La pesadilla de Fubini

Aparente violación del teorema de Fubini

La pesadilla de Fubini es una aparente violación del teorema de Fubini , donde un espacio agradable, como el cuadrado, está foliado por fibras suaves, pero existe un conjunto de medida positiva cuya intersección con cada fibra es singular (a lo sumo un único punto en el ejemplo de Katok ). No hay una contradicción real con el teorema de Fubini porque a pesar de la suavidad de las fibras, la foliación no es absolutamente continua, y tampoco lo son las medidas condicionales sobre las fibras. ${\displaystyle [0,1]\times [0,1],}$

La existencia de la pesadilla de Fubini complica las pruebas, a nivel de fibras, para foliaciones centrales de sistemas dinámicos parcialmente hiperbólicos: estas foliaciones son típicamente de Hölder pero no absolutamente continuas.

Anatole Katok sugirió un ejemplo práctico de la pesadilla de Fubuni y lo publicó John Milnor . ^[1] Amie Wilkinson y Michael Shub construyeron una versión dinámica para la foliación central . ^[2]

La construcción de Katok

Foliación

Para un ejemplo, consideremos la codificación de puntos del intervalo mediante secuencias de ceros y unos, similar a la codificación binaria, pero dividiendo los intervalos en la razón . (En cuanto a la codificación binaria, nos identificamos con ) ${\displaystyle p\in (0,1)}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle (1-p):p}$ ${\displaystyle 0111\ldots }$ ${\displaystyle 1000\ldots }$

El punto correspondiente a una secuencia se da explícitamente por ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...)\in \{0,1\}^{\mathbb {N} },}$

${\displaystyle F_{p}(a_{1},a_{2},\dots )=\sum _{n:a_{n}=1}a_{n}(1-p)\ell _{n-1}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}p^{\#\{j\leq n-1:\,a_{j}=1\}}(1-p)^{1+\,\#\{j\leq n-1:\,a_{j}=0\}},}$

¿Dónde está la longitud del intervalo después de las primeras divisiones? ${\displaystyle \ell _{n}=p^{\#\{j\leq n:a_{j}=1\}}(1-p)^{\#\{j\leq n:a_{j}=0\}}}$ ${\displaystyle n}$

Foliación de Katok

Para una secuencia fija, la función es analítica. Esto se desprende de la prueba M de Weierstrass : la serie para converge uniformemente en subconjuntos compactos de la intersección. En particular, es una curva analítica. ${\displaystyle a\in \{0,1\}^{\mathbb {N} },}$ ${\displaystyle p\mapsto F_{p}(a)}$ ${\displaystyle p\mapsto F_{p}(a)}$ ${\displaystyle \{|p|<1\}\cap \{|1-p|<1\}\subset \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \gamma _{a}=\{(p,F_{p}(a)):p\in (0,1)\}}$

Ahora, el cuadrado está foliado por curvas analíticas. ${\displaystyle (0,1)\times [0,1]}$ ${\displaystyle \gamma _{a},a\in \{0,1\}^{\mathbb {N} }.}$

Colocar

Para una muestra fija y aleatoria según la medida de Lebesgue , los dígitos codificantes son variables aleatorias de Bernoulli independientes con parámetro , a saber y ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x\in [0,1],}$ ${\displaystyle a_{1}=a_{1}(x;p),a_{2}=a_{2}(x;p),...}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P(a_{n}=1)=p}$ ${\displaystyle P(a_{n}=0)=1-p.}$

Por la ley de los grandes números , para casi todos y cada uno de los ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x,}$

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}(x;p)\to p,\quad n\to \infty .}$

Por el teorema de Fubini, el conjunto

${\displaystyle M=\left\{(p,x):{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}(x;p)\,{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\,p\right\}}$

tiene medida de Lebesgue completa en el cuadrado . ${\displaystyle (0,1)\times [0,1]}$

Sin embargo, para cada secuencia fija el límite de sus promedios de Cesáro es único, si existe. Por lo tanto, cada curva o bien no se corta en absoluto (si no hay límite), o bien la corta en el único punto donde ${\displaystyle (a_{n}),}$ ${\displaystyle (a_{1}+\cdots +a_{n})/n}$ ${\displaystyle \gamma _{a}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (p,F_{p}(a)),}$

${\displaystyle p=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}+\dots +a_{n}}{n}}.}$

Por lo tanto, para la foliación y el conjunto anteriores , observamos una pesadilla de Fubini. ${\displaystyle M}$

Construcción de Wilkinson-Shub

Wilkinson y Shub consideraron difeomorfismos que son pequeñas perturbaciones del difeomorfismo del toro tridimensional donde  es el mapa del gato de Arnold . Este mapa y sus pequeñas perturbaciones son parcialmente hiperbólicos. Además, las fibras centrales de los mapas perturbados son círculos suaves, cercanos a los del mapa original. ${\displaystyle A\times id}$ ${\displaystyle T^{3}=T^{2}\times S^{1},}$ ${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}2&1\\1&1\end{smallmatrix}}\right):T^{2}\to T^{2}}$

La perturbación de Wilkinson y Shub está diseñada para preservar la medida de Lebesgue y hacer que el difeomorfismo sea ergódico con el exponente central de Lyapunov . Supongamos que es positivo (de lo contrario, invierta la función). Entonces, el conjunto de puntos para los que el exponente central de Lyapunov es positivo tiene una medida de Lebesgue completa en ${\displaystyle \lambda _{c}\neq 0.}$ ${\displaystyle \lambda _{c}}$ ${\displaystyle T^{3}.}$

Por otra parte, la longitud de los círculos de la foliación central está acotada por encima. Por lo tanto, en cada círculo, el conjunto de puntos con exponente central de Lyapunov positivo tiene que tener medida cero. Argumentos más sutiles muestran que este conjunto es finito y tenemos la pesadilla de Fubini.

Referencias

1. Milnor, J. (1997). "Fubini frustrado: el ejemplo paradójico de Katok en la teoría de la medida". The Mathematical Intelligencer . 19 (2): 30–32. doi :10.1007/BF03024428.
2. Shub, M.; Wilkinson, A. (2000). "Foliaciones patológicas y exponentes cero removibles". Inventiones mathematicae . 139 : 495–508. doi :10.1007/s002229900035.