Teorema de Kuratowski-Ulam

Análogo del teorema de Fubini para segundos espacios de Baire contables arbitrarios

En matemáticas , el teorema de Kuratowski-Ulam , introducido por Kazimierz Kuratowski y Stanislaw Ulam  (1932), llamado también teorema de Fubini para la categoría , es un análogo del teorema de Fubini para segundos espacios de Baire contables arbitrarios .

Sean X e Y segundos espacios de Baire numerables (o, en particular, espacios polacos ), y sea . Entonces los siguientes son equivalentes si A tiene la propiedad de Baire : ${\displaystyle A\subset X\times Y}$

1. A es magro (respectivamente comeager).
2. El conjunto es comeager en X, donde , donde es la proyección sobre Y . ${\displaystyle \{x\in X:A_{x}{\text{ is meager (resp. comeager) in }}Y\}}$ ${\displaystyle A_{x}=\pi _{Y}[A\cap \lbrace x\rbrace \times Y]}$ ${\displaystyle \pi _{Y}}$

Incluso si A no tiene la propiedad de Baire, 2. se sigue de 1. ^[1] Nótese que el teorema todavía se cumple (quizás de manera vacía) para X, un espacio de Hausdorff arbitrario , e Y, un espacio de Hausdorff con base π contable .

El teorema es análogo al teorema de Fubini regular para el caso en que la función considerada es una función característica de un subconjunto en un espacio producto, con las correspondencias usuales, a saber, conjunto magro con un conjunto de medida cero, conjunto comeagre con uno de medida completa, y un conjunto con la propiedad de Baire con un conjunto medible.

Referencias

1. Srivastava, Shashi Mohan (1998). Un curso sobre conjuntos de Borel. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 180. Berlín: Springer. p. 112. doi :10.1007/978-3-642-85473-6. ISBN 0-387-98412-7.Señor 1619545  .

• Kuratowski, Kazimierz ; Ulam, Estanislao (1932). "Quelques propriétés topologiques du produit combinatoire" (PDF) . Fundamentos Mathematicae . 19 (1). Instituto de Matemáticas Academia Polaca de Ciencias: 247–251. doi : 10.4064/fm-19-1-247-251 .