Anatoly Borisovich Katok ( ruso : Анатолий Борисович Каток ; 9 de agosto de 1944 - 30 de abril de 2018) fue un matemático estadounidense de origen ruso-judío [1] . [2] Katok era el director del Centro de Dinámica y Geometría de la Universidad Estatal de Pensilvania. Su campo de investigación fue la teoría de los sistemas dinámicos . [3] [4] [5]
Anatole Katok se graduó en la Universidad Estatal de Moscú , donde obtuvo su maestría en 1965 y su doctorado en 1968 (con una tesis sobre "Aplicaciones del método de aproximación de sistemas dinámicos mediante transformaciones periódicas a la teoría ergódica" bajo la dirección de Yakov Sinai ). En 1978 emigró a Estados Unidos. Estaba casado con la matemática Svetlana Katok , quien también trabaja en sistemas dinámicos y ha estado involucrada con Katok en el programa MASS para estudiantes universitarios en Penn State. [3] [5]
Mientras estaba en la escuela de posgrado, Katok (junto con A. Stepin) desarrolló una teoría de aproximaciones periódicas de transformaciones que preservan medidas comúnmente conocidas como aproximaciones de Katok-Stepin. Esta teoría ayudó a resolver algunos problemas que se remontaban a von Neumann y Kolmogorov , y ganó el premio de la Sociedad Matemática de Moscú en 1967. [3] [5]
Su siguiente resultado fue la teoría de la equivalencia monótona (o Kakutani ), que se basa en una generalización del concepto de cambio temporal en los flujos. Hay construcciones en la teoría de los sistemas dinámicos que se deben a Katok. Entre ellos se encuentran la construcción de Anosov -Katok de difeomorfismos ergódicos suaves de variedades compactas que preservan el área, la construcción de difeomorfismos de Bernoulli con exponentes de Lyapunov distintos de cero en cualquier superficie y la primera construcción de una foliación invariante en la que el teorema de Fubini falla de la peor manera posible. (Fubini frustró). [sesenta y cinco]
Con Elon Lindenstrauss y Manfred Einsiedler, Katok logró importantes avances en la conjetura de Littlewood en la teoría de las aproximaciones diofánticas . [7]
Katok también era conocido por formular conjeturas y problemas (por algunos de los cuales incluso ofreció premios) que influyeron en los trabajos sobre sistemas dinámicos. La más conocida de ellas es la conjetura de entropía de Katok, que conecta las propiedades geométricas y dinámicas de los flujos geodésicos. Es una de las primeras declaraciones de rigidez en sistemas dinámicos. En las últimas dos décadas, Katok ha estado trabajando en otros fenómenos de rigidez y, en colaboración con varios colegas, hizo contribuciones a la rigidez suave y la rigidez geométrica, a la rigidez diferencial y cohomológica de acciones suaves de grupos abelianos de rango superior y de redes en grupos de Lie. de rango superior, para medir la rigidez de las acciones grupales y para acciones hiperbólicas no uniformes de grupos abelianos de rango superior. [8] [5]
Los trabajos de Katok sobre las propiedades topológicas de sistemas dinámicos no uniformemente hiperbólicos. Incluye la densidad de puntos periódicos y los límites inferiores de su número, así como el agotamiento de la entropía topológica por las herraduras. Estos fueron el tema de su conferencia en el Congreso Internacional de Matemáticos en 1983, así como de las Conferencias en Memoria de Rufus Bowen de 1982 en la Universidad de California, Berkeley . [3] [5]
La colaboración de Katok con su antiguo alumno Boris Hasselblatt dio como resultado el libro Introducción a la teoría moderna de los sistemas dinámicos , publicado por Cambridge University Press en 1995. Este libro se considera una enciclopedia de sistemas dinámicos modernos y se encuentra entre las publicaciones más citadas en el área. [9] [5]
Anatole Katok fue editor en jefe del Journal of Modern Dynamics y miembro de los consejos editoriales de muchas otras publicaciones prestigiosas, incluidas Ergodic Theory and Dynamical Systems, Cambridge Tracts in Mathematics y Cambridge Studies in Advanced Mathematics. [10] [5]
Katok ocupó cargos docentes permanentes en tres departamentos de matemáticas: la Universidad de Maryland (1978-1984), el Instituto de Tecnología de California (1984-1990) y desde 1990 en la Universidad Estatal de Pensilvania, donde ocupó la cátedra Raymond N. Shibley desde 1996. había asesorado a 44 estudiantes de doctorado en su tesis; El Proyecto de Genealogía de Matemáticas enumera a la mayoría de sus estudiantes de doctorado y 121 descendientes. [3] [11]
En 1967, Katok recibió el Premio de la Sociedad Matemática de Moscú para Jóvenes Matemáticos (con A. Stepin y V. Oseledets). [5] En 1983 fue orador invitado en el Congreso Internacional de Matemáticos en Varsovia (su charla se tituló "Hiperbolicidad no uniforme y estructura de sistemas dinámicos suaves"). Katok se convirtió en miembro de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias en 2004. En 2012, se convirtió en miembro de la Sociedad Matemática Estadounidense . [3]