Óptica de Fourier

Estudio de la óptica clásica mediante transformadas de Fourier

La óptica de Fourier es el estudio de la óptica clásica mediante transformadas de Fourier (FT), en las que la forma de onda que se está considerando se considera formada por una combinación o superposición de ondas planas. Tiene algunos paralelismos con el principio de Huygens-Fresnel , en el que se considera que el frente de onda está formado por una combinación de frentes de onda esféricos (también llamados frentes de fase) cuya suma es el frente de onda que se está estudiando. Una diferencia clave es que la óptica de Fourier considera que las ondas planas son modos naturales del medio de propagación, a diferencia de Huygens-Fresnel, donde las ondas esféricas se originan en el medio físico.

Un frente de fase curvado puede sintetizarse a partir de un número infinito de estos "modos naturales", es decir, a partir de frentes de fase de ondas planas orientadas en diferentes direcciones en el espacio. Cuando una onda esférica en expansión está lejos de sus fuentes, es localmente tangente a un frente de fase planar (una sola onda plana fuera del espectro infinito), que es transversal a la dirección radial de propagación. En este caso, se crea un patrón de difracción de Fraunhofer , que emana de un solo centro de fase de onda esférica. En el campo cercano, no existe un solo centro de fase de onda esférica bien definido, por lo que el frente de onda no es localmente tangente a una bola esférica. En este caso, se crearía un patrón de difracción de Fresnel , que emana de una fuente extendida , que consiste en una distribución de fuentes de ondas esféricas (físicamente identificables) en el espacio. En el campo cercano, es necesario un espectro completo de ondas planas para representar la onda de campo cercano de Fresnel, incluso localmente . Una ola "ancha" que avanza (como una ola oceánica en expansión que se acerca a la costa) puede considerarse como un número infinito de " modos de onda plana ", todos los cuales podrían (cuando chocan con algo como una roca en el camino) dispersarse independientemente unos de otros. Estas simplificaciones y cálculos matemáticos son el ámbito del análisis y la síntesis de Fourier ; juntos, pueden describir lo que sucede cuando la luz pasa a través de varias rendijas, lentes o espejos que están curvados en un sentido u otro, o se refleja total o parcialmente.

La óptica de Fourier constituye gran parte de la teoría detrás de las técnicas de procesamiento de imágenes , así como de las aplicaciones donde es necesario extraer información de fuentes ópticas, como en la óptica cuántica . Para decirlo de una manera un poco más compleja, similar al concepto de frecuencia y tiempo utilizado en la teoría de la transformada de Fourier tradicional , la óptica de Fourier hace uso del dominio de frecuencia espacial ( k _x , k _y ) como conjugado del dominio espacial ( x , y ). Términos y conceptos como teoría de la transformada, espectro, ancho de banda, funciones de ventana y muestreo del procesamiento de señales unidimensionales se utilizan comúnmente.

La óptica de Fourier desempeña un papel importante en aplicaciones ópticas de alta precisión, como la fotolitografía , en la que un patrón en una retícula que se va a representar en obleas para la producción de chips semiconductores es tan denso que la luz (por ejemplo, DUV o EUV ) que emana de la retícula se difracta y cada luz difractada puede corresponder a una frecuencia espacial diferente ( k _x , k _y ). Debido a que los patrones en las retículas no son uniformes en general, un simple análisis de rejilla de difracción puede no proporcionar los detalles de cómo se difracta la luz desde cada retícula.

Propagación de la luz en medios homogéneos y sin fuentes

La luz puede describirse como una forma de onda que se propaga a través de un espacio libre (vacío) o un medio material (como el aire o el vidrio). Matemáticamente, un componente de valor real de un campo vectorial que describe una onda se representa mediante una función de onda escalar u que depende tanto del espacio como del tiempo: donde representa una posición en un espacio tridimensional (en el sistema de coordenadas cartesianas aquí), y t representa el tiempo. $${\displaystyle u=u(\mathbf {r} ,t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$$

La ecuación de onda

La óptica de Fourier comienza con la ecuación de onda escalar homogénea (válida en regiones libres de fuentes): donde es la velocidad de la luz y u ( r , t ) es un componente cartesiano de valor real de una onda electromagnética que se propaga a través de un espacio libre (por ejemplo, u ( r , t ) = E _i ( r , t ) para i = x , y o z donde E _i es el componente del eje i de un campo eléctrico E en el sistema de coordenadas cartesianas ). $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}\right)u(\mathbf {r} ,t)=0.}$$ ${\displaystyle c}$

Estado estable sinusoidal

Si se supone una luz de una frecuencia fija en el tiempo / longitud de onda / color (como la de un láser monomodo), entonces, con base en la convención de tiempo de ingeniería, que supone una dependencia del tiempo en las soluciones de onda en la frecuencia angular con donde es un período de tiempo de las ondas, la forma armónica temporal del campo óptico se da como donde es la unidad imaginaria , es el operador que toma la parte real de , es la frecuencia angular (en radianes por unidad de tiempo) de las ondas de luz, y es, en general, una cantidad compleja , con amplitud separada en número real no negativo y fase . ${\displaystyle e^{i\omega t}}$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ ${\displaystyle f=1/\tau }$ ${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)=\operatorname {Re} \left\{\psi (\mathbf {r} )e^{i\omega t}\right\}.}$$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \left\{x\right\}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \omega =2\pi f}$$ $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=a(\mathbf {r} )e^{i\phi (\mathbf {r} )}}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \phi }$

La ecuación de Helmholtz

Sustituyendo esta expresión en la ecuación de onda escalar anterior se obtiene la forma independiente del tiempo de la ecuación de onda, donde con la longitud de onda en el vacío, es el número de onda (también llamado constante de propagación), es la parte espacial de un componente cartesiano de valor complejo de una onda electromagnética. Nótese que la constante de propagación y la frecuencia angular están relacionadas linealmente entre sí, una característica típica de las ondas electromagnéticas transversales (TEM) en medios homogéneos. $${\displaystyle \operatorname {Re} \left\{\left(\nabla ^{2}+k^{2}\right)\psi (\mathbf {r} )\right\}=0}$$ $${\displaystyle k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega }$

Dado que la solución de valor real originalmente deseada de la ecuación de onda escalar se puede obtener simplemente tomando la parte real de , resolver la siguiente ecuación, conocida como ecuación de Helmholtz , se considera principalmente porque tratar una función de valor complejo es a menudo mucho más fácil que tratar la función de valor real correspondiente. ${\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )e^{i\omega t}}$ $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}+k^{2}\right)\psi (\mathbf {r} )=0.}$$

Solución de la ecuación de Helmholtz

Las soluciones de la ecuación de Helmholtz en el sistema de coordenadas cartesianas se pueden encontrar fácilmente mediante el principio de separación de variables para ecuaciones diferenciales parciales . Este principio dice que en coordenadas ortogonales separables , se puede construir una solución de producto elemental para esta ecuación de onda de la siguiente forma: es decir, como el producto de una función de x por una función de y por una función de z . Si esta solución de producto elemental se sustituye en la ecuación de onda, utilizando el laplaciano escalar en el sistema de coordenadas cartesianas , se obtiene la siguiente ecuación para las 3 funciones individuales , que se reorganiza fácilmente en la forma: $${\displaystyle \psi (x,y,z)=f_{x}(x)f_{y}(y)f_{z}(z)}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}},}$$ $${\displaystyle f_{x}''(x)f_{y}(y)f_{z}(z)+f_{x}(x)f_{y}''(y)f_{z}(z)+f_{x}(x)f_{y}(y)f_{z}''(z)+k^{2}f_{x}(x)f_{y}(y)f_{z}(z)=0}$$ $${\displaystyle {\frac {f_{x}''(x)}{f_{x}(x)}}+{\frac {f_{y}''(y)}{f_{y}(y)}}+{\frac {f_{z}''(z)}{f_{z}(z)}}+k^{2}=0}$$

Ahora se puede argumentar que cada cociente en la ecuación anterior debe, necesariamente, ser constante. Para justificar esto, digamos que el primer cociente no es una constante, y es una función de x . Dado que ninguno de los otros términos en la ecuación tiene ninguna dependencia de la variable x , entonces el primer término tampoco debe tener ninguna dependencia de x ; debe ser una constante. (Si el primer término es una función de x , entonces no hay manera de hacer que el lado izquierdo de esta ecuación sea cero.) Esta constante se denota como - k _x ² . Razonando de manera similar para los cocientes y y z , se obtienen tres ecuaciones diferenciales ordinarias para f _x , f _y y f _z , junto con una condición de separación :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f_{x}(x)+k_{x}^{2}f_{x}(x)&=0\\[1pt]{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}f_{y}(y)+k_{y}^{2}f_{y}(y)&=0\\[1pt]{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}f_{z}(z)+k_{z}^{2}f_{z}(z)&=0\\[3pt]k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}&=k^{2}\end{aligned}}}$$

Cada una de estas 3 ecuaciones diferenciales tiene la misma forma de solución: senos, cosenos o exponenciales complejas. Iremos con la exponencial compleja como una función compleja. Como resultado, la solución del producto elemental es con un número generalmente complejo . Esta solución es la parte espacial de un componente cartesiano de valor complejo (por ejemplo , , o como el componente del campo eléctrico a lo largo de cada eje en el sistema de coordenadas cartesianas ) de una onda plana que se propaga. ( , , o ) es un número real aquí ya que se ha asumido que las ondas en un medio sin fuente, por lo que cada onda plana no se desintegra ni se amplifica a medida que se propaga en el medio. El signo negativo de ( , , o ) en un vector de onda (donde ) significa que el vector de dirección de propagación de la onda tiene un componente positivo ( , , o ), mientras que el signo positivo de significa un componente negativo ( , , o ) de ese vector. ${\displaystyle \psi (x,y,z)}$ ${\displaystyle \psi (x,y,z)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x,y,z)&=Ae^{ik_{x}x}e^{ik_{y}y}e^{ik_{z}z}\\&=Ae^{i(k_{x}x+k_{y}y)}e^{ik_{z}z}\\&=Ae^{i(k_{x}x+k_{y}y)}e^{\pm iz{\sqrt {k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle E_{y}}$ ${\displaystyle E_{z}}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle i=x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle i=x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbf {k} =k_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+k_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+k_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$ ${\textstyle \left|\mathbf {k} \right|=k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i=x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i=x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Las soluciones del producto de la ecuación de Helmholtz también se obtienen fácilmente en coordenadas cilíndricas y esféricas , lo que produce armónicos cilíndricos y esféricos (los restantes sistemas de coordenadas separables se utilizan con mucha menos frecuencia).

La solución completa: la integral de superposición

Una solución general para la ecuación de onda electromagnética homogénea a una frecuencia de tiempo fija en el sistema de coordenadas cartesianas se puede formar como una superposición ponderada de todas las posibles soluciones de ondas planas elementales como ${\displaystyle f}$

con las restricciones de , cada una como un número real, y donde . En esta superposición, es el factor de peso o la amplitud del componente de onda plana con el vector de onda donde se determina en términos de y por la restricción mencionada. ${\displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ ${\displaystyle \Psi _{0}(k_{x},k_{y})}$ ${\displaystyle (k_{x},k_{y},k_{z})}$ ${\displaystyle k_{z}}$ ${\displaystyle k_{x}}$ ${\displaystyle k_{y}}$

A continuación, dejemos : $${\displaystyle \psi _{0}(x,y)=\psi (x,y,z)|_{z=0}.}$$ $${\displaystyle \psi _{0}(x,y)=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_{x}dk_{y}}$$

La representación del espectro de onda plana de un campo electromagnético general (por ejemplo, una onda esférica) en la ecuación ( 2.1 ) es el fundamento básico de la óptica de Fourier (este punto no se puede enfatizar lo suficiente), porque en z = 0, la ecuación simplemente se convierte en una relación de transformada de Fourier (FT) entre el campo y sus contenidos de onda plana (de ahí el nombre, óptica de Fourier ).

Así: y $${\displaystyle \Psi _{0}(k_{x},k_{y})={\mathcal {F}}\{\psi _{0}(x,y)\}}$$ $${\displaystyle \psi _{0}(x,y)={\mathcal {F}}^{-1}\{\Psi _{0}(k_{x},k_{y})\}}$$

Toda dependencia espacial de cada componente de onda plana se describe explícitamente mediante una función exponencial. El coeficiente de la exponencial es una función de solo dos componentes del vector de onda para cada onda plana (ya que el resto de los componentes se pueden determinar mediante las restricciones mencionadas anteriormente), por ejemplo y , al igual que en el análisis de Fourier ordinario y las transformadas de Fourier . ${\displaystyle k_{x}}$ ${\displaystyle k_{y}}$

Relación entre la óptica de Fourier y la resolución de imágenes

Consideremos un sistema de imágenes donde el eje z es el eje óptico del sistema y el plano del objeto (que se va a representar en el plano de la imagen del sistema) es el plano en . En el plano del objeto, la parte espacial de un componente cartesiano de valor complejo de una onda es, como se muestra arriba, con las restricciones de , cada una como un número real, y donde . La formación de imágenes es la reconstrucción de una onda en el plano del objeto (que tiene información sobre un patrón en el plano del objeto que se va a representar) en el plano de la imagen a través de la propagación de onda adecuada desde el objeto a los planos de la imagen (por ejemplo, piense en la formación de imágenes de una imagen en un espacio aéreo). Y la onda en el plano del objeto, que sigue completamente el patrón que se va a representar, está en principio descrita por la transformada de Fourier inversa sin restricciones donde toma un rango infinito de números reales. Esto significa que, para una frecuencia de luz dada, solo se puede representar una parte de la característica completa del patrón debido a las restricciones mencionadas anteriormente en ; (1) una característica fina cuya representación en la transformada inversa de Fourier requiere frecuencias espaciales , donde son números de onda transversales que satisfacen , no se pueden representar por completo ya que las ondas con tales no existen para la luz dada de (Este fenómeno se conoce como el límite de difracción ), y (2) frecuencias espaciales con pero cercanas a tan altos ángulos de salida de onda con respecto al eje óptico, requiere un sistema de imágenes de alta NA ( apertura numérica ) que es caro y difícil de construir. Para (1), incluso si se permiten números de onda longitudinales de valor complejo (por una interacción desconocida entre la luz y el patrón del plano del objeto que suele ser un material sólido), dan lugar a la descomposición de la luz a lo largo del eje (La amplificación de la luz a lo largo del eje no tiene sentido físicamente si no hay material de amplificación entre el objeto y los planos de la imagen, y este es un caso habitual), por lo que las ondas con tales pueden no alcanzar el plano de la imagen que suele estar suficientemente lejos del plano del objeto. ${\displaystyle z=0}$ ${\textstyle \psi _{0}(x,y)=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_{x}dk_{y}}$ ${\displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ ${\textstyle \psi _{0,{\text{unc}}}(x,y)=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_{x}dk_{y}}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\textstyle {\frac {k_{T}}{2\pi }}}$ ${\displaystyle k_{T}}$ ${\displaystyle k_{T}^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}\geq k^{2}}$ ${\displaystyle k_{T}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k_{T}<k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k_{z}}$ ${\displaystyle k_{z}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle k_{z}}$

En relación con la fotolitografía de componentes electrónicos, estas (1) y (2) son las razones por las que se requiere una luz de mayor frecuencia (menor longitud de onda, por lo tanto mayor magnitud de ) o un sistema de imágenes con mayor apertura numérica para obtener imágenes de características más finas de circuitos integrados en una fotorresistencia sobre una oblea. Como resultado, las máquinas que realizan dicha litografía óptica se han vuelto cada vez más complejas y costosas, lo que aumenta significativamente el costo de producción de componentes electrónicos. ${\displaystyle k}$

La aproximación paraxial

Propagación de ondas paraxiales (eje óptico asumido como eje z)

Se supone que una solución a la ecuación de Helmholtz como parte espacial de un componente cartesiano de valor complejo de una onda de frecuencia única toma la forma: donde es el vector de onda , y y es el número de onda. A continuación, utilice la aproximación paraxial , que es una aproximación de ángulo pequeño tal que , hasta la aproximación de segundo orden de las funciones trigonométricas (es decir, tomando solo hasta el segundo término en la expansión de la serie de Taylor de cada función trigonométrica), $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=A(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ $${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =k_{x}\mathbf {x} +k_{y}\mathbf {y} +k_{z}\mathbf {z} }$$ $${\displaystyle k=\|\mathbf {k} \|={\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}={\omega \over c}}$$ $${\displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}\ll k_{z}^{2}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &\approx \theta \\\tan \theta &\approx \theta \\\cos \theta &\approx 1-\theta ^{2}/2\end{aligned}}}$$

donde es el ángulo (en radianes) entre el vector de onda k y el eje z como eje óptico de un sistema óptico en discusión. ${\displaystyle \theta }$

Como resultado, y $${\displaystyle k_{z}=k\cos \theta \approx k(1-\theta ^{2}/2)}$$ $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\approx A(\mathbf {r} )e^{-i(k_{x}x+k_{y}y)}e^{ikz\theta ^{2}/2}e^{-ikz}}$$

La ecuación de onda paraxial

Sustituyendo esta expresión en la ecuación de Helmholtz, se obtiene la ecuación de onda paraxial: donde es el operador transversal de Laplace en el sistema de coordenadas cartesianas . En la obtención de la ecuación de onda paraxial, se utilizan las siguientes aproximaciones. $${\displaystyle \nabla _{T}^{2}A-2ik{\partial A \over \partial z}=0}$$ $${\displaystyle \nabla _{T}^{2}=\nabla ^{2}-{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}}$$

• ${\displaystyle \theta }$es pequeño ( ) por lo que se ignora un término con . ${\displaystyle \theta \ll 1}$ ${\displaystyle \theta ^{2}}$
• Los términos con y son mucho más pequeños que un término con (o ), por lo que estos dos términos se ignoran. ${\displaystyle 2k_{x}}$ ${\displaystyle 2k_{y}}$ ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle 2k_{z}}$
• ${\textstyle \left|{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}A(\mathbf {r} )\right|\ll \left|k{\frac {\partial }{\partial z}}A(\mathbf {r} )\right|}$Por lo tanto, se ignora un término con . Es la aproximación de envolvente de variación lenta , lo que significa que la amplitud o envolvente de una onda varía lentamente en comparación con el período principal de la onda . ${\textstyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}A(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle A(\mathbf {r} )}$ ${\textstyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}}$

La aproximación de campo lejano

La ecuación ( 2.1 ) anterior puede evaluarse asintóticamente en el campo lejano (utilizando el método de fase estacionaria ) para demostrar que el campo en un punto distante se debe de hecho únicamente al componente de onda plana con el vector de onda que se propaga en paralelo al vector y cuyo plano es tangente al frente de fase en . Los detalles matemáticos de este proceso se pueden encontrar en Scott [1998] o Scott [1990]. El resultado de realizar una integración de fase estacionaria en la expresión anterior es la siguiente expresión, ^[1] ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle (k_{x},k_{y},k_{z})}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

lo que indica claramente que el campo en es directamente proporcional al componente espectral en la dirección de , donde, ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

• ${\textstyle x=r~\sin \theta ~\cos \phi }$
• ${\textstyle y=r~\sin \theta ~\sin \phi }$
• ${\textstyle z=r~\cos \theta ~}$

y

• ${\textstyle k_{x}=k~\sin \theta ~\cos \phi }$
• ${\textstyle k_{y}=k~\sin \theta ~\sin \phi }$
• ${\textstyle k_{z}=k~\cos \theta ~}$

Dicho de otra manera, el patrón de radiación de cualquier distribución de campo plano es la Transformada de Fourier (FT) de esa distribución de fuente (véase el principio de Huygens-Fresnel , en el que se desarrolla la misma ecuación utilizando un enfoque de función de Green ). Nótese que NO se trata de una onda plana. La dependencia radial es una onda esférica, tanto en magnitud como en fase, cuya amplitud local es la FT de la distribución del plano de la fuente en ese ángulo de campo lejano. Un espectro de onda plana no significa necesariamente que el campo como la superposición de los componentes de onda plana en ese espectro se comporte de manera similar a una onda plana a distancias lejanas. ${\displaystyle {\frac {e^{-ikr}}{r}}}$

Ancho de banda espacial versus ancho de banda angular

La ecuación ( 2.2 ) anterior es fundamental para establecer la conexión entre el ancho de banda espacial (por un lado) y el ancho de banda angular (por el otro), en el campo lejano. Tenga en cuenta que el término "campo lejano" generalmente significa que estamos hablando de una onda esférica convergente o divergente con un centro de fase bastante bien definido. La conexión entre el ancho de banda espacial y angular en el campo lejano es esencial para comprender la propiedad de filtrado de paso bajo de las lentes delgadas. Consulte la sección 6.1.3 para conocer la condición que define la región del campo lejano.

Una vez que se comprende el concepto de ancho de banda angular, el científico óptico puede "saltar de un lado a otro" entre los dominios espacial y espectral para obtener rápidamente información que normalmente no estaría disponible tan fácilmente a través de consideraciones de óptica de rayos o del dominio espacial únicamente. Por ejemplo, cualquier ancho de banda de fuente que se encuentre más allá del ángulo del borde de la primera lente (este ángulo del borde establece el ancho de banda del sistema óptico) no será capturado por el sistema para ser procesado.

Como nota al margen, los científicos electromagnéticos han ideado un medio alternativo para calcular un campo eléctrico en una zona lejana que no implica la integración de fase estacionaria. Han ideado un concepto conocido como "corrientes magnéticas ficticias" generalmente denotadas por M , y definidas como En esta ecuación, se supone que el vector unitario en la dirección z apunta al semiespacio donde se realizarán los cálculos del campo lejano. Estas corrientes magnéticas equivalentes se obtienen utilizando principios de equivalencia que, en el caso de una interfaz plana infinita, permiten que cualquier corriente eléctrica J sea "imagen de distancia", mientras que las corrientes magnéticas ficticias se obtienen a partir del doble del campo eléctrico de apertura (ver Scott [1998]). Luego, el campo eléctrico radiado se calcula a partir de las corrientes magnéticas utilizando una ecuación similar a la ecuación para el campo magnético radiado por una corriente eléctrica. De esta manera, se obtiene una ecuación vectorial para el campo eléctrico radiado en términos del campo eléctrico de apertura, y la derivación no requiere el uso de ideas de fase estacionaria. $${\displaystyle \mathbf {M} ~=~2\mathbf {E} ^{\text{aper}}\times \mathbf {\hat {z}} .}$$

El espectro de ondas planas: fundamento de la óptica de Fourier

El concepto de espectro de onda plana es el fundamento básico de la óptica de Fourier. El espectro de onda plana es un espectro continuo de ondas planas uniformes , y hay un componente de onda plana en el espectro para cada punto tangente en el frente de fase del campo lejano. La amplitud de ese componente de onda plana sería la amplitud del campo óptico en ese punto tangente. Nuevamente, esto es cierto solo en el campo lejano, definido aproximadamente como el rango más allá de donde es la extensión lineal máxima de las fuentes ópticas y es la longitud de onda (Scott [1998]). El espectro de onda plana a menudo se considera discreto para ciertos tipos de rejillas periódicas, aunque en realidad, los espectros de las rejillas también son continuos, ya que ningún dispositivo físico puede tener la extensión infinita requerida para producir un espectro lineal verdadero. ${\displaystyle 2D^{2}/\lambda }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \lambda }$

Al igual que en el caso de las señales eléctricas, el ancho de banda en óptica es una medida de cuán finamente detallada es una imagen; cuanto más fino sea el detalle, mayor será el ancho de banda necesario para representarlo. Una señal eléctrica de CC (corriente continua) es constante y no tiene oscilaciones; una onda plana que se propaga en paralelo al eje óptico ( ) tiene un valor constante en cualquier plano x - y , y por lo tanto es análoga al componente de CC (constante) de una señal eléctrica. El ancho de banda en las señales eléctricas se relaciona con la diferencia entre las frecuencias más altas y más bajas presentes en el espectro de una señal, prácticamente con un criterio para cortar los bordes de alta y baja frecuencia del espectro para representar el ancho de banda en un número. Para los sistemas ópticos , el ancho de banda también se relaciona con el contenido de frecuencia espacial (ancho de banda espacial), pero también tiene un significado secundario. También mide qué tan lejos del eje óptico están inclinadas las ondas planas correspondientes, por lo que este tipo de ancho de banda a menudo también se conoce como ancho de banda angular. Se necesita un mayor ancho de banda de frecuencia para producir un pulso corto en un circuito eléctrico, y un mayor ancho de banda angular (o de frecuencia espacial) para producir un punto nítido en un sistema óptico (consulte la discusión relacionada con la función de dispersión de puntos ). ${\displaystyle z}$

El espectro de onda plana surge de forma natural como la solución de función propia o "modo natural" de la ecuación de onda electromagnética homogénea en coordenadas rectangulares (véase también Radiación electromagnética , que deriva la ecuación de onda a partir de las ecuaciones de Maxwell en medios sin fuente, o Scott [1998]). En el dominio de frecuencia , con una convención temporal asumida de , la ecuación de onda electromagnética homogénea se convierte en lo que se conoce como ecuación de Helmholtz y toma la forma ${\displaystyle e^{i\omega t}}$

donde y es el número de onda del medio. ${\displaystyle u=x,y,z}$ ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$

Soluciones de función propia (modo natural): antecedentes y descripción general

En el caso de ecuaciones diferenciales, como en el caso de ecuaciones matriciales, siempre que el lado derecho de una ecuación sea cero (por ejemplo, una función de fuerza, un vector de fuerza o la fuente de una fuerza es cero), la ecuación aún puede admitir una solución no trivial , conocida en matemáticas aplicadas como una solución de función propia , en física como una solución de "modo natural" y en la teoría de circuitos eléctricos como la "respuesta de entrada cero". Este es un concepto que abarca una amplia gama de disciplinas físicas. Los ejemplos físicos comunes de modos naturales resonantes incluirían los modos vibracionales resonantes de los instrumentos de cuerda (1D), los instrumentos de percusión (2D) o el antiguo puente Tacoma Narrows (3D). Los ejemplos de modos naturales que se propagan incluirían los modos de guía de ondas , los modos de fibra óptica , los solitones y las ondas de Bloch . Un medio homogéneo infinito admite las soluciones armónicas rectangulares, circulares y esféricas para la ecuación de Helmholtz, dependiendo del sistema de coordenadas en consideración. Las ondas planas que se propagan que estudiaremos en este artículo son quizás el tipo más simple de ondas que se propagan en cualquier tipo de medio.

Existe una sorprendente similitud entre la ecuación de Helmholtz ( 2.3 ) anterior, que puede escribirse y la forma de ecuación habitual para los valores propios/vectores propios de una matriz cuadrada A , $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}+k^{2}\right)f=0,}$$ $${\displaystyle \left(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} \right)\mathbf {x} =0,}$$

particularmente porque tanto el laplaciano escalar como la matriz A son operadores lineales en sus respectivas funciones / espacios vectoriales. (El signo menos en esta ecuación matricial es, para todos los efectos, inmaterial. Sin embargo, el signo más en la ecuación de Helmholtz es significativo). Quizás valga la pena notar que las soluciones de funciones propias / soluciones de vectores propios para la ecuación de Helmholtz / la ecuación matricial, a menudo producen un conjunto ortogonal de las funciones propias / los vectores propios que abarcan (es decir, forman un conjunto base para) el espacio de funciones / espacio vectorial en consideración. El lector interesado puede investigar otros operadores lineales funcionales (por lo tanto para ecuaciones diferentes a la ecuación de Helmholtz) que dan lugar a diferentes tipos de funciones propias ortogonales como polinomios de Legendre , polinomios de Chebyshev y polinomios de Hermite . ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

En el caso de la ecuación matricial en la que A es una matriz cuadrada, los valores propios se pueden encontrar haciendo que el determinante de la matriz sea igual a cero, es decir, encontrando dónde la matriz no tiene inversa. (Se dice que una matriz cuadrada de este tipo es singular ). Las matrices finitas tienen solo un número finito de valores propios/vectores propios, mientras que los operadores lineales pueden tener un número infinito contable de valores propios/funciones propias (en regiones confinadas) o espectros infinitos incontables (continuos) de soluciones, como en regiones ilimitadas. ${\displaystyle \lambda }$

En ciertas aplicaciones de la física, como en el cálculo de bandas en un volumen periódico , a menudo se da el caso de que los elementos de una matriz serán funciones muy complicadas de frecuencia y número de onda, y la matriz será no singular (es decir, tiene la matriz inversa) para la mayoría de las combinaciones de frecuencia y número de onda, pero también será singular (es decir, no tiene la matriz inversa) para ciertas combinaciones específicas. Al encontrar qué combinaciones de frecuencia y número de onda llevan el determinante de la matriz a cero, se pueden determinar las características de propagación del medio. Las relaciones de este tipo, entre frecuencia y número de onda, se conocen como relaciones de dispersión y algunos sistemas físicos pueden admitir muchos tipos diferentes de relaciones de dispersión. Un ejemplo del electromagnetismo es una guía de ondas ordinaria, que puede admitir numerosas relaciones de dispersión, cada una asociada con un modo de propagación único de la guía de ondas. Cada modo de propagación de la guía de ondas se conoce como una solución de función propia (o solución de modo propio) para las ecuaciones de Maxwell en la guía de ondas. El espacio libre también admite soluciones en modo propio (modo natural) (conocidas más comúnmente como ondas planas), pero con la distinción de que para cualquier frecuencia dada, el espacio libre admite un espectro modal continuo, mientras que las guías de onda tienen un espectro modal discreto. En este caso, la relación de dispersión es lineal, como en la sección 1.3.

Espacio K

Para un determinado caso, como por ejemplo para un espacio de vacío homogéneo, la condición de separación, que es idéntica a la ecuación para la métrica euclidiana en un espacio de configuración tridimensional, sugiere la noción de un k-vector en un "k-espacio" tridimensional, definido (para la propagación de ondas planas) en coordenadas rectangulares como: y en el sistema de coordenadas esféricas como ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$ $${\displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}}$$ $${\displaystyle \mathbf {k} ~=~k_{x}\mathbf {\hat {x}} +k_{y}\mathbf {\hat {y}} +k_{z}\mathbf {\hat {z}} }$$

• ${\textstyle k_{x}=k~\sin \theta ~\cos \phi }$
• ${\textstyle k_{y}=k~\sin \theta ~\sin \phi }$
• ${\textstyle k_{z}=k~\cos \theta ~}$

En la siguiente sección se utilizarán estas relaciones del sistema de coordenadas esféricas.

La noción de espacio k es central para muchas disciplinas de la ingeniería y la física, especialmente en el estudio de volúmenes periódicos, como en la cristalografía y la teoría de bandas de los materiales semiconductores.

El bidimensionalTransformada de Fourier

Una ecuación de análisis de espectro (cálculo del espectro de una función ): ${\displaystyle u(x,y)}$ $${\displaystyle U(k_{x},k_{y})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(x,y)e^{-i(k_{x}x+k_{y}y)}dxdy}$$

Una ecuación de síntesis (reconstruyendo la función a partir de su espectro): ${\displaystyle u(x,y)}$ $${\displaystyle u(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }U(k_{x},k_{y})e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}dk_{x}dk_{y}}$$

El factor normalizador de está presente siempre que se utiliza la frecuencia angular (radianes), pero no cuando se utiliza la frecuencia ordinaria (ciclos). ${\displaystyle {1}/{(2\pi )^{2}}}$

Sistemas ópticos: visión general y analogía con sistemas de procesamiento de señales eléctricas

En una descripción general de alto nivel, un sistema óptico consta de tres partes: un plano de entrada, un plano de salida y un conjunto de componentes entre estos planos que transforman una imagen f formada en el plano de entrada en una imagen diferente g formada en el plano de salida. La imagen de salida del sistema óptico g se relaciona con la imagen de entrada f mediante la convolución de la imagen de entrada con la función de respuesta al impulso óptico del sistema óptico, h (conocida como la función de dispersión de puntos , para sistemas ópticos enfocados). La función de respuesta al impulso define de manera única el comportamiento de entrada-salida del sistema óptico. Por convención, el eje óptico del sistema se toma como el eje z . Como resultado, las dos imágenes y la función de respuesta al impulso son todas funciones de las coordenadas transversales, x e y . $${\displaystyle g(x,y)=h(x,y)*f(x,y)}$$

La respuesta al impulso de un sistema de imágenes ópticas es el campo plano de salida que se produce cuando una fuente puntual de luz de campo óptico matemático ideal, que es una entrada de impulso al sistema, se coloca en el plano de entrada (generalmente sobre el eje, es decir, en el eje óptico). En la práctica, no es necesario tener una fuente puntual ideal para determinar una respuesta al impulso exacta. Esto se debe a que cualquier ancho de banda de fuente que se encuentre fuera del ancho de banda del sistema óptico en consideración no importará de todos modos (ya que ni siquiera puede ser capturado por el sistema óptico), por lo que no es necesario para determinar la respuesta al impulso. La fuente solo necesita tener al menos tanto ancho de banda (angular) como el sistema óptico.

Los sistemas ópticos se dividen típicamente en dos categorías diferentes. La primera son los sistemas de formación de imágenes ópticas enfocadas comunes (por ejemplo, cámaras), en los que el plano de entrada se denomina plano del objeto y el plano de salida se denomina plano de la imagen. Se desea que un campo óptico en el plano de la imagen (el plano de salida del sistema de formación de imágenes) sea una reproducción de alta calidad de un campo óptico en el plano del objeto (el plano de entrada del sistema de formación de imágenes). Se desea que la función de respuesta al impulso de un sistema de formación de imágenes ópticas se aproxime a una función delta 2D, en la ubicación (o una ubicación escalada linealmente) en el plano de salida correspondiente a la ubicación del impulso (una fuente puntual ideal) en el plano de entrada. La función de respuesta al impulso real de un sistema de formación de imágenes se asemeja típicamente a una función de Airy , cuyo radio es del orden de la longitud de onda de la luz utilizada. La función de respuesta al impulso en este caso se denomina típicamente función de dispersión de puntos , ya que el punto matemático de luz en el plano del objeto se ha dispersado en una función de Airy en el plano de la imagen.

El segundo tipo son los sistemas de procesamiento de imágenes ópticas, en los que se debe localizar y aislar una característica significativa en el campo óptico del plano de entrada. En este caso, se desea que la respuesta al impulso de dicho sistema sea una réplica (imagen) cercana de la característica que se busca en el campo del plano de entrada, de modo que una convolución de la respuesta al impulso (una imagen de la característica deseada) contra el campo del plano de entrada produzca un punto brillante en la ubicación de la característica en el plano de salida. Este último tipo de sistema de procesamiento de imágenes ópticas es el tema de esta sección. La sección 6.2 presenta una implementación de hardware de las operaciones de procesamiento de imágenes ópticas descritas en esta sección.

Plano de entrada

El plano de entrada se define como el lugar geométrico de todos los puntos tales que z = 0. Por lo tanto, la imagen de entrada f es $${\displaystyle f(x,y)=U(x,y,z){\big |}_{z=0}}$$

Plano de salida

El plano de salida se define como el lugar geométrico de todos los puntos tales que z = d . Por lo tanto, la imagen de salida g es $${\displaystyle g(x,y)=U(x,y,z){\big |}_{z=d}}$$

La convolución 2D de la función de entrada frente a la función de respuesta al impulso

$${\displaystyle g(x,y)~=~h(x,y)*f(x,y)}$$es decir,

El lector atento notará que la integral anterior supone tácitamente que la respuesta al impulso NO es una función de la posición (x', y') del impulso de luz en el plano de entrada (si no fuera así, este tipo de convolución no sería posible). Esta propiedad se conoce como invariancia de desplazamiento (Scott [1998]). Ningún sistema óptico es perfectamente invariante al desplazamiento: a medida que el punto de luz ideal y matemático se aleja del eje óptico, las aberraciones eventualmente degradarán la respuesta al impulso (lo que se conoce como coma en los sistemas de imágenes enfocadas). Sin embargo, los sistemas ópticos de alta calidad a menudo son "suficientemente invariantes al desplazamiento" en ciertas regiones del plano de entrada como para que podamos considerar la respuesta al impulso como una función solo de la diferencia entre las coordenadas del plano de entrada y de salida, y, por lo tanto, utilizar la ecuación anterior con impunidad.

Además, esta ecuación supone un aumento unitario. Si hay aumento, entonces la ecuación ( 4.1 ) se convierte en

que básicamente traduce la función de respuesta al impulso, h _M (), de x′ a x = Mx′ . En la ecuación ( 4.2 ), h _M será una versión ampliada de la función de respuesta al impulso h de un sistema similar, no ampliado, de modo que h _M ( x , y ) = h ( x / M , y / M ).

Derivación de la ecuación de convolución

La extensión a dos dimensiones es trivial, excepto por la diferencia de que la causalidad existe en el dominio del tiempo, pero no en el dominio espacial. La causalidad significa que la respuesta al impulso h ( t − t′ ) de un sistema eléctrico, debido a un impulso aplicado en el tiempo t' , debe ser necesariamente cero para todos los tiempos t tales que t − t′ < 0.

Para obtener la representación de convolución de la respuesta del sistema es necesario representar la señal de entrada como una superposición ponderada sobre un tren de funciones de impulso utilizando la propiedad de cribado de las funciones delta de Dirac . $${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-t')f(t')dt'}$$

Se presume entonces que el sistema en consideración es lineal , es decir que la salida del sistema debida a dos entradas diferentes (posiblemente en dos momentos diferentes) es la suma de las salidas individuales del sistema a las dos entradas, cuando se introducen individualmente. Por lo tanto, el sistema óptico no puede contener materiales no lineales ni dispositivos activos (excepto posiblemente, dispositivos activos extremadamente lineales). La salida del sistema, para una sola entrada de función delta se define como la respuesta al impulso del sistema, h ( t − t′ ). Y, por nuestra suposición de linealidad (es decir, que la salida del sistema a una entrada de tren de pulsos es la suma de las salidas debidas a cada pulso individual), ahora podemos decir que la función de entrada general f ( t ) produce la salida: donde h ( t − t′ ) es la respuesta (al impulso) del sistema lineal a la entrada de función delta δ ( t − t′ ), aplicada en el momento t' . De aquí proviene la ecuación de convolución anterior. La ecuación de convolución es útil porque suele ser mucho más fácil encontrar la respuesta de un sistema a una entrada de función delta (y luego realizar la convolución anterior para encontrar la respuesta a una entrada arbitraria) que intentar encontrar la respuesta a la entrada arbitraria directamente. Además, la respuesta al impulso (en los dominios del tiempo o de la frecuencia) suele proporcionar información sobre las cifras de mérito relevantes del sistema. En el caso de la mayoría de las lentes, la función de dispersión de puntos (PSF) es una cifra de mérito bastante común para fines de evaluación. $${\displaystyle g(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-t')f(t')dt'}$$

La misma lógica se utiliza en relación con el principio de Huygens-Fresnel , o la formulación de Stratton-Chu, en la que la "respuesta al impulso" se denomina la función de Green del sistema. Por lo tanto, el funcionamiento del dominio espacial de un sistema óptico lineal es análogo en este sentido al principio de Huygens-Fresnel.

Función de transferencia del sistema

Si la última ecuación anterior se transforma en Fourier, se convierte en: donde $${\displaystyle G(\omega )~=~H(\omega )\cdot F(\omega )}$$

• ${\displaystyle G(\omega )}$es el espectro de la señal de salida
• ${\displaystyle H(\omega )}$es la función de transferencia del sistema
• ${\displaystyle F(\omega )}$es el espectro de la señal de entrada

De la misma manera, la ecuación ( 4.1 ) puede transformarse por Fourier para obtener:

$${\displaystyle G(k_{x},k_{y})~=~H(k_{x},k_{y})\cdot F(k_{x},k_{y})}$$

Función de transferencia del sistema. En imágenes ópticas, esta función se conoce mejor como función de transferencia óptica (Goodman) . ${\displaystyle H(\omega )}$

Una vez más, se puede observar a partir de la discusión sobre la condición del seno de Abbe , que esta ecuación supone una ampliación unitaria.

Esta ecuación adquiere su verdadero significado cuando la transformada de Fourier se asocia con el coeficiente de la onda plana cuyos números de onda transversales son . De esta manera, el espectro de la onda plana del plano de entrada se transforma en el espectro de la onda plana del plano de salida mediante la acción multiplicativa de la función de transferencia del sistema. Es en esta etapa de comprensión que los antecedentes previos sobre el espectro de la onda plana se vuelven invaluables para la conceptualización de los sistemas ópticos de Fourier. ${\displaystyle ~G(k_{x},k_{y})}$ ${\displaystyle ~(k_{x},k_{y})}$

Aplicaciones de los principios de la óptica de Fourier

La óptica de Fourier se utiliza en el campo del procesamiento óptico de información, cuyo elemento básico es el procesador 4F clásico.

Las propiedades de la transformada de Fourier de una lente proporcionan numerosas aplicaciones en el procesamiento de señales ópticas, como filtrado espacial , correlación óptica y hologramas generados por computadora .

La teoría óptica de Fourier se utiliza en interferometría , pinzas ópticas , trampas atómicas y computación cuántica . Los conceptos de la óptica de Fourier se utilizan para reconstruir la fase de la intensidad de la luz en el plano de frecuencia espacial (véase algoritmo adaptativo-aditivo ).

Propiedad de transformación de Fourier de las lentes

Si se coloca un objeto transmisivo a una distancia focal delante de una lente , su transformada de Fourier se formará a una distancia focal detrás de la lente. Observe la figura de la derecha (haga clic para ampliar)

Sobre la propiedad de transformación de Fourier de las lentes

En esta figura, se supone una onda plana incidente desde la izquierda. La función de transmitancia en el plano focal frontal (es decir, Plano 1) modula espacialmente la onda plana incidente en magnitud y fase, como en el lado izquierdo de la ecuación ( 2.1 ) (especificada a z = 0), y al hacerlo, produce un espectro de ondas planas correspondientes a la FT de la función de transmitancia, como en el lado derecho de la ecuación ( 2.1 ) (para z > 0). Los diversos componentes de onda plana se propagan en diferentes ángulos de inclinación con respecto al eje óptico de la lente (es decir, el eje horizontal). Cuanto más finas sean las características en la transparencia, más amplio será el ancho de banda angular del espectro de onda plana. Consideraremos uno de esos componentes de onda plana, que se propaga en un ángulo θ con respecto al eje óptico. Se supone que θ es pequeño ( aproximación paraxial ), de modo que y y $${\displaystyle {\frac {k_{x}}{k}}=\sin \theta \simeq \theta }$$ $${\displaystyle {\frac {k_{z}}{k}}=\cos \theta \simeq 1-{\frac {1}{2}}\theta ^{2}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}\simeq {\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}\theta ^{2}}}\simeq 1+{\frac {1}{2}}\theta ^{2}}$$

En la figura, la fase de onda plana , que se mueve horizontalmente desde el plano focal frontal hasta el plano de la lente, es y la fase de onda esférica desde la lente hasta el punto en el plano focal posterior es: y la suma de las dos longitudes de trayectoria es f (1 + θ ² /2 + 1 − θ ² /2) = 2 f ; es decir, es un valor constante, independiente del ángulo de inclinación, θ , para ondas planas paraxiales. Cada componente de onda plana paraxial del campo en el plano focal frontal aparece como un punto de función de dispersión de puntos en el plano focal posterior, con una intensidad y fase iguales a la intensidad y fase del componente de onda plana original en el plano focal frontal. En otras palabras, el campo en el plano focal posterior es la transformada de Fourier del campo en el plano focal frontal. $${\displaystyle e^{ikf\cos \theta }}$$ $${\displaystyle e^{ikf/\cos \theta }}$$

Todos los componentes de la FT se calculan simultáneamente (en paralelo) a la velocidad de la luz. Por ejemplo, la luz viaja a una velocidad de aproximadamente 0,30 m por nanosegundo, por lo que si una lente tiene una distancia focal de 0,30 m, se puede calcular una FT 2D completa en aproximadamente 2 ns (2 × 10 ⁻⁹ segundos). Si la distancia focal es de 1 pulgada, el tiempo es inferior a 200 ps. Ningún ordenador electrónico puede competir con este tipo de números, ni siquiera puede aspirar a hacerlo, aunque los superordenadores pueden llegar a ser más rápidos que la óptica, por improbable que parezca. Sin embargo, su velocidad se obtiene combinando numerosos ordenadores que, individualmente, siguen siendo más lentos que la óptica. La desventaja de la FT óptica es que, como muestra la derivación, la relación de la FT solo se cumple para ondas planas paraxiales, por lo que este "ordenador" de FT está inherentemente limitado en banda. Por otra parte, dado que la longitud de onda de la luz visible es tan diminuta en relación incluso con las dimensiones de las características visibles más pequeñas en la imagen, es decir, (para todos los k _x , k _y dentro del ancho de banda espacial de la imagen, de modo que k _z es casi igual a k ), la aproximación paraxial no es terriblemente limitante en la práctica. Y, por supuesto, se trata de una computadora analógica, no digital, por lo que la precisión es limitada. Además, la fase puede ser difícil de extraer; a menudo se infiere mediante interferometría. $${\displaystyle k^{2}\gg k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}$$

El procesamiento óptico es especialmente útil en aplicaciones en tiempo real donde se requiere el procesamiento rápido de cantidades masivas de datos 2D, particularmente en relación con el reconocimiento de patrones.

Truncamiento de objetos y fenómeno de Gibbs

El campo eléctrico modulado espacialmente, que se muestra en el lado izquierdo de la ecuación ( 2.1 ), normalmente solo ocupa una apertura finita (normalmente rectangular) en el plano x,y. La función de apertura rectangular actúa como un filtro cuadrado de 2D, donde se supone que el campo es cero fuera de este rectángulo de 2D. Las integrales del dominio espacial para calcular los coeficientes de FT en el lado derecho de la ecuación ( 2.1 ) se truncan en el límite de esta apertura. Este truncamiento escalonado puede introducir imprecisiones tanto en los cálculos teóricos como en los valores medidos de los coeficientes de onda plana en el lado derecho de la ecuación ( 2.1 ).

Siempre que una función se trunca de manera discontinua en un dominio de FT, se introducen ensanchamiento y ondulación en el otro dominio de FT. Un ejemplo perfecto en óptica está relacionado con la función de dispersión de puntos, que para la iluminación de ondas planas sobre el eje de una lente cuadrática (con apertura circular), es una función de Airy, J ₁ ( x )/ x . Literalmente, la fuente puntual se ha "dispersado" (con ondulaciones añadidas), para formar la función de dispersión de puntos de Airy (como resultado del truncamiento del espectro de ondas planas por la apertura finita de la lente). Esta fuente de error se conoce como fenómeno de Gibbs y se puede mitigar simplemente asegurando que todo el contenido significativo se encuentre cerca del centro de la transparencia, o mediante el uso de funciones de ventana que reducen suavemente el campo a cero en los límites del marco. Por el teorema de convolución, la FT de una función de transparencia arbitraria -multiplicada (o truncada) por una función de apertura- es igual a la FT de la función de transparencia no truncada convolucionada contra la FT de la función de apertura, que en este caso se convierte en un tipo de "función de Greens" o "función de respuesta al impulso" en el dominio espectral. Por lo tanto, la imagen de una lente circular es igual a la función del plano del objeto convolucionada contra la función de Airy (la FT de una función de apertura circular es J ₁ ( x )/ x y la FT de una función de apertura rectangular es un producto de funciones sinc, sen x / x ).

Análisis de Fourier y descomposición funcional

Aunque la transparencia de entrada sólo ocupa una porción finita del plano x - y (Plano 1), las ondas planas uniformes que componen el espectro de ondas planas ocupan todo el plano x - y , por lo que (para este propósito) sólo se debe considerar la fase de onda plana longitudinal (en la dirección z , del Plano 1 al Plano 2), y no la fase transversal a la dirección z . Por supuesto, es muy tentador pensar que si una onda plana que emana de la apertura finita de la transparencia está inclinada demasiado lejos de la horizontal, de alguna manera "perderá" la lente por completo, pero nuevamente, dado que la onda plana uniforme se extiende infinitamente lejos en todas las direcciones en el plano transversal ( x - y ), los componentes de onda plana no pueden perder la lente.

Esta cuestión plantea quizás la principal dificultad del análisis de Fourier, a saber, que la función del plano de entrada, definida sobre un soporte finito (es decir, sobre su propia apertura finita), se está aproximando con otras funciones (sinusoides) que tienen un soporte infinito (es decir, están definidas sobre todo el plano infinito x - y ). Esto es increíblemente ineficiente desde el punto de vista computacional, y es la razón principal por la que se concibieron los wavelets , es decir, para representar una función (definida sobre un intervalo o área finito) en términos de funciones oscilatorias que también están definidas sobre intervalos o áreas finitos. Por lo tanto, en lugar de obtener el contenido de frecuencia de toda la imagen de una sola vez (junto con el contenido de frecuencia de todo el resto del plano x - y , sobre el que la imagen tiene valor cero), el resultado es en cambio el contenido de frecuencia de diferentes partes de la imagen, lo que suele ser mucho más simple. Desafortunadamente, las wavelets en el plano x - y no corresponden a ningún tipo conocido de función de onda propagada, de la misma manera que las sinusoides de Fourier (en el plano x - y ) corresponden a funciones de onda planas en tres dimensiones. Sin embargo, las funciones de transición de la mayoría de las wavelets son bien conocidas y posiblemente se podría demostrar que son equivalentes a algún tipo útil de campo propagado.

Por otra parte, las funciones sinc y las funciones de Airy (que no sólo son funciones de dispersión de puntos de aperturas rectangulares y circulares, respectivamente, sino que también son funciones cardinales que se utilizan habitualmente para la descomposición funcional en la teoría de interpolación/muestreo [Scott 1990]) sí corresponden a ondas esféricas convergentes o divergentes y, por lo tanto, podrían implementarse potencialmente como una descomposición funcional completamente nueva de la función del plano del objeto, lo que conduciría a otro punto de vista similar en naturaleza a la óptica de Fourier. Esto sería básicamente lo mismo que la óptica de rayos convencional, pero con efectos de difracción incluidos. En este caso, cada función de dispersión de puntos sería un tipo de "píxel suave", de la misma manera que un solitón en una fibra es un "pulso suave".

Tal vez una figura de mérito de la lente desde este punto de vista de la "función de dispersión de puntos" sería preguntar qué tan bien una lente transforma una función de Airy en el plano del objeto en una función de Airy en el plano de la imagen, como una función de la distancia radial desde el eje óptico, o como una función del tamaño de la función de Airy del plano del objeto. Esto es algo así como la función de dispersión de puntos, excepto que ahora realmente la estamos viendo como una especie de función de transferencia de plano de entrada a salida (como MTF), y no tanto en términos absolutos, en relación con un punto perfecto. De manera similar, las ondículas gaussianas, que corresponderían a la cintura de un haz gaussiano que se propaga, también podrían usarse potencialmente en otra descomposición funcional del campo del plano del objeto.

Alcance de campo lejano y 2D²/ criterio λ

En la figura anterior, que ilustra la propiedad de transformación de Fourier de las lentes, la lente está en el campo cercano de la transparencia del plano del objeto, por lo tanto, el campo del plano del objeto en la lente puede considerarse como una superposición de ondas planas, cada una de las cuales se propaga en algún ángulo con respecto al eje z. En este sentido, el criterio de campo lejano se define vagamente como: Rango = 2 D ² /λ donde D es la extensión lineal máxima de las fuentes ópticas y λ es la longitud de onda (Scott [1998]). La D de la transparencia es del orden de cm (10 ⁻² m) y la longitud de onda de la luz es del orden de 10 ⁻⁶ m, por lo tanto, D /λ para toda la transparencia es del orden de 10 ⁴ . Esta vez, D es del orden de 10 ² m, o cientos de metros. Por otro lado, la distancia de campo lejano desde un punto PSF es del orden de λ. Esto se debe a que D para el punto es del orden de λ, de modo que D /λ es del orden de la unidad; esta vez D (es decir, λ) es del orden de λ (10 ⁻⁶ m).

Puesto que la lente está en el campo lejano de cualquier punto de PSF, el campo incidente sobre la lente desde el punto puede considerarse como una onda esférica, como en la ecuación ( 2.2 ), no como un espectro de onda plana, como en la ecuación ( 2.1 ). Por otro lado, la lente está en el campo cercano de toda la transparencia del plano de entrada, por lo tanto, la ecuación ( 2.1 ) - el espectro de onda plana completo - representa con precisión el campo incidente sobre la lente desde esa fuente más grande y extendida.

La lente como filtro de paso bajo

Una lente es básicamente un filtro de onda plana de paso bajo (ver Filtro de paso bajo ). Considere una fuente de luz "pequeña" ubicada en el eje en el plano del objeto de la lente. Se supone que la fuente es lo suficientemente pequeña como para que, por el criterio de campo lejano, la lente esté en el campo lejano de la fuente "pequeña". Entonces, el campo irradiado por la fuente pequeña es una onda esférica que se modula por la FT de la distribución de la fuente, como en la ecuación ( 2.2 ). Luego, la lente pasa, desde el plano del objeto hacia el plano de la imagen, solo esa porción de la onda esférica irradiada que se encuentra dentro del ángulo del borde de la lente. En este caso de campo lejano, el truncamiento de la onda esférica irradiada es equivalente al truncamiento del espectro de onda plana de la fuente pequeña. Por lo tanto, los componentes de onda plana en esta onda esférica de campo lejano, que se encuentran más allá del ángulo del borde de la lente, no son capturados por la lente y no se transfieren al plano de la imagen. Nota: esta lógica es válida sólo para fuentes pequeñas, de modo que la lente se encuentre en la región de campo lejano de la fuente, según el criterio 2 D ² /λ mencionado anteriormente. Si se imagina una transparencia del plano del objeto como una suma sobre fuentes pequeñas (como en la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon , Scott [1990]), cada una de las cuales tiene su espectro truncado de esta manera, entonces cada punto de toda la transparencia del plano del objeto sufre los mismos efectos de este filtrado de paso bajo.

La pérdida del contenido de alta frecuencia (espacial) provoca desenfoque y pérdida de nitidez (véase la discusión relacionada con la función de dispersión de puntos ). El truncamiento del ancho de banda hace que una fuente puntual (ficticia, matemática, ideal) en el plano del objeto se desenfoque (o se disperse) en el plano de la imagen, lo que da lugar al término "función de dispersión de puntos". Siempre que se expande o se contrae el ancho de banda, el tamaño de la imagen normalmente se contrae o se expande en consecuencia, de tal manera que el producto espacio-ancho de banda permanece constante, según el principio de Heisenberg (Scott [1998] y la condición sinusoidal de Abbe ).

Coherencia y transformada de Fourier

Al trabajar en el dominio de la frecuencia, con una dependencia temporal asumida de e ^jωt (ingeniería), se supone implícitamente luz coherente (láser), que tiene una dependencia de la función delta en el dominio de la frecuencia. La luz a diferentes frecuencias (función delta) "rociará" el espectro de onda plana en diferentes ángulos y, como resultado, estos componentes de onda plana se enfocarán en diferentes lugares en el plano de salida. La propiedad de transformación de Fourier de las lentes funciona mejor con luz coherente, a menos que haya alguna razón especial para combinar luz de diferentes frecuencias, para lograr algún propósito especial.

Implementación de hardware de la función de transferencia del sistema: el correlador 4F

La teoría sobre las funciones de transferencia óptica presentada en la sección 5 es algo abstracta. Sin embargo, existe un dispositivo muy conocido que implementa la función de transferencia del sistema H en hardware utilizando sólo dos lentes idénticas y una placa transparente: el correlador 4F. Aunque una aplicación importante de este dispositivo sería sin duda la implementación de las operaciones matemáticas de correlación cruzada y convolución , este dispositivo (de 4 longitudes focales) en realidad sirve para una amplia variedad de operaciones de procesamiento de imágenes que van mucho más allá de lo que su nombre implica. En la figura siguiente se muestra un diagrama de un correlador 4F típico (haga clic para ampliar). Este dispositivo se puede entender fácilmente combinando la representación del espectro de ondas planas del campo eléctrico (sección 1.5) con la propiedad de transformación de Fourier de las lentes cuadráticas (sección 6.1) para obtener las operaciones de procesamiento de imágenes ópticas descritas en la sección 5.

Correlador 4F

El correlacionador 4F se basa en el teorema de convolución de la teoría de la transformada de Fourier , que establece que la convolución en el dominio espacial ( x , y ) es equivalente a la multiplicación directa en el dominio de frecuencia espacial ( k _x , k _y ) (también conocido como: dominio espectral ). Una vez más, se supone que una onda plana incide desde la izquierda y se coloca una transparencia que contiene una función 2D, f ( x , y ), en el plano de entrada del correlacionador, ubicado una distancia focal frente a la primera lente. La transparencia modula espacialmente la onda plana incidente en magnitud y fase, como en el lado izquierdo de la ecuación ( 2.1 ), y al hacerlo, produce un espectro de ondas planas correspondientes a la FT de la función de transmitancia, como en el lado derecho de la ecuación ( 2.1 ). Ese espectro luego se forma como una "imagen" una distancia focal detrás de la primera lente, como se muestra. Una máscara de transmisión que contiene la FT de la segunda función, g ( x , y ), se coloca en este mismo plano, una distancia focal detrás de la primera lente, lo que hace que la transmisión a través de la máscara sea igual al producto, F ( k _x , k _y ) × G ( k _x , k _y ). Este producto ahora se encuentra en el "plano de entrada" de la segunda lente (una distancia focal al frente), de modo que la FT de este producto (es decir, la convolución de f ( x , y ) y g ( x , y )), se forma en el plano focal posterior de la segunda lente.

Si se coloca una fuente de luz puntual matemática ideal sobre el eje en el plano de entrada de la primera lente, se producirá un campo colimado uniforme en el plano de salida de la primera lente. Cuando este campo colimado uniforme se multiplica por la máscara del plano FT y luego se aplica la transformada de Fourier a la segunda lente, el campo del plano de salida (que en este caso es la respuesta al impulso del correlacionador) es simplemente nuestra función de correlación, g ( x , y ). En aplicaciones prácticas, g ( x , y ) será algún tipo de característica que se debe identificar y ubicar dentro del campo del plano de entrada (consulte Scott [1998]). En aplicaciones militares, esta característica puede ser un tanque, un barco o un avión que se deben identificar rápidamente dentro de una escena más compleja.

El correlacionador 4F es un dispositivo excelente para ilustrar los aspectos de "sistemas" de los instrumentos ópticos, a los que se alude en la sección 5 anterior. La función de máscara del plano FT, G ( k _x , k _y ) es la función de transferencia del sistema del correlacionador, que en general denotaríamos como H ( k _x , k _y ), y es la FT de la función de respuesta al impulso del correlacionador, h ( x , y ) que es simplemente nuestra función de correlación g ( x , y ). Y, como se mencionó anteriormente, la respuesta al impulso del correlacionador es simplemente una imagen de la característica que estamos tratando de encontrar en la imagen de entrada. En el correlacionador 4F, la función de transferencia del sistema H ( k _x , k _y ) se multiplica directamente por el espectro F ( k _x , k _y ) de la función de entrada, para producir el espectro de la función de salida. Así es como los sistemas de procesamiento de señales eléctricas operan en señales temporales 1D.

Restauración de imagen

El desenfoque de la imagen por una función de dispersión de puntos se estudia ampliamente en el procesamiento de información óptica; una forma de aliviar el desenfoque es adoptar el filtro de Wiener. Por ejemplo, supongamos que es la distribución de intensidad de un objeto incoherente, es la distribución de intensidad de su imagen que está desenfoque por una función de dispersión de puntos invariante en el espacio y un ruido introducido en el proceso de detección: ${\displaystyle o(x,y)}$ ${\displaystyle i(x,y)}$ ${\displaystyle s(x,y)}$ ${\displaystyle n(x,y)}$ $${\displaystyle i(x,y)=o(x,y)\otimes s(x,y)+n(x,y)}$$

El objetivo de la restauración de imágenes es encontrar un filtro de restauración lineal que minimice el error cuadrático medio entre la distribución real y la estimación . Es decir, minimizar ${\displaystyle {\hat {o}}(x,y)}$ $${\displaystyle \varepsilon ^{2}=|o-{\hat {o}}|^{2}}$$

La solución de este problema de optimización es el filtro de Wiener : donde , , son las densidades espectrales de potencia de la función de dispersión puntual, el objeto y el ruido. $${\displaystyle H\left(f_{X},f_{Y}\right)={\frac {S^{*}\left(f_{X},f_{Y}\right)}{\left|S\left(f_{X},f_{Y}\right)\right|^{2}+{\frac {\Phi _{n}\left(f_{X},f_{Y}\right)}{\Phi _{o}\left(f_{X},f_{Y}\right)}}}},}$$ ${\displaystyle S\left(f_{X},f_{Y}\right)}$ ${\displaystyle \Phi _{o}\left(f_{X},f_{Y}\right)}$ ${\displaystyle \Phi _{n}\left(f_{X},f_{Y}\right)}$

La geometría de grabación

Ragnarsson propuso un método para realizar filtros de restauración de Wiener ópticamente mediante una técnica holográfica como la configuración que se muestra en la figura. ^{[2] [3]} La derivación de la función de la configuración se describe a continuación.

Supongamos que hay una transparencia como plano de registro y un impulso emitido desde una fuente puntual S . La onda del impulso es colimada por la lente L 1 , formando una distribución igual a la respuesta al impulso . Luego, la distribución se divide en dos partes: ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$

1. La porción superior se enfoca primero (es decir, se transforma en Fourier) mediante una lente L 2 en un punto en el plano focal frontal de la lente L 3, formando una fuente puntual virtual que genera una onda esférica. Luego, la onda se colima mediante la lente L 3 y produce una onda plana inclinada con la forma en el plano de registro. ${\displaystyle r_{0}e^{-j2\pi \alpha y}}$
2. La porción inferior está colimada directamente por la lente L3 , lo que produce una distribución de amplitud . ${\displaystyle {\frac {1}{\lambda f}}H{\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)}}$

Por lo tanto, la distribución de intensidad total es $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {I}}\left(x_{2},y_{2}\right)&=\left|r_{o}\exp \left(-j2\pi \alpha y_{2}\right)+{\frac {1}{\lambda f}}H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right|^{2}\\&=r_{o}^{2}+{\frac {1}{\lambda ^{2}f^{2}}}\left|H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right|^{2}+{\frac {r_{o}}{\lambda f}}H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\exp \left(j2\pi \alpha y_{2}\right)+{\frac {r_{o}}{\lambda f}}H^{*}\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\exp \left(-j2\pi \alpha y_{2}\right)\end{aligned}}}$$

Supongamos que tiene una distribución de amplitud y una distribución de fase tales que ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)=S\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\exp \left[j\psi \left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right],}$$

Luego podemos reescribir la intensidad de la siguiente manera: $${\displaystyle I\left(x_{2},y_{2}\right)=r_{o}^{2}+{\frac {1}{\lambda ^{2}f^{2}}}S^{2}\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)+{\frac {2r_{o}}{\lambda f}}S\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\cos \left[2\pi \alpha y_{2}+\psi \left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right].}$$

Nótese que para el punto en el origen del plano de la película ( ), la onda registrada de la porción inferior debe ser mucho más fuerte que la de la porción superior porque la onda que pasa por la trayectoria inferior está enfocada, lo que conduce a la relación . ${\displaystyle (x_{2},y_{2})=\mathbf {0} }$ ${\textstyle r_{0}\ll {\frac {1}{\lambda f}}}$

En la obra de Ragnarsson, este método se basa en los siguientes postulados:

1. Supongamos que existe una transparencia, con su transmitancia de amplitud proporcional a , que ha registrado la respuesta de impulso conocida del sistema borroso. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s(x,y)}$
2. El desplazamiento de fase máximo introducido por el filtro es mucho menor que radianes, de modo que . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle e^{j\phi }\approx 1+j\phi }$
3. El cambio de fase de la transparencia después del blanqueo es linealmente proporcional a la densidad de plata presente antes del blanqueo. ${\displaystyle D}$
4. La densidad es linealmente proporcional al logaritmo de exposición. $${\displaystyle I=r_{o}^{2}+{\frac {1}{\lambda ^{2}f^{2}}}S^{2}.}$$
5. La exposición promedio es mucho más fuerte que la exposición variable. ${\displaystyle {\bar {I}}}$ $${\displaystyle \Delta I\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)={\frac {2r_{o}}{\lambda f}}S\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\cos \left[2\pi \alpha y_{2}+\psi \left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right].}$$

Por estos postulados, tenemos la siguiente relación: $${\displaystyle \Delta t\propto \Delta \phi \propto \Delta D\propto \Delta (\log I)\approx {\frac {\Delta I}{I}}.}$$

Finalmente, obtenemos una transmitancia de amplitud con la forma de un filtro de Wiener: $${\displaystyle \Delta t\propto {\frac {S^{\ast }}{r_{0}^{2}\lambda ^{2}f^{2}+\left\vert S\right\vert ^{2}}}.}$$

Epílogo: El espectro de ondas planas en el contexto más amplio de la descomposición funcional

Los campos eléctricos se pueden representar matemáticamente de muchas formas diferentes. En los puntos de vista de Huygens-Fresnel o Stratton -Chu, el campo eléctrico se representa como una superposición de fuentes puntuales, cada una de las cuales da lugar a un campo de función de Green . El campo total es entonces la suma ponderada de todos los campos de función de Green individuales. Esa parece ser la forma más natural de ver el campo eléctrico para la mayoría de las personas, sin duda porque la mayoría de nosotros, en un momento u otro, hemos dibujado los círculos con transportador y papel, de la misma manera que Thomas Young lo hizo en su artículo clásico sobre el experimento de la doble rendija . Sin embargo, de ninguna manera es la única forma de representar el campo eléctrico, que también puede representarse como un espectro de ondas planas que varían sinusoidalmente. Además, Frits Zernike propuso otra descomposición funcional basada en sus polinomios de Zernike , definidos en el disco unitario. Los polinomios de Zernike de tercer orden (y menores) corresponden a las aberraciones normales de la lente. Y se podría hacer otra descomposición funcional en términos de funciones Sinc y funciones Airy, como en la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon y el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon . Todas estas descomposiciones funcionales tienen utilidad en diferentes circunstancias. El científico óptico que tiene acceso a estas diversas formas de representación tiene a su disposición una visión más rica de la naturaleza de estos maravillosos campos y sus propiedades. Estas diferentes formas de ver el campo no son conflictivas ni contradictorias, más bien, al explorar sus conexiones, a menudo se puede obtener una visión más profunda de la naturaleza de los campos de ondas.

Descomposición funcional y funciones propias

Los temas gemelos de las expansiones de funciones propias y la descomposición funcional , a los que se alude brevemente aquí, no son completamente independientes. Las expansiones de funciones propias para ciertos operadores lineales definidos sobre un dominio dado, a menudo producirán un conjunto infinito numerable de funciones ortogonales que abarcarán ese dominio. Dependiendo del operador y de la dimensionalidad (y forma, y ​​condiciones de contorno) de su dominio, en principio son posibles muchos tipos diferentes de descomposiciones funcionales.

Véase también

• Método del espectro angular
• Condición sinusal de Abbe
• Algoritmo adaptativo-aditivo
• Principio de Huygens-Fresnel
• Función de dispersión de puntos
• Microscopía de contraste de fases
• Difracción de Fraunhofer
• Difracción de Fresnel
• Óptica geométrica
• Espacio de Hilbert
• Correlador óptico
• Transformada óptica de Hartley
• Síntesis de campos de ondas

Referencias

1. La ecuación 2.3 a continuación sugiere que u en esta ecuación es, por ejemplo, u = x, y o z. Es necesario confirmar si esta es la interpretación correcta.
2. Ragnarsson, SI. "Physica Scripta: un nuevo método holográfico para generar un filtro espacial de rango extendido y alta eficiencia con aplicación en la restauración de imágenes desenfocadas". Physica Scripta .
3. Goodman, Joseph W. (2005). Introducción a la óptica de Fourier. Editorial Roberts and Company. ISBN 978-0-9747077-2-3.

• Duffieux, Pierre-Michel (1983). La transformada de Fourier y sus aplicaciones a la óptica . Nueva York, EE.UU.: John Wiley & Sons .
• Goodman, Joseph (2005). Introducción a la óptica de Fourier (3.ª edición). Roberts & Company Publishers. ISBN 0-9747077-2-4. Recuperado el 28 de octubre de 2017 .
• Hecht, Eugene (1987). Óptica (2.ª ed.). Addison Wesley . ISBN 0-201-11609-X.
• Wilson, Raymond (1995). Series de Fourier y técnicas de transformada óptica en la óptica contemporánea . John Wiley & Sons . ISBN 0-471-30357-7.
• Scott, Craig (1998). Introducción a la óptica y la formación de imágenes ópticas . John Wiley & Sons . ISBN 0-7803-3440-X.
• Scott, Craig (1990). Métodos modernos de análisis y diseño de antenas reflectoras . Artech House . ISBN 0-89006-419-9.
• Scott, Craig (1989). El método del dominio espectral en electromagnetismo . Artech House . ISBN 0-89006-349-4.
• Introducción a la óptica de Fourier y al correlador 4F

Enlaces externos

• Ambs, Pierre (2010). "Computación óptica: una aventura de 60 años". Avances en tecnologías ópticas . 2010 . Hindawi Limited: 1–15. doi : 10.1155/2010/372652 . ISSN  1687-6393.
• Stratton, JA; Chu, LJ (1939-07-01). "Teoría de difracción de ondas electromagnéticas" (PDF) . Physical Review . 56 (1). American Physical Society (APS): 99–107. doi :10.1103/physrev.56.99. ISSN  0031-899X.