En matemáticas , una medida regular interna es aquella para la cual la medida de un conjunto puede aproximarse desde dentro mediante subconjuntos compactos .
Sea ( X , T ) un espacio topológico de Hausdorff y sea Σ una σ-álgebra en X que contiene la topología T (de modo que todo conjunto abierto sea un conjunto medible , y Σ sea al menos tan fino como el σ-álgebra de Borel). en X ). Entonces una medida μ en el espacio medible ( X , Σ) se llama regular interna si, para cada conjunto A en Σ,
A veces se hace referencia a esta propiedad con palabras como "aproximación desde dentro mediante conjuntos compactos".
Algunos autores [1] [2] utilizan el término apretado como sinónimo de regular interno. Este uso del término está estrechamente relacionado con la rigidez de una familia de medidas , ya que una medida finita μ es internamente regular si y sólo si , para todo ε > 0, existe algún subconjunto compacto K de X tal que μ ( X \ K ) < ε . Esta es precisamente la condición de que el conjunto único de medidas { μ } sea ajustado.
Cuando a la línea real R se le da su topología euclidiana habitual,
Sin embargo, si se cambia la topología en R , estas medidas pueden dejar de ser internamente regulares. Por ejemplo, si a R se le da la topología de límite inferior (que genera la misma σ-álgebra que la topología euclidiana), entonces las dos medidas anteriores no logran ser internamente regulares, porque los conjuntos compactos en esa topología son necesariamente contables y, por lo tanto, de medida cero.
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