dos integrales iteradas de f están definidas y tienen valores diferentes 1 y 0. La función f no es medible. Esto muestra que el teorema de Tonelli puede fallar para funciones no mensurables.

Fallo del teorema de Fubini para funciones no mensurables

Una variación del ejemplo anterior muestra que el teorema de Fubini puede fallar para funciones no mensurables incluso si | f | es integrable y ambas integrales repetidas están bien definidas: si tomamos f como 1 en E y –1 en el complemento de E , entonces | f | es integrable en el producto con integral 1, y ambas integrales repetidas están bien definidas, pero tienen valores diferentes 1 y –1.

Suponiendo la hipótesis del continuo, se puede identificar X con el intervalo unitario I , por lo que hay una función acotada no negativa en I × I cuyas dos integrales iteradas (usando la medida de Lebesgue) están definidas pero son desiguales. Este ejemplo lo encontró Wacław Sierpiński  (1920). ^[7] Las versiones más fuertes del teorema de Fubini sobre un producto de dos intervalos unitarios con medida de Lebesgue, donde ya no se supone que la función sea medible sino simplemente que las dos integrales iteradas están bien definidas y existen, son independientes del estándar Zermelo– Axiomas de Fraenkel de la teoría de conjuntos . Tanto la hipótesis del continuo como el axioma de Martin implican que existe una función en el cuadrado unitario cuyas integrales iteradas no son iguales, mientras que Harvey Friedman  (1980) demostró que es consistente con ZFC que un teorema fuerte de tipo Fubini para [0,1] se cumple, y siempre que existan las dos integrales iteradas, serán iguales. ^[8] Ver Lista de declaraciones indecidibles en ZFC .

Fallo del teorema de Fubini para funciones no integrables

El teorema de Fubini nos dice que (para funciones medibles en un producto de σ-espacios de medidas finitas) si la integral del valor absoluto es finita, entonces el orden de integración no importa; si integramos primero con respecto a x y luego con respecto a y , obtenemos el mismo resultado que si integramos primero con respecto a y y luego con respecto a x . La suposición de que la integral del valor absoluto es finita es la " integrabilidad de Lebesgue ", y sin ella las dos integrales repetidas pueden tener valores diferentes.

Un ejemplo simple para mostrar que las integrales repetidas pueden ser diferentes en general es tomar los dos espacios de medida como enteros positivos y tomar la función f ( x , y ) como 1 si x = y , −1 si x  =  y  + 1, y 0 en caso contrario. Entonces las dos integrales repetidas tienen valores diferentes 0 y 1.

Otro ejemplo es el siguiente para la función Las integrales iteradas $${\displaystyle {\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}=-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x\,\partial y}}\arctan(y/x).}$$

$${\displaystyle \int _{x=0}^{1}\left(\int _{y=0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x={\frac {\pi }{4}}}$$y tienen valores diferentes. La integral doble correspondiente no converge absolutamente (en otras palabras, la integral del valor absoluto no es finita): $${\displaystyle \int _{y=0}^{1}\left(\int _{x=0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=-{\frac {\pi }{4}}}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left|{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\right|\,{\text{d}}y\,{\text{d}}x=\infty .}$$

Teorema de Fubini en multiplicaciones de integrales

Producto de dos integrales

Para el producto de dos integrales con límite inferior cero y límite superior común tenemos la siguiente fórmula:

Prueba

Sean y son funciones primitivas de las funciones y respectivamente, que pasan por el origen: ${\displaystyle V(x)}$ ${\displaystyle W(x)}$ ${\displaystyle v(x)}$ ${\displaystyle w(x)}$

${\displaystyle \int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x=V(u),\quad \quad \int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x=W(u)}$

Por lo tanto, tenemos

$${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=V(u)W(u)}$$

Por la regla del producto , la derivada del lado derecho es

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigl [}V(x)W(x){\bigr ]}=V(x)w(x)+v(x)W(x)}$$

y integrando tenemos:

$${\displaystyle \int _{0}^{u}V(x)w(x)+v(x)W(x)\,\mathrm {d} x=V(u)W(u)}$$

Así, la ecuación desde el principio obtenemos:

$${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\int _{0}^{u}V(x)w(x)+v(x)W(x)\,\mathrm {d} x}$$

Ahora, introducimos un segundo parámetro de integración para la descripción de las antiderivadas y : ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle V(x)}$ ${\displaystyle W(x)}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}x\,v(xy)\,\mathrm {d} y={\biggl [}V(xy){\biggr ]}_{y=0}^{y=1}=V(x)}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}x\,w(xy)\,\mathrm {d} y={\biggl [}W(xy){\biggr ]}_{y=0}^{y=1}=W(x)}$

Por inserción aparece una integral doble:

$${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\int _{0}^{u}{\biggl [}\int _{0}^{1}x\,v(xy)\,\mathrm {d} y{\biggr ]}w(x)+v(x){\biggl [}\int _{0}^{1}x\,w(xy)\,\mathrm {d} y{\biggr ]}\,\mathrm {d} x}$$

Las funciones que son ajenas al parámetro de integración en cuestión se pueden importar a la función interna como factor:

$${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\int _{0}^{u}{\biggl [}\int _{0}^{1}x\,v(xy)\,w(x)\,\mathrm {d} y{\biggr ]}+{\biggl [}\int _{0}^{1}x\,v(x)\,w(xy)\,\mathrm {d} y{\biggr ]}\,\mathrm {d} x}$$

En el siguiente paso, se aplica la regla de la suma a las integrales:

$${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\int _{0}^{u}\int _{0}^{1}x\,v(xy)\,w(x)+x\,v(x)\,w(xy)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x}$$

Y finalmente usamos el teorema de Fubini.

$${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{u}x\,v(xy)\,w(x)+x\,v(x)\,w(xy)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$$

Ejemplos de cálculo

Integral arcoseno

La Integral Arcoseno, también llamada Integral Seno Inverso, es una función que no puede representarse mediante funciones elementales . Sin embargo, la integral arcoseno tiene algunos valores de función elementales. Estos valores se pueden determinar integrando la derivada de la integral del arcoseno, que es el cociente del Arcoseno dividido por la Función de Identidad -el Arcoseno Cardinalizado. El Arcoseno Integral es exactamente la antiderivada original del Arcoseno Cardinalizado. Para la integración de esta función sirve como clave el teorema de Fubini, que desbloquea la integral intercambiando el orden de los parámetros de integración. Cuando se aplica correctamente, el teorema de Fubini conduce directamente a una función antiderivada que se puede integrar de forma elemental, la cual se muestra en cian en la siguiente cadena de ecuaciones:

$${\displaystyle \operatorname {Si} _{2}(1)=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\arcsin(x)\,\mathrm {d} x={\color {blue}\int _{0}^{1}}{\color {green}\int _{0}^{1}}{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\,y}{(1-x^{2}y^{2}){\sqrt {1-y^{2}}}}}\,{\color {green}\mathrm {d} y}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}=}$$ $${\displaystyle ={\color {green}\int _{0}^{1}}{\color {blue}\int _{0}^{1}}{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\ ,y}{(1-x^{2}y^{2}){\sqrt {1-y^{2}}}}}{\color {blue}\,\mathrm {d} x}{\color {green}\,\mathrm {d} y}=\int _{0}^{1}{\frac {\pi \,y}{2{\sqrt {1-y^{2}}}(1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,)}}\,\mathrm {d} y=}$$ $${\displaystyle ={\color {RoyalBlue}{\biggl \{}{\frac {\pi }{2}}\ln {\bigl [}2{\bigl (}1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}{\biggr \}}_{y=0}^{y=1}}={\frac {\pi }{2}}\ln(2)}$$

Función Dirichlet Eta

La serie de Dirichlet define la función Dirichlet Eta de la siguiente manera:

$${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}}=1-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}-{\frac {1}{6^{s}}}\pm \cdots }$$

El valor η(2) es igual a π²/12 y esto se puede demostrar con el teorema de Fubini ^{[ dudoso – discutir ]} de esta manera:

$${\displaystyle \eta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}{x}^{n-1}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}{x}^{n-1}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\ln(x+1)\,\mathrm {d} x}$$

La integral del producto de la Función Recíproca y el Logaritmo Natural de la Función Sucesora es una Integral Polilogarítmica y no puede representarse mediante expresiones de funciones elementales. El teorema de Fubini nuevamente desbloquea esta integral de forma combinatoria. Esto funciona realizando una doble integración sobre la base del teorema de Fubini utilizado en una combinación aditiva de funciones fraccionariamente racionales con fracciones de denominadores lineales y cuadrados:

$${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\ln(x+1)\,\mathrm {d} x={\color {blue}\int _{0}^{1}}{\color {green}\int _{0}^{1}}{\frac {4}{3(x^{2}+2xy+1)}}+{\frac {2x}{3(x^{2}y+1)}}-{\frac {1}{3(xy+1)}}\,{\color {green}\mathrm {d} y}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}=}$$

$${\displaystyle ={\color {green}\int _{0}^{1}}{\color {blue}\int _{0}^{1}}{\frac {4}{3(x^{2}+2xy+1)}}+{\frac {2x}{3(x^{2}y+1)}}-{\frac {1}{3(xy+1)}}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}\,{\color {green}\mathrm {d} y}=\int _{0}^{1}{\frac {2\arccos(y)}{3{\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y=}$$

$${\displaystyle ={\color {RoyalBlue}{\biggl [}{\frac {\pi ^{2}}{12}}-{\frac {1}{3}}\arccos(y)^{2}{\biggr ]}_{y=0}^{y=1}}={\frac {\pi ^{2}}{12}}}$$

Esta forma de calcular la integral del logaritmo natural cardinalizado de la función sucesora fue descubierta por James Harper y se describe en su obra Otra prueba simple de 1 + 1/2² + 1/3² + ... = π²/6 con precisión .

La antiderivada original, que se muestra aquí en cian, conduce directamente al valor de η(2):

${\displaystyle \eta (2)={\frac {\pi ^{2}}{12}}}$

Integrales de integrales elípticas completas

La integral impropia de la Integral Elíptica Completa de primer tipo K toma con exactitud el valor del doble de la constante catalana . La antiderivada de esa integral K pertenece a los llamados polilogaritmos elípticos . La constante catalana sólo se puede obtener mediante la Integral Arctangente , que resulta de la aplicación del teorema de Fubini:

$${\displaystyle \int _{0}^{1}K(x)\,\mathrm {d} x={\color {blue}\int _{0}^{1}}{\color {green}\int _{0}^{1}}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}\,{\color {green}\mathrm {d} y}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}={\color {green}\int _{0}^{1}}{\color {blue}\int _{0}^{1}}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}\,{\color {green}\mathrm {d} y}=}$$

$${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(y)}{y{\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y={\color {RoyalBlue}{\biggl \{}2\,\mathrm {Ti} _{2}{\bigl [}y{\bigl (}1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}{\biggr \}}_{y=0}^{y=1}}=2\,\mathrm {Ti} _{2}(1)=2\beta (2)=2\,C}$$

Esta vez, la expresión ahora en tono cian real no es elemental, sino que conduce directamente al valor igualmente no elemental de la "constante catalana" utilizando la Integral Arctangente, también llamada Integral Tangente Inversa.

El mismo procedimiento también funciona para la Integral Elíptica Completa de segunda clase E de la siguiente manera:

$${\displaystyle \int _{0}^{1}E(x)\,\mathrm {d} x={\color {blue}\int _{0}^{1}}{\color {green}\int _{0}^{1}}{\frac {\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,{\color {green}\mathrm {d} y}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}={\color {green}\int _{0}^{1}}{\color {blue}\int _{0}^{1}}{\frac {\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}\,{\color {green}\mathrm {d} y}=}$$ $${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\biggl [}{\frac {\arcsin(y)}{2y{\sqrt {1-y^{2}}}}}+{\frac {1}{2}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} y={\color {RoyalBlue}{\biggl \{}\mathrm {Ti} _{2}{\bigl [}y{\bigl (}1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}+{\frac {1}{2}}y{\biggr \}}_{y=0}^{y=1}}=\mathrm {Ti} _{2}(1)+{\frac {1}{2}}=\beta (2)+{\frac {1}{2}}=C+{\frac {1}{2}}}$$

Doble ejecución de la Función Integral Exponencial

La constante de Mascheroni surge como la Integral Impropia de cero al infinito en la integración del producto del Logaritmo Natural negativo y el recíproco Exponencial . Pero también es la integral impropia dentro de los mismos límites sobre la Diferencia Cardinalizada del recíproco de la Función Sucesora y el Recíproco Exponencial :

$${\displaystyle \gamma ={\color {WildStrawberry}\int _{0}^{\infty }{\frac {-\ln(x)}{\exp(x)}}\,\mathrm {d} x}={\color {cornflowerblue}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x}}{\biggl [}{\frac {1}{x+1}}-\exp(-x){\biggr ]}\,\mathrm {d} x}}$$

La concordancia de estas dos integrales se puede demostrar ejecutando sucesivamente el Teorema de Fubini dos veces y llevando esta doble ejecución de ese teorema sobre la identidad a una integral de la Función Integral Exponencial complementaria :

Así se define la función exponencial integral complementaria:

${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(x)=\exp(-x)\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-xy)}{y+1}}\,\mathrm {d} y}$

Esta es la derivada de esa función:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\mathrm {E} _{1}(x)=-{\frac {1}{x}}\exp(-x)}$

Primera implementación del teorema de Fubini:

Esta integral a partir de una construcción de la función exponencial integral conduce a la integral del Logaritmo Natural negativo y el Recíproco Exponencial:

$${\displaystyle \gamma ={\color {WildStrawberry}\int _{0}^{\infty }-\exp(-y)\ln(y)\,\mathrm {d} y}={\color {green}\int _{0}^{\infty }}{\color {blue}\int _{0}^{\infty }}\exp(-y){\bigl (}{\frac {1}{x+y}}-{\frac {1}{x+1}}{\bigr )}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}\,{\color {green}\mathrm {d} y}=}$$ $${\displaystyle ={\color {blue}\int _{0}^{\infty }}{\color {green}\int _{0}^{\infty }}\exp(-y){\bigl (}{\frac {1}{x+y}}-{\frac {1}{x+1}}{\bigr )}\,{\color {green}\mathrm {d} y}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}={\color {Dandelion}\int _{0}^{\infty }{\biggl [}\exp(x)\,\mathrm {E} _{1}(x)-{\frac {1}{x+1}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} x}}$$

Segunda implementación del teorema de Fubini:

La integral descrita anteriormente a partir de la diferencia cardinalizada descrita conduce a la integral mencionada anteriormente de la función Integral Exponencial:

$${\displaystyle \gamma ={\color {Dandelion}\int _{0}^{\infty }{\biggl [}\exp(x)\,\mathrm {E} _{1}(x)-{\frac {1}{x+1}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} x}={\color {blue}\int _{0}^{\infty }}{\color {blueviolet}\int _{0}^{\infty }}\exp(-xz){\biggl [}{\frac {1}{z+1}}-\exp(-z){\biggr ]}\,{\color {blueviolet}\mathrm {d} z}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}=}$$ $${\displaystyle ={\color {blueviolet}\int _{0}^{\infty }}{\color {blue}\int _{0}^{\infty }}\exp(-xz){\biggl [}{\frac {1}{z+1}}-\exp(-z){\biggr ]}\,{\color {blue}\mathrm {d} x}\,{\color {blueviolet}\mathrm {d} z}={\color {cornflowerblue}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{z}}{\biggl [}{\frac {1}{z+1}}-\exp(-z){\biggr ]}\,\mathrm {d} z}}$$

En principio, los productos de funciones exponenciales y funciones fraccionariamente racionales se pueden integrar así:

$${\displaystyle {\frac {\exp(-ax)}{bx+c}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl \{}-{\frac {1}{b}}\exp {\bigl (}{\frac {ac}{b}}{\bigr )}\,\mathrm {E} _{1}{\bigl [}{\frac {a}{b}}{\bigl (}bx+c{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-ax)}{bx+c}}\,\mathrm {d} x={\biggl \{}-{\frac {1}{b}}\exp {\bigl (}{\frac {ac}{b}}{\bigr )}\,\mathrm {E} _{1}{\bigl [}{\frac {a}{b}}{\bigl (}bx+c{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=\infty }={\frac {1}{b}}\exp {\bigl (}{\frac {ac}{b}}{\bigr )}\,\mathrm {E} _{1}{\bigl (}{\frac {ac}{b}}{\bigr )}}$$

De esta manera se demuestra con precisión, utilizando dos veces el teorema de Fubini, que estas integrales son, en efecto, idénticas entre sí.

Integral de la curva de Gauss

Ahora se establece esta fórmula para elevar al cuadrado una integral:

Esta cadena de ecuaciones se puede generar en consecuencia:

$${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{\infty }2x\exp(-x^{2})\exp(-x^{2}y^{2})\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}\int _{0}^{\infty }2x\exp {\bigl [}-x^{2}(y^{2}+1){\bigr ]}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=}$$

$${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\biggl \{}{\frac {1}{y^{2}+1}}-{\frac {1}{y^{2}+1}}\exp {\biggl [}-x^{2}(y^{2}+1){\biggr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=\infty }\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}}$$

Para la integral de la curva de Gauss se puede generar este valor:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2})\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}$

Dilogaritmo de uno

Ahora se establece nuevamente otra fórmula para elevar al cuadrado una integral:

Entonces esta cadena de ecuaciones se aplica como un nuevo ejemplo:

$${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{4}}=\arcsin(1)^{2}={\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x{\biggr ]}^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {2x}{\sqrt {(1-x^{2})(1-x^{2}y^{2})}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=}$$

$${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\biggl [}{\frac {2}{y}}\operatorname {artanh} (y)-{\frac {2}{y}}\operatorname {artanh} {\biggl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\,y}{\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}}{\biggr )}{\biggr ]}_{x=0}^{x=1}\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {2}{y}}\operatorname {artanh} (y)\,\mathrm {d} y=}$$

$${\displaystyle ={\biggl [}2\,\mathrm {Li} _{2}(y)-{\frac {1}{2}}\,\mathrm {Li} _{2}(y^{2}){\biggr ]}_{y=0}^{y=1}={\frac {3}{2}}\,\mathrm {Li} _{2}(1)}$$

Para el Dilogaritmo de uno aparece este valor:

${\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(1)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

De esta manera se podrá solucionar el problema de Basilea .

La relación de Legendre

En el siguiente ejemplo, la forma más generalizada de la ecuación se utiliza nuevamente como molde:

Las siguientes integrales se pueden calcular utilizando las integrales elípticas incompletas de primer y segundo tipo como antiderivadas y estas integrales tienen valores que se pueden representar con integrales elípticas completas :

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x=}$

$${\displaystyle {\biggl \{}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}}$$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x=}$

$${\displaystyle {\biggl \{}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}-{\sqrt {2}}\,E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggl [}2\,E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}}$$

Por Inserción de estas dos integrales en el molde mencionado, resulta esta cadena de ecuaciones:

$${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=}$$

$${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\biggl \{}{\frac {y^{2}+1}{2\,y^{2}}}{\biggl [}{\text{artanh}}{\bigl (}y^{2}{\bigr )}-{\text{artanh}}{\biggl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\biggr )}{\biggr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{2\,y^{2}}}\,\mathrm {artanh} {\bigl (}y^{2}{\bigr )}\,\mathrm {d} y=}$$

$${\displaystyle ={\biggl [}\arctan(y)-{\frac {1-y^{2}}{2\,y}}\,\mathrm {artanh} {\bigl (}y^{2}{\bigr )}{\biggr ]}_{y=0}^{y=1}=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}}$$

Para el caso especial lemniscático de la relación de Legendre , surge este resultado:

${\displaystyle K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggl [}2\,E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}={\frac {\pi }{2}}}$

Ver también

• El principio de Cavalieri  – Concepto geométrico – uno de los primeros casos particulares
• Fórmula de coárea : generalización a la teoría de la medida geométrica.
• Teorema de desintegración – teorema en la teoría de la medida – un recíproco restringido al teorema de Fubini
• Teorema de Fubini para distribuciones  : término de análisis matemático similar a función generalizadaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Teorema de Kuratowski-Ulam : análogo del teorema de Fubini para segundos espacios de Baire contables arbitrarios
• Simetría de segundas derivadas – análogo para diferenciación
• La pesadilla de Fubini  : aparente violación del teorema de Fubini

Referencias

1. Tao, Terence (2016), Análisis I , Springer, p. 188, ISBN 9789811017896
2. Y Whittaker; GN Watson (1902). Un curso de análisis moderno . Prensa de la Universidad de Cambridge.
3. Royden, Halsey (2010), Análisis real , Prentice Hall, p. 34, ISBN 9780131437470
4. Lebesgue, Henri (1904), Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctionsprimitives, París: Gauthier-Villars
5. Fubini, Guido (1907), "Sugli integrali multiplicai", Rom. Acc. L. Rend. (5) , 16 (1): 608–614, JFM  38.0343.02Reimpreso en Fubini, G. (1958), Opere scelte , vol. 2, Cremonese, págs. 243-249
6. Tonelli, Leonida (1909). "Sull'integrazione per parti". Atti della Accademia Nazionale dei Lincei . (5). 18 (2): 246–253.
7. Sierpiński, Wacław (1920), "Sur un problème concernant les ensembles mesurables superficiellement", Fundamenta Mathematicae , 1 (1): 112–115, doi : 10.4064/fm-1-1-112-115
8. Friedman, Harvey (1980), "Un teorema consistente de Fubini-Tonelli para funciones no medibles", Illinois Journal of Mathematics , 24 (3): 390–395, doi : 10.1215/ijm/1256047607 , MR  0573474

Otras lecturas

• Billingsley, Patrick (1995), "Medida del producto y teorema de Fubini", Probabilidad y medida , Nueva York: Wiley, págs. 231-240, ISBN 0-471-00710-2
• DiBenedetto, Emmanuele (2002), Análisis real , Birkhäuser Textos avanzados: Basler Lehrbücher, Boston: Birkhäuser, doi :10.1007/978-1-4612-0117-5, ISBN 0-8176-4231-5, señor  1897317
• Fremlin, DH (2003), Teoría de la medida , vol. 2, Colchester: Torres Fremlin, ISBN 0-9538129-2-8, SEÑOR  2462280
• Weir, Alan J. (1973), "Teorema de Fubini", Integración y medida de Lebesgue , Cambridge: Cambridge University Press, págs. 83–92, ISBN 0-521-08728-7

enlaces externos

• Kudryavtsev, LD (2001) [1994], "Teorema de Fubini", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press