Valor principal de Cauchy

Método para asignar valores a ciertas integrales impropias que de otro modo no estarían definidas

En matemáticas , el valor principal de Cauchy , llamado así por Augustin-Louis Cauchy , es un método para asignar valores a ciertas integrales impropias que de otro modo no estarían definidas. En este método, se evita una singularidad en un intervalo integral limitando el intervalo integral al dominio no singular.

Formulación

Dependiendo del tipo de singularidad en el integrando f , el valor principal de Cauchy se define según las siguientes reglas:

Para una singularidad en un número finito b

$${\displaystyle \lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}\;}\,\,\left[\,\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x~+~\int _{b+\varepsilon }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right]}$$con y donde b es el punto difícil, en el que el comportamiento de la función f es tal que para cualquier y para cualquier . (Véase más o menos para el uso preciso de las notaciones ± y ∓.) ${\displaystyle a<b<c}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty \quad }$$ ${\displaystyle a<b}$ $${\displaystyle \int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty \quad }$$ ${\displaystyle c>b}$

Para una singularidad en el infinito ( ) ${\displaystyle \infty }$

$${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\,\int _{-a}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x}$$donde y $${\displaystyle \int _{-\infty }^{0}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty }$$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty .}$$

En algunos casos es necesario tratar simultáneamente con singularidades tanto en un número finito b como en el infinito. Esto se hace usualmente por un límite de la forma En aquellos casos donde la integral puede ser dividida en dos límites finitos independientes, y entonces la función es integrable en el sentido ordinario. El resultado del procedimiento para el valor principal es el mismo que el de la integral ordinaria; dado que ya no coincide con la definición, técnicamente no es un "valor principal". El valor principal de Cauchy también puede definirse en términos de integrales de contorno de una función de valor complejo con un polo en un contorno C . Defina como ese mismo contorno, donde la porción dentro del disco de radio ε alrededor del polo ha sido eliminada. Siempre que la función sea integrable sobre cualquier cosa que ε sea pequeño, entonces el valor principal de Cauchy es el límite: ^[1] En el caso de funciones integrables de Lebesgue , es decir, funciones que son integrables en valor absoluto , estas definiciones coinciden con la definición estándar de la integral. Si la función es meromórfica , el teorema de Sokhotski-Plemelj relaciona el valor principal de la integral sobre C con el valor medio de las integrales con el contorno desplazado ligeramente hacia arriba y hacia abajo, de modo que el teorema del residuo se puede aplicar a esas integrales. Las integrales de valor principal desempeñan un papel central en la discusión de las transformadas de Hilbert . ^[2] $${\displaystyle \lim _{\;\eta \to 0^{+}}\,\lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}}\,\left[\,\int _{b-{\frac {1}{\eta }}}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\,~+~\int _{b+\varepsilon }^{b+{\frac {1}{\eta }}}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right].}$$ $${\displaystyle \lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}\;}\,\left|\,\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\,\right|\;<\;\infty }$$ $${\displaystyle \lim _{\;\eta \to 0^{+}}\;\left|\,\int _{b+\eta }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right|\;<\;\infty ,}$$ ${\displaystyle f(z):z=x+i\,y\;,}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} \;,}$ ${\displaystyle C(\varepsilon )}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle C(\varepsilon )}$ $${\displaystyle \operatorname {p.\!v.} \int _{C}f(z)\,\mathrm {d} z=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{C(\varepsilon )}f(z)\,\mathrm {d} z.}$$ ${\displaystyle f(z)}$

Teoría de la distribución

Sea el conjunto de funciones de protuberancia , es decir, el espacio de funciones suaves con soporte compacto en la recta real . Entonces, la función definida a través del valor principal de Cauchy como es una distribución . La función en sí misma a veces puede denominarse valor principal (de ahí la notación pv ). Esta distribución aparece, por ejemplo, en la transformada de Fourier de la función signo y la función escalón de Heaviside . ${\displaystyle {C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} }$$ $${\displaystyle \left[\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\right](u)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\mathbb {R} \setminus [-\varepsilon ,\varepsilon ]}{\frac {u(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\varepsilon }^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\quad {\text{for }}u\in {C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )}$$

La buena definición como distribución

Para demostrar la existencia del límite de una función de Schwartz , primero observe que es continua en como y, por lo tanto , como es continua y se aplica la regla de L'Hôpital . $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\varepsilon }^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x}$$ ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle {\frac {u(x)-u(-x)}{x}}}$ ${\displaystyle [0,\infty ),}$ $${\displaystyle \lim _{\,x\searrow 0\,}\;{\Bigl [}u(x)-u(-x){\Bigr ]}~=~0~}$$ $${\displaystyle \lim _{x\searrow 0}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}~=~\lim _{\,x\searrow 0\,}\,{\frac {u'(x)+u'(-x)}{1}}~=~2u'(0)~,}$$ ${\displaystyle u'(x)}$

Por lo tanto, existe y aplicando el teorema del valor medio obtenemos : ${\displaystyle \int _{0}^{1}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x}$ ${\displaystyle u(x)-u(-x),}$

${\displaystyle \left|\,\int _{0}^{1}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\,\right|\;\leq \;\int _{0}^{1}{\frac {{\bigl |}u(x)-u(-x){\bigr |}}{x}}\,\mathrm {d} x\;\leq \;\int _{0}^{1}\,{\frac {\,2x\,}{x}}\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}u'(x){\Bigr |}\,\mathrm {d} x\;\leq \;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}u'(x){\Bigr |}~.}$

Y además:

${\displaystyle \left|\,\int _{1}^{\infty }{\frac {\;u(x)-u(-x)\;}{x}}\,\mathrm {d} x\,\right|\;\leq \;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}x\cdot u(x){\Bigr |}~\cdot \;\int _{1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\,x^{2}\,}}\;=\;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}x\cdot u(x){\Bigr |}~,}$

Observamos que la función está limitada por las seminormas habituales de las funciones de Schwartz . Por lo tanto, esta función define, como es evidentemente lineal, una función continua en el espacio de Schwartz y, por lo tanto, una distribución templada . $${\displaystyle \operatorname {p.v.} \;\left({\frac {1}{\,x\,}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} }$$ ${\displaystyle u}$

Obsérvese que la prueba sólo debe ser continuamente diferenciable en un entorno de 0 y estar acotada hacia el infinito. Por lo tanto, el valor principal se define sobre supuestos aún más débiles, como integrable con soporte compacto y diferenciable en 0. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x\,u}$ ${\displaystyle u}$

Definiciones más generales

El valor principal es la distribución inversa de la función y es casi la única distribución con esta propiedad: donde es una constante y la distribución de Dirac. ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle xf=1\quad \Leftrightarrow \quad \exists K:\;\;f=\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)+K\delta ,}$$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \delta }$

En un sentido más amplio, el valor principal puede definirse para una amplia clase de núcleos integrales singulares en el espacio euclidiano . Si tiene una singularidad aislada en el origen, pero es una función "buena" en todo lo demás, entonces la distribución de valores principales está definida en funciones suaves con soporte compacto por Tal límite puede no estar bien definido o, estando bien definido, puede no definir necesariamente una distribución. Sin embargo, está bien definido si es una función homogénea continua de grado cuya integral sobre cualquier esfera centrada en el origen se anula. Este es el caso, por ejemplo, de las transformadas de Riesz . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle [\operatorname {p.\!v.} (K)](f)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\varepsilon }(0)}f(x)K(x)\,\mathrm {d} x.}$$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle -n}$

Ejemplos

Consideremos los valores de dos límites: $${\displaystyle \lim _{a\to 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=0,}$$

Éste es el valor principal de Cauchy de la expresión, que de otro modo estaría mal definida. $${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}},{\text{ (which gives }}{-\infty }+\infty {\text{)}}.}$$

También: $${\displaystyle \lim _{a\to 0+}\left(\int _{-1}^{-2a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=\ln 2.}$$

De manera similar, tenemos $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=0,}$$

Éste es el valor principal de la expresión, que de otro modo estaría mal definida, pero $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}{\text{ (which gives }}{-\infty }+\infty {\text{)}}.}$$ $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=-\ln 4.}$$

Notación

Diferentes autores utilizan diferentes notaciones para el valor principal de Cauchy de una función , entre otras: así como PV y VP ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle PV\int f(x)\,\mathrm {d} x,}$$ $${\displaystyle \mathrm {p.v.} \int f(x)\,\mathrm {d} x,}$$ $${\displaystyle \int _{L}^{*}f(z)\,\mathrm {d} z,}$$ $${\displaystyle -\!\!\!\!\!\!\int f(x)\,\mathrm {d} x,}$$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle P_{v},}$ ${\displaystyle (CPV),}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$

Véase también

• Integral de partes finitas de Hadamard
• Transformada de Hilbert
• Teorema de Sokhotski-Plemelj

Referencias

1. Kanwal, Ram P. (1996). Ecuaciones integrales lineales: teoría y técnica (2ª ed.). Boston, MA: Birkhäuser. pag. 191.ISBN​ 0-8176-3940-3– a través de Google Books.
2. King, Frederick W. (2009). Transformadas de Hilbert . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88762-5.