ecuación de weyl

Ecuación de onda relativista que describe fermiones sin masa

En física , particularmente en teoría cuántica de campos , la ecuación de Weyl es una ecuación de onda relativista para describir partículas sin masa de espín 1/2 llamadas fermiones de Weyl . La ecuación lleva el nombre de Hermann Weyl . Los fermiones de Weyl son uno de los tres tipos posibles de fermiones elementales, siendo los otros dos los fermiones de Dirac y los de Majorana .

Ninguna de las partículas elementales del modelo estándar son fermiones de Weyl. Antes de la confirmación de las oscilaciones del neutrino , se consideraba posible que el neutrino pudiera ser un fermión de Weyl (ahora se espera que sea un fermión de Dirac o de Majorana). En física de la materia condensada , algunos materiales pueden presentar cuasipartículas que se comportan como fermiones de Weyl, lo que lleva a la noción de semimetales de Weyl .

Matemáticamente, cualquier fermión de Dirac se puede descomponer en dos fermiones de Weyl de quiralidad opuesta acoplados por el término de masa. ^[1]

Historia

La ecuación de Dirac fue publicada en 1928 por Paul Dirac y se utilizó por primera vez para modelar partículas de espín ½ en el marco de la mecánica cuántica relativista . ^[2] Hermann Weyl publicó su ecuación en 1929 como una versión simplificada de la ecuación de Dirac. ^{[2] [3]} Wolfgang Pauli escribió en 1933 contra la ecuación de Weyl porque violaba la paridad . ^[4] Sin embargo, tres años antes, Pauli había predicho la existencia de un nuevo fermión elemental , el neutrino , para explicar la desintegración beta , que finalmente fue descrita mediante la ecuación de Weyl.

En 1937, Conyers Herring propuso que los fermiones de Weyl pueden existir como cuasipartículas en materia condensada. ^[5]

Los neutrinos fueron observados experimentalmente en 1956 como partículas con masas extremadamente pequeñas (e históricamente incluso a veces se pensaba que no tenían masa). ^[4] El mismo año, el experimento de Wu demostró que la paridad podía ser violada por la interacción débil , abordando las críticas de Pauli. ^[6] A esto le siguió la medición de la helicidad del neutrino en 1958. ^[4] Como los experimentos no mostraron signos de masa de neutrino, resurgió el interés en la ecuación de Weyl. Por tanto, el modelo estándar se construyó bajo el supuesto de que los neutrinos eran fermiones de Weyl. ^[4]

Mientras que el físico italiano Bruno Pontecorvo había propuesto en 1957 la posibilidad de masas de neutrinos y oscilaciones de neutrinos , ^[4] no fue hasta 1998 que Super-Kamiokande finalmente confirmó la existencia de oscilaciones de neutrinos y su masa distinta de cero. ^[4] Este descubrimiento confirmó que la ecuación de Weyl no puede describir completamente la propagación de neutrinos, ya que las ecuaciones solo pueden describir partículas sin masa. ^[2]

En 2015, el primer semimetal Weyl se demostró experimentalmente en arseniuro de tantalio cristalino (TaAs) gracias a la colaboración de los equipos de MZ Hasan ( Universidad de Princeton ) y H. Ding ( Academia China de Ciencias ). ^[5] Independientemente, el mismo año, el equipo de M. Soljačić ( Instituto Tecnológico de Massachusetts ) también observó excitaciones tipo Weyl en cristales fotónicos . ^[5]

Ecuación

La ecuación de Weyl se presenta en dos formas. La forma diestra se puede escribir de la siguiente manera: ^{[7] [8] [9]}

${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

Ampliando esta ecuación e insertando para la velocidad de la luz , se convierte en ${\displaystyle c}$

${\displaystyle I_{2}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0}$

dónde

${\displaystyle \sigma ^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&\sigma ^{1}&\sigma ^{2}&\sigma ^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma _{x}&\sigma _{y}&\sigma _{z}\end{pmatrix}}}$

es un vector cuyos componentes son la matriz identidad 2×2 y las matrices de Pauli y es la función de onda , uno de los espinores de Weyl . La forma para zurdos de la ecuación de Weyl generalmente se escribe como: ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \mu =1,2,3,}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

dónde

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }={\begin{pmatrix}I_{2}&-\sigma _{x}&-\sigma _{y}&-\sigma _{z}\end{pmatrix}}~.}$

Las soluciones de las ecuaciones de Weyl diestras y zurdas son diferentes: tienen helicidad diestra y zurda y, por tanto, quiralidad , respectivamente. Es conveniente indicarlo explícitamente, de la siguiente manera: y ${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=0}$ ${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=0~.}$

Soluciones de ondas planas

Las soluciones de onda plana de la ecuación de Weyl se conocen como espinores de Weyl izquierdo y derecho, cada uno de los cuales tiene dos componentes. Ambos tienen la forma

${\displaystyle \psi \left(\mathbf {r} ,t\right)={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\end{pmatrix}}=\chi e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=\chi e^{-i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }}$,

dónde

${\displaystyle \chi ={\begin{pmatrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\\\end{pmatrix}}}$

es un espinor de dos componentes dependiente del momento que satisface

${\displaystyle \sigma ^{\mu }p_{\mu }\chi =\left(I_{2}E-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0}$

o

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu }\chi =\left(I_{2}E+{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0}$.

Por manipulación directa se obtiene que

${\displaystyle \left({\bar {\sigma }}^{\nu }p_{\nu }\right)\left(\sigma ^{\mu }p_{\mu }\right)\chi =\left(\sigma ^{\nu }p_{\nu }\right)\left({\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu }\right)\chi =p_{\mu }p^{\mu }\chi =\left(E^{2}-{\vec {p}}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0}$,

y concluye que las ecuaciones corresponden a una partícula que no tiene masa . Como resultado, la magnitud del impulso se relaciona directamente con el vector de onda mediante las relaciones de De Broglie como: ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$

${\displaystyle |\mathbf {p} |=\hbar |\mathbf {k} |={\frac {\hbar \omega }{c}}\,\Rightarrow \,|\mathbf {k} |={\frac {\omega }{c}}}$

La ecuación se puede escribir en términos de espinores diestros y zurdos como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}&=0\\{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}&=0\end{aligned}}}$

helicidad

Los componentes izquierdo y derecho corresponden a la helicidad de las partículas, la proyección del operador del momento angular sobre el momento lineal : ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {J} \left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle =\lambda |\mathbf {p} |\left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle }$

Aquí ${\textstyle \lambda =\pm {\frac {1}{2}}~.}$

invariancia de Lorentz

Ambas ecuaciones son invariantes de Lorentz bajo la transformación de Lorentz donde. Más precisamente, las ecuaciones se transforman como ${\displaystyle x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x}$ ${\displaystyle \Lambda \in \mathrm {SO} (1,3)~.}$

${\displaystyle \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)}$

¿Dónde está la transpuesta hermitiana , siempre que el campo derecho se transforme como ${\displaystyle S^{\dagger }}$

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S\psi _{\rm {R}}(x)}$

La matriz está relacionada con la transformada de Lorentz mediante la doble cobertura del grupo de Lorentz por el grupo lineal especial dado por ${\displaystyle S\in SL(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

Así, si el diferencial no transformado desaparece en un marco de Lorentz, también desaparece en otro. Similarmente

${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S{\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)}$

siempre que el campo zurdo se transforme como

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}(x)~.}$

Prueba: Ninguna de estas propiedades de transformación es de ninguna manera "obvia" y, por lo tanto, merece una derivación cuidadosa. Comience con el formulario

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=R\psi _{\rm {R}}(x)}$

para que se determine alguna incógnita . La transformada de Lorentz, en coordenadas, es ${\displaystyle R\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }}$

o equivalente,

${\displaystyle x^{\nu }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }x^{\prime \mu }}$

Esto lleva a

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)&=\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)\\&=\sigma ^{\mu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}}$

Para utilizar el mapa de Weyl

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

se deben subir y bajar algunos índices. Es más fácil decirlo que hacerlo, ya que invoca la identidad

${\displaystyle \eta \Lambda ^{\mathsf {T}}\eta =\Lambda ^{-1}}$

¿Dónde está la métrica de Minkowski en espacios planos ? La identidad anterior se usa a menudo para definir los elementos. Se toma la transposición: ${\displaystyle \eta ={\mbox{diag}}(+1,-1,-1,-1)}$ ${\displaystyle \Lambda \in \mathrm {SO} (1,3).}$

${\displaystyle {\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }={\left(\Lambda ^{-1{\mathsf {T}}}\right)_{\mu }}^{\nu }}$

escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1{\mathsf {T}}}\right)_{\mu }}^{\nu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\partial ^{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\mu }\partial ^{\mu }S^{-1}R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}}$

Se recupera así la forma original si es decir, realizando las mismas manipulaciones para la ecuación para zurdos, se concluye que ${\displaystyle S^{-1}R=1,}$ ${\displaystyle R=S.}$

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=L\psi _{\rm {L}}(x)}$

con ^un] ${\displaystyle L=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}.}$

Relación con Majorana

La ecuación de Weyl se interpreta convencionalmente como la descripción de una partícula sin masa. Sin embargo, con una ligera modificación, se puede obtener una versión de dos componentes de la ecuación de Majorana . ^[10] Esto surge porque el grupo lineal especial es isomorfo al grupo simpléctico. El grupo simpléctico se define como el conjunto de todas las matrices complejas de 2×2 que satisfacen ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )~.}$

${\displaystyle S^{\mathsf {T}}\omega S=\omega }$

dónde

${\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

La relación definitoria se puede reescribir como ¿dónde está el conjugado complejo ? El campo diestro, como se señaló anteriormente, se transforma como ${\displaystyle \omega S^{*}=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\omega }$ ${\displaystyle S^{*}}$

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S\psi _{\rm {R}}(x)}$

y entonces el campo conjugado complejo se transforma como

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime *}\left(x^{\prime }\right)=S^{*}\psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

Aplicando la relación definitoria, se concluye que

${\displaystyle m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto m\omega \psi _{\rm {R}}^{\prime *}\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

que es exactamente la misma propiedad de covarianza de Lorentz mencionada anteriormente. Por tanto, la combinación lineal, utilizando un factor de fase complejo arbitrario ${\displaystyle \eta =e^{i\phi }}$

${\displaystyle i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}(x)+\eta m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

se transforma de forma covariante; establecer esto en cero da la compleja ecuación de Majorana de dos componentes . La ecuación de Majorana se escribe convencionalmente como una ecuación real de cuatro componentes, en lugar de una ecuación compleja de dos componentes; lo anterior se puede presentar en forma de cuatro componentes (consulte ese artículo para obtener más detalles). De manera similar, la ecuación de Majorana quiral izquierda (incluido un factor de fase arbitrario ) es ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}(x)+\zeta m\omega \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=0}$

Como se señaló anteriormente, las versiones quirales izquierda y derecha están relacionadas mediante una transformación de paridad. El conjugado complejo sesgado puede reconocerse como la forma conjugada de carga de Por lo tanto, la ecuación de Majorana puede leerse como una ecuación que conecta un espinor con su forma conjugada de carga. Las dos fases distintas del término de masa están relacionadas con los dos valores propios distintos del operador de conjugación de carga; consulte la conjugación de carga y la ecuación de Majorana para obtener más detalles. ${\displaystyle \omega \psi ^{*}=i\sigma ^{2}\psi }$ ${\displaystyle \psi ~.}$

Defina un par de operadores, los operadores Majorana,

${\displaystyle D_{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\qquad D_{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K}$

¿Dónde hay un breve recordatorio para tomar el conjugado complejo? Bajo las transformaciones de Lorentz, estas se transforman como ${\displaystyle K}$

${\displaystyle D_{\rm {L}}\mapsto D_{\rm {L}}^{\prime }=SD_{\rm {L}}S^{\dagger }\qquad D_{\rm {R}}\mapsto D_{\rm {R}}^{\prime }=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}D_{\rm {R}}S^{-1}}$

mientras que los espinores de Weyl se transforman como

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}\qquad \psi _{\rm {R}}\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }=S\psi _{\rm {R}}}$

igual que arriba. Por lo tanto, las combinaciones coincidentes de estos son covariantes de Lorentz, y se puede tomar

${\displaystyle D_{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}=0\qquad D_{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=0}$

como un par de ecuaciones complejas de Majorana de 2 espinores.

Los productos y son covariantes de Lorentz. El producto es explícitamente ${\displaystyle D_{\rm {L}}D_{\rm {R}}}$ ${\displaystyle D_{\rm {R}}D_{\rm {L}}}$

${\displaystyle D_{\rm {R}}D_{\rm {L}}=\left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\right)\left(i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\right)=-\left(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}+\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)=-\left(\square +\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)}$

Verificar esto requiere tener en cuenta que y que El RHS se reduce al operador de Klein-Gordon siempre que , es decir, estos dos operadores de Majorana son, por tanto, "raíces cuadradas" del operador de Klein-Gordon. ${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$ ${\displaystyle Ki=-iK~.}$ ${\displaystyle \eta \zeta ^{*}=1}$ ${\displaystyle \eta =\zeta ~.}$

Densidades lagrangianas

Las ecuaciones se obtienen a partir de las densidades lagrangianas.

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i\psi _{\rm {R}}^{\dagger }\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}~,}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i\psi _{\rm {L}}^{\dagger }{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}~.}$

Al tratar el espinor y su conjugado (denotado por ) como variables independientes, se obtiene la ecuación de Weyl relevante. ${\displaystyle \dagger }$

Espinores de Weyl

El término espinor de Weyl también se utiliza con frecuencia en un entorno más general, como un elemento de un módulo de Clifford . Esto está estrechamente relacionado con las soluciones dadas anteriormente y brinda una interpretación geométrica natural de los espinores como objetos geométricos que viven en una variedad . Esta configuración general tiene múltiples ventajas: aclara su interpretación como fermiones en física y muestra precisamente cómo definir el espín en la Relatividad General o, de hecho, para cualquier variedad riemanniana o pseudoriemanniana . Esto se esboza informalmente de la siguiente manera.

La ecuación de Weyl es invariante bajo la acción del grupo de Lorentz. Esto significa que, a medida que se aplican impulsos y rotaciones , la forma de la ecuación en sí no cambia. Sin embargo, la forma del espinor sí cambia. Ignorando por completo el espacio-tiempo , el álgebra de los espinores se describe mediante un álgebra de Clifford (complejizada) . Los espinores se transforman bajo la acción del grupo de espín . Esto es completamente análogo a cómo se podría hablar de un vector y cómo se transforma bajo el grupo de rotación , excepto que ahora se ha adaptado al caso de los espinores. ${\displaystyle \psi }$

Dada una variedad de dimensión pseudo-riemanniana arbitraria , se puede considerar su paquete tangente . En cualquier punto dado, el espacio tangente es un espacio vectorial dimensional . Dado este espacio vectorial, se puede construir el álgebra de Clifford sobre él. Si somos una base de espacio vectorial en , se puede construir un par de espinores de Weyl como ^[11] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle x\in M,}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} (p,q)}$ ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle T_{x}M}$

${\displaystyle w_{j}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}+ie_{2j+1}\right)}$

y

${\displaystyle w_{j}^{*}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}-ie_{2j+1}\right)}$

Cuando se examinan adecuadamente a la luz del álgebra de Clifford, estos son naturalmente anti-conmutación , es decir, se tiene que esto puede interpretarse felizmente como la realización matemática del principio de exclusión de Pauli , permitiendo así que estas estructuras formales definidas de manera abstracta se interpreten como fermiones. . Para el espacio-tiempo dimensional de Minkowski , sólo hay dos espinores posibles, denominados por convención "izquierda" y "derecha", como se describió anteriormente. Se puede encontrar una presentación general más formal de los espinores de Weyl en el artículo sobre el grupo de espín . ${\displaystyle w_{j}w_{m}=-w_{m}w_{j}~.}$ ${\displaystyle (p,q)=(1,3)}$

La forma abstracta y relativista general de la ecuación de Weyl se puede entender de la siguiente manera: dada una variedad pseudo-riemanniana, se construye un haz de fibras encima de ella, con el grupo de espín como fibra. El grupo de espín es una cubierta doble del grupo ortogonal especial , por lo que se puede identificar el grupo de espín a nivel de fibras con el haz de cuadros encima. Cuando se hace esto, la estructura resultante se denomina estructura de espín . ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (p,q)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$ ${\displaystyle M~.}$

Seleccionar un único punto de la fibra corresponde a seleccionar un sistema de coordenadas local para el espacio-tiempo; dos puntos diferentes de la fibra están relacionados por un impulso/rotación (de Lorentz), es decir, por un cambio local de coordenadas. Los habitantes naturales de la estructura de espín son los espinores de Weyl, en el sentido de que la estructura de espín describe completamente cómo se comportan los espinores bajo impulsos/rotaciones (de Lorentz).

Dada una variedad de espín , el análogo de la conexión métrica es la conexión de espín ; esto es efectivamente "lo mismo" que la conexión normal, solo que con índices de giro adjuntos de manera consistente. La derivada covariante se puede definir en términos de la conexión de una manera totalmente convencional. Actúa naturalmente sobre el haz de Clifford ; el haz de Clifford es el espacio en el que viven los espinores. La exploración general de tales estructuras y sus relaciones se denomina geometría de espín .

Definición matemática

Para par , la subálgebra par del álgebra compleja de Clifford es isomorfa a , donde . Un espinor de Weyl complejo zurdo (respectivamente, diestro) en un espacio dimensional es un elemento de (respectivamente, ). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} l^{0}(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} l(n)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (\mathbb {C} ^{N/2})\oplus \mathrm {End} (\mathbb {C} ^{N/2})=:\Delta _{n}^{+}\oplus \Delta _{n}^{-}}$ ${\displaystyle N=2^{n/2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta _{n}^{+}}$ ${\displaystyle \Delta _{n}^{-}}$

Casos especiales

Hay tres casos especiales importantes que pueden construirse a partir de espinores de Weyl. Uno es el espinor de Dirac , que puede considerarse como un par de espinores de Weyl, uno zurdo y otro diestro. Estos están acoplados entre sí de tal manera que representan un campo de fermiones cargado eléctricamente. La carga eléctrica surge porque el campo de Dirac se transforma bajo la acción del grupo de espín complejado. Este grupo tiene la estructura ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q).}$

${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q)\cong \mathrm {Spin} (p,q)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}}$

¿Dónde está el círculo y se puede identificar con el del electromagnetismo ? El producto es simplemente una notación elegante que denota el producto con puntos opuestos identificados (una doble cobertura). ${\displaystyle S^{1}\cong \mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (p,q)\times S^{1}}$ ${\displaystyle (s,u)=(-s,-u)}$

El espinor de Majorana es nuevamente un par de espinores de Weyl, pero esta vez dispuestos de modo que el espinor zurdo sea la carga conjugada del espinor diestro. El resultado es un campo con dos grados de libertad menos que el espinor de Dirac. No puede interactuar con el campo electromagnético, ya que se transforma en un escalar bajo la acción del grupo. Es decir, se transforma como un espinor, pero de forma transversal, de modo que es invariante bajo la acción del grupo de espines. ${\displaystyle \mathrm {spin} ^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$

El tercer caso especial es el espinor ELKO, construido de forma muy parecida al espinor de Majorana, excepto con un signo menos adicional entre el par carga-conjugado. Esto nuevamente lo vuelve eléctricamente neutro, pero introduce otras propiedades bastante sorprendentes.

Notas

1. Los resultados presentados aquí son idénticos a los de Aste (2010) ^[10] ecuaciones 52 y 57, aunque la derivación realizada aquí es completamente diferente. La doble cobertura utilizada aquí también es idéntica a la ecuación 48 de Aste y a la versión actual (diciembre de 2020) del artículo de Wikipedia sobre el grupo de Lorentz .

Referencias

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Otras lecturas

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• Martín, BR; Shaw, G. (2008). Partículas fisicas . Física de Manchester (2ª ed.). John Wiley e hijos. ISBN 978-0-470-03294-7.
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enlaces externos

• http://aesop.phys.utk.edu/qft/2004-5/2-2.pdf
• http://www.nbi.dk/~kleppe/random/ll/l2.html
• http://www.tfkp.physik.uni-erlangen.de/download/research/DW-derivation.pdf
• http://www.weylmann.com/weyldirac.pdf