Orden de integración (cálculo)

Orden en el que se calculan integrales múltiples o iteradas

En cálculo , el intercambio del orden de integración es una metodología que transforma integrales iteradas (o integrales múltiples mediante el uso del teorema de Fubini ) de funciones en otras integrales, con suerte más simples, cambiando el orden en que se realizan las integraciones. En algunos casos, el orden de integración puede intercambiarse válidamente; en otros no puede.

Planteamiento del problema

El problema a examinar es la evaluación de una integral de la forma

${\displaystyle \iint _{D}\ f(x,y)\ dx\,dy,}$

donde D es un área bidimensional en el plano xy . Para algunas funciones f la integración directa es factible, pero cuando eso no es cierto, la integral a veces se puede reducir a una forma más simple cambiando el orden de integración. La dificultad con este intercambio es determinar el cambio en la descripción del dominio D.

El método también es aplicable a otras integrales múltiples . ^{[1] [2]}

A veces, aunque una evaluación completa sea difícil, o quizás requiera una integración numérica, una integral doble se puede reducir a una integración única, como se ilustra a continuación. La reducción a una única integración hace que una evaluación numérica sea mucho más fácil y eficiente.

Relación con la integración por partes

Figura 1: La integración sobre el área triangular se puede realizar utilizando tiras verticales u horizontales como primer paso. Esta es una vista aérea, mirando hacia abajo desde el eje z hasta el plano xy . La recta inclinada es la curva y = x .

Considere la integral iterada

${\displaystyle \int _{a}^{z}\,\int _{a}^{x}\,h(y)\,dy\,dx,}$

En esta expresión, la segunda integral se calcula primero con respecto a y y x se mantiene constante: una franja de ancho dx se integra primero sobre la dirección y (una franja de ancho dx en la dirección x se integra con respecto a y variable en la dirección y ), sumando una cantidad infinita de rectángulos de ancho dy a lo largo del eje y . Esto forma un corte tridimensional dx de ancho a lo largo del eje x , desde y = a hasta y = x a lo largo del eje y , y en la dirección z z = h ( y ). Observe que si el espesor dx es infinitesimal, x varía sólo infinitamente en el corte. Podemos suponer que x es constante. ^[3] Esta integración es como se muestra en el panel izquierdo de la Figura 1, pero es inconveniente especialmente cuando la función h ( y ) no se integra fácilmente. La integral se puede reducir a una integración única invirtiendo el orden de integración como se muestra en el panel derecho de la figura. Para lograr este intercambio de variables, primero se integra la franja de ancho dy desde la recta x = y hasta el límite x = z , y luego se integra el resultado desde y = a hasta y = z , dando como resultado:

${\displaystyle \int _{a}^{z}\int _{a}^{x}h(y)\ dy\ dx=\int _{a}^{z}h(y)\ dy\ \int _{y}^{z}dx=\int _{a}^{z}\left(z-y\right)h(y)\,dy.}$

Este resultado puede verse como un ejemplo de la fórmula de integración por partes , como se indica a continuación: ^[4]

${\displaystyle \int _{a}^{z}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{z}-\int _{a}^{z}f'(x)g(x)\,dx}$

Sustituto:

${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}h(y)\,dy~{\text{ and }}~g'(x)=1.}$

Lo que da el resultado.

Integrales de valor principal

Para su aplicación a integrales de valor principal , consulte Whittaker y Watson, ^[5] Gakhov, ^[6] Lu, ^[7] o Zwillinger. ^[8] Véase también la discusión sobre la transformación Poincaré-Bertrand en Obolashvili. ^[9] Kanwal da un ejemplo en el que el orden de integración no se puede intercambiar: ^[10]

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{L}^{*}{\frac {d{\tau }_{1}}{{\tau }_{1}-t}}\ \int _{L}^{*}\ g(\tau ){\frac {d\tau }{\tau -\tau _{1}}}={\frac {1}{4}}g(t)\ ,}$

mientras:

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{L}^{*}g(\tau )\ d\tau \left(\int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\left(\tau _{1}-t\right)\left(\tau -\tau _{1}\right)}}\right)=0\ .}$

La segunda forma se evalúa mediante una expansión de fracción parcial y una evaluación mediante la fórmula de Sokhotski-Plemelj : ^[11]

${\displaystyle \int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\tau _{1}-t}}=\int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\tau _{1}-t}}=\pi \ i\ .}$

La notación indica un valor principal de Cauchy . Véase Kanwal. ^[10] ${\displaystyle \int _{L}^{*}}$

Teoremas básicos

En el libro Análisis de Fourier de TW Körner se encuentra una discusión sobre las bases para invertir el orden de integración . ^[12] Introduce su discusión con un ejemplo en el que el intercambio de integración conduce a dos respuestas diferentes porque no se cumplen las condiciones del Teorema II siguiente. Aquí está el ejemplo:

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dy=\left[{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right]_{1}^{\infty }=-{\frac {1}{1+x^{2}}}\ \left[x\geq 1\right]\ .}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dy\right)\ dx=-{\frac {\pi }{4}}\ .}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dx\right)\ dy={\frac {\pi }{4}}\ .}$

A continuación se citan dos teoremas básicos de Chaudhry y Zubair que rigen la admisibilidad del intercambio: ^[13]

Teorema I  :  Sea f ( x ,  y ) una función continua de signo constante definida para a ≤ x < ∞, c ≤ y < ∞, y sean las integrales

${\displaystyle J(y):=\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)\,dx}$          y           ${\displaystyle J^{*}(x)=\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)\,dy}$

considerados como funciones del parámetro correspondiente ser, respectivamente, continuos para c ≤ y < ∞, a ≤ x < ∞. Entonces si al menos una de las integrales iteradas

${\displaystyle \int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }\ f(x,\ y)dx\right)dy}$          y           ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }\ f(x,\ y)dy\right)dx}$

converge, la otra integral también converge y sus valores coinciden.

Teorema II  :  Sea f ( x ,  y ) continua para a ≤ x < ∞, c ≤ y < ∞, y sean las integrales

${\displaystyle J(y):=\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)\,dx}$          y           ${\displaystyle J^{*}(x)=\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)\,dy}$

ser respectivamente, uniformemente convergentes en cada intervalo finito c ≤ y < C y en cada intervalo finito a ≤ x < A . Entonces si al menos una de las integrales iteradas

${\displaystyle \int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }|f(x,\ y)|dx\right)dy}$          y           ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }|f(x,\ y)|dy\right)dx}$

converge, las integrales iteradas

${\displaystyle \int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)dx\right)dy}$          y           ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }\left(\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)dy\right)dx}$

también convergen y sus valores son iguales.

El teorema más importante para las aplicaciones es una cita de Protter y Morrey: ^[14]

Teorema  :  supongamos que F es una región dada por   donde p y q son continuos y p ( x ) ≤ q ( x ) para a ≤ x ≤ b . Supongamos que f ( x ,  y ) es continua en F . Entonces ${\displaystyle F=\left\{(x,\ y):a\leq x\leq b,p(x)\leq y\leq q(x)\right\}\,}$

${\displaystyle \iint _{F}f(x,y)\,dA=\int _{a}^{b}\int _{p(x)}^{q(x)}f(x,\ y)\,dy\ dx.}$

El resultado correspondiente se cumple si la región cerrada F tiene la representación   donde r ( y ) ≤  s ( y ) para c ≤ y ≤ d . En cuyo caso, ${\displaystyle F=\left\{(x,\ y):c\leq y\leq d,\ r(y)\leq x\leq s(y)\right\}}$

${\displaystyle \iint _{F}f(x,\ y)dA=\int _{c}^{d}\int _{r(y)}^{s(y)}f(x,\ y)\,dx\ dy\ .}$

En otras palabras, ambas integrales iteradas, cuando son computables, son iguales a la integral doble y por tanto iguales entre sí.

Ver también

• teorema de fubini

Referencias y notas

1. Seán Dineen (2001). Cálculo Multivariado y Geometría. Saltador. pag. 162.ISBN​ 1-85233-472-X.
2. Richard Courant y Fritz John (2000). Introducción al cálculo y al análisis: vol. II/1, II/2. Clásicos de las matemáticas. Saltador. pag. 897.ISBN​ 3-540-66569-2.
3. "Integrales dobles". Departamento de Matemáticas, Universidad Estatal de Oregon. 1996.
4. El primo " ′ " denota una derivada en la notación de Lagrange .
5. Edmundo Taylor Whittaker ; George Neville Watson (1927). Un curso de análisis moderno : una introducción a la teoría general de los procesos infinitos y de las funciones analíticas, con una descripción de las principales funciones trascendentales (4ª ed., repr ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. §4.51, pág. 75.ISBN​ 0-521-58807-3.
6. FD Gajov (1990). Problemas de valores en la frontera. Publicaciones de Courier Dover. pag. 46.ISBN​ 0-486-66275-6.
7. Jian-Ke Lu (1993). Problemas de valores en la frontera para funciones analíticas. Singapur: World Scientific. pag. 44.ISBN​ 981-02-1020-5.
8. Daniel Zwillinger (1992). Manual de integración. AK Peters Ltd. pág. 61.ISBN​ 0-86720-293-9.
9. Elena Irodionovna Obolashvili (2003). Ecuaciones diferenciales parciales de orden superior en el análisis de Clifford: soluciones efectivas a problemas. Birkhäuser. pag. 101.ISBN​ 0-8176-4286-2.
10. Ram P. Kanwal (1996). Ecuaciones integrales lineales: teoría y técnica (2ª ed.). Boston: Birkhäuser. pag. 194.ISBN​ 0-8176-3940-3.
11. Para una discusión sobre la fórmula de Sokhotski-Plemelj, consulte, por ejemplo, Joseph A. Cima, Alec L. Matheson y William T. Ross (2006). La transformada de Cauchy. Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 56.ISBN​ 0-8218-3871-7.o Rainer Kress (1999). Ecuaciones integrales lineales (2ª ed.). Saltador. pag. Teorema 7.6, pág. 101.ISBN​ 0-387-98700-2.
12. Thomas William Körner (1988). Análisis de Fourier. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. Capítulos 47 y 48. ISBN 0-521-38991-7.
13. M. Aslam Chaudhry y Syed M. Zubair (2001). Sobre una clase de funciones gamma incompletas con aplicaciones. Prensa CRC. pag. Apéndice C. ISBN 1-58488-143-7.
14. Murray H. Protter y Charles B. Morrey, Jr. (1985). Cálculo Intermedio. Saltador. pag. 307.ISBN​ 0-387-96058-9.

enlaces externos

• Notas de matemáticas en línea de Paul: Cálculo III
• Buenas imágenes en 3D que muestran el cálculo de "Integrales Dobles" utilizando integrales iteradas, del Departamento de Matemáticas de la Universidad Estatal de Oregón.
• Problemas de cálculo de UCLA de Ron Miech Ejemplos más complejos de cómo cambiar el orden de integración (ver Problemas 33, 35, 37, 39, 41 y 43)
• Sitio web de la Universidad de Minnesota de Duane Nykamp