Paquete vectorial complejo

En matemáticas, un fibrado vectorial complejo es un fibrado vectorial cuyas fibras son espacios vectoriales complejos .

Cualquier fibrado vectorial complejo puede ser visto como un fibrado vectorial real a través de la restricción de escalares . Por el contrario, cualquier fibrado vectorial real E puede ser promovido a fibrado vectorial complejo, la complejización

${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} ;}$

cuyas fibras son E _x ⊗ _R C .

Cualquier fibrado vectorial complejo sobre un espacio paracompacto admite una métrica hermítica .

El invariante básico de un fibrado vectorial complejo es una clase de Chern . Un fibrado vectorial complejo está orientado canónicamente ; en particular, se puede tomar su clase de Euler .

Un fibrado vectorial complejo es un fibrado vectorial holomorfo si X es una variedad compleja y si las trivializaciones locales son biholomorfas.

Estructura compleja

Un fibrado vectorial complejo puede considerarse como un fibrado vectorial real con una estructura adicional, la estructura compleja . Por definición, una estructura compleja es una función de fibrado entre un fibrado vectorial real E y él mismo:

${\displaystyle J:E\to E}$

de modo que J actúa como la raíz cuadrada i de −1 en las fibras: si es la función a nivel de fibra, entonces como función lineal. Si E es un fibrado vectorial complejo, entonces la estructura compleja J se puede definir estableciendo que sea la multiplicación escalar por . Por el contrario, si E es un fibrado vectorial real con una estructura compleja J , entonces E se puede convertir en un fibrado vectorial complejo estableciendo: para cualquier número real a , b y un vector real v en una fibra E _x , ${\displaystyle J_{x}:E_{x}\to E_{x}}$ ${\displaystyle J_{x}^{2}=-1}$ ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle (a+ib)v=av+J(bv).}$

Ejemplo : Una estructura compleja en el fibrado tangente de una variedad real M se suele denominar estructura casi compleja . Un teorema de Newlander y Nirenberg dice que una estructura casi compleja J es "integrable" en el sentido de que es inducida por una estructura de una variedad compleja si y solo si un cierto tensor que involucra a J se anula.

Paquete conjugado

Si E es un fibrado vectorial complejo, entonces el fibrado conjugado de E se obtiene haciendo que los números complejos actúen a través de los conjugados complejos de los números. Por lo tanto, la función identidad de los fibrados vectoriales reales subyacentes: es conjugada-lineal, y E y su conjugado E son isomorfos como fibrados vectoriales reales. ${\displaystyle {\overline {E}}}$ ${\displaystyle E_{\mathbb {R} }\to {\overline {E}}_{\mathbb {R} }=E_{\mathbb {R} }}$

La k -ésima clase de Chern está dada por ${\displaystyle {\overline {E}}}$

${\displaystyle c_{k}({\overline {E}})=(-1)^{k}c_{k}(E)}$.

En particular, E y E no son isomorfos en general.

Si E tiene una métrica hermítica, entonces el fibrado conjugado E es isomorfo al fibrado dual a través de la métrica, donde escribimos para el fibrado lineal complejo trivial. ${\displaystyle E^{*}=\operatorname {Hom} (E,{\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Si E es un fibrado vectorial real, entonces el fibrado vectorial real subyacente de la complejización de E es una suma directa de dos copias de E :

${\displaystyle (E\otimes \mathbb {C} )_{\mathbb {R} }=E\oplus E}$

(ya que V ⊗ _R C = V ⊕ i ‌ V para cualquier espacio vectorial real V .) Si un fibrado vectorial complejo E es la complejización de un fibrado vectorial real E ' , entonces E ' se llama una forma real de E (puede haber más de una forma real) y se dice que E está definido sobre los números reales. Si E tiene una forma real, entonces E es isomorfo a su conjugado (ya que ambos son suma de dos copias de una forma real), y en consecuencia las clases de Chern impares de E tienen orden 2.

Véase también

• Paquete de vectores holomórficos
• Teoría K

Referencias

• Milnor, John Willard ; Stasheff, James D. (1974), Clases características , Anales de estudios matemáticos, vol. 76, Princeton University Press; University of Tokyo Press, ISBN 978-0-691-08122-9