Fracción egipcia

Suma finita de fracciones unitarias distintas

El papiro matemático de Rhind

Una fracción egipcia es una suma finita de fracciones unitarias distintas , como Es decir, cada fracción en la expresión tiene un numerador igual a 1 y un denominador que es un entero positivo , y todos los denominadores difieren entre sí. El valor de una expresión de este tipo es un número racional positivo ; por ejemplo, la fracción egipcia anterior suma . Todo número racional positivo puede representarse mediante una fracción egipcia. Las sumas de este tipo, y sumas similares que también incluyen y como sumandos , se usaban como una notación seria para los números racionales por los antiguos egipcios, y continuaron siendo utilizadas por otras civilizaciones hasta la época medieval. En la notación matemática moderna, las fracciones egipcias han sido reemplazadas por fracciones vulgares y notación decimal . Sin embargo, las fracciones egipcias continúan siendo un objeto de estudio en la teoría de números moderna y las matemáticas recreativas , así como en los estudios históricos modernos de las matemáticas antiguas . $${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{16}}.}$$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {43}{48}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$

Aplicaciones

Más allá de su uso histórico, las fracciones egipcias tienen algunas ventajas prácticas sobre otras representaciones de números fraccionarios. Por ejemplo, las fracciones egipcias pueden ayudar a dividir alimentos u otros objetos en partes iguales. ^[1] Por ejemplo, si uno quiere dividir 5 pizzas en partes iguales entre 8 comensales, la fracción egipcia significa que cada comensal recibe la mitad de una pizza más otro octavo de pizza, por ejemplo dividiendo 4 pizzas en 8 mitades y la pizza restante en 8 octavos. Los ejercicios para realizar este tipo de división justa de alimentos son un ejemplo estándar en el aula para enseñar a los estudiantes a trabajar con fracciones unitarias. ^[2] $${\displaystyle {\frac {5}{8}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}}$$

Las fracciones egipcias pueden proporcionar una solución a los problemas de quema de cuerdas , en los que se mide una duración dada encendiendo cuerdas no uniformes que se queman después de una unidad de tiempo. Cualquier fracción racional de una unidad de tiempo se puede medir expandiendo la fracción en una suma de fracciones unitarias y luego, para cada fracción unitaria , quemando una cuerda de modo que siempre tenga puntos encendidos simultáneamente donde se quema. Para esta aplicación, no es necesario que las fracciones unitarias sean distintas entre sí. Sin embargo, esta solución puede necesitar un número infinito de pasos de reencendido. ^[3] ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle x}$

Historia temprana

La notación de fracciones egipcias se desarrolló en el Reino Medio de Egipto . Cinco textos tempranos en los que aparecen fracciones egipcias fueron el Rollo de cuero matemático egipcio , el Papiro matemático de Moscú , el Papiro Reisner , el Papiro Kahun y la Tablilla de madera Akhmim . Un texto posterior, el Papiro matemático Rhind , introdujo formas mejoradas de escribir fracciones egipcias. El papiro Rhind fue escrito por Ahmes y data del Segundo Período Intermedio ; incluye una tabla de expansiones de fracciones egipcias para números racionales ${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}}$ , así como 84 problemas de palabras . Las soluciones a cada problema se escribieron en taquigrafía de escriba, y las respuestas finales de los 84 problemas se expresaron en notación de fracciones egipcias. Las tablas de expansiones similares a la del papiro Rhind también aparecen en algunos de los otros textos. Sin embargo, como muestra el Papiro Kahun , los escribas también usaban fracciones vulgares en sus cálculos. ${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}}$

Notación

Para escribir las fracciones unitarias utilizadas en su notación de fracciones egipcias, en escritura jeroglífica, los egipcios colocaban el jeroglífico :

( er , "[uno] entre" o posiblemente re , boca) sobre un número para representar el recíproco de ese número. De manera similar, en la escritura hierática se dibujaba una línea sobre la letra que representaba el número. Por ejemplo:

Los egipcios tenían símbolos especiales para , , y que se usaban para reducir el tamaño de números mayores que cuando dichos números se convertían a una serie de fracciones egipcias. El número restante después de restar una de estas fracciones especiales se escribía como una suma de fracciones unitarias distintas según la notación de fracciones egipcia habitual. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

Los egipcios también utilizaban una notación alternativa modificada del Imperio Antiguo para denotar un conjunto especial de fracciones de la forma (para ) y sumas de estos números, que son necesariamente números racionales diádicos . Estas se han llamado "fracciones del Ojo de Horus" después de una teoría (ahora desacreditada) ^[4] de que se basaban en las partes del símbolo del Ojo de Horus . Se utilizaron en el Imperio Medio junto con la notación posterior para fracciones egipcias para subdividir un hekat , la principal medida de volumen egipcia antigua para grano, pan y otras pequeñas cantidades de volumen, como se describe en la Tabla de madera de Akhmim . Si quedaba algún resto después de expresar una cantidad en fracciones del Ojo de Horus de un hekat, el resto se escribía utilizando la notación de fracción egipcia habitual como múltiplos de un ro , una unidad igual a de un hekat. ${\displaystyle 1/2^{k}}$ ${\displaystyle k=1,2,\dots ,6}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{320}}}$

Métodos de cálculo

Los historiadores modernos de las matemáticas han estudiado el papiro de Rhind y otras fuentes antiguas en un intento de descubrir los métodos que utilizaban los egipcios para calcular fracciones egipcias. En particular, el estudio en esta área se ha concentrado en comprender las tablas de desarrollos para números de la forma del papiro de Rhind. Aunque estos desarrollos pueden describirse en general como identidades algebraicas, los métodos utilizados por los egipcios pueden no corresponderse directamente con estas identidades. Además, los desarrollos en la tabla no coinciden con ninguna identidad única; más bien, diferentes identidades coinciden con los desarrollos para denominadores primos y compuestos , y más de una identidad se ajusta a los números de cada tipo: ${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}}$

• Para denominadores primos impares pequeños , se utilizó la expansión . ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\frac {2}{p}}={\frac {1}{(p+1)/2}}+{\frac {1}{p(p+1)/2}}}$$
• Para denominadores primos más grandes, se utilizó una expansión de la forma , donde es un número con muchos divisores (como un número práctico ) entre y . El término restante se expandió representando el número como una suma de divisores de y formando una fracción para cada uno de esos divisores en esta suma. ^[5] Como ejemplo, la expansión de Ahmes se ajusta a este patrón con y , ya que y . Puede haber muchas expansiones diferentes de este tipo para un dado ; sin embargo, como observó KS Brown, la expansión elegida por los egipcios era a menudo la que causaba que el denominador más grande fuera lo más pequeño posible, entre todas las expansiones que se ajustaban a este patrón. $${\displaystyle {\frac {2}{p}}={\frac {1}{A}}+{\frac {2A-p}{Ap}}}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tfrac {p}{2}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (2A-p)/Ap}$ ${\displaystyle 2A-p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tfrac {d}{Ap}}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{37}}={\tfrac {1}{24}}+{\tfrac {1}{111}}+{\tfrac {1}{296}}}$ ${\displaystyle A=24}$ ${\displaystyle 2A-p=11=8+3}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{111}}={\tfrac {8}{24\cdot 37}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{296}}={\tfrac {3}{24\cdot 37}}}$ ${\displaystyle p}$
• Para algunos denominadores compuestos, factorizados como , la expansión para tiene la forma de una expansión para con cada denominador multiplicado por . Este método parece haber sido utilizado para muchos de los números compuestos en el papiro de Rhind, ^[6] pero hay excepciones, en particular , y . ^[7] ${\displaystyle p\cdot q}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{pq}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{p}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{35}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{91}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{95}}}$
• También se puede desarrollar Por ejemplo, Ahmes desarrolla . Los escribas posteriores utilizaron una forma más general de esta expansión, que funciona cuando es un múltiplo de . ^[8] $${\displaystyle {\frac {2}{pq}}={\frac {1}{p(p+q)/2}}+{\frac {1}{q(p+q)/2}}.}$$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{35}}={\tfrac {2}{5\cdot 7}}={\tfrac {1}{30}}+{\tfrac {1}{42}}}$ $${\displaystyle {\frac {n}{pq}}={\frac {1}{p(p+q)/n}}+{\frac {1}{q(p+q)/n}},}$$ ${\displaystyle p+q}$ ${\displaystyle n}$
• La expansión final (principal) del papiro de Rhind, , no se ajusta a ninguna de estas formas, sino que utiliza una expansión que se puede aplicar independientemente del valor de . Es decir, . También se utilizó una expansión relacionada en el Rollo de cuero matemático egipcio para varios casos. ${\displaystyle {\tfrac {2}{101}}}$ $${\displaystyle {\frac {2}{p}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p}}+{\frac {1}{3p}}+{\frac {1}{6p}}}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{101}}={\tfrac {1}{101}}+{\tfrac {1}{202}}+{\tfrac {1}{303}}+{\tfrac {1}{606}}}$

Uso posterior

La notación de fracciones egipcias siguió utilizándose en la época griega y en la Edad Media, ^[9] a pesar de las quejas que se hicieron desde el Almagesto de Ptolomeo sobre la torpeza de la notación en comparación con alternativas como la notación babilónica de base 60. Los problemas relacionados con la descomposición en fracciones unitarias también fueron estudiados en la India del siglo IX por el matemático jainista Mahāvīra . ^[10] Un importante texto de las matemáticas europeas medievales, el Liber Abaci (1202) de Leonardo de Pisa (más conocido como Fibonacci), proporciona una idea de los usos de las fracciones egipcias en la Edad Media e introduce temas que siguen siendo importantes en el estudio matemático moderno de estas series.

El tema principal del Liber Abaci son los cálculos que implican notación decimal y de fracciones vulgares, que eventualmente reemplazaron a las fracciones egipcias. El propio Fibonacci usó una notación compleja para fracciones que implicaba una combinación de una notación de base mixta con sumas de fracciones. Muchos de los cálculos a lo largo del libro de Fibonacci involucran números representados como fracciones egipcias, y una sección de este libro ^[11] proporciona una lista de métodos para la conversión de fracciones vulgares a fracciones egipcias. Si el número no es ya una fracción unitaria, el primer método en esta lista es intentar dividir el numerador en una suma de divisores del denominador; esto es posible siempre que el denominador sea un número práctico , y el Liber Abaci incluye tablas de expansiones de este tipo para los números prácticos 6, 8, 12, 20, 24, 60 y 100.

Los siguientes métodos involucran identidades algebraicas como Por ejemplo, Fibonacci representa la fracción ⁠ $${\displaystyle {\frac {a}{ab-1}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{b(ab-1)}}.}$$8/11⁠ dividiendo el numerador en una suma de dos números, cada uno de los cuales divide a uno más el denominador: ⁠8/11⁠ = ⁠6/11⁠ + ⁠2/11⁠ . Fibonacci aplica la identidad algebraica anterior a cada una de estas dos partes, produciendo la expansión ⁠8/11⁠ = ⁠1/2⁠ + ⁠1/22⁠ + ⁠1/6⁠ + ⁠1/66⁠ . Fibonacci describe métodos similares para denominadores que son dos o tres veces menores que un número con muchos factores.

En el raro caso de que todos estos otros métodos fallen, Fibonacci sugiere un algoritmo "codicioso" para calcular fracciones egipcias, en el que uno elige repetidamente la fracción unitaria con el denominador más pequeño que no sea mayor que la fracción restante a expandir: es decir, en una notación más moderna, reemplazamos una fracción ⁠incógnita/y⁠ por la expansión donde ⌈ ⌉ representa la función techo ; dado que (− y ) mod x < x , este método produce una expansión finita. $${\displaystyle {\frac {x}{y}}={\frac {1}{\,\left\lceil {\frac {y}{x}}\right\rceil \,}}+{\frac {(-y)\,{\bmod {\,}}x}{y\left\lceil {\frac {y}{x}}\right\rceil }},}$$

Fibonacci sugiere cambiar a otro método después de la primera expansión de este tipo, pero también da ejemplos en los que esta expansión codiciosa se repitió hasta que se construyó una expansión de fracción egipcia completa :4/13⁠ = ⁠1/4⁠ + ⁠1/18⁠ + ⁠1/468⁠ y ⁠17/29⁠ = ⁠1/2⁠ + ⁠1/12⁠ + ⁠1/348⁠ .

En comparación con las expansiones del antiguo Egipto o con métodos más modernos, este método puede producir expansiones bastante largas, con denominadores grandes, y el propio Fibonacci notó la incomodidad de las expansiones producidas por este método. Por ejemplo, el método voraz produce expansiones mientras que otros métodos conducen a expansiones más cortas. $${\displaystyle {\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{757}}+{\frac {1}{763\,309}}+{\frac {1}{873\,960\,180\,913}}+{\frac {1}{1\,527\,612\,795\,642\,093\,418\,846\,225}},}$$ $${\displaystyle {\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}.}$$

La secuencia de Silvestre 2, 3, 7, 43, 1807, ... puede verse como generada por una expansión infinita y voraz de este tipo para el número 1, donde en cada paso elegimos el denominador ⌊ ⁠y/incógnita⁠ ⌋ + 1 en lugar de ⌈ ⁠y/incógnita⁠ ⌉ , y a veces el algoritmo codicioso de Fibonacci se atribuye a James Joseph Sylvester .

Después de su descripción del algoritmo codicioso, Fibonacci sugiere otro método: expandir una fracción .a/b⁠ buscando un número c que tenga muchos divisores, con ⁠b/2⁠ < c < b , reemplazando ⁠a/b⁠ por ⁠C.A/antes de Cristo⁠ , y expandiendo ac como una suma de divisores de bc , similar al método propuesto por Hultsch y Bruins para explicar algunas de las expansiones en el papiro de Rhind.

Teoría de números moderna

Aunque las fracciones egipcias ya no se utilizan en la mayoría de las aplicaciones prácticas de las matemáticas, los teóricos de números modernos han seguido estudiando muchos problemas diferentes relacionados con ellas. Entre ellos se incluyen problemas de acotación de la longitud o del denominador máximo en representaciones de fracciones egipcias, búsqueda de expansiones de ciertas formas especiales o en las que los denominadores son todos de algún tipo especial, la terminación de varios métodos para la expansión de fracciones egipcias y la demostración de que existen expansiones para cualquier conjunto suficientemente denso de números suficientemente suaves .

• Una de las primeras publicaciones de Paul Erdős demostró que no es posible que una progresión armónica forme una representación fraccionaria egipcia de un número entero . La razón es que, necesariamente, al menos un denominador de la progresión será divisible por un número primo que no divida a ningún otro denominador. ^[12] La última publicación de Erdős, casi 20 años después de su muerte, demuestra que todo número entero tiene una representación en la que todos los denominadores son productos de tres primos. ^[13]
• La conjetura de Erdős–Graham en la teoría combinatoria de números establece que, si los números enteros mayores que 1 se dividen en un número finito de subconjuntos, entonces uno de los subconjuntos tiene un subconjunto finito de sí mismo cuyos recíprocos suman uno. Es decir, para cada r > 0 , y cada r -coloración de los números enteros mayores que uno, existe un subconjunto monocromático finito S de estos números enteros tal que La conjetura fue demostrada en 2003 por Ernest S. Croot III . $${\displaystyle \sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1.}$$
• El problema de Znám y los números pseudoperfectos primarios están estrechamente relacionados con la existencia de fracciones egipcias de la forma Por ejemplo, el número pseudoperfecto primario 1806 es el producto de los números primos 2, 3, 7 y 43, y da lugar a la fracción egipcia 1 = ⁠ $${\displaystyle \sum {\frac {1}{x_{i}}}+\prod {\frac {1}{x_{i}}}=1.}$$1/2⁠ + ⁠1/3⁠ + ⁠1/7⁠ + ⁠1/43⁠ + ⁠1/1806⁠ .
• Las fracciones egipcias normalmente se definen como aquellas que requieren que todos los denominadores sean distintos, pero este requisito se puede relajar para permitir denominadores repetidos. Sin embargo, esta forma relajada de las fracciones egipcias no permite que cualquier número se represente utilizando menos fracciones, ya que cualquier expansión con fracciones repetidas se puede convertir en una fracción egipcia de longitud igual o menor mediante la aplicación repetida del reemplazo si k es impar, o simplemente reemplazando ⁠ $${\displaystyle {\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}={\frac {2}{k+1}}+{\frac {2}{k(k+1)}}}$$1/a⁠ + ⁠1/a⁠ por ⁠2/a⁠ si k es par. Este resultado fue demostrado por primera vez por Takenouchi (1921).
• Graham y Jewett ^[14] demostraron que es igualmente posible convertir expansiones con denominadores repetidos en fracciones egipcias (más largas), mediante el reemplazo. Este método puede conducir a expansiones largas con denominadores grandes, como Botts (1967) había usado originalmente esta técnica de reemplazo para mostrar que cualquier número racional tiene representaciones de fracciones egipcias con denominadores mínimos arbitrariamente grandes. $${\displaystyle {\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}={\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k+1}}+{\frac {1}{k(k+1)}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {4}{5}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{31}}+{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{56}}+{\frac {1}{930}}+{\frac {1}{931}}+{\frac {1}{992}}+{\frac {1}{1806}}+{\frac {1}{865\,830}}.}$$
• Cualquier fracciónincógnita/y⁠ tiene una representación de fracción egipcia en la que el denominador máximo está acotado por ^[15] y una representación con como máximo términos. ^[16] El número de términos a veces debe ser al menos proporcional a log log y ; por ejemplo, esto es cierto para las fracciones en la secuencia ⁠ $${\displaystyle O\left(y\log y\left(\log \log y\right)^{4}\left(\log \log \log y\right)^{2}\right),}$$ $${\displaystyle O\left({\sqrt {\log y}}\right)}$$1/2⁠ , ⁠2/3⁠ , ⁠6/7⁠ , ⁠42/43⁠ , ⁠1806/1807⁠ , ... cuyos denominadores forman la sucesión de Sylvester . Se ha conjeturado que O (log log y ) términos son siempre suficientes. ^[17] También es posible encontrar representaciones en las que tanto el denominador máximo como el número de términos sean pequeños. ^[18]
• Graham (1964) caracterizó los números que pueden representarse mediante fracciones egipcias en las que todos los denominadores son potencias n -ésimas. En particular, un número racional q puede representarse como una fracción egipcia con denominadores cuadrados si y sólo si q se encuentra en uno de los dos intervalos semiabiertos $${\displaystyle \left[0,{\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\right)\cup \left[1,{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right).}$$
• Martin (1999) demostró que cualquier número racional tiene expansiones muy densas, utilizando una fracción constante de los denominadores hasta N para cualquier N suficientemente grande .
• La expansión de Engel , a veces llamada producto egipcio , es una forma de expansión de fracción egipcia en la que cada denominador es un múltiplo del anterior: Además, se requiere que la secuencia de multiplicadores a _i no sea decreciente. Todo número racional tiene una expansión de Engel finita, mientras que los números irracionales tienen una expansión de Engel infinita. $${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\cdots .}$$
• Anshel y Goldfeld (1991) estudian números que tienen múltiples representaciones fraccionarias egipcias distintas con el mismo número de términos y el mismo producto de denominadores; por ejemplo, uno de los ejemplos que proporcionan es A diferencia de los antiguos egipcios, permiten que los denominadores se repitan en estas expansiones. Aplican sus resultados para este problema a la caracterización de productos libres de grupos abelianos mediante un pequeño número de parámetros numéricos: el rango del subgrupo conmutador , el número de términos en el producto libre y el producto de los órdenes de los factores. $${\displaystyle {\frac {5}{12}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{15}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{20}}.}$$
• El número de diferentes representaciones fraccionarias egipcias de n términos del número uno está limitado arriba y abajo por funciones exponenciales dobles de n . ^[19]

Problemas abiertos

Algunos problemas notables siguen sin resolverse con respecto a las fracciones egipcias, a pesar del considerable esfuerzo realizado por los matemáticos.

• La conjetura de Erdős-Straus ^[17] se refiere a la longitud de la expansión más corta para una fracción de la forma ⁠4/norte⁠ . ¿Existe una expansión para cada n ? Se sabe que es cierta para todos los n < 10 ¹⁷ , y para todos los valores posibles de n excepto una fracción extremadamente pequeña , pero la verdad general de la conjetura sigue siendo desconocida. $${\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}}$$
• Se desconoce si existe una expansión voraz impar para cada fracción con un denominador impar. Si se modifica el método voraz de Fibonacci para que siempre elija el denominador impar más pequeño posible , ¿en qué condiciones este algoritmo modificado produce una expansión finita? Una condición necesaria obvia es que la fracción inicial ⁠incógnita/y⁠ tienen un denominador impar y , y se conjetura, pero no se sabe, que ésta también es una condición suficiente. Se sabe ^[20] que cada ⁠incógnita/y⁠ con y impar tiene una expansión en fracciones unitarias impares distintas, construidas utilizando un método diferente al algoritmo codicioso.
• Es posible utilizar algoritmos de búsqueda de fuerza bruta para encontrar la representación fraccionaria egipcia de un número dado con la menor cantidad posible de términos ^[21] o minimizando el mayor denominador; sin embargo, estos algoritmos pueden ser bastante ineficientes. La existencia de algoritmos de tiempo polinomial para estos problemas, o más generalmente la complejidad computacional de tales problemas, sigue siendo desconocida.

Guy (2004) describe estos problemas con más detalle y enumera numerosos problemas abiertos adicionales.

Véase también

• Lista de sumas de recíprocos
• Rompecabezas de la herencia de 17 animales

Notas

1. Dick y Ogle (2018); Koshaleva y Kreinovich (2021)
2. Wilson y otros (2011).
3. Winkler (2004).
4. Ritter (2002). Véase también Katz (2007) y Robson & Stedall (2009).
5. Hultsch (1895); Bruins (1957)
6. Gillings (1982); Gardner (2002)
7. Knorr (1982).
8. Evas (1953).
9. Struik (1967).
10. Kusuba (2004).
11. Sigler (2002), capítulo II.7
12. Erdős (1932); Graham (2013)
13. Mayordomo, Erdős y Graham (2015).
14. Véase Wagon (1999) y Beeckmans (1993)
15. Yokota (1988).
16. Vose (1985).
17. Erdős (1950).
18. Tenenbaum y Yokota (1990).
19. Konyagin (2014).
20. Breusch (1954); Stewart (1954)
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Enlaces externos

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