Teorema de desintegración

Teorema en la teoría de la medida

En matemáticas , el teorema de desintegración es un resultado de la teoría de la medida y la teoría de la probabilidad . Define rigurosamente la idea de una "restricción" no trivial de una medida a un subconjunto de medida cero del espacio de medidas en cuestión. Está relacionado con la existencia de medidas de probabilidad condicional . En cierto sentido, la "desintegración" es el proceso opuesto a la construcción de una medida de producto .

Motivación

Considere el cuadrado unitario en el plano euclidiano . Considere la medida de probabilidad definida por la restricción de la medida de Lebesgue bidimensional a . Es decir, la probabilidad de un evento es simplemente el área de . Suponemos que es un subconjunto medible de . ${\displaystyle S=[0,1]\times [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \lambda ^{2}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E\subseteq S}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle S}$

Considere un subconjunto unidimensional como el segmento de línea . tiene -medida cero; cada subconjunto de es un conjunto nulo ; dado que el espacio de medidas de Lebesgue es un espacio de medidas completo , ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L_{x}=\{x\}\times [0,1]}$ ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle E\subseteq L_{x}\implies \mu (E)=0.}$$

Si bien es cierto, esto resulta algo insatisfactorio. Sería bueno decir que "restringido a" es la medida de Lebesgue unidimensional , en lugar de la medida cero . La probabilidad de un evento "bidimensional" podría entonces obtenerse como una integral de las probabilidades unidimensionales de los "cortes" verticales : más formalmente, si denota una medida de Lebesgue unidimensional , entonces ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle \lambda ^{1}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E\cap L_{x}}$ ${\displaystyle \mu _{x}}$ ${\displaystyle L_{x}}$

$${\displaystyle \mu (E)=\int _{[0,1]}\mu _{x}(E\cap L_{x})\,\mathrm {d} x}$$

espacios métricos ${\displaystyle E\subseteq S}$

Declaración del teorema

(En adelante, denotaremos el conjunto de medidas de probabilidad de Borel en un espacio topológico ). Los supuestos del teorema son los siguientes: ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle (X,T)}$

• Sean y dos espacios de radón (es decir, un espacio topológico tal que cada medida de probabilidad de Borel en él es internamente regular , por ejemplo, espacios separablemente metrizables; en particular, cada medida de probabilidad en él es directamente una medida de radón ). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$
• Dejar . ${\displaystyle \mu \in {\mathcal {P}}(Y)}$
• Sea una función medible de Borel . Aquí uno debería pensar en una función para "desintegrar" , en el sentido de dividir en . Por ejemplo, para el ejemplo motivador anterior, se puede definir , lo que le da a , una porción que queremos capturar. ${\displaystyle \pi :Y\to X}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \{\pi ^{-1}(x)\ |\ x\in X\}}$ ${\displaystyle \pi ((a,b))=a}$ ${\displaystyle (a,b)\in [0,1]\times [0,1]}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(a)=a\times [0,1]}$
• Sea la medida de avance . Esta medida proporciona la distribución de (que corresponde a los eventos ). ${\displaystyle \nu \in {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle \nu =\pi _{*}(\mu )=\mu \circ \pi ^{-1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$

La conclusión del teorema: casi en todas partes existe una familia de medidas de probabilidad unívocamente determinada , que proporciona una "desintegración" de en , tal que: ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \{\mu _{x}\}_{x\in X}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \{\mu _{x}\}_{x\in X}}$

• la función es medible por Borel, en el sentido de que es una función mensurable por Borel para cada conjunto mensurable por Borel ; ${\displaystyle x\mapsto \mu _{x}}$ ${\displaystyle x\mapsto \mu _{x}(B)}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$
• ${\displaystyle \mu _{x}}$"vive de" la fibra : para casi todos , ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle x\in X}$
  $${\displaystyle \mu _{x}\left(Y\setminus \pi ^{-1}(x)\right)=0,}$$
  y entonces ; ${\displaystyle \mu _{x}(E)=\mu _{x}(E\cap \pi ^{-1}(x))}$
• para cada función medible de Borel , ${\displaystyle f:Y\to [0,\infty ]}$
  $${\displaystyle \int _{Y}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)=\int _{X}\int _{\pi ^{-1}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \mu _{x}(y)\,\mathrm {d} \nu (x).}$$
  En particular, para cualquier evento , tomando como función indicadora de , ^[1] ${\displaystyle E\subseteq Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$
  $${\displaystyle \mu (E)=\int _{X}\mu _{x}(E)\,\mathrm {d} \nu (x).}$$

Aplicaciones

Espacios de producto

El ejemplo original era un caso especial del problema de los espacios de productos, al que se aplica el teorema de la desintegración.

Cuando se escribe como un producto cartesiano y es la proyección natural , entonces cada fibra se puede identificar canónicamente y existe una familia Borel de medidas de probabilidad (que está -casi en todas partes determinada de forma única) tal que ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y=X_{1}\times X_{2}}$ ${\displaystyle \pi _{i}:Y\to X_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{1}^{-1}(x_{1})}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle \{\mu _{x_{1}}\}_{x_{1}\in X_{1}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X_{2})}$ ${\displaystyle (\pi _{1})_{*}(\mu )}$

$${\displaystyle \mu =\int _{X_{1}}\mu _{x_{1}}\,\mu \left(\pi _{1}^{-1}(\mathrm {d} x_{1})\right)=\int _{X_{1}}\mu _{x_{1}}\,\mathrm {d} (\pi _{1})_{*}(\mu )(x_{1}),}$$

^{[ se necesita aclaración ]}

$${\displaystyle \int _{X_{1}\times X_{2}}f(x_{1},x_{2})\,\mu (\mathrm {d} x_{1},\mathrm {d} x_{2})=\int _{X_{1}}\left(\int _{X_{2}}f(x_{1},x_{2})\mu (\mathrm {d} x_{2}\mid x_{1})\right)\mu \left(\pi _{1}^{-1}(\mathrm {d} x_{1})\right)}$$

$${\displaystyle \mu (A\times B)=\int _{A}\mu \left(B\mid x_{1}\right)\,\mu \left(\pi _{1}^{-1}(\mathrm {d} x_{1})\right).}$$

La relación con la expectativa condicional está dada por las identidades.

$${\displaystyle \operatorname {E} (f\mid \pi _{1})(x_{1})=\int _{X_{2}}f(x_{1},x_{2})\mu (\mathrm {d} x_{2}\mid x_{1}),}$$

$${\displaystyle \mu (A\times B\mid \pi _{1})(x_{1})=1_{A}(x_{1})\cdot \mu (B\mid x_{1}).}$$

Cálculo vectorial

También se puede considerar que el teorema de desintegración justifica el uso de una medida "restringida" en el cálculo vectorial . Por ejemplo, en el teorema de Stokes aplicado a un campo vectorial que fluye a través de una superficie compacta , está implícito que la medida "correcta" es la desintegración de la medida tridimensional de Lebesgue , y que la desintegración de esta medida en ∂Σ es lo mismo que la desintegración de on . ^[2] ${\displaystyle \Sigma \subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \lambda ^{3}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \lambda ^{3}}$ ${\displaystyle \partial \Sigma }$

Distribuciones condicionales

El teorema de desintegración se puede aplicar para dar un tratamiento riguroso de las distribuciones de probabilidad condicional en estadística, evitando formulaciones puramente abstractas de probabilidad condicional. ^[3]

Ver también

• Teorema de Ionescu-Tulcea  – Teorema de probabilidad
• Distribución de probabilidad conjunta  – Tipo de distribución de probabilidad
• Cópula (estadísticas)  : distribución estadística para la dependencia entre variables aleatoriasPages displaying short descriptions of redirect targets
• Expectativa condicional  : valor esperado de una variable aleatoria dado que se sabe que ocurren ciertas condiciones.
• Paradoja de Borel-Kolmogorov
• Probabilidad condicional regular

Referencias

1. Dellacherie, C.; Meyer, P.-A. (1978). Probabilidades y Potencial . Estudios de Matemáticas de Holanda Septentrional. Amsterdam: Holanda Septentrional. ISBN 0-7204-0701-X.
2. Ambrosio, L.; Gigli, N.; Savaré, G. (2005). Flujos de gradiente en espacios métricos y en el espacio de medidas de probabilidad . ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basilea. ISBN 978-3-7643-2428-5.
3. Chang, JT; Pollard, D. (1997). «Condicionamiento como desintegración» (PDF) . Statistica Neerlandica . 51 (3): 287. CiteSeerX 10.1.1.55.7544 . doi :10.1111/1467-9574.00056. S2CID  16749932.