En matemáticas , y más específicamente en geometría diferencial , una variedad hermitiana es el análogo complejo de una variedad de Riemann . Más precisamente, una variedad hermitiana es una variedad compleja con un producto interno hermitiano que varía suavemente en cada espacio tangente (holomórfico) . También se puede definir una variedad hermitiana como una variedad real con una métrica de Riemann que conserva una estructura compleja .
Una estructura compleja es esencialmente una estructura casi compleja con una condición de integrabilidad, y esta condición produce una estructura unitaria ( estructura U(n) ) en la variedad. Al eliminar esta condición, obtenemos una variedad casi hermitiana .
En cualquier variedad casi hermitiana, podemos introducir una forma 2 fundamental (o estructura cosimpléctica ) que depende sólo de la métrica elegida y de la estructura casi compleja. Esta forma siempre es no degenerada. Con la condición adicional de integrabilidad de que sea cerrada (es decir, que sea una forma simpléctica ), obtenemos una estructura casi de Kähler . Si tanto la estructura casi compleja como la forma fundamental son integrables, entonces tenemos una estructura de Kähler .
Una métrica hermitiana en un haz de vectores complejo sobre una variedad suave es una forma hermitiana positiva definida que varía suavemente en cada fibra. Una métrica de este tipo puede verse como una sección global suave del paquete de vectores tal que para cada punto en , para todos , en la fibra y para todos los distintos de cero en .
Una variedad hermitiana es una variedad compleja con una métrica hermitiana en su paquete tangente holomórfico . Asimismo, una variedad casi hermitiana es una variedad casi compleja con una métrica hermitiana en su paquete tangente holomórfico.
En una variedad hermitiana, la métrica se puede escribir en coordenadas holomorfas locales como dónde están los componentes de una matriz hermitiana definida positiva .
Una métrica hermitiana h en una variedad (casi) compleja M define una métrica de Riemann g en la variedad suave subyacente. La métrica g se define como la parte real de h :
La forma g es una forma bilineal simétrica en TMC , el paquete tangente complejado . Dado que g es igual a su conjugado, es la complejización de una forma real en TM . La simetría y la definición positiva de g en TM se derivan de las propiedades correspondientes de h . En coordenadas holomorfas locales, la métrica g se puede escribir
También se puede asociar a h una forma diferencial compleja ω de grado (1,1). La forma ω se define como menos la parte imaginaria de h :
Nuevamente, dado que ω es igual a su conjugado, se trata de la complejización de una forma real en TM . La forma ω se denomina de diversas formas forma asociada (1,1) , forma fundamental o forma hermitiana . En coordenadas holomorfas locales ω se puede escribir
De las representaciones de coordenadas se desprende claramente que cualquiera de las tres formas h , g y ω determinan de forma única las otras dos. La métrica de Riemann g y la forma asociada (1,1) ω están relacionadas por la estructura casi compleja J de la siguiente manera para todos los vectores tangentes complejos u y v . La métrica hermitiana h se puede recuperar de g y ω mediante la identidad
Las tres formas h , g y ω conservan la estructura casi compleja J. Es decir, para todos los vectores tangentes complejos u y v .
Por lo tanto , una estructura hermitiana en una variedad (casi) compleja M puede especificarse mediante
Tenga en cuenta que muchos autores llaman a g la métrica hermitiana.
Toda variedad (casi) compleja admite una métrica hermitiana. Esto se deriva directamente de la afirmación análoga para la métrica de Riemann. Dada una métrica de Riemann arbitraria g en una variedad casi compleja M, se puede construir una nueva métrica g ′ compatible con la estructura casi compleja J de una manera obvia:
Elegir una métrica hermitiana en una variedad casi compleja M es equivalente a elegir una estructura U( n ) en M ; es decir, una reducción del grupo estructural del paquete de marcos de M de GL( n , C ) al grupo unitario U( n ). Un marco unitario en una variedad casi hermitiana es un marco lineal complejo que es ortonormal con respecto a la métrica hermitiana. El paquete de marcos unitarios de M es el paquete U ( n ) principal de todos los marcos unitarios.
Cada variedad casi hermitiana M tiene una forma de volumen canónica que es simplemente la forma de volumen de Riemann determinada por g . Esta forma se da en términos de la forma (1,1) asociada ω por donde ω n es el producto de cuña de ω consigo mismo n veces. La forma de volumen es, por tanto , una forma real ( n , n ) en M. En coordenadas holomorfas locales, la forma del volumen viene dada por
También se puede considerar una métrica hermitiana en un paquete de vectores holomorfos .
La clase más importante de variedades hermitianas son las variedades de Kähler . Éstas son variedades hermitianas para las cuales la forma hermitiana ω está cerrada : en este caso la forma ω se llama forma de Kähler . Una forma de Kähler es una forma simpléctica , por lo que las variedades de Kähler son variedades naturalmente simplécticas .
Una variedad casi hermitiana cuya forma asociada (1,1) es cerrada se llama naturalmente variedad casi Kähler . Cualquier variedad simpléctica admite una estructura compatible casi compleja, lo que la convierte en una variedad casi Kähler.
Una variedad de Kähler es una variedad casi hermitiana que satisface una condición de integrabilidad . Esto se puede expresar de varias maneras equivalentes.
Sea ( M , g , ω, J ) una variedad casi hermitiana de dimensión real 2 n y sea ∇ la conexión Levi-Civita de g . Las siguientes son condiciones equivalentes para que M sea Kähler:
La equivalencia de estas condiciones corresponde a la propiedad " 2 sobre 3 " del grupo unitario .
En particular, si M es una variedad hermitiana, la condición dω = 0 es equivalente a las condiciones aparentemente mucho más fuertes ∇ ω = ∇ J = 0 . La riqueza de la teoría de Kähler se debe en parte a estas propiedades.
