Orden de integración (cálculo)

Orden en el que se calculan las integrales múltiples o iteradas

En cálculo , el intercambio del orden de integración es una metodología que transforma integrales iteradas (o integrales múltiples mediante el uso del teorema de Fubini ) de funciones en otras integrales, con suerte más simples, modificando el orden en el que se realizan las integraciones. En algunos casos, el orden de integración se puede intercambiar de manera válida; en otros, no.

Planteamiento del problema

El problema a examinar es la evaluación de una integral de la forma

${\displaystyle \iint _{D}\ f(x,y)\ dx\,dy,}$

donde D es un área bidimensional en el plano xy . Para algunas funciones f es posible una integración directa, pero cuando esto no es así, la integral a veces se puede reducir a una forma más simple cambiando el orden de integración. La dificultad con este intercambio es determinar el cambio en la descripción del dominio D .

El método también es aplicable a otras integrales múltiples . ^{[1] [2]}

A veces, aunque una evaluación completa sea difícil o requiera una integración numérica, una integral doble se puede reducir a una integración simple, como se ilustra a continuación. La reducción a una integración simple hace que la evaluación numérica sea mucho más fácil y eficiente.

Relación con la integración por partes

Figura 1: La integración sobre el área triangular se puede realizar utilizando franjas verticales u horizontales como primer paso. Esta es una vista aérea, mirando hacia abajo desde el eje z hacia el plano xy . La línea inclinada es la curva y = x .

Considere la integral iterada

${\displaystyle \int _{a}^{z}\,\int _{a}^{x}\,h(y)\,dy\,dx,}$

En esta expresión, la segunda integral se calcula primero con respecto a y y x se mantiene constante: una franja de ancho dx se integra primero sobre la dirección y (una franja de ancho dx en la dirección x se integra con respecto a la variable y a través de la dirección y ), sumando una cantidad infinita de rectángulos de ancho dy a lo largo del eje y . Esto forma una porción tridimensional de ancho dx a lo largo del eje x , desde y = a hasta y = x a lo largo del eje y , y en la dirección z z = h ( y ). Nótese que si el espesor dx es infinitesimal, x varía solo infinitesimalmente en la porción. Podemos suponer que x es constante. ^[3] Esta integración es como se muestra en el panel izquierdo de la Figura 1, pero es inconveniente especialmente cuando la función h ( y ) no se integra fácilmente. La integral se puede reducir a una única integración invirtiendo el orden de integración como se muestra en el panel derecho de la figura. Para realizar este intercambio de variables, primero se integra la franja de ancho dy desde la recta x = y hasta el límite x = z , y luego se integra el resultado desde y = a hasta y = z , resultando:

${\displaystyle \int _{a}^{z}\int _{a}^{x}h(y)\ dy\ dx=\int _{a}^{z}h(y)\ dy\ \int _{y}^{z}dx=\int _{a}^{z}\left(z-y\right)h(y)\,dy.}$

Este resultado puede verse como un ejemplo de la fórmula de integración por partes , como se indica a continuación: ^[4]

${\displaystyle \int _{a}^{z}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{z}-\int _{a}^{z}f'(x)g(x)\,dx}$

Sustituto:

${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}h(y)\,dy~{\text{ and }}~g'(x)=1.}$

Lo cual da el resultado.

Integrales de valor principal

Para la aplicación a integrales de valor principal , véase Whittaker y Watson, ^[5] Gakhov, ^[6] Lu, ^[7] o Zwillinger. ^[8] Véase también la discusión de la transformación de Poincaré-Bertrand en Obolashvili. ^[9] Kanwal da un ejemplo en el que no se puede intercambiar el orden de integración: ^[10]

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{L}^{*}{\frac {d{\tau }_{1}}{{\tau }_{1}-t}}\ \int _{L}^{*}\ g(\tau ){\frac {d\tau }{\tau -\tau _{1}}}={\frac {1}{4}}g(t)\ ,}$

mientras:

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{L}^{*}g(\tau )\ d\tau \left(\int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\left(\tau _{1}-t\right)\left(\tau -\tau _{1}\right)}}\right)=0\ .}$

La segunda forma se evalúa utilizando una expansión de fracciones parciales y una evaluación utilizando la fórmula de Sokhotski-Plemelj : ^[11]

${\displaystyle \int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\tau _{1}-t}}=\int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\tau _{1}-t}}=\pi \ i\ .}$

La notación indica un valor principal de Cauchy . Véase Kanwal. ^[10] ${\displaystyle \int _{L}^{*}}$

Teoremas básicos

En el libro Análisis de Fourier de TW Körner se puede encontrar una discusión sobre la base de la inversión del orden de integración . ^[12] Körner presenta su discusión con un ejemplo en el que el intercambio de la integración conduce a dos respuestas diferentes porque no se cumplen las condiciones del Teorema II que se muestra a continuación. A continuación se muestra el ejemplo:

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dy=\left[{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right]_{1}^{\infty }=-{\frac {1}{1+x^{2}}}\ \left[x\geq 1\right]\ .}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dy\right)\ dx=-{\frac {\pi }{4}}\ .}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dx\right)\ dy={\frac {\pi }{4}}\ .}$

A continuación se citan dos teoremas básicos que rigen la admisibilidad del intercambio de Chaudhry y Zubair: ^[13]

Teorema I  —  Sea f ( x ,  y ) una función continua de signo constante definida para a ≤ x < ∞, c ≤ y < ∞, y sean las integrales

${\displaystyle J(y):=\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)\,dx}$          y           ${\displaystyle J^{*}(x)=\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)\,dy}$

consideradas como funciones del parámetro correspondiente sean, respectivamente, continuas para c ≤ y < ∞, a ≤ x < ∞. Entonces, si al menos una de las integrales iteradas

${\displaystyle \int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }\ f(x,\ y)dx\right)dy}$          y           ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }\ f(x,\ y)dy\right)dx}$

converge, la otra integral también converge y sus valores coinciden.

Teorema II  —  Sea f ( x ,  y ) continua para a ≤ x < ∞, c ≤ y < ∞, y sean las integrales

${\displaystyle J(y):=\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)\,dx}$          y           ${\displaystyle J^{*}(x)=\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)\,dy}$

sean respectivamente, uniformemente convergentes en cada intervalo finito c ≤ y < C y en cada intervalo finito a ≤ x < A . Entonces, si al menos una de las integrales iteradas

${\displaystyle \int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }|f(x,\ y)|dx\right)dy}$          y           ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }|f(x,\ y)|dy\right)dx}$

converge, las integrales iteradas

${\displaystyle \int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)dx\right)dy}$          y           ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }\left(\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)dy\right)dx}$

También convergen y sus valores son iguales.

El teorema más importante para las aplicaciones se cita de Protter y Morrey: ^[14]

Teorema  —  Supóngase que F es una región dada por   donde p y q son continuas y p ( x ) ≤ q ( x ) para a ≤ x ≤ b . Supóngase que f ( x ,  y ) es continua en F . Entonces ${\displaystyle F=\left\{(x,\ y):a\leq x\leq b,p(x)\leq y\leq q(x)\right\}\,}$

${\displaystyle \iint _{F}f(x,y)\,dA=\int _{a}^{b}\int _{p(x)}^{q(x)}f(x,\ y)\,dy\ dx.}$

El resultado correspondiente se cumple si la región cerrada F tiene la representación   donde r ( y ) ≤  s ( y ) para c ≤ y ≤ d . En tal caso, ${\displaystyle F=\left\{(x,\ y):c\leq y\leq d,\ r(y)\leq x\leq s(y)\right\}}$

${\displaystyle \iint _{F}f(x,\ y)dA=\int _{c}^{d}\int _{r(y)}^{s(y)}f(x,\ y)\,dx\ dy\ .}$

En otras palabras, ambas integrales iteradas, cuando se pueden calcular, son iguales a la integral doble y, por lo tanto, iguales entre sí.

Véase también

• Teorema de Fubini

Referencias y notas

1. Seán Dineen (2001). Cálculo multivariante y geometría. Springer. pág. 162. ISBN 1-85233-472-X.
2. Richard Courant y Fritz John (2000). Introducción al cálculo y al análisis: vol. II/1, II/2. Clásicos de las matemáticas. Springer. pág. 897. ISBN 3-540-66569-2.
3. "Integrales dobles". Departamento de Matemáticas, Universidad Estatal de Oregón. 1996.
4. La prima " ′ " denota una derivada en la notación de Lagrange .
5. Edmund Taylor Whittaker ; George Neville Watson (1927). Un curso de análisis moderno : una introducción a la teoría general de los procesos infinitos y de las funciones analíticas, con una explicación de las principales funciones trascendentales (4ª ed., reedición). Cambridge University Press. pág. §4.51, pág. 75. ISBN 0-521-58807-3.
6. FD Gakhov (1990). Problemas de valores en la frontera. Courier Dover Publications. pág. 46. ISBN 0-486-66275-6.
7. Jian-Ke Lu (1993). Problemas de valores en la frontera para funciones analíticas. Singapur: World Scientific. pag. 44.ISBN​ 981-02-1020-5.
8. Daniel Zwillinger (1992). Manual de integración. AK Peters Ltd. pág. 61.ISBN​ 0-86720-293-9.
9. Elena Irodionovna Obolashvili (2003). Ecuaciones diferenciales parciales de orden superior en el análisis de Clifford: soluciones efectivas a los problemas. Birkhäuser. p. 101. ISBN 0-8176-4286-2.
10. Ram P. Kanwal (1996). Ecuaciones integrales lineales: teoría y técnica (2.ª ed.). Boston: Birkhäuser. pág. 194. ISBN 0-8176-3940-3.
11. Para un análisis de la fórmula de Sokhotski-Plemelj, véase, por ejemplo, Joseph A. Cima, Alec L. Matheson y William T. Ross (2006). The Cauchy Transform. American Mathematical Society. pág. 56. ISBN. 0-8218-3871-7.o Rainer Kress (1999). Ecuaciones integrales lineales (2.ª ed.). Springer. pág. Teorema 7.6, pág. 101. ISBN 0-387-98700-2.
12. Thomas William Körner (1988). Análisis de Fourier. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. Capítulos 47 y 48. ISBN 0-521-38991-7.
13. M. Aslam Chaudhry y Syed M. Zubair (2001). Sobre una clase de funciones gamma incompletas con aplicaciones. CRC Press. pág. Apéndice C. ISBN 1-58488-143-7.
14. Murray H. Protter y Charles B. Morrey, Jr. (1985). Cálculo intermedio. Springer. pág. 307. ISBN 0-387-96058-9.

Enlaces externos

• Notas de matemáticas en línea de Paul: Cálculo III
• Buenas imágenes en 3D que muestran el cálculo de "Integrales dobles" utilizando integrales iteradas, del Departamento de Matemáticas de la Universidad Estatal de Oregon.
• Problemas de cálculo de la UCLA de Ron Miech Ejemplos más complejos de cambio del orden de integración (ver problemas 33, 35, 37, 39, 41 y 43)
• Sitio web de la Universidad de Minnesota de Duane Nykamp