Simetría de segundas derivadas.

Teorema matemático

En matemáticas , la simetría de segundas derivadas (también llamada igualdad de parciales mixtos ) se refiere a la posibilidad de intercambiar el orden de toma de derivadas parciales de una función.

${\displaystyle f\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)}$

de variables sin cambiar el resultado bajo ciertas condiciones (ver más abajo). La simetría es la afirmación de que las derivadas parciales de segundo orden satisfacen la identidad ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)\ =\ {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)}$

de modo que formen una matriz simétrica , conocida como matriz de Hesse de la función . Las condiciones suficientes para que se mantenga la simetría anterior se establecen mediante un resultado conocido como teorema de Schwarz , teorema de Clairaut o teorema de Young . ^{[1] [2]} ${\displaystyle n\times n}$

En el contexto de las ecuaciones diferenciales parciales se denomina condición de integrabilidad de Schwarz .

Expresiones formales de simetría.

En símbolos, la simetría se puede expresar como:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\ =\ {\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)\qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial x\,\partial y}}\ =\ {\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial y\,\partial x}}.}$

Otra notación es:

${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f=\partial _{y}\partial _{x}f\qquad {\text{or}}\qquad f_{yx}=f_{xy}.}$

En términos de composición del operador diferencial D _i que toma la derivada parcial con respecto a x _i :

${\displaystyle D_{i}\circ D_{j}=D_{j}\circ D_{i}}$.

De esta relación se deduce que el anillo de operadores diferenciales con coeficientes constantes , generado por el Di _, es conmutativo ; pero esto sólo es cierto como operadores sobre un dominio de funciones suficientemente diferenciables. Es fácil comprobar la simetría aplicada a los monomios , de modo que se pueden tomar polinomios en x _i como dominio. De hecho, las funciones fluidas son otro dominio válido.

Historia

El resultado sobre la igualdad de derivadas parciales mixtas bajo ciertas condiciones tiene una larga historia. La lista de pruebas propuestas sin éxito comenzó con la de Euler , publicada en 1740, ^[3] aunque ya en 1721 Bernoulli había asumido implícitamente el resultado sin justificación formal. ^[4] Clairaut también publicó una propuesta de prueba en 1740, sin otros intentos hasta finales del siglo XVIII. A partir de entonces, durante un período de 70 años, se propusieron numerosas pruebas incompletas. La prueba de Lagrange (1797) fue mejorada por Cauchy (1823), pero asumió la existencia y continuidad de las derivadas parciales y . ^[5] Otros intentos fueron realizados por P. Blanchet (1841), Duhamel (1856), Sturm (1857), Schlömilch (1862) y Bertrand (1864). Finalmente, en 1867, Lindelöf analizó sistemáticamente todas las pruebas erróneas anteriores y pudo exhibir un contraejemplo específico en el que las derivadas mixtas no lograban ser iguales. ^{[6] [7]} ${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$

Seis años después, Schwarz logró dar la primera prueba rigurosa. ^[8] Dini contribuyó más tarde encontrando condiciones más generales que las de Schwarz. Finalmente, Jordan encontró una versión limpia y más general en 1883 que todavía es la prueba que se encuentra en la mayoría de los libros de texto. Laurent (1885), Peano (1889 y 1893), J. Edwards (1892), P. Haag (1893), JK Whittemore (1898), Vivanti (1899) y Pierpont (1905) publicaron variantes menores de pruebas anteriores . Se lograron mayores avances en 1907-1909 cuando EW Hobson y WH Young encontraron pruebas con condiciones más débiles que las de Schwarz y Dini. En 1918, Carathéodory dio una prueba diferente basada en la integral de Lebesgue . ^[7]

teorema de schwarz

En análisis matemático , el teorema de Schwarz (o teorema de Clairaut sobre la igualdad de parciales mixtos ) ^[9] , que lleva el nombre de Alexis Clairaut y Hermann Schwarz , establece que para una función definida en un conjunto , si es un punto tal que alguna vecindad de está contenida en y tiene segundas derivadas parciales continuas en esa vecindad de , entonces para todo i y j en ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \{1,2\ldots ,\,n\},}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}f(\mathbf {p} )={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}f(\mathbf {p} ).}$

Las derivadas parciales de esta función conmutan en ese punto.

Una manera fácil de establecer este teorema (en el caso en que , y , lo que implica fácilmente el resultado en general) es aplicando el teorema de Green al gradiente de ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle i=1}$ ${\displaystyle j=2}$ ${\displaystyle f.}$

Una demostración elemental de funciones en subconjuntos abiertos del plano es la siguiente (mediante una simple reducción, el caso general del teorema de Schwarz se reduce fácilmente al caso plano). ^[10] Sea una función diferenciable sobre un rectángulo abierto que contenga un punto y supongamos que es continua con continua y sobre Definir ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f}$ ${\displaystyle \partial _{y}\partial _{x}f}$ ${\displaystyle \Omega .}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u\left(h,\,k\right)&=f\left(a+h,\,b+k\right)-f\left(a+h,\,b\right),\\v\left(h,\,k\right)&=f\left(a+h,\,b+k\right)-f\left(a,\,b+k\right),\\w\left(h,\,k\right)&=f\left(a+h,\,b+k\right)-f\left(a+h,\,b\right)-f\left(a,\,b+k\right)+f\left(a,\,b\right).\end{aligned}}}$

Estas funciones están definidas para , donde y está contenido en ${\displaystyle \left|h\right|,\,\left|k\right|<\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \left[a-\varepsilon ,\,a+\varepsilon \right]\times \left[b-\varepsilon ,\,b+\varepsilon \right]}$ ${\displaystyle \Omega .}$

Según el teorema del valor medio , para h y k fijos distintos de cero, se puede encontrar en el intervalo abierto con ${\displaystyle \theta ,\theta ',\phi ,\phi '}$ ${\displaystyle (0,1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}w\left(h,\,k\right)&=u\left(h,\,k\right)-u\left(0,\,k\right)=h\,\partial _{x}u\left(\theta h,\,k\right)\\&=h\,\left[\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b+k\right)-\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b\right)\right]\\&=hk\,\partial _{y}\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b+\theta ^{\prime }k\right)\\w\left(h,\,k\right)&=v\left(h,\,k\right)-v\left(h,\,0\right)=k\,\partial _{y}v\left(h,\,\phi k\right)\\&=k\left[\partial _{y}f\left(a+h,\,b+\phi k\right)-\partial _{y}f\left(a,\,b+\phi k\right)\right]\\&=hk\,\partial _{x}\partial _{y}f\left(a+\phi ^{\prime }h,\,b+\phi k\right).\end{aligned}}}$

Desde entonces , la primera igualdad a continuación se puede dividir por : ${\displaystyle h,\,k\neq 0}$ ${\displaystyle hk}$

${\displaystyle {\begin{aligned}hk\,\partial _{y}\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b+\theta ^{\prime }k\right)&=hk\,\partial _{x}\partial _{y}f\left(a+\phi ^{\prime }h,\,b+\phi k\right),\\\partial _{y}\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b+\theta ^{\prime }k\right)&=\partial _{x}\partial _{y}f\left(a+\phi ^{\prime }h,\,b+\phi k\right).\end{aligned}}}$

Haciendo que tienda a cero en la última igualdad, los supuestos de continuidad en y ahora implican que ${\displaystyle h,\,k}$ ${\displaystyle \partial _{y}\partial _{x}f}$ ${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}f\left(a,\,b\right)={\frac {\partial ^{2}}{\partial y\partial x}}f\left(a,\,b\right).}$

Esta explicación es un método clásico sencillo que se encuentra en muchos libros de texto, por ejemplo en Burkill, Apostol y Rudin. ^{[10] [11] [12]}

Aunque la derivación anterior es elemental, el enfoque también puede verse desde una perspectiva más conceptual para que el resultado sea más evidente. ^{[13] [14] [15] [16] [17]} De hecho, los operadores de diferencia conmutan y tienden a como tiende a 0, con una afirmación similar para los operadores de segundo orden. ^[a] Aquí, para un vector en el plano y un vector direccional o , el operador de diferencia se define por ${\displaystyle \Delta _{x}^{t},\,\,\Delta _{y}^{t}}$ ${\displaystyle \Delta _{x}^{t}f,\,\,\Delta _{y}^{t}f}$ ${\displaystyle \partial _{x}f,\,\,\partial _{y}f}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\tbinom {1}{0}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {0}{1}}}$

${\displaystyle \Delta _{u}^{t}f(z)={f(z+tu)-f(z) \over t}.}$

Por el teorema fundamental del cálculo para funciones en un intervalo abierto con ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (a,b)\subset I}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f^{\prime }(x)\,dx=f(b)-f(a).}$

Por eso

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq (b-a)\,\sup _{c\in (a,b)}|f^{\prime }(c)|}$.

Ésta es una versión generalizada del teorema del valor medio . Recuerde que la discusión elemental sobre máximos o mínimos para funciones con valores reales implica que si es continua y diferenciable en , entonces hay un punto tal que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle {f(b)-f(a) \over b-a}=f^{\prime }(c).}$

Para funciones con valores vectoriales con un espacio normado de dimensión finita, no existe un análogo de la igualdad anterior; de hecho, falla. Pero desde , la desigualdad anterior es un sustituto útil. Además, al utilizar el emparejamiento del dual de con su norma dual, se obtiene la siguiente desigualdad: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \inf f^{\prime }\leq f^{\prime }(c)\leq \sup f^{\prime }}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \|f(b)-f(a)\|\leq (b-a)\,\sup _{c\in (a,b)}\|f^{\prime }(c)\|}$.

Estas versiones del teorema del valor medio se analizan en Rudin, Hörmander y otros lugares. ^{[19] [20]}

Para una función en un conjunto abierto en el plano, defina y . Además para el conjunto ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle D_{1}=\partial _{x}}$ ${\displaystyle D_{2}=\partial _{y}}$ ${\displaystyle t\neq 0}$

${\displaystyle \Delta _{1}^{t}f(x,y)=[f(x+t,y)-f(x,y)]/t,\,\,\,\,\,\,\Delta _{2}^{t}f(x,y)=[f(x,y+t)-f(x,y)]/t}$.

Entonces , en el conjunto abierto, el teorema del valor medio generalizado se puede aplicar dos veces: ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

${\displaystyle \left|\Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right|\leq \sup _{0\leq s\leq 1}\left|\Delta _{1}^{t}D_{2}f(x_{0},y_{0}+ts)-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right|\leq \sup _{0\leq r,s\leq 1}\left|D_{1}D_{2}f(x_{0}+tr,y_{0}+ts)-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right|.}$

Por lo tanto, tiende a 0. El mismo argumento muestra que tiende a . Por lo tanto, dado que los operadores de diferencia conmutan, también lo hacen los operadores de diferencial parcial y , como se afirma. ^{[21] [22] [23] [24] [25]} ${\displaystyle \Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \Delta _{2}^{t}\Delta _{1}^{t}f(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle D_{2}D_{1}f(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$

Observación. Mediante dos aplicaciones del teorema clásico del valor medio,

${\displaystyle \Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})=D_{1}D_{2}f(x_{0}+t\theta ,y_{0}+t\theta ^{\prime })}$

para algunos y en . Por tanto, la primera prueba elemental puede reinterpretarse utilizando operadores de diferencias. Por el contrario, en lugar de utilizar el teorema del valor medio generalizado en la segunda prueba, se podría utilizar el teorema del valor medio clásico. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ ${\displaystyle (0,1)}$

Prueba del teorema de Clairaut utilizando integrales iteradas

Las propiedades de integrales de Riemann repetidas de una función continua F en un rectángulo compacto [ a , b ] × [ c , d ] se establecen fácilmente. ^[26] La continuidad uniforme de F implica inmediatamente que las funciones y son continuas. ^[27] De ello se deduce que ${\displaystyle g(x)=\int _{c}^{d}F(x,y)\,dy}$ ${\displaystyle h(y)=\int _{a}^{b}F(x,y)\,dx}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{c}^{d}F(x,y)\,dy\,dx=\int _{c}^{d}\int _{a}^{b}F(x,y)\,dx\,dy}$;

además, es inmediato que la integral iterada es positiva si F es positiva. ^[28] La igualdad anterior es un caso simple del teorema de Fubini , que no involucra la teoría de la medida . Titchmarsh (1939) lo demuestra de manera sencilla utilizando la aproximación de Riemann de sumas correspondientes a subdivisiones de un rectángulo en rectángulos más pequeños.

Para probar el teorema de Clairaut, supongamos que f es una función diferenciable en un conjunto abierto U , para el cual las segundas derivadas parciales mixtas f _yx y f _xy existen y son continuas. Usando el teorema fundamental del cálculo dos veces,

${\displaystyle \int _{c}^{d}\int _{a}^{b}f_{yx}(x,y)\,dx\,dy=\int _{c}^{d}f_{y}(b,y)-f_{y}(a,y)\,dy=f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c).}$

Similarmente

${\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f_{xy}(x,y)\,dy\,dx=\int _{a}^{b}f_{x}(x,d)-f_{x}(x,c)\,dx=f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c).}$

Por tanto, las dos integrales iteradas son iguales. Por otro lado, dado que f _xy ( x , y ) es continua, la segunda integral iterada se puede realizar integrando primero sobre x y luego sobre y . Pero entonces la integral iterada de f _yx − f _xy en [ a , b ] × [ c , d ] debe desaparecer. Sin embargo, si la integral iterada de una función continua F desaparece para todos los rectángulos, entonces F debe ser idénticamente cero; porque de lo contrario F o − F sería estrictamente positivo en algún punto y por tanto por continuidad en un rectángulo, lo cual no es posible. Por lo tanto, f _yx − f _xy debe desaparecer de manera idéntica, de modo que f _yx = f _xy en todas partes. ^{[29] [30] [31] [32] [33]}

Suficiencia de doble diferenciabilidad

Una condición más débil que la continuidad de las segundas derivadas parciales (que está implícita en esta última) y que es suficiente para garantizar la simetría es que todas las derivadas parciales sean en sí mismas diferenciables . ^[34] Peano proporcionó otro fortalecimiento del teorema, en el que se afirma la existencia del parcial mixto permutado, en una breve nota de 1890 sobre Mathesis :

Si está definido en un conjunto abierto ; y existen en todas partes ; es continua en , y si existe en una vecindad de , entonces existe en y . ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \partial _{1}f(x,\,y)}$ ${\displaystyle \partial _{2,1}f(x,\,y)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \partial _{2,1}f}$ ${\displaystyle \left(x_{0},\,y_{0}\right)\in E}$ ${\displaystyle \partial _{2}f(x,\,y_{0})}$ ${\displaystyle x=x_{0}}$ ${\displaystyle \partial _{1,2}f}$ ${\displaystyle \left(x_{0},\,y_{0}\right)}$ ${\displaystyle \partial _{1,2}f\left(x_{0},\,y_{0}\right)=\partial _{2,1}f\left(x_{0},\,y_{0}\right)}$^[35]

Formulación de la teoría de la distribución.

La teoría de distribuciones (funciones generalizadas) elimina los problemas analíticos con la simetría. La derivada de una función integrable siempre se puede definir como una distribución, y la simetría de las derivadas parciales mixtas siempre se cumple como una igualdad de distribuciones. El uso de la integración formal por partes para definir la diferenciación de distribuciones devuelve la cuestión de la simetría a las funciones de prueba , que son suaves y ciertamente satisfacen esta simetría. Con más detalle (donde f es una distribución, escrita como operador en funciones de prueba, y φ es una función de prueba),

${\displaystyle \left(D_{1}D_{2}f\right)[\phi ]=-\left(D_{2}f\right)\left[D_{1}\phi \right]=f\left[D_{2}D_{1}\phi \right]=f\left[D_{1}D_{2}\phi \right]=-\left(D_{1}f\right)\left[D_{2}\phi \right]=\left(D_{2}D_{1}f\right)[\phi ].}$

Otro enfoque, que define la transformada de Fourier de una función, es observar que en tales transformadas las derivadas parciales se convierten en operadores de multiplicación que conmutan de manera mucho más obvia. ^[a]

Requisito de continuidad

La simetría puede romperse si la función no tiene derivadas parciales diferenciables, lo cual es posible si no se cumple el teorema de Clairaut (las segundas derivadas parciales no son continuas ).

La función f ( x ,  y ), como se muestra en la ecuación ( 1 ), no tiene segundas derivadas simétricas en su origen.

Un ejemplo de asimetría es la función (debido a Peano ) ^{[36] [37]}

Esto se puede visualizar mediante la forma polar ; es continuo en todas partes, pero sus derivadas en (0, 0) no se pueden calcular algebraicamente. Más bien, el límite de los cocientes de diferencias muestra que , por lo que la gráfica tiene un plano tangente horizontal en (0, 0) , y las derivadas parciales existen y son continuas en todas partes. Sin embargo, las segundas derivadas parciales no son continuas en (0, 0) y la simetría falla. De hecho, a lo largo del eje x la derivada y es , por lo que: ${\displaystyle f(r\cos(\theta ),r\sin(\theta ))={\frac {r^{2}\sin(4\theta )}{4}}}$ ${\displaystyle f_{x}(0,0)=f_{y}(0,0)=0}$ ${\displaystyle z=f(x,y)}$ ${\displaystyle f_{x},f_{y}}$ ${\displaystyle f_{y}(x,0)=x}$

${\displaystyle f_{yx}(0,0)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f_{y}(\varepsilon ,0)-f_{y}(0,0)}{\varepsilon }}=1.}$

Por el contrario, a lo largo del eje y la derivada x , y así . Es decir, en (0, 0) , aunque las derivadas parciales mixtas existen, y en todos los demás puntos la simetría se cumple. ${\displaystyle f_{x}(0,y)=-y}$ ${\displaystyle f_{xy}(0,0)=-1}$ ${\displaystyle f_{yx}\neq f_{xy}}$

La función anterior, escrita en un sistema de coordenadas cilíndrico, se puede expresar como

${\displaystyle f(r,\,\theta )={\frac {r^{2}\sin {4\theta }}{4}},}$

mostrando que la función oscila cuatro veces cuando viaja una vez alrededor de un bucle arbitrariamente pequeño que contiene el origen. Por lo tanto, intuitivamente el comportamiento local de la función en (0, 0) no puede describirse como una forma cuadrática y, por tanto, la matriz de Hesse no es simétrica.

En general, el intercambio de operaciones limitantes no necesita conmutar . Dadas dos variables cercanas a (0, 0) y dos procesos limitantes en

${\displaystyle f(h,\,k)-f(h,\,0)-f(0,\,k)+f(0,\,0)}$

correspondiente a hacer h → 0 primero, y a hacer k → 0 primero. Puede importar, observando los términos de primer orden, cuál se aplica primero. Esto lleva a la construcción de ejemplos patológicos en los que las segundas derivadas no son simétricas. Este tipo de ejemplo pertenece a la teoría del análisis real donde importa el valor puntual de las funciones. Cuando se ve como una distribución, los valores de la segunda derivada parcial se pueden cambiar en un conjunto arbitrario de puntos siempre que tenga una medida de Lebesgue 0. Dado que en el ejemplo el hessiano es simétrico en todas partes excepto (0, 0) , no hay contradicción con la hecho de que la hessiana, vista como una distribución de Schwartz , es simétrica.

En la teoría de la mentira

Considere que los operadores diferenciales de primer orden Di _son operadores infinitesimales en el espacio euclidiano . Es decir, D _i en cierto sentido genera el grupo de traslaciones de un parámetro paralelo al eje x _i . Estos grupos conmutan entre sí y, por tanto, los generadores infinitesimales también lo hacen; el soporte de mentira

[ D _i , D _j ] = 0

es el reflejo de esta propiedad. En otras palabras, la derivada de Lie de una coordenada con respecto a otra es cero.

Aplicación a formas diferenciales.

El teorema de Clairaut-Schwarz es el hecho clave necesario para demostrar que para cada forma diferencial (o al menos dos veces diferenciable) , la segunda derivada exterior desaparece : Esto implica que toda forma exacta diferenciable (es decir, una forma tal que para alguna forma ) es cerrada (es decir, ), ya que . ^[38] ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)}$ ${\displaystyle d^{2}\omega :=d(d\omega )=0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =d\omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle d\alpha =0}$ ${\displaystyle d\alpha =d(d\omega )=0}$

A mediados del siglo XVIII, la teoría de las formas diferenciales se estudió por primera vez en el caso más simple de formas 1 en el plano, es decir , donde y son funciones en el plano. El estudio de las formas 1 y las diferenciales de funciones comenzó con los artículos de Clairaut en 1739 y 1740. En esa etapa, sus investigaciones se interpretaron como formas de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias . Formalmente, Clairaut demostró que una forma 1 en un rectángulo abierto es cerrada, es decir , si y sólo tiene la forma para alguna función en el disco. La solución se puede escribir mediante la fórmula integral de Cauchy. ${\displaystyle A\,dx+B\,dy}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \omega =A\,dx+B\,dy}$ ${\displaystyle d\omega =0}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}A(x,y)\,dx+\int _{y_{0}}^{y}B(x,y)\,dy;}$

mientras que si , la propiedad cerrada es la identidad . (En lenguaje moderno, esta es una versión del lema de Poincaré .) ^[39] ${\displaystyle \omega =df}$ ${\displaystyle d\omega =0}$ ${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f=\partial _{y}\partial _{x}f}$

Notas

1. Estos también se pueden reformular en términos de la acción de los operadores en las funciones de Schwartz en el avión. Según la transformada de Fourier , los operadores diferenciales y diferenciales son solo operadores de multiplicación. ^[18]

1. "Teorema de Young" (PDF) . Universidad de California, Berkeley. Archivado desde el original (PDF) el 18 de mayo de 2006 . Consultado el 2 de enero de 2015 .
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5. Minguzzi 2015.
6. Lindelöf 1867.
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8. Negro 1873.
9. James 1966, pag.  ^{[ página necesaria ]} .
10. Burkill 1962, págs. 154-155
11. Apóstol 1965.
12. Rudin 1976.
13. Hörmander 2015, págs. 7, 11. Este relato condensado es posiblemente el más breve.
14. Dieudonné 1960, págs. 179-180.
15. Godement 1998b, págs. 287–289.
16. Lang 1969, págs. 108-111.
17. Cartan 1971, págs. 64–67.
18. Hörmander 2015, Capítulo VII.
19. Hörmander 2015, pag. 6.
20. Rudin 1976, pag.  ^{[ página necesaria ]} .
21. Hörmander 2015, pag. 11.
22. Dieudonné 1960.
23. Godement 1998a.
24. Lang 1969.
25. Cartan 1971.
26. Titchmarsh 1939, pag.  ^{[ página necesaria ]} .
27. Titchmarsh 1939, págs. 23-25.
28. Titchmarsh 1939, págs. 49–50.
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30. McGrath 2014.
31. Aksoy y Martelli 2002.
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Otras lecturas

• "Derivada parcial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]