Fubini – Métrica de estudio

Métrica sobre un espacio proyectivo complejo dotado de forma hermitiana

En matemáticas , la métrica de Fubini-Study (IPA: /fubini-ʃtuːdi/) es una métrica de Kähler en un espacio proyectivo complejo CP ⁿ dotado de forma hermitiana . Esta métrica fue descrita originalmente en 1904 y 1905 por Guido Fubini y Eduard Study . ^{[1] [2]}

Una forma hermitiana en (el espacio vectorial) C ^{n +1} define un subgrupo unitario U( n +1) en GL( n +1, C ). Una métrica del estudio Fubini se determina hasta la homotecia (escalamiento general) mediante la invariancia bajo dicha acción U ( n +1); por tanto es homogéneo . Equipado con una métrica del estudio de Fubini, CP ⁿ es un espacio simétrico . La normalización particular de la métrica depende de la aplicación. En geometría de Riemann , se utiliza una normalización para que la métrica de Fubini-Study simplemente se relacione con la métrica estándar en la esfera (2 n +1) . En geometría algebraica , se utiliza una normalización que convierte a CP ^en una variedad de Hodge .

Construcción

La métrica de Fubini-Study surge naturalmente en la construcción del espacio cociente del espacio proyectivo complejo .

Específicamente, se puede definir CP ⁿ como el espacio que consta de todas las líneas complejas en C ^{n +1} , es decir, el cociente de C ^{n +1} \{0} por la relación de equivalencia que relaciona todos los múltiplos complejos de cada punto juntos. Esto concuerda con el cociente por la acción de grupo diagonal del grupo multiplicativo C ^*  =  C  \{0}:

${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}=\left\{\mathbf {Z} =[Z_{0},Z_{1},\ldots ,Z_{n}]\in {\mathbf {C} }^{n+1}\setminus \{0\}\right\}{\big /}\{\mathbf {Z} \sim c\mathbf {Z} ,c\in \mathbf {C} ^{*}\}.}$

Este cociente realiza C ^{n +1} \{0} como un paquete de líneas complejo sobre el espacio base CP ⁿ . (De hecho, este es el llamado paquete tautológico sobre CP ⁿ .) Un punto de CP ⁿ se identifica así con una clase de equivalencia de ( n +1) -tuplas [ Z ₀ ,..., Z _n ] módulo complejo distinto de cero reescalado; las Z _i se llaman coordenadas homogéneas del punto.

Además, se puede realizar este mapeo de cociente en dos pasos: dado que la multiplicación por un escalar complejo distinto de cero z  =  Re  iθ puede considerarse únicamente como la composición de una dilatación por el módulo ^R seguida de una rotación en sentido antihorario alrededor del origen en un ángulo , el mapeo del cociente C ^{n +1}  →  CP ⁿ se divide en dos partes. ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \mathbf {C} ^{n+1}\setminus \{0\}\mathrel {\stackrel {(a)}{\longrightarrow }} S^{2n+1}\mathrel {\stackrel {(b)}{\longrightarrow }} \mathbf {CP} ^{n}}$

donde el paso (a) es un cociente de la dilatación Z  ~  R Z para R  ∈  R ⁺ , el grupo multiplicativo de números reales positivos , y el paso (b) es un cociente de las rotaciones Z  ~  e ^iθ Z .

El resultado del cociente en (a) es la hiperesfera real S ^{2 n +1} definida por la ecuación | Z | ² = | Z0 | _{_} ²  + ... + | Z _norte | ²  = 1. El cociente en (b) realiza CP ⁿ  =  S ^{2 n +1} / S ¹ , donde S ¹ representa el grupo de rotaciones. Este cociente se realiza explícitamente mediante la famosa fibración de Hopf S ¹  →  S ^{2 n +1}  →  CP ⁿ , cuyas fibras se encuentran entre los grandes círculos de . ${\displaystyle S^{2n+1}}$

Como cociente métrico

Cuando se toma un cociente de una variedad de Riemann (o de un espacio métrico en general), se debe tener cuidado de garantizar que el espacio cociente esté dotado de una métrica bien definida. Por ejemplo, si un grupo G actúa sobre una variedad de Riemann ( X , g ), entonces, para que el espacio orbital X / G posea una métrica inducida, debe ser constante a lo largo de G -órbitas en el sentido de que para cualquier elemento h  ∈  G y un par de campos vectoriales debemos tener g ( Xh , Yh ) =  g ( X , Y ). ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X,Y}$

La métrica hermitiana estándar en C ^{n +1} viene dada en la base estándar por

${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {Z} \otimes d{\bar {\mathbf {Z} }}=dZ_{0}\otimes d{\bar {Z}}_{0}+\cdots +dZ_{n}\otimes d{\bar {Z}}_{n}}$

cuya realización es la métrica euclidiana estándar en R ^{2 n +2} . Esta métrica no es invariante bajo la acción diagonal de C ^* , por lo que no podemos reducirla directamente a CP ⁿ en el cociente. Sin embargo, esta métrica es invariante bajo la acción diagonal de S ¹  = U(1), el grupo de rotaciones. Por lo tanto, el paso (b) en la construcción anterior es posible una vez que se realiza el paso (a).

La métrica de Fubini-Study es la métrica inducida en el cociente CP ⁿ  =  S ^{2 n +1} / S ¹ , donde lleva la llamada "métrica redonda" que le confiere la restricción de la métrica euclidiana estándar a la hiperesfera unitaria. ${\displaystyle S^{2n+1}}$

En coordenadas afines locales

Correspondiente a un punto en CP ⁿ con coordenadas homogéneas [ Z ₀ :...: Z _n ], existe un único conjunto de n coordenadas ( z ₁ ,..., z _n ) tal que

${\displaystyle [Z_{0}:\dots :Z_{n}]\sim [1,z_{1},\dots ,z_{n}],}$

siempre Z ₀  ≠ 0; específicamente, z _j  =  Z _j / Z ₀ . Los ( z ₁ ,..., z _n ) forman un sistema de coordenadas afín para CP ⁿ en el parche de coordenadas U ₀ = { Z ₀  ≠ 0}. Se puede desarrollar un sistema de coordenadas afín en cualquiera de los parches de coordenadas U _i  = { Z _i  ≠ 0} dividiendo por Z _i de la manera obvia. Los n +1 parches de coordenadas U _i cubren CP ⁿ , y es posible dar la métrica explícitamente en términos de las coordenadas afines ( z ₁ ,..., z _n ) en U _i . Las derivadas de coordenadas definen un marco del paquete tangente holomórfico de CP ⁿ , en términos del cual la métrica de Fubini-Study tiene componentes hermitianos. ${\displaystyle \{\partial _{1},\ldots ,\partial _{n}\}}$

${\displaystyle g_{i{\bar {j}}}=h(\partial _{i},{\bar {\partial }}_{j})={\frac {\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)\delta _{i{\bar {j}}}-{\bar {z}}_{i}z_{j}}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}.}$

donde | z | ²  = | z ₁ | ²  + ... + | z _norte | ² . Es decir, la matriz hermitiana de la métrica de Fubini-Study en este marco es

${\displaystyle {\bigl [}g_{i{\bar {j}}}{\bigr ]}={\frac {1}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}\left[{\begin{array}{cccc}1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{1}|^{2}&-{\bar {z}}_{1}z_{2}&\cdots &-{\bar {z}}_{1}z_{n}\\-{\bar {z}}_{2}z_{1}&1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{2}|^{2}&\cdots &-{\bar {z}}_{2}z_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-{\bar {z}}_{n}z_{1}&-{\bar {z}}_{n}z_{2}&\cdots &1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{n}|^{2}\end{array}}\right]}$

Tenga en cuenta que cada elemento de la matriz es invariante unitario: la acción diagonal dejará esta matriz sin cambios. ${\displaystyle \mathbf {z} \mapsto e^{i\theta }\mathbf {z} }$

En consecuencia, el elemento de línea viene dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=g_{i{\bar {j}}}\,dz^{i}\,d{\bar {z}}^{j}\\[4pt]&={\frac {\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)|d\mathbf {z} |^{2}-({\bar {\mathbf {z} }}\cdot d\mathbf {z} )(\mathbf {z} \cdot d{\bar {\mathbf {z} }})}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})\,dz_{j}\,d{\bar {z}}^{j}-{\bar {z}}^{j}z_{i}\,dz_{j}\,d{\bar {z}}^{i}}{\left(1+z_{i}{\bar {z}}^{i}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}$

En esta última expresión, la convención de suma se utiliza para sumar índices latinos i , j que van de 1 a  n .

La métrica se puede derivar del siguiente potencial de Kähler : ^[3]

${\displaystyle K=\ln(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})=\ln(1+\delta _{i{\bar {j}}}z^{i}{\bar {z}}^{j})}$

como

${\displaystyle g_{i{\bar {j}}}=K_{i{\bar {j}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{i}\,\partial {\bar {z}}^{j}}}K}$

Usando coordenadas homogéneas

También es posible una expresión en la notación de coordenadas homogéneas , comúnmente utilizada para describir variedades proyectivas de geometría algebraica : Z  = [ Z ₀ :...: Z _n ]. Formalmente, sujeto a una adecuada interpretación de las expresiones involucradas, se tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {|\mathbf {Z} |^{2}|d\mathbf {Z} |^{2}-({\bar {\mathbf {Z} }}\cdot d\mathbf {Z} )(\mathbf {Z} \cdot d{\bar {\mathbf {Z} }})}{|\mathbf {Z} |^{4}}}\\&={\frac {Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }dZ_{\beta }d{\bar {Z}}^{\beta }-{\bar {Z}}^{\alpha }Z_{\beta }dZ_{\alpha }d{\bar {Z}}^{\beta }}{\left(Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }\right)^{2}}}\\&={\frac {2Z_{[\alpha }\,dZ_{\beta ]}{\bar {Z}}^{[\alpha }\,{\overline {dZ}}^{\beta ]}}{\left(Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }\right)^{2}}}.\end{aligned}}}$

Aquí, la convención de suma se usa para sumar índices griegos α β que van de 0 a n , y en la última igualdad se usa la notación estándar para la parte sesgada de un tensor:

${\displaystyle Z_{[\alpha }W_{\beta ]}={\tfrac {1}{2}}\left(Z_{\alpha }W_{\beta }-Z_{\beta }W_{\alpha }\right).}$

Ahora bien, esta expresión para d s ² aparentemente define un tensor en el espacio total del paquete tautológico C ^{n +1} \{0}. Debe entenderse propiamente como un tensor en CP ⁿ tirando de él hacia atrás a lo largo de una sección holomorfa σ del paquete tautológico de CP ⁿ . Queda entonces comprobar que el valor del retroceso es independiente de la elección de la sección: esto se puede hacer mediante un cálculo directo.

La forma Kähler de esta métrica es

${\displaystyle \omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\log |\mathbf {Z} |^{2}}$

donde están los operadores Dolbeault . El retroceso de esto es claramente independiente de la elección de la sección holomorfa. El registro de cantidad| Z | ² es el potencial de Kähler (a veces llamado escalar de Kähler) de CP ⁿ . ${\displaystyle \partial ,{\bar {\partial }}}$

En notación de coordenadas entre corchetes

En mecánica cuántica , la métrica de Fubini-Study también se conoce como métrica de Bures . ^[4] Sin embargo, la métrica de Bures normalmente se define en la notación de estados mixtos , mientras que la exposición siguiente está escrita en términos de un estado puro . La parte real de la métrica es (una cuarta parte de) la métrica de información de Fisher . ^[4]

La métrica de Fubini-Study se puede escribir utilizando la notación bra-ket comúnmente utilizada en mecánica cuántica . Para equiparar explícitamente esta notación con las coordenadas homogéneas dadas anteriormente, sea

${\displaystyle \vert \psi \rangle =\sum _{k=0}^{n}Z_{k}\vert e_{k}\rangle =[Z_{0}:Z_{1}:\ldots :Z_{n}]}$

donde es un conjunto de vectores de base ortonormal para el espacio de Hilbert , son números complejos y es la notación estándar para un punto en el espacio proyectivo CP ⁿ en coordenadas homogéneas . Entonces, dados dos puntos y en el espacio, la distancia (longitud de una geodésica) entre ellos es ${\displaystyle \{\vert e_{k}\rangle \}}$ ${\displaystyle Z_{k}}$ ${\displaystyle Z_{\alpha }=[Z_{0}:Z_{1}:\ldots :Z_{n}]}$ ${\displaystyle \vert \psi \rangle =Z_{\alpha }}$ ${\displaystyle \vert \varphi \rangle =W_{\alpha }}$

${\displaystyle \gamma (\psi ,\varphi )=\arccos {\sqrt {\frac {\langle \psi \vert \varphi \rangle \;\langle \varphi \vert \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle \;\langle \varphi \vert \varphi \rangle }}}}$

o, de manera equivalente, en notación de variedad proyectiva,

${\displaystyle \gamma (\psi ,\varphi )=\gamma (Z,W)=\arccos {\sqrt {\frac {Z_{\alpha }{\bar {W}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\bar {Z}}^{\beta }}{Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\bar {W}}^{\beta }}}}.}$

Aquí está el conjugado complejo de . La aparición de en el denominador es un recordatorio de que y tampoco se normalizaron a la unidad de longitud; por tanto, la normalización se hace explícita aquí. En el espacio de Hilbert, la métrica se puede interpretar como el ángulo entre dos vectores; por eso a veces se le llama ángulo cuántico . El ángulo tiene valor real y va de 0 a . ${\displaystyle {\bar {Z}}^{\alpha }}$ ${\displaystyle Z_{\alpha }}$ ${\displaystyle \langle \psi \vert \psi \rangle }$ ${\displaystyle \vert \psi \rangle }$ ${\displaystyle \vert \varphi \rangle }$ ${\displaystyle \pi /2}$

La forma infinitesimal de esta métrica se puede obtener rápidamente tomando , o de manera equivalente, para obtener ${\displaystyle \varphi =\psi +\delta \psi }$ ${\displaystyle W_{\alpha }=Z_{\alpha }+dZ_{\alpha }}$

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\langle \delta \psi \vert \delta \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle }}-{\frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \;\langle \psi \vert \delta \psi \rangle }{{\langle \psi \vert \psi \rangle }^{2}}}.}$

En el contexto de la mecánica cuántica , CP ¹ se denomina esfera de Bloch ; La métrica de Fubini-Study es la métrica natural para la geometrización de la mecánica cuántica. Gran parte del comportamiento peculiar de la mecánica cuántica, incluido el entrelazamiento cuántico y el efecto de fase Berry , puede atribuirse a las peculiaridades de la métrica del estudio Fubini.

El n = 1 caso

Cuando n = 1, existe un difeomorfismo dado por proyección estereográfica . Esto conduce a la fibración de Hopf "especial" S ¹  →  S ³  →  S ² . Cuando la métrica de Fubini-Study se escribe en coordenadas en CP ¹ , su restricción al paquete tangente real produce una expresión de la "métrica redonda" ordinaria de radio 1/2 (y curvatura gaussiana 4) en S ² . ${\displaystyle S^{2}\cong \mathbf {CP} ^{1}}$

Es decir, si z  =  x  + i y es el gráfico de coordenadas afines estándar en la esfera de Riemann CP ¹ y x  =  r  cos θ, y  =  r  sin θ son coordenadas polares en C , entonces un cálculo de rutina muestra

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\operatorname {Re} (dz\otimes d{\bar {z}})}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}={\tfrac {1}{4}}(d\varphi ^{2}+\sin ^{2}\varphi \,d\theta ^{2})={\tfrac {1}{4}}\,ds_{us}^{2}}$

¿Dónde está la métrica redonda en la unidad de 2 esferas? Aquí φ, θ son " coordenadas esféricas del matemático " en S ² provenientes de la proyección estereográfica r  tan(φ/2) = 1, tan θ =  y / x . (Muchas referencias de física intercambian los roles de φ y θ). ${\displaystyle ds_{us}^{2}}$

La forma de Kähler es

${\displaystyle K={\frac {i}{2}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{\left(1+z{\bar {z}}\right)^{2}}}={\frac {dx\wedge dy}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}}$

Eligiendo como vierbeins y , la forma Kähler se simplifica a ${\displaystyle e^{1}=dx/(1+r^{2})}$ ${\displaystyle e^{2}=dy/(1+r^{2})}$

${\displaystyle K=e^{1}\wedge e^{2}}$

Aplicando la estrella de Hodge a la forma de Kähler, se obtiene

${\displaystyle *K=1}$

implicando que K es armónico .

El caso n = 2

La métrica de Fubini-Study en el plano proyectivo complejo CP ² se ha propuesto como un instantón gravitacional , el análogo gravitacional de un instantón . ^{[5] [3]} La métrica, la forma de conexión y la curvatura se calculan fácilmente una vez que se establecen las coordenadas 4D reales adecuadas. Al escribir para coordenadas cartesianas reales, se definen las formas unitarias de coordenadas polares en las 4 esferas (la línea proyectiva cuaterniónica ) como ${\displaystyle (x,y,z,t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r\,dr&=+x\,dx+y\,dy+z\,dz+t\,dt\\r^{2}\sigma _{1}&=-t\,dx-z\,dy+y\,dz+x\,dt\\r^{2}\sigma _{2}&=+z\,dx-t\,dy-x\,dz+y\,dt\\r^{2}\sigma _{3}&=-y\,dx+x\,dy-t\,dz+z\,dt\end{aligned}}}$

Son el marco de coordenadas uniforme estándar invariante a la izquierda en el grupo Lie ; es decir, obedecen por cíclico. ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ ${\displaystyle SU(2)=S^{3}}$ ${\displaystyle d\sigma _{i}=2\sigma _{j}\wedge \sigma _{k}}$ ${\displaystyle i,j,k=1,2,3}$

Las coordenadas afines locales correspondientes son y luego proporcionan ${\displaystyle z_{1}=x+iy}$ ${\displaystyle z_{2}=z+it}$

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}{\bar {z}}_{1}+z_{2}{\bar {z}}_{2}&=r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}\\dz_{1}\,d{\bar {z}}_{1}+dz_{2}\,d{\bar {z}}_{2}&=dr^{2}+r^{2}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2})\\\left({\bar {z}}_{1}\,dz_{1}+{\bar {z}}_{2}\,dz_{2}\right)^{2}&=r^{2}\left(dr^{2}+r^{2}\sigma _{3}^{2}\right)\end{aligned}}}$

con las abreviaturas habituales que y . ${\displaystyle dr^{2}=dr\otimes dr}$ ${\displaystyle \sigma _{k}^{2}=\sigma _{k}\otimes \sigma _{k}}$

El elemento de línea, que comienza con la expresión dada anteriormente, viene dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {dz_{j}\,d{\bar {z}}^{j}}{1+z_{i}{\bar {z}}^{i}}}-{\frac {{\bar {z}}^{j}z_{i}\,dz_{j}\,d{\bar {z}}^{i}}{(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})^{2}}}\\[5pt]&={\frac {dr^{2}+r^{2}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2})}{1+r^{2}}}-{\frac {r^{2}\left(dr^{2}+r^{2}\sigma _{3}^{2}\right)}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {dr^{2}+r^{2}\sigma _{3}^{2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}+{\frac {r^{2}\left(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}\right)}{1+r^{2}}}\end{aligned}}}$

Los vierbeins se pueden leer inmediatamente en la última expresión:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{0}={\frac {dr}{1+r^{2}}}&&&e^{3}={\frac {r\sigma _{3}}{1+r^{2}}}\\[5pt]e^{1}={\frac {r\sigma _{1}}{\sqrt {1+r^{2}}}}&&&e^{2}={\frac {r\sigma _{2}}{\sqrt {1+r^{2}}}}\end{aligned}}}$

Es decir, en el sistema de coordenadas vierbein, utilizando subíndices de letras romanas, el tensor métrico es euclidiano:

${\displaystyle ds^{2}=\delta _{ab}e^{a}\otimes e^{b}=e^{0}\otimes e^{0}+e^{1}\otimes e^{1}+e^{2}\otimes e^{2}+e^{3}\otimes e^{3}.}$

Dado el vierbein, se puede calcular una conexión de espín ; La conexión de espín de Levi-Civita es la única conexión que no tiene torsión y es covariantemente constante, es decir, es la forma única que satisface la condición sin torsión. ${\displaystyle \omega _{\;\;b}^{a}}$

${\displaystyle de^{a}+\omega _{\;\;b}^{a}\wedge e^{b}=0}$

y es covariantemente constante, lo que, para conexiones de espín, significa que es antisimétrico en los índices de Vierbein:

${\displaystyle \omega _{ab}=-\omega _{ba}}$

Lo anterior se soluciona fácilmente; Se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{\;\;1}^{0}&=-\omega _{\;\;3}^{2}=-{\frac {e^{1}}{r}}\\\omega _{\;\;2}^{0}&=-\omega _{\;\;1}^{3}=-{\frac {e^{2}}{r}}\\\omega _{\;\;3}^{0}&={\frac {r^{2}-1}{r}}e^{3}\quad \quad \omega _{\;\;2}^{1}={\frac {1+2r^{2}}{r}}e^{3}\\\end{aligned}}}$

La curvatura de 2 formas se define como

${\displaystyle R_{\;\,b}^{a}=d\omega _{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge \omega _{\;\,b}^{c}}$

y es constante:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{01}&=-R_{23}=e^{0}\wedge e^{1}-e^{2}\wedge e^{3}\\R_{02}&=-R_{31}=e^{0}\wedge e^{2}-e^{3}\wedge e^{1}\\R_{03}&=4e^{0}\wedge e^{3}+2e^{1}\wedge e^{2}\\R_{12}&=2e^{0}\wedge e^{3}+4e^{1}\wedge e^{2}\end{aligned}}}$

El tensor de Ricci en índices de Veirbein viene dado por

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{\;\;c}^{a}=R_{\;\,bcd}^{a}\delta ^{bd}}$

donde la forma de curvatura 2 se expandió como un tensor de cuatro componentes:

${\displaystyle R_{\;\,b}^{a}={\tfrac {1}{2}}R_{\;\,bcd}^{a}e^{c}\wedge e^{d}}$

El tensor de Ricci resultante es constante

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ab}=6\delta _{ab}}$

de modo que la ecuación de Einstein resultante

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ab}-{\tfrac {1}{2}}\delta _{ab}R+\Lambda \delta _{ab}=0}$

se puede resolver con la constante cosmológica . ${\displaystyle \Lambda =6}$

El tensor de Weyl para las métricas de Fubini-Study en general viene dado por

${\displaystyle W_{abcd}=R_{abcd}-2\left(\delta _{ac}\delta _{bd}-\delta _{ad}\delta _{bc}\right)}$

Para el caso n  = 2, las dos formas

${\displaystyle W_{ab}={\tfrac {1}{2}}W_{abcd}e^{c}\wedge e^{d}}$

son autoduales:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{01}&=W_{23}=-e^{0}\wedge e^{1}-e^{2}\wedge e^{3}\\W_{02}&=W_{31}=-e^{0}\wedge e^{2}-e^{3}\wedge e^{1}\\W_{03}&=W_{12}=2e^{0}\wedge e^{3}+2e^{1}\wedge e^{2}\end{aligned}}}$

Propiedades de curvatura

En el caso especial n = 1, la métrica del estudio Fubini tiene una curvatura seccional constante idénticamente igual a 4, de acuerdo con la equivalencia con la métrica redonda de 2 esferas (que, dado un radio R, tiene una curvatura seccional ). Sin embargo, para n > 1, la métrica del estudio Fubini no tiene curvatura constante. Su curvatura seccional viene dada por la ecuación ^[6] ${\displaystyle 1/R^{2}}$

${\displaystyle K(\sigma )=1+3\langle JX,Y\rangle ^{2}}$

donde es una base ortonormal del plano σ de 2, J  :  T CP ⁿ  →  T CP ⁿ es la estructura compleja en CP ⁿ y es la métrica del estudio de Fubini. ${\displaystyle \{X,Y\}\in T_{p}\mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Una consecuencia de esta fórmula es que la curvatura seccional se satisface para todos los 2 planos . La curvatura seccional máxima (4) se logra en un plano 2 holomórfico , uno para el cual J (σ) ⊂ σ, mientras que la curvatura seccional mínima (1) se logra en un plano 2 para el cual J (σ) es ortogonal a σ. Por esta razón, a menudo se dice que la métrica del estudio Fubini tiene una " curvatura seccional holomorfa constante " igual a 4. ${\displaystyle 1\leq K(\sigma )\leq 4}$ ${\displaystyle \sigma }$

Esto hace que CP ^sea un colector de cuarto de pellizco (no estricto) ; un célebre teorema muestra que una variedad n estrictamente unida y simplemente conectada debe ser homeomorfa a una esfera.

La métrica de Fubini-Study es también una métrica de Einstein porque es proporcional a su propio tensor de Ricci : existe una constante ; tal que para todo i , j tenemos ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ij}=\Lambda g_{ij}.}$

Esto implica, entre otras cosas, que la métrica del Estudio Fubini permanece sin cambios hasta un múltiplo escalar bajo el flujo de Ricci . También hace que CP ⁿ sea indispensable para la teoría de la relatividad general , donde sirve como una solución no trivial a las ecuaciones de campo de Einstein en el vacío .

La constante cosmológica para CP ⁿ está dada en términos de la dimensión del espacio: ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ij}=2(n+1)g_{ij}.}$

Métrica del producto

Las nociones comunes de separabilidad se aplican a la métrica del estudio Fubini. Más precisamente, la métrica es separable en el producto natural de los espacios proyectivos, la incrustación de Segre . Es decir, si es un estado separable , por lo que puede escribirse como , entonces la métrica es la suma de las métricas en los subespacios: ${\displaystyle \vert \psi \rangle }$ ${\displaystyle \vert \psi \rangle =\vert \psi _{A}\rangle \otimes \vert \psi _{B}\rangle }$

${\displaystyle ds^{2}={ds_{A}}^{2}+{ds_{B}}^{2}}$

donde y son las métricas, respectivamente, en los subespacios A y B. ${\displaystyle {ds_{A}}^{2}}$ ${\displaystyle {ds_{B}}^{2}}$

Conexión y curvatura

El hecho de que la métrica pueda derivarse del potencial de Kähler significa que los símbolos de Christoffel y los tensores de curvatura contienen muchas simetrías y se les puede dar una forma particularmente simple: ^[7] Los símbolos de Christoffel, en las coordenadas afines locales, son dada por

${\displaystyle \Gamma _{\;jk}^{i}=g^{i{\bar {m}}}{\frac {\partial g_{k{\bar {m}}}}{\partial z^{j}}}\qquad \Gamma _{\;{\bar {j}}{\bar {k}}}^{\bar {i}}=g^{{\bar {i}}m}{\frac {\partial g_{{\bar {k}}m}}{\partial {\bar {z}}^{\bar {j}}}}}$

El tensor de Riemann también es particularmente simple:

${\displaystyle R_{i{\bar {j}}k{\bar {l}}}=g^{i{\bar {m}}}{\frac {\partial \Gamma _{\;\;{\bar {j}}{\bar {l}}}^{\bar {m}}}{\partial z^{k}}}}$

El tensor de Ricci es

${\displaystyle R_{{\bar {i}}j}=R_{\;{\bar {i}}{\bar {k}}j}^{\bar {k}}=-{\frac {\partial \Gamma _{\;{\bar {i}}{\bar {k}}}^{\bar {k}}}{\partial z^{j}}}\qquad R_{i{\bar {j}}}=R_{\;ik{\bar {j}}}^{k}=-{\frac {\partial \Gamma _{\;ik}^{k}}{\partial {\bar {z}}^{\bar {j}}}}}$

Ver también

• Modelo sigma no lineal
• Teoría de Kaluza-Klein
• Altura de arakelov

Referencias

1. G. Fubini, "Sulle metriche definite da una forma Hermitiana", (1904) Atti del Reale Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti , 63 págs.
2. Estudio, E. (1905). "Kürzeste Wege im komplexen Gebiet". Mathematische Annalen (en alemán). Springer Science y Business Media LLC. 60 (3): 321–378. doi :10.1007/bf01457616. ISSN  0025-5831. S2CID  120961275.
3. Eguchi, Tohru; Gilkey, Peter B.; Hanson, Andrew J. (1980). "Gravitación, teorías de calibre y geometría diferencial". Informes de Física . Elsevier BV. 66 (6): 213–393. Código bibliográfico : 1980PhR....66..213E. doi :10.1016/0370-1573(80)90130-1. ISSN  0370-1573.
4. Paolo Facchi, Ravi Kulkarni, VI Man'ko, Giuseppe Marmo, ECG Sudarshan, Franco Ventriglia "Información clásica y cuántica de Fisher en la formulación geométrica de la mecánica cuántica" (2010), Physics Letters A 374 págs. 4801. doi : 10.1016 /j.physleta.2010.10.005
5. Eguchi, Tohru; Freund, Peter GO (8 de noviembre de 1976). "Gravedad cuántica y topología mundial". Cartas de revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 37 (19): 1251-1254. Código bibliográfico : 1976PhRvL..37.1251E. doi :10.1103/physrevlett.37.1251. ISSN  0031-9007.
6. Sakai, T. Riemannian Geometry , Traducciones de monografías matemáticas núm. 149 (1995), Sociedad Estadounidense de Matemáticas.
7. Andrew J. Hanson, Ji-PingSha, "Visualización de la superficie K3" (2006)

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