Aproximación de fase estacionaria

Análisis asintótico utilizado al integrar exponenciales complejos que varían rápidamente

En matemáticas , la aproximación de fase estacionaria es un principio básico del análisis asintótico , que se aplica a funciones dadas por integración frente a una exponencial compleja que varía rápidamente.

Este método tiene su origen en el siglo XIX, y se debe a George Gabriel Stokes y Lord Kelvin . ^[1] Está estrechamente relacionado con el método de Laplace y el método del descenso más pronunciado , pero la contribución de Laplace precede a las demás.

Lo esencial

La idea principal de los métodos de fase estacionaria se basa en la cancelación de sinusoides con una fase que varía rápidamente. Si muchas sinusoides tienen la misma fase y se suman, se sumarán de manera constructiva. Sin embargo, si estas mismas sinusoides tienen fases que cambian rápidamente a medida que cambia la frecuencia, se sumarán de manera incoherente, variando entre la adición constructiva y la destructiva en diferentes momentos ^{[ aclaración necesaria ]} .

Fórmula

Denotando el conjunto de puntos críticos de la función (es decir, puntos donde ), bajo el supuesto de que está soportada de forma compacta o tiene decaimiento exponencial, y que todos los puntos críticos son no degenerados (es decir, para ), tenemos la siguiente fórmula asintótica, como : ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \nabla f=0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \det(\mathrm {Hess} (f(x_{0})))\neq 0}$ ${\displaystyle x_{0}\in \Sigma }$ ${\displaystyle k\to \infty }$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{ikf(x)}dx=\sum _{x_{0}\in \Sigma }e^{ikf(x_{0})}|\det({\mathrm {Hess} }(f(x_{0})))|^{-1/2}e^{{\frac {i\pi }{4}}\mathrm {sgn} (\mathrm {Hess} (f(x_{0})))}(2\pi /k)^{n/2}g(x_{0})+o(k^{-n/2})}$

Aquí denota el hessiano de , y denota la firma del hessiano, es decir, el número de valores propios positivos menos el número de valores propios negativos. ${\displaystyle \mathrm {Hess} (f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathrm {sgn} (\mathrm {Hess} (f))}$

Para , esto se reduce a: ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }g(x)e^{ikf(x)}dx=\sum _{x_{0}\in \Sigma }g(x_{0})e^{ikf(x_{0})+\mathrm {sign} (f''(x_{0}))i\pi /4}\left({\frac {2\pi }{k|f''(x_{0})|}}\right)^{1/2}+o(k^{-1/2})}$

En este caso las suposiciones se reducen a que todos los puntos críticos no sean degenerados. ${\displaystyle f}$

Esta es simplemente la versión rotada de Wick de la fórmula para el método de descenso más pronunciado .

Un ejemplo

Considere una función

${\displaystyle f(x,t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }F(\omega )e^{i[k(\omega )x-\omega t]}\,d\omega }$.

El término de fase en esta función, , es estacionario cuando ${\displaystyle \phi =k(\omega )x-\omega t}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\omega }}{\mathopen {}}\left(k(\omega )x-\omega t\right){\mathclose {}}=0}$

o equivalentemente,

${\displaystyle {\frac {dk(\omega )}{d\omega }}{\Big |}_{\omega =\omega _{0}}={\frac {t}{x}}}$.

Las soluciones de esta ecuación dan frecuencias dominantes para algunos y . Si desarrollamos como una serie de Taylor sobre y descuidamos los términos de orden superior a , tenemos ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle (\omega -\omega _{0})^{2}}$

${\displaystyle \phi =\left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\right]+{\frac {1}{2}}xk''(\omega _{0})(\omega -\omega _{0})^{2}+\cdots }$

donde denota la segunda derivada de . Cuando es relativamente grande, incluso una pequeña diferencia generará oscilaciones rápidas dentro de la integral, lo que lleva a la cancelación. Por lo tanto, podemos extender los límites de integración más allá del límite para una expansión de Taylor. Si usamos la fórmula, ${\displaystyle k''}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (\omega -\omega _{0})}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }e^{{\frac {1}{2}}icx^{2}}dx={\sqrt {\frac {2i\pi }{c}}}={\sqrt {\frac {2\pi }{|c|}}}e^{\pm i{\frac {\pi }{4}}}}$.

${\displaystyle f(x,t)\approx {\frac {1}{2\pi }}e^{i\left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\right]}\left|F(\omega _{0})\right|\int _{\mathbb {R} }e^{{\frac {1}{2}}ixk''(\omega _{0})(\omega -\omega _{0})^{2}}\,d\omega }$.

Esto se integra a

${\displaystyle f(x,t)\approx {\frac {\left|F(\omega _{0})\right|}{2\pi }}{\sqrt {\frac {2\pi }{x\left|k''(\omega _{0})\right|}}}\cos \left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\pm {\frac {\pi }{4}}\right]}$.

Pasos de reducción

La primera afirmación general importante del principio en cuestión es que el comportamiento asintótico de I ( k ) depende únicamente de los puntos críticos de f . Si, por elección de g, la integral se localiza en una región del espacio donde f no tiene punto crítico, la integral resultante tiende a 0 a medida que la frecuencia de las oscilaciones se lleva al infinito. Véase, por ejemplo, el lema de Riemann-Lebesgue .

La segunda afirmación es que cuando f es una función de Morse , de modo que los puntos singulares de f no son degenerados y están aislados, entonces la cuestión se puede reducir al caso n = 1. De hecho, entonces, se puede elegir g para dividir la integral en casos con solo un punto crítico P en cada uno. En ese punto, debido a que el determinante hessiano en P es, por suposición, distinto de 0, se aplica el lema de Morse . Mediante un cambio de coordenadas, f puede reemplazarse por

${\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{j}^{2})-(x_{j+1}^{2}+x_{j+2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})}$.

El valor de j viene dado por la signatura de la matriz hessiana de f en P . En cuanto a g , el caso esencial es que g es un producto de funciones de protuberancia de x _i . Suponiendo ahora sin pérdida de generalidad que P es el origen, tomemos una función de protuberancia suave h con valor 1 en el intervalo [−1, 1] y que tienda rápidamente a 0 fuera de él. Tome

${\displaystyle g(x)=\prod _{i}h(x_{i})}$,

entonces el teorema de Fubini reduce I ( k ) a un producto de integrales sobre la recta real como

${\displaystyle J(k)=\int h(x)e^{ikf(x)}\,dx}$

con f ( x ) = ± x ² . El caso con el signo menos es el conjugado complejo del caso con el signo más, por lo que esencialmente hay una estimación asintótica requerida.

De esta manera se pueden hallar asintóticas para integrales oscilatorias de funciones de Morse. El caso degenerado requiere técnicas adicionales (véase por ejemplo la función de Airy ).

Caso unidimensional

La afirmación esencial es ésta:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}e^{ikx^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{k}}}e^{i\pi /4}+{\mathcal {O}}{\mathopen {}}\left({\frac {1}{k}}\right){\mathclose {}}}$.

De hecho, mediante la integración de contornos se puede demostrar que el término principal en el lado derecho de la ecuación es el valor de la integral en el lado izquierdo, extendida sobre el rango (para una prueba, véase la integral de Fresnel ). Por lo tanto, se trata de estimar la integral sobre, digamos, . ^[2] ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [1,\infty ]}$

Este es el modelo para todas las integrales unidimensionales con que tienen un único punto crítico no degenerado en el que tiene una segunda derivada . De hecho, el caso del modelo tiene una segunda derivada 2 en 0. Para escalar usando , observe que reemplazar por donde es constante es lo mismo que escalar por . De ello se deduce que para valores generales de , el factor se convierte en ${\displaystyle I(k)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle >0}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle ck}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\sqrt {c}}}$ ${\displaystyle f''(0)>0}$ ${\displaystyle {\sqrt {\pi /k}}}$

${\displaystyle {\sqrt {\frac {2\pi }{kf''(0)}}}}$.

Para ello se utiliza la fórmula conjugada compleja, como se mencionó anteriormente. ${\displaystyle f''(0)<0}$

Términos de orden inferior

Como se puede ver en la fórmula, la aproximación de fase estacionaria es una aproximación de primer orden del comportamiento asintótico de la integral. Los términos de orden inferior pueden entenderse como una suma de más de diagramas de Feynman con varios factores de ponderación, para un comportamiento adecuado . ${\displaystyle f}$

Véase también

• Integrales comunes en la teoría cuántica de campos
• El método de Laplace
• Método de descenso más pronunciado

Notas

1. Courant, Richard ; Hilbert, David (1953), Métodos de física matemática , vol. 1 (2.ª edición revisada), Nueva York: Interscience Publishers, pág. 474, OCLC  505700
2. Véase, por ejemplo, Jean Dieudonné , Cálculo infinitesimal , p. 119 o Jean Dieudonné , Calcul Infinitésimal , p.135.

Referencias

• Bleistein, N. y Handelsman, R. (1975), Expansiones asintóticas de integrales , Dover, Nueva York.
• Victor Guillemin y Shlomo Sternberg (1990), Asintótica geométrica, (véase el Capítulo 1).
• Hörmander, L. (1976), Operadores diferenciales parciales lineales, volumen 1 , Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-00662-6.
• Aki, Keiiti; y Richards, Paul G. (2002). "Sismología cuantitativa" (2ª ed.), págs. 255-256. Libros de ciencias universitarias, ISBN 0-935702-96-2 
• Wong, R. (2001), Aproximaciones asintóticas de integrales , Classics in Applied Mathematics, vol. 34. Reimpresión corregida del original de 1989. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Filadelfia, PA. xviii+543 páginas, ISBN 0-89871-497-4 . 
• Dieudonné, J. (1980), Calcul Infinitésimal , Hermann, París

Enlaces externos

• "Fase estacionaria, método de la", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]