Condición sinusal de Abbe

Regla de diseño para sistemas ópticos

Los ángulos de entrada y salida de cada rayo que pasa a través de un sistema de obtención de imágenes (recuadro gris) están relacionados. Cuando el sistema de obtención de imágenes obedece a la condición del seno de Abbe, la relación de los senos de estos ángulos es igual al aumento (absoluto lateral) del sistema.

En óptica , la condición del seno de Abbe es una condición que debe cumplir una lente u otro sistema óptico para que produzca imágenes nítidas de objetos tanto dentro como fuera del eje. Fue formulada por Ernst Abbe en el contexto de los microscopios . ^[1]

La condición del seno de Abbe dice que

El seno del ángulo del objeto-espacio debe ser proporcional al seno del ángulo del espacio de la imagen. ${\textstyle \alpha _{\mathrm {o} }}$ ${\textstyle \alpha _{\mathrm {i} }}$

Además, la relación es igual a la magnificación del sistema. En términos matemáticos, esto es: $${\displaystyle {\frac {\sin \alpha _{\mathrm {o} }}{\sin \alpha _{\mathrm {i} }}}={\frac {\sin \beta _{\mathrm {o} }}{\sin \beta _{\mathrm {i} }}}=|M|}$$

donde las variables son los ángulos (relativos al eje óptico) de dos rayos cualesquiera cuando salen del objeto, y son los ángulos de los mismos rayos donde alcanzan el plano de la imagen (por ejemplo, el plano de la película de una cámara). Por ejemplo, ( podría representar un rayo paraxial (es decir, un rayo casi paralelo al eje óptico), y podría representar un rayo marginal (es decir, un rayo con el ángulo más grande admitido por la apertura del sistema). Se dice que un sistema de imágenes ópticas para el cual esto es cierto en para todos los rayos obedece la condición del seno de Abbe. ${\textstyle (\alpha _{\mathrm {o} },\beta _{\mathrm {o} })}$ ${\textstyle (\alpha _{\mathrm {i} },\beta _{\mathrm {i} })}$ ${\textstyle \alpha _{\mathrm {o} },\alpha _{\mathrm {i} })}$ ${\textstyle (\beta _{\mathrm {o} },\beta _{\mathrm {i} })}$

La condición del seno de Abbe se puede derivar mediante el principio de Fermat . ^[2]

En cambio, una lente delgada satisface , lo que significa que no satisface la condición del seno de Abbe en ángulos grandes. La diferencia es del orden de , que corresponde a la aberración de coma . $${\displaystyle {\frac {\tan \alpha _{\mathrm {o} }}{\tan \alpha _{\mathrm {i} }}}={\frac {\tan \beta _{\mathrm {o} }}{\tan \beta _{\mathrm {i} }}}=|M|}$$ ${\displaystyle \alpha _{o}^{3}}$

Aumento y condición del seno de Abbe

Un sistema de imágenes ópticas (caja gris) que obedece la condición seno tiene una relación fija entre los senos de los ángulos de los rayos en la entrada y la salida del sistema, sin( α _o ) / sin( α _i ) , que es igual al aumento M .

Utilizando el marco de la óptica de Fourier , podemos explicar fácilmente la importancia de la condición del seno de Abbe. Digamos que un objeto en el plano de objetos de un sistema óptico tiene una función de transmitancia de la forma, T ( x _o , y _o ) . Podemos expresar esta función de transmitancia en términos de su transformada de Fourier como

$${\displaystyle T(x_{\mathrm {o} },y_{\mathrm {o} })=\iint T(k_{x},k_{y})\exp \left({j(k_{x}x_{\mathrm {o} }+k_{y}y_{\mathrm {o} })}\right)\,dk_{x}\,dk_{y}\,,}$$

donde es la función exponencial , y es la unidad imaginaria . ${\textstyle \exp(z)=e^{z}}$ ${\textstyle j={\sqrt {-1}}}$

Ahora, supongamos para simplificar que el sistema no tiene distorsión de imagen , de modo que las coordenadas del plano de la imagen están relacionadas linealmente con las coordenadas del plano del objeto a través de la relación

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\mathrm {i} }&=Mx_{\mathrm {o} }\\y_{\mathrm {i} }&=My_{\mathrm {o} }\,,\end{aligned}}}$$

donde M es la magnificación del sistema . La transmitancia del plano del objeto anterior se puede reescribir ahora en una forma ligeramente modificada:

$${\displaystyle T(x_{\mathrm {o} },y_{\mathrm {o} })=\iint T(k_{x},k_{y})\exp \left({j\left({k_{x} \over M}Mx_{\mathrm {o} }+{k_{y} \over M}My_{\mathrm {o} }\right)}\right)\,dk_{x}\,dk_{y}}$$

donde los distintos términos se han multiplicado y dividido simplemente en el exponente por M , la ampliación del sistema. Ahora, las ecuaciones anteriores se pueden sustituir por coordenadas del plano de la imagen en términos de coordenadas del plano del objeto, para obtener,

$${\displaystyle T(x_{\mathrm {i} },y_{\mathrm {i} })=\iint T(k_{x},k_{y})\exp \left({j\left({k_{x} \over M}x_{\mathrm {i} }+{k_{y} \over M}y_{\mathrm {i} }\right)}\right)\,dk_{x}\,dk_{y}\,.}$$

En este punto se puede proponer otra transformación de coordenadas (es decir, la condición del seno de Abbe) que relaciona el espectro del número de onda del plano del objeto con el espectro del número de onda del plano de la imagen como

$${\displaystyle {\begin{aligned}k_{x}^{\mathrm {i} }&={\frac {k_{x}}{M}}\\k_{y}^{\mathrm {i} }&={\frac {k_{y}}{M}}\end{aligned}}}$$

para obtener la ecuación final para el campo del plano de la imagen en términos de las coordenadas del plano de la imagen y los números de onda del plano de la imagen como:

$${\displaystyle T(x_{\mathrm {i} },y_{\mathrm {i} })=M^{2}\iint T\left(Mk_{x}^{\mathrm {i} },Mk_{y}^{\mathrm {i} }\right)\exp \left({j\left(k_{x}^{\mathrm {i} }x_{\mathrm {i} }+k_{y}^{\mathrm {i} }y_{\mathrm {i} }\right)}\right)\,dk_{x}^{\mathrm {i} }\,dk_{y}^{\mathrm {i} }}$$

A partir de la óptica de Fourier , se sabe que los números de onda se pueden expresar en términos del sistema de coordenadas esféricas como

$${\displaystyle {\begin{aligned}k_{x}&=k\sin \theta \cos \varphi \\k_{y}&=k\sin \theta \sin \varphi \,.\end{aligned}}}$$

Si se considera un componente espectral para el cual , entonces la transformación de coordenadas entre los números de onda del objeto y del plano de la imagen toma la forma ${\displaystyle \varphi =0}$

$${\displaystyle k^{\mathrm {i} }\sin \theta ^{\mathrm {i} }=k{\frac {\sin \theta }{M}}\,.}$$

Esta es otra forma de escribir la condición del seno de Abbe, que simplemente refleja el principio de incertidumbre clásico para pares de transformadas de Fourier, es decir, que a medida que la extensión espacial de cualquier función se expande (por el factor de aumento, M ), la extensión espectral se contrae por el mismo factor, M , de modo que el producto espacio-ancho de banda permanece constante.

Véase también

• Invariante de Lagrange
• Invariante de Smith-Helmholtz
• La condición de Herschel

Referencias

1. Abbe, Ernst (junio de 1881). "Sobre la estimación de la apertura en el microscopio". Journal of the Royal Microscopical Society . 1 (3): 388–423. doi : 10.1111/j.1365-2818.1881.tb05909.x .
2. Braat, Joseph JM (8 de diciembre de 1997). "Condición sinusoidal de Abbe y condiciones de formación de imágenes relacionadas en óptica geométrica". Quinta reunión temática internacional sobre educación y formación en óptica . Vol. 3190. pág. 59. doi :10.1117/12.294417.