Expansión de Engel

La expansión de Engel de un número real positivo x es la única secuencia no decreciente de números enteros positivos tal que ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\dots )}$

${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\cdots ={\frac {1}{a_{1}}}\!\left(1+{\frac {1}{a_{2}}}\!\left(1+{\frac {1}{a_{3}}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)}$

Por ejemplo, el número e de Euler tiene la expansión de Engel ^[1]

1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...

correspondiente a la serie infinita

${\displaystyle e={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}+\cdots }$

Los números racionales tienen una expansión de Engel finita, mientras que los números irracionales tienen una expansión de Engel infinita. Si x es racional, su expansión de Engel proporciona una representación de x como fracción egipcia . Las expansiones de Engel reciben su nombre de Friedrich Engel , quien las estudió en 1913.

Una expansión análoga a una expansión de Engel , en la que los términos alternos son negativos, se llama expansión de Pierce.

Expansiones de Engel, fracciones continuas y Fibonacci

Kraaikamp y Wu (2004) observan que una expansión de Engel también puede escribirse como una variante ascendente de una fracción continua :

${\displaystyle x={\cfrac {1+{\cfrac {1+{\cfrac {1+\cdots }{a_{3}}}}{a_{2}}}}{a_{1}}}.}$

Afirman que fracciones continuas ascendentes como ésta se han estudiado ya en el Liber Abaci de Fibonacci (1202). Esta afirmación parece referirse a la notación de fracciones compuestas de Fibonacci en la que una secuencia de numeradores y denominadores que comparten la misma barra de fracción representa una fracción continua ascendente:

${\displaystyle {\frac {a\ b\ c\ d}{e\ f\ g\ h}}={\dfrac {d+{\cfrac {c+{\cfrac {b+{\cfrac {a}{e}}}{f}}}{g}}}{h}}.}$

Si una notación de este tipo tiene todos los numeradores 0 o 1, como ocurre en varios casos en Liber Abaci , el resultado es una expansión de Engel. Sin embargo, la expansión de Engel como técnica general no parece estar descrita por Fibonacci.

Algoritmo para calcular expansiones de Engel

Para encontrar la expansión de Engel de x , sea

${\displaystyle u_{1}=x,}$

${\displaystyle a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k}}}\right\rceil \!,}$

y

${\displaystyle u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1}$

donde es la función techo (el entero más pequeño no menor que r ). ${\displaystyle \left\lceil r\right\rceil }$

Si por cualquier i , detiene el algoritmo. ${\displaystyle u_{i}=0}$

Funciones iteradas para calcular expansiones de Engel

Otro método equivalente es considerar el mapa ^[2]

${\displaystyle g(x)=x\!\left(1+\left\lfloor x^{-1}\right\rfloor \right)-1}$

y establecer

${\displaystyle u_{k}=1+\left\lfloor {\frac {1}{g^{(n-1)}(x)}}\right\rfloor }$

dónde

${\displaystyle g^{(n)}(x)=g(g^{(n-1)}(x))}$y ${\displaystyle g^{(0)}(x)=x.}$

Otro método equivalente, llamado expansión de Engel modificada, calculada por

${\displaystyle h(x)=\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor g(x)=\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor \!\left(x\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor +x-1\right)}$

y

${\displaystyle u_{k}={\begin{cases}1+\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor &n=1\\\left\lfloor {\frac {1}{h^{(k-2)}(x)}}\right\rfloor \!\left(1+\left\lfloor {\frac {1}{h^{(k-1)}(x)}}\right\rfloor \right)&n\geq 2\end{cases}}}$

El operador de transferencia del mapa Engel

El operador de transferencia de Frobenius-Perron del mapa de Engel actúa sobre funciones con ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{g}f](x)=\sum _{y:g(y)=x}{\frac {f(y)}{\left|{\frac {d}{dz}}g(z)\right|_{z=y}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f\left({\frac {x+1}{n+1}}\right)}{n+1}}}$

desde

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}[x(n+1)-1]=n+1}$y la inversa del componente n -ésimo es que se encuentra resolviendo para . ${\displaystyle {\frac {x+1}{n+1}}}$ ${\displaystyle x(n+1)-1=y}$ ${\displaystyle x}$

Relación con Riemannofunción

La transformada de Mellin del mapa está relacionada con la función zeta de Riemann mediante la fórmula ${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}g(x)x^{s-1}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\frac {1}{n+1}}^{\frac {1}{n}}(x(n+1)-1)x^{s-1}\,dx\\[5pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{-s}(s-1)+(n+1)^{-s-1}(n^{2}+2n+1)+n^{-s-1}s-n^{1-s}}{(s+1)s(n+1)}}\\[5pt]&={\frac {\zeta (s+1)}{s+1}}-{\frac {1}{s(s+1)}}\end{aligned}}.}$

Ejemplo

Para encontrar la expansión de Engel de 1.175, realizamos los siguientes pasos.

${\displaystyle u_{1}=1.175,a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{1.175}}\right\rceil =1;}$

${\displaystyle u_{2}=u_{1}a_{1}-1=1.175\cdot 1-1=0.175,a_{2}=\left\lceil {\frac {1}{0.175}}\right\rceil =6}$

${\displaystyle u_{3}=u_{2}a_{2}-1=0.175\cdot 6-1=0.05,a_{3}=\left\lceil {\frac {1}{0.05}}\right\rceil =20}$

${\displaystyle u_{4}=u_{3}a_{3}-1=0.05\cdot 20-1=0}$

La serie termina aquí. Por lo tanto,

${\displaystyle 1.175={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 6}}+{\frac {1}{1\cdot 6\cdot 20}}}$

y la expansión de Engel de 1.175 es (1, 6, 20).

Expansiones de Engel de números racionales

Cada número racional positivo tiene una única expansión de Engel finita. En el algoritmo para la expansión de Engel, si u _i es un número racional x / y , entonces u _{i  + 1} = (− y mod x )/ y . Por lo tanto, en cada paso, el numerador en la fracción restante u _i disminuye y el proceso de construcción de la expansión de Engel debe terminar en un número finito de pasos. Cada número racional también tiene una única expansión de Engel infinita: utilizando la identidad

${\displaystyle {\frac {1}{n}}=\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{r}}}.}$

El dígito final n en una expansión de Engel finita puede reemplazarse por una secuencia infinita de ( n  + 1) sin cambiar su valor. Por ejemplo,

${\displaystyle 1.175=(1,6,20)=(1,6,21,21,21,\dots ).}$

Esto es análogo al hecho de que cualquier número racional con una representación decimal finita también tiene una representación decimal infinita (ver 0,999... ). Una expansión de Engel infinita en la que todos los términos son iguales es una serie geométrica .

Erdős , Rényi y Szüsz pidieron límites no triviales para la longitud de la expansión de Engel finita de un número racional x / y  ; esta pregunta fue respondida por Erdős y Shallit , quienes demostraron que el número de términos en la expansión es O( y ^{1/3 + ε} ) para cualquier ε > 0. ^[3]

Expansiones de Engel para algunas constantes conocidas

${\displaystyle \pi }$= (1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492, ...) (secuencia A006784 en la OEIS )

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$= (1, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, 144, ...) (secuencia A028254 en la OEIS )

${\displaystyle e}$= (1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...) (secuencia A028310 en la OEIS )

La expansión de Engel para progresiones aritméticas se puede representar como

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\prod _{i=0}^{k-1}(\alpha +i\beta )}}={\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\alpha (\alpha +\beta )}}+{\frac {1}{\alpha (\alpha +\beta )(\alpha +2\beta )}}+\cdots .}$

donde y . Por lo tanto, en general ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle 0<\alpha \leq \beta }$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\beta }}\right)^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}e^{\frac {1}{\beta }}\gamma \left({\frac {\alpha }{\beta }},{\frac {1}{\beta }}\right)=\{{\alpha },\alpha (\alpha +\beta ),\alpha (\alpha +\beta )(\alpha +2\beta ),\dots \}\;}$donde representa la función gamma incompleta inferior . ${\displaystyle \gamma }$

En concreto, si , ${\displaystyle \alpha =\beta }$

${\displaystyle e^{1/\beta }-1=\{1\beta ,2\beta ,3\beta ,4\beta ,5\beta ,6\beta ,\dots \}\;}$

Se pueden encontrar más expansiones de Engel para constantes aquí.

Tasa de crecimiento de los términos de expansión

Los coeficientes a _i de la expansión de Engel exhiben típicamente un crecimiento exponencial ; más precisamente, para casi todos los números en el intervalo (0,1], el límite existe y es igual a e . Sin embargo, el subconjunto del intervalo para el cual este no es el caso es todavía lo suficientemente grande como para que su dimensión de Hausdorff sea uno. ^[4] ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{1/n}}$

La misma tasa de crecimiento típica se aplica a los términos en expansión generados por el algoritmo voraz para fracciones egipcias . Sin embargo, el conjunto de números reales en el intervalo (0,1] cuyas expansiones de Engel coinciden con sus expansiones voraces tiene medida cero y dimensión de Hausdorff 1/2. ^[5]

Véase también

• Fórmula de fracción continua de Euler

Notas

1. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A028310". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
2. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A220335". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
3. Erdős, Rényi y Szüsz (1958); Erdős y Shallit (1991).
4. Wu (2000). Wu atribuye el resultado de que el límite es casi siempre e a Janos Galambos .
5. "El hombre que murió en 1993" (Wu, 2003).

Referencias

• Engel, F. (1913), "Entwicklung der Zahlen nach Stammbruechen", Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner in Marburg , págs. 190-191.
• Pierce, TA (1929), "Sobre un algoritmo y su uso para aproximar raíces de ecuaciones algebraicas", American Mathematical Monthly , 36 (10): 523–525, doi :10.2307/2299963, JSTOR  2299963
• Erdős, Paul ; Rényi, Alfred ; Szüsz, Peter (1958), "Sobre la serie de Engel y Sylvester" (PDF) , Ann. Univ. Ciencia. Budapest. Secta Eötvös. Matemáticas. , 1 : 7–32.
• Erdős, Paul ; Shallit, Jeffrey (1991), "Nuevos límites en la longitud de las series finitas de Pierce y Engel", Journal de théorie des nombres de Bordeaux , 3 (1): 43–53, doi : 10.5802/jtnb.41 , MR  1116100.
• Paradis, J.; Viader, P.; Bibiloni, L. (1998), "Aproximación a irracionales cuadráticos y sus expansiones de Pierce", Fibonacci Quarterly , 36 (2): 146–153
• Kraaikamp, ​​Cor; Wu, Jun (2004), "Sobre una nueva expansión de fracción continua con cocientes parciales no decrecientes", Monatshefte für Mathematik , 143 (4): 285–298, doi :10.1007/s00605-004-0246-3, S2CID  123267511.
• Wu, Jun (2000), "Un problema de Galambos sobre expansiones de Engel", Acta Arithmetica , 92 (4): 383–386, doi : 10.4064/aa-92-4-383-386 , MR  1760244.
• Wu, Jun (2003), "¿Cuántos puntos tienen las mismas expansiones de Engel y Sylvester?", Journal of Number Theory , 103 (1): 16–26, doi :10.1016/S0022-314X(03)00017-9, MR  2008063.
• Llorente, AG (2023), Progresión aritmética: representación de constantes (preimpresión).

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Expansión Engel". MathWorld: un recurso web de Wolfram.