Fórmula de Coarea

En el campo matemático de la teoría de la medida geométrica , la fórmula de coarea expresa la integral de una función sobre un conjunto abierto en el espacio euclidiano en términos de integrales sobre los conjuntos de nivel de otra función. Un caso especial es el teorema de Fubini , que dice bajo hipótesis adecuadas que la integral de una función sobre la región encerrada por una caja rectangular puede escribirse como la integral iterada sobre los conjuntos de nivel de las funciones coordenadas. Otro caso especial es la integración en coordenadas esféricas , en la que la integral de una función en R ⁿ está relacionada con la integral de la función sobre capas esféricas: conjuntos de nivel de la función radial. La fórmula juega un papel decisivo en el estudio moderno de los problemas isoperimétricos .

Para funciones suaves, la fórmula es un resultado de cálculo multivariante que se deduce de un cambio de variables . Herbert Federer (Federer 1959) estableció por primera vez formas más generales de la fórmula para funciones de Lipschitz y Fleming y Rishel (1960) para funciones BV .

Una formulación precisa de la fórmula es la siguiente. Supóngase que Ω es un conjunto abierto en y u es una función de Lipschitz de valor real en Ω. Entonces, para una función L 1 g , ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int _{\Omega }g(x)|\nabla u(x)|\,dx=\int _{\mathbb {R} }\left(\int _{u^{-1}(t)}g(x)\,dH_{n-1}(x)\right)\,dt}$

donde H _{n −1} es la medida de Hausdorff de dimensión ( n  − 1) . En particular, al tomar g como uno, esto implica

${\displaystyle \int _{\Omega }|\nabla u|=\int _{-\infty }^{\infty }H_{n-1}(u^{-1}(t))\,dt,}$

y a la inversa, la última igualdad implica la primera mediante técnicas estándar en la integración de Lebesgue .

De manera más general, la fórmula de coarea se puede aplicar a funciones de Lipschitz u definidas en que toman valores en donde k  ≤  n . En este caso, se cumple la siguiente identidad ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

${\displaystyle \int _{\Omega }g(x)|J_{k}u(x)|\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{k}}\left(\int _{u^{-1}(t)}g(x)\,dH_{n-k}(x)\right)\,dt}$

donde J _k u es el jacobiano k -dimensional de u cuyo determinante está dado por

${\displaystyle |J_{k}u(x)|=\left({\det \left(Ju(x)Ju(x)^{\intercal }\right)}\right)^{1/2}.}$

Aplicaciones

• Tomando u ( x ) = | x  −  x ₀ | se obtiene la fórmula para la integración en coordenadas esféricas de una función integrable f :

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f\,dx=\int _{0}^{\infty }\left\{\int _{\partial B(x_{0};r)}f\,dS\right\}\,dr.}$

• Combinando la fórmula del área con la desigualdad isoperimétrica se obtiene una prueba de la desigualdad de Sobolev para W ^1,1 con la mejor constante:

${\displaystyle \left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{\frac {n}{n-1}}\right)^{\frac {n-1}{n}}\leq n^{-1}\omega _{n}^{-{\frac {1}{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|}$

¿Dónde está el volumen de la bola unitaria en ${\displaystyle \omega _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Véase también

• Teorema de Sard
• Fórmula para una corteza suave

Referencias

• Federer, Herbert (1969), Teoría de la medida geométrica , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153, Nueva York: Springer-Verlag New York Inc., págs. xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7, Sr.  0257325.
• Federer, Herbert (1959), "Medidas de curvatura", Transactions of the American Mathematical Society , 93 (3), Transactions of the American Mathematical Society, vol. 93, núm. 3: 418–491, doi : 10.2307/1993504 , JSTOR  1993504.
• Fleming, WH; Rishel, R (1960), "Una fórmula integral para la variación del gradiente total", Archiv der Mathematik , 11 (1): 218–222, doi :10.1007/BF01236935
• Malý, J; Swanson, D; Ziemer, W (2002), "La fórmula de coárea para aplicaciones de Sobolev" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 355 (2): 477–492, doi : 10.1090/S0002-9947-02-03091-X.