Representación del oscilador

Teoría de la representación del grupo simpléctico

En matemáticas , la representación del oscilador es una representación unitaria proyectiva del grupo simpléctico , investigada por primera vez por Irving Segal , David Shale y André Weil . Una extensión natural de la representación conduce a un semigrupo de operadores de contracción , introducido como el semigrupo del oscilador por Roger Howe en 1988. El semigrupo había sido estudiado previamente por otros matemáticos y físicos, más notablemente Felix Berezin en la década de 1960. El ejemplo más simple en una dimensión lo da SU(1,1) . Actúa como transformaciones de Möbius en el plano complejo extendido , dejando invariante el círculo unitario . En ese caso, la representación del oscilador es una representación unitaria de una doble cobertura de SU(1,1) y el semigrupo del oscilador corresponde a una representación por operadores de contracción del semigrupo en SL(2, C ) correspondiente a transformaciones de Möbius que toman el disco unitario en sí mismo.

Los operadores de contracción, determinados sólo hasta un signo, tienen núcleos que son funciones gaussianas . En un nivel infinitesimal, el semigrupo se describe mediante un cono en el álgebra de Lie de SU(1,1) que puede identificarse con un cono de luz . El mismo marco se generaliza al grupo simpléctico en dimensiones superiores, incluido su análogo en dimensiones infinitas. Este artículo explica la teoría para SU(1,1) en detalle y resume cómo se puede extender la teoría.

Panorama histórico

La formulación matemática de la mecánica cuántica de Werner Heisenberg y Erwin Schrödinger se basó originalmente en operadores autoadjuntos ilimitados en un espacio de Hilbert . Los operadores fundamentales correspondientes a la posición y el momento satisfacen las relaciones de conmutación de Heisenberg . Los polinomios cuadráticos en estos operadores, que incluyen el oscilador armónico , también son conmutadores cerrados.

En las décadas de 1920 y 1930 se desarrolló una gran cantidad de teoría de operadores para proporcionar una base rigurosa para la mecánica cuántica. Parte de la teoría se formuló en términos de grupos unitarios de operadores, en gran parte gracias a las contribuciones de Hermann Weyl , Marshall Stone y John von Neumann . A su vez, estos resultados en física matemática se incorporaron al análisis matemático, comenzando con las notas de la conferencia de 1933 de Norbert Wiener , quien utilizó el núcleo de calor para el oscilador armónico para derivar las propiedades de la transformada de Fourier .

La singularidad de las relaciones de conmutación de Heisenberg, tal como se formularon en el teorema de Stone-von Neumann , se interpretó posteriormente dentro de la teoría de representación de grupos , en particular la teoría de representaciones inducidas iniciada por George Mackey . Los operadores cuadráticos se entendieron en términos de una representación unitaria proyectiva del grupo SU(1,1) y su álgebra de Lie . Irving Segal y David Shale generalizaron esta construcción al grupo simpléctico en dimensiones finitas e infinitas; en física, esto a menudo se conoce como cuantificación bosónica : se construye como el álgebra simétrica de un espacio de dimensión infinita. Segal y Shale también han tratado el caso de la cuantificación fermiónica , que se construye como el álgebra exterior de un espacio de Hilbert de dimensión infinita. En el caso especial de la teoría de campos conforme en 1+1 dimensiones, las dos versiones se vuelven equivalentes a través de la llamada "correspondencia bosón-fermión". Esto no sólo se aplica en el análisis donde hay operadores unitarios entre espacios de Hilbert bosónicos y fermiónicos, sino también en la teoría matemática de las álgebras de operadores de vértice . Los operadores de vértice surgieron originalmente a fines de la década de 1960 en la física teórica , particularmente en la teoría de cuerdas .

André Weil extendió posteriormente la construcción a los grupos de Lie p-ádicos , mostrando cómo las ideas podían aplicarse en la teoría de números , en particular para dar una explicación teórica de grupos de las funciones theta y la reciprocidad cuadrática . Varios físicos y matemáticos observaron que los operadores de núcleo de calor correspondientes al oscilador armónico estaban asociados a una complejización de SU(1,1): esto no era la totalidad de SL(2, C ), sino un semigrupo complejo definido por una condición geométrica natural. La teoría de la representación de este semigrupo, y sus generalizaciones en dimensiones finitas e infinitas, tiene aplicaciones tanto en matemáticas como en física teórica. ^[1]

Semigrupos en SL(2,C)

El grupo:

${\displaystyle G=\operatorname {SU} (1,1)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}\right||\alpha |^{2}-|\beta |^{2}=1\right\},}$

es un subgrupo de G _c = SL(2, C ), el grupo de matrices complejas 2 × 2 con determinante 1. Si G ₁ = SL(2, R ) entonces

${\displaystyle G=CG_{1}C^{-1},\qquad C={\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}}.}$

Esto se deduce porque la transformación de Möbius correspondiente es la transformada de Cayley , que lleva el semiplano superior al disco unitario y la línea real al círculo unitario.

El grupo SL(2, R ) se genera como un grupo abstracto por

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$

y el subgrupo de matrices triangulares inferiores

${\displaystyle \left\{\left.{\begin{pmatrix}a&0\\b&a^{-1}\end{pmatrix}}\right|a,b\in \mathbf {R} ,a>0\right\}.}$

De hecho, la órbita del vector

${\displaystyle v={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$

bajo el subgrupo generado por estas matrices se ve fácilmente que está el conjunto de R ² y el estabilizador de v en G ₁ se encuentra dentro de este subgrupo.

El álgebra de Lie de SU(1,1) consta de matrices ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}ix&w\\{\overline {w}}&-ix\end{pmatrix}},\quad x\in \mathbf {R} .}$

El automorfismo del período 2 σ de G _c

${\displaystyle \sigma (g)=M{\overline {g}}M^{-1},}$

con

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},}$

tiene subgrupo de punto fijo G desde

${\displaystyle \sigma {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\overline {d}}&{\overline {c}}\\{\overline {b}}&{\overline {a}}\end{pmatrix}}.}$

De manera similar, la misma fórmula define un automorfismo de período dos σ del álgebra de Lie de G _c , las matrices complejas con traza cero. Una base estándar de sobre C viene dada por ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{c}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{c}}$

${\displaystyle L_{0}={\begin{pmatrix}{1 \over 2}&0\\0&-{1 \over 2}\end{pmatrix}},\quad L_{-1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad L_{1}={\begin{pmatrix}0&0\\-1&0\end{pmatrix}}.}$

Por lo tanto, para −1 ≤ m , n ≤ 1

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}.}$

Hay una descomposición de suma directa

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{c}={\mathfrak {g}}\oplus i{\mathfrak {g}},}$

donde es el espacio propio +1 de σ y el espacio propio –1. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle i{\mathfrak {g}}}$

Las matrices X en tienen la forma ${\displaystyle i{\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}x&w\\-{\overline {w}}&-x\end{pmatrix}}.}$

Tenga en cuenta que

${\displaystyle -\det X=x^{2}-|w|^{2}.}$

El cono C en se define por dos condiciones. La primera es Por definición esta condición se conserva bajo conjugación por G . Como G está conexo deja invariantes las dos componentes con x > 0 y x < 0. La segunda condición es ${\displaystyle i{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \det X<0.}$ ${\displaystyle x<0.}$

El grupo G ^c actúa por transformaciones de Möbius en el plano complejo extendido. El subgrupo G actúa como automorfismos del disco unitario D . Un semigrupo H de G ^c , considerado por primera vez por Olshanskii (1981), puede definirse por la condición geométrica:

${\displaystyle g({\overline {D}})\subset D.}$

El semigrupo se puede describir explícitamente en términos del cono C : ^[2]

${\displaystyle H=G\cdot \exp(C)=\exp(C)\cdot G.}$

De hecho, la matriz X puede conjugarse mediante un elemento de G a la matriz

${\displaystyle Y={\begin{pmatrix}-y&0\\0&y\end{pmatrix}}}$

con

${\displaystyle y={\sqrt {x^{2}-|w|^{2}}}>0.}$

Como la transformación de Möbius correspondiente a exp Y envía z a e ^{−2 y} z , se deduce que el lado derecho se encuentra en el semigrupo. Por el contrario, si g se encuentra en H, lleva el disco unitario cerrado a un disco cerrado más pequeño en su interior. Conjugando por un elemento de G , se puede tomar que el disco más pequeño tiene centro 0. Pero entonces, para y apropiado , el elemento lleva D sobre sí mismo, por lo que se encuentra en G . ${\displaystyle e^{-Y}g}$

Un argumento similar muestra que el cierre de H , también un semigrupo, está dado por

${\displaystyle {\overline {H}}=\{g\in \operatorname {SL} (2,\mathbf {C} )|gD\subseteq D\}=G\cdot \exp {\overline {C}}=\exp {\overline {C}}\cdot G.}$

De la afirmación anterior sobre la conjugación se deduce que

${\displaystyle H=GA_{+}G,}$

dónde

${\displaystyle A_{+}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{-y}&0\\0&e^{y}\end{pmatrix}}\right|y>0\right\}.}$

Si

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in H}$

entonces

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\overline {a}}&{\overline {b}}\\{\overline {c}}&{\overline {d}}\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}a&-c\\-b&d\end{pmatrix}}\in H,}$

ya que este último se obtiene tomando la transpuesta y conjugando por la matriz diagonal con entradas ±1. Por lo tanto, H también contiene

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\overline {a}}&-{\overline {c}}\\-{\overline {b}}&{\overline {d}}\end{pmatrix}}.}$

que da la matriz inversa si la matriz original se encuentra en SU(1,1).

Un resultado adicional sobre la conjugación se deduce al observar que cada elemento de H debe fijar un punto en D , que por conjugación con un elemento de G puede tomarse como 0. Entonces el elemento de H tiene la forma

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}a&0\\b&a^{-1}\end{pmatrix}},\qquad |a|<1\quad {\text{and}}\quad |b|<|a|^{-1}-|a|.}$

El conjunto de dichas matrices triangulares inferiores forma un subsemigrupo H ₀ de H .

Desde

${\displaystyle M{\begin{pmatrix}x&0\\0&x^{-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x&0\\ba^{-1}(x-x^{-1})&x^{-1}\end{pmatrix}}M,}$

Toda matriz en H ₀ es conjugada a una matriz diagonal por una matriz M en H ₀ .

De manera similar, cada semigrupo de un parámetro S ( t ) en H fija el mismo punto en D, por lo que es conjugado por un elemento de G a un semigrupo de un parámetro en H ₀ .

De ello se deduce que existe una matriz M en H ₀ tal que

${\displaystyle MS(t)=S_{0}(t)M,}$

con S ₀ ( t ) diagonal. De manera similar, existe una matriz N en H ₀ tal que

${\displaystyle S(t)N=NS_{0}(t),}$

El semigrupo H ₀ genera el subgrupo L de matrices triangulares inferiores complejas con determinante 1 (dado por la fórmula anterior con a ≠ 0). Su álgebra de Lie consiste en matrices de la forma

${\displaystyle Z={\begin{pmatrix}z&0\\w&-z\end{pmatrix}}.}$

En particular, el semigrupo de un parámetro exp tZ se encuentra en H ₀ para todo t > 0 si y solo si y ${\displaystyle \Re z<0}$ ${\displaystyle |\Re z|>{\tfrac {1}{2}}|w|.}$

Esto se desprende del criterio de H o directamente de la fórmula

${\displaystyle \exp Z={\begin{pmatrix}e^{z}&0\\f(z)w&e^{-z}\end{pmatrix}},\qquad f(z)={\sinh z \over z}.}$

Se sabe que la función exponencial no es sobreyectiva en este caso, aunque lo sea en todo el grupo L . Esto se deduce porque la operación de elevar al cuadrado no es sobreyectiva en H . De hecho, dado que el cuadrado de un elemento fija 0 solo si el elemento original fija 0, basta con demostrar esto en H ₀ . Tome α con |α| < 1 y

${\displaystyle \left|\alpha +\alpha ^{-1}\right|<|\alpha |+|\alpha ^{-1}|.}$

Si a = α ² y

${\displaystyle b=(1-\delta )(|a|^{-1}-|a|),}$

con

${\displaystyle (1-\delta )^{2}={|\alpha +\alpha ^{-1}| \over |\alpha |+|\alpha ^{-1}|},}$

entonces la matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&0\\b&a^{-1}\end{pmatrix}}}$

no tiene raíz cuadrada en H ₀ . Porque una raíz cuadrada tendría la forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &0\\\beta &\alpha ^{-1}\end{pmatrix}}.}$

Por otro lado,

${\displaystyle |\beta |={b \over |\alpha +\alpha ^{-1}|}={|\alpha |^{-1}-|\alpha | \over 1-\delta }>|\alpha |^{-1}-|\alpha |.}$

El semigrupo cerrado es máximo en SL(2, C ): cualquier semigrupo mayor debe ser la totalidad de SL(2, C ). ^{[3] [4] [5] [6] [7]} ${\displaystyle {\overline {H}}}$

Utilizando cálculos motivados por la física teórica, Ferrara et al. (1973) introdujeron el semigrupo , definido a través de un conjunto de desigualdades. Sin identificación como un semigrupo de compresión, establecieron la maximalidad de . Utilizando la definición como un semigrupo de compresión, la maximalidad se reduce a comprobar lo que sucede al añadir una nueva transformación fraccionaria a . La idea de la prueba depende de considerar las posiciones de los dos discos y . En los casos clave, o bien un disco contiene al otro o bien son disjuntos. En los casos más simples, es la inversa de una transformación de escala o . En cualquier caso y generan un entorno abierto de 1 y, por tanto, la totalidad de SL(2,C) ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle g(D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(z)=-1/z}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle H}$

Más tarde, Lawson (1998) dio otra forma más directa de probar la maximalidad mostrando primero que hay un g en S que envía D al disco D ^c , | z | > 1. De hecho, si entonces hay un pequeño disco D ₁ en D tal que xD ₁ se encuentra en D ^c . Entonces, para algún h en H , D ₁ = hD . De manera similar, yxD ₁ = D ^c para algún y en H . Entonces g = yxh se encuentra en S y envía D a D ^c . Se deduce que g ² fija el disco unidad D, por lo que se encuentra en SU(1,1). Por lo tanto, g ⁻¹ se encuentra en S . Si t se encuentra en H, entonces tgD contiene a gD . Por lo tanto, t ⁻¹ se encuentra en S y, por lo tanto, S contiene un entorno abierto de 1. Por lo tanto, S = SL(2, C ). ${\displaystyle x\in S\setminus {\overline {H}},}$ ${\displaystyle g^{-1}t^{-1}g\in {\overline {H}}.}$

Exactamente el mismo argumento funciona para las transformaciones de Möbius sobre R ⁿ y el semigrupo abierto que toma la esfera unitaria cerrada || x || ≤ 1 en la esfera unitaria abierta || x || < 1. El cierre es un semigrupo propio maximalista en el grupo de todas las transformaciones de Möbius. Cuando n = 1, el cierre corresponde a las transformaciones de Möbius de la línea real que toman el intervalo cerrado [–1,1] en sí mismo. ^[8]

El semigrupo H y su clausura tienen otra pieza de estructura heredada de G , a saber, la inversión en G se extiende a un antiautomorfismo de H y su clausura, que fija los elementos en exp C y su clausura.

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},}$

El antiautomorfismo viene dado por

${\displaystyle g^{+}={\begin{pmatrix}{\overline {a}}&-{\overline {c}}\\-{\overline {b}}&{\overline {d}}\end{pmatrix}}}$

y se extiende a un antiautomorfismo de SL(2, C ).

De manera similar el antiautomorfismo

${\displaystyle g^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\overline {d}}&-{\overline {b}}\\-{\overline {c}}&{\overline {a}}\end{pmatrix}}}$

deja G ₁ invariante y fija los elementos en exp C ₁ y su cierre, por lo que tiene propiedades análogas para el semigrupo en G ₁ .

Relaciones de conmutación de Heisenberg y Weyl

Sea el espacio de funciones de Schwartz en R . Es denso en el espacio de Hilbert L ² ( R ) de funciones integrables al cuadrado en R . Siguiendo la terminología de la mecánica cuántica , el operador de "momento" P y el operador de "posición" Q se definen en por ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle Pf(x)=if'(x),\qquad Qf(x)=xf(x).}$

Estos operadores satisfacen la relación de conmutación de Heisenberg.

${\displaystyle PQ-QP=iI.}$

Tanto P como Q son autoadjuntos para el producto interno heredado de L ² ( R ). ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Se pueden definir dos grupos unitarios de un parámetro U ( s ) y V ( t ) en y L ² ( R ) mediante ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle U(s)f(x)=f(x-s),\qquad V(t)f(x)=e^{ixt}f(x).}$

Por definición

${\displaystyle {d \over ds}U(s)f=iPU(s)f,\qquad {d \over dt}V(t)f=iQV(t)f}$

para , de modo que formalmente ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle U(s)=e^{iPs},\qquad V(t)=e^{iQt}.}$

De la definición se desprende inmediatamente que los grupos de un parámetro U y V satisfacen la relación de conmutación de Weyl.

${\displaystyle U(s)V(t)=e^{-ist}V(t)U(s).}$

La realización de U y V en L ² ( R ) se llama representación de Schrödinger .

Transformada de Fourier

La transformada de Fourier está definida por ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }\,dx.}$

Define un mapa continuo de sí mismo para su topología natural. ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

La integración de contornos muestra que la función

${\displaystyle H_{0}(x)={e^{-x^{2}/2} \over {\sqrt {2\pi }}}}$

es su propia transformada de Fourier.

Por otra parte, integrando por partes o diferenciando bajo la integral,

${\displaystyle {\widehat {Pf}}=-Q{\widehat {f}},\qquad {\widehat {Qf}}=P{\widehat {f}}.}$

De ello se deduce que el operador on definido por ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle Tf(x)={\widehat {\widehat {f}}}(-x)}$

conmuta tanto con Q (como con P ). Por otra parte,

${\displaystyle TH_{0}=H_{0}}$

y desde entonces

${\displaystyle g(x)={f(x)-f(a)H_{0}(x)/H_{0}(a) \over x-a}}$

se encuentra en , se sigue que ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle T(x-a)g|_{x=a}=(x-a)Tg|_{x=a}=0}$

y por lo tanto

${\displaystyle Tf(a)=f(a).}$

Esto implica la fórmula de inversión de Fourier :

${\displaystyle f(x)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )e^{ix\xi }\,d\xi }$

y muestra que la transformada de Fourier es un isomorfismo sobre sí misma. ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Por el teorema de Fubini

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\widehat {g}}(x)\,dx={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\iint f(x)g(\xi )e^{-ix\xi }\,dxd\xi =\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )g(\xi )\,d\xi .}$

Cuando se combina con la fórmula de inversión, esto implica que la transformada de Fourier preserva el producto interno.

${\displaystyle \left({\widehat {f}},{\widehat {g}}\right)=(f,g)}$

Así se define una isometría sobre sí misma. ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Por densidad se extiende a un operador unitario en L ² ( R ), como afirma el teorema de Plancherel .

Teorema de Stone-von Neumann

Supongamos que U ( s ) y V ( t ) son grupos unitarios de un parámetro en un espacio de Hilbert que satisfacen las relaciones de conmutación de Weyl. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle U(s)V(t)=e^{-ist}V(t)U(s).}$

Para dejar ^{[10] [11]} ${\displaystyle F(s,t)\in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} \times \mathbf {R} ),}$

${\displaystyle F^{\vee }(x,y)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }F(t,y)e^{-itx}\,dt}$

y definir un operador acotado en por ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle T(F)=\iint F^{\vee }(x,x+y)U(x)V(y)\,dxdy.}$

Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}T(F)T(G)&=T(F\star G)\\T(F)^{*}&=T(F^{*})\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}(F\star G)(x,y)&=\int F(x,z)G(z,y)\,dz\\F^{*}(x,y)&={\overline {F(y,x)}}\end{aligned}}}$

Los operadores T ( F ) tienen una importante propiedad de no degeneración : el espacio lineal de todos los vectores T ( F )ξ es denso en . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

De hecho, si fds y gdt definen medidas de probabilidad con soporte compacto, entonces los operadores difusos

${\displaystyle U(f)=\int U(s)f(s)\,ds,\qquad V(g)=\int V(t)g(t)\,dt}$

satisfacer

${\displaystyle \|U(f)\|,\|V(g)\|\leq 1}$

y convergen en la topología del operador fuerte al operador identidad si los soportes de las medidas disminuyen a 0.

Como U ( f ) V ( g ) tiene la forma T ( F ), se sigue que no hay degeneración.

Cuando la representación de Schrödinger es L ² ( R ), el operador T ( F ) viene dado por ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle T(F)f(x)=\int F(x,y)f(y)\,dy.}$

De esta fórmula se deduce que U y V actúan conjuntamente de manera irreducible sobre la representación de Schrödinger, ya que esto es cierto para los operadores dados por núcleos que son funciones de Schwartz. Una descripción concreta la proporciona Transformaciones canónicas lineales .

Por el contrario, dada una representación de las relaciones de conmutación de Weyl en , da lugar a una representación no degenerada del *-álgebra de operadores de núcleo. Pero todas esas representaciones están en una suma directa ortogonal de copias de L ² ( R ) con la acción en cada copia como la anterior. Esta es una generalización sencilla del hecho elemental de que las representaciones de las matrices N × N están en sumas directas de la representación estándar en C ^N . La prueba que utiliza unidades matriciales funciona igualmente bien en dimensiones infinitas. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Los grupos unitarios de un parámetro U y V dejan cada componente invariante, lo que induce la acción estándar en la representación de Schrödinger.

En particular, esto implica el teorema de Stone-von Neumann : la representación de Schrödinger es la única representación irreducible de las relaciones de conmutación de Weyl en un espacio de Hilbert.

Representación del oscilador SL(2,R)

Dados U y V que satisfacen las relaciones de conmutación de Weyl, defina

${\displaystyle W(x,y)=e^{\frac {ixy}{2}}U(x)V(y).}$

Entonces

${\displaystyle W(x_{1},y_{1})W(x_{2},y_{2})=e^{i(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})}W(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}),}$

de modo que W define una representación unitaria proyectiva de R ² con cociclo dado por

${\displaystyle \omega (z_{1},z_{2})=e^{iB(z_{1},z_{2})},}$

donde y B es la forma simpléctica en R ² dada por ${\displaystyle z=x+iy=(x,y)}$

${\displaystyle B(z_{1},z_{2})=x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}=\Im z_{1}{\overline {z_{2}}}.}$

Según el teorema de Stone-von Neumann, existe una única representación irreducible correspondiente a este cociclo.

De ello se deduce que si g es un automorfismo de R ² que conserva la forma B , es decir, un elemento de SL(2, R ), entonces existe un π( g ) unitario en L ² ( R ) que satisface la relación de covarianza

${\displaystyle \pi (g)W(z)\pi (g)^{*}=W(g(z)).}$

Por el lema de Schur, el π( g ) unitario es único hasta la multiplicación por un escalar ζ con |ζ| = 1, de modo que π define una representación unitaria proyectiva de SL(2, R ).

Esto se puede establecer directamente utilizando únicamente la irreducibilidad de la representación de Schrödinger. La irreducibilidad era una consecuencia directa del hecho de que los operadores

${\displaystyle \iint K(x,y)U(x)V(y)\,dxdy,}$

con K una función de Schwartz corresponden exactamente a los operadores dados por los núcleos con funciones de Schwartz.

Estos son densos en el espacio de operadores de Hilbert-Schmidt , que, dado que contiene los operadores de rango finito, actúa de manera irreducible.

La existencia de π se puede demostrar utilizando únicamente la irreducibilidad de la representación de Schrödinger. Los operadores son únicos hasta un signo con

${\displaystyle \pi (gh)=\pm \pi (g)\pi (h),}$

de modo que el 2-cociclo para la representación proyectiva de SL(2, R ) toma valores ±1.

De hecho, el grupo SL(2, R ) está generado por matrices de la forma

${\displaystyle g_{1}={\begin{pmatrix}a&0\\0&a^{-1}\end{pmatrix}},\,\,g_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\b&1\end{pmatrix}},\,\,g_{3}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},}$

y se puede verificar directamente que los siguientes operadores satisfacen las relaciones de covarianza anteriores:

${\displaystyle \pi (g_{1})f(x)=\pm a^{-{\frac {1}{2}}}f(a^{-1}x),\,\,\pi (g_{2})f(x)=\pm e^{-ibx^{2}}f(x),\,\,\pi (g_{3})f(x)=\pm e^{\frac {i\pi }{8}}{\widehat {f}}(x).}$

Los generadores g _i satisfacen las siguientes relaciones de Bruhat , que especifican de forma única el grupo SL(2, R ): ^[12]

${\displaystyle g_{3}^{2}=g_{1}(-1),\,\,g_{3}g_{1}(a)g_{3}^{-1}=g_{1}(a^{-1}),\,\,g_{1}(a)g_{2}(b)g_{1}(a)^{-1}=g_{2}(a^{-2}b),\,\,g_{1}(a)=g_{3}g_{2}(a^{-1})g_{3}g_{2}(a)g_{3}g_{2}(a^{-1}).}$

Se puede verificar por cálculo directo que estas relaciones se satisfacen hasta un signo por los operadores correspondientes, lo que establece que el cociclo toma valores ±1.

Hay una explicación más conceptual que utiliza una construcción explícita del grupo metapléctico como una doble cobertura de SL(2, R ). ^[13] SL(2, R ) actúa mediante transformaciones de Möbius en el semiplano superior H . Además, si

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},}$

entonces

${\displaystyle {dg(z) \over dz}={1 \over (cz+d)^{2}}.}$

La función

${\displaystyle m(g,z)=cz+d}$

satisface la relación de 1-cociclo

${\displaystyle m(gh,z)=m(g,hz)m(h,z).}$

Para cada g , la función m ( g , z ) no se anula en H y por lo tanto tiene dos posibles raíces cuadradas holomorfas. El grupo metapléctico se define como el grupo

${\displaystyle \operatorname {Mp} (2,\mathbf {R} )=\{(g,G)|G(z)^{2}=m(g,z)\}.}$

Por definición es una doble cobertura de SL(2, R ) y es conexa. La multiplicación viene dada por

${\displaystyle (g,G)\cdot (h,H)=(gh,K),}$

dónde

${\displaystyle K(z)=G(hz)H(z).}$

Así, para un elemento g del grupo metapléctico existe una función unívocamente determinada m ( g , z ) ^1/2 que satisface la relación de 1-cociclo.

Si , entonces ${\displaystyle \Im z>0}$

${\displaystyle f_{z}(x)=e^{izx^{2}/2}}$

se encuentra en L ² y se llama estado coherente .

Estas funciones se encuentran en una única órbita de SL(2, R ) generada por

${\displaystyle f_{i}(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},}$

ya que para g en SL(2, R )

${\displaystyle \pi ((g^{t})^{-1})f_{z}(x)=\pm m(g,z)^{-1/2}f_{gz}(x).}$

Más específicamente, si g se encuentra en Mp(2, R ), entonces

${\displaystyle \pi ((g^{t})^{-1})f_{z}(x)=m(g,z)^{-1/2}f_{gz}(x).}$

De hecho, si esto es válido para g y h , también lo es para su producto. Por otra parte, la fórmula se comprueba fácilmente si g ^t tiene la forma g _i y estos son generadores.

Esto define una representación unitaria ordinaria del grupo metapléctico.

El elemento (1,–1) actúa como multiplicación por –1 en L ² ( R ), de lo que se deduce que el cociclo en SL(2, R ) solo toma valores ±1.

Índice de Maslov

Como se explica en Lion y Vergne (1980), el 2-cociclo en SL(2, R ) asociado con la representación metapléctica, que toma valores ±1, está determinado por el índice de Maslov .

Dados tres vectores distintos de cero u , v , w en el plano, su índice de Maslov se define como la firma de la forma cuadrática en R ³ definida por ${\displaystyle \tau (u,v,w)}$

${\displaystyle Q(a,b,c)=abB(u,v)+bcB(v,w)+caB(w,u).}$

Propiedades del índice de Maslov :

• Depende de los subespacios unidimensionales abarcados por los vectores.
• es invariante bajo SL(2, R )
• Es alternante en sus argumentos, es decir, su signo cambia si se intercambian dos de los argumentos.
• Se desvanece si dos de los subespacios coinciden
• toma los valores –1, 0 y +1: si u y v satisfacen B ( u , v ) = 1 y w = au + bv , entonces el índice de Maslov es cero si ab = 0 y en caso contrario es igual a menos el signo de ab
• ${\displaystyle \displaystyle {\tau (v,w,z)-\tau (u,w,z)+\tau (u,v,z)-\tau (u,v,w)=0}}$

Escogiendo un vector distinto de cero u ₀ , se deduce que la función

${\displaystyle \Omega (g,h)=\exp -{\pi i \over 4}\tau (u_{0},gu_{0},ghu_{0})}$

define un 2-cociclo en SL(2, R ) con valores en las octavas raíces de la unidad.

Se puede utilizar una modificación del 2-cociclo para definir un 2-cociclo con valores en ±1 conectados con el cociclo metapléctico. ^[14]

De hecho, dados vectores distintos de cero u , v en el plano, definamos f ( u , v ) como

• i por el signo de B ( u , v ) si u y v no son proporcionales
• el signo de λ si u = λ v .

Si

${\displaystyle b(g)=f(u_{0},gu_{0}),}$

entonces

${\displaystyle \Omega (g,h)^{2}=b(gh)b(g)^{-1}b(h)^{-1}.}$

Los representantes π( g ) en la representación metapléctica pueden elegirse de modo que

${\displaystyle \pi (gh)=\omega (g,h)\pi (g)\pi (h)}$

donde el 2-cociclo ω está dado por

${\displaystyle \omega (g,h)=\Omega (g,h)\beta (gh)^{-1}\beta (g)\beta (h),}$

con

${\displaystyle \beta (g)^{2}=b(g).}$

Espacio de Fock holomórfico

El espacio de Fock holomorfo (también conocido como espacio de Segal-Bargmann ) se define como el espacio vectorial de funciones holomorfas f ( z ) en C con ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }|f(z)|^{2}e^{-|z|^{2}}\,dxdy}$

finito. Tiene producto interno

${\displaystyle (f_{1},f_{2})={1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }f_{1}(z){\overline {f_{2}(z)}}e^{-|z|^{2}}\,dxdy.}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es un espacio de Hilbert con base ortonormal

${\displaystyle e_{n}(z)={z^{n} \over {\sqrt {n!}}},\quad n\geq 0.}$

Además, la expansión en serie de potencias de una función holomorfa en da su expansión con respecto a esta base. ^[15] Por lo tanto, para z en C ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle |f(z)|=\left|\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}\right|\leq \|f\|e^{|z|^{2}/2},}$

de modo que la evaluación en z da una función lineal continua en De hecho ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

${\displaystyle f(a)=(f,E_{a})}$

donde ^[16]

${\displaystyle E_{a}(z)=\sum _{n\geq 0}{(E_{a},e_{n})z^{n} \over {\sqrt {n!}}}=\sum _{n\geq 0}{z^{n}{\overline {a}}^{n} \over n!}=e^{z{\overline {a}}}.}$

Así en particular es un espacio de Hilbert que reproduce el núcleo . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Para f en y z en C defina ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle W_{\mathcal {F}}(z)f(w)=e^{-|z|^{2}/2}e^{w{\overline {z}}}f(w-z).}$

Entonces

${\displaystyle W_{\mathcal {F}}(z_{1})W_{\mathcal {F}}(z_{2})=e^{-i\Im z_{1}{\overline {z_{2}}}}W_{\mathcal {F}}(z_{1}+z_{2}),}$

Por lo tanto, esto da una representación unitaria de las relaciones de conmutación de Weyl. ^[17] Ahora

${\displaystyle W_{\mathcal {F}}(a)E_{0}=e^{-|a|^{2}/2}E_{a}.}$

De ello se deduce que la representación es irreducible. ${\displaystyle W_{\mathcal {F}}}$

De hecho, cualquier función ortogonal a todos los E _a debe anularse, de modo que su espacio lineal sea denso en . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Si P es una proyección ortogonal que conmuta con W ( z ), sea f = PE ₀ . Entonces

${\displaystyle f(z)=(PE_{0},E_{z})=e^{|z|^{2}}(PE_{0},W_{\mathcal {F}}(z)E_{0})=(PE_{-z},E_{0})={\overline {f(-z)}}.}$

La única función holomorfa que satisface esta condición es la función constante. Por lo tanto

${\displaystyle PE_{0}=\lambda E_{0},}$

con λ = 0 o 1. Como E ₀ es cíclico, se deduce que P = 0 o I .

Por el teorema de Stone–von Neumann hay un operador unitario de L ² ( R ) sobre , único hasta la multiplicación por un escalar, entrelazando las dos representaciones de las relaciones de conmutación de Weyl. Por el lema de Schur y la construcción de Gelfand–Naimark , el coeficiente matricial de cualquier vector determina el vector hasta un múltiplo escalar. Como los coeficientes matriciales de F = E ₀ y f = H ₀ son iguales, se deduce que el unitario está determinado de forma única por las propiedades ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

${\displaystyle W_{\mathcal {F}}(a){\mathcal {U}}={\mathcal {U}}W(a)}$

y

${\displaystyle {\mathcal {U}}H_{0}=E_{0}.}$

Por lo tanto, para f en L ² ( R )

${\displaystyle {\mathcal {U}}f(z)=({\mathcal {U}}f,E_{z})=(f,{\mathcal {U}}^{*}E_{z})=e^{-|z|^{2}}(f,{\mathcal {U}}^{*}W_{\mathcal {F}}(z)E_{0})=e^{-|z|^{2}}(W(-z)f,H_{0}),}$

de modo que

${\displaystyle {\mathcal {U}}f(z)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}e^{-2ixy}f(t+x)e^{-t^{2}/2}\,dt={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }B(z,t)f(t)\,dt,}$

dónde

${\displaystyle B(z,t)=\exp[-z^{2}-t^{2}/2+zt].}$

El operador se llama transformada de Segal-Bargmann ^[18] y B se llama núcleo de Bargmann . ^[19] ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

El adjunto de viene dado por la fórmula: ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

${\displaystyle {\mathcal {U}}^{*}F(t)={1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }B({\overline {z}},t)F(z)\,dxdy.}$

Modelo Fock

La acción de SU(1,1) en el espacio de Fock holomórfico fue descrita por Bargmann (1970) e Itzykson (1967).

La doble cubierta metapléctica de SU(1,1) se puede construir explícitamente como pares ( g , γ) con

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle \gamma ^{2}=\alpha .}$

Si g = g ₁ g ₂ , entonces

${\displaystyle \gamma =\gamma _{1}\gamma _{2}\left(1+{\beta _{1}{\overline {\beta _{2}}} \over \alpha _{1}\alpha _{2}}\right)^{1/2},}$

utilizando la expansión de la serie de potencias de (1 + z ) ^1/2 para | z | < 1.

La representación metapléctica es una representación unitaria π( g , γ) de este grupo que satisface las relaciones de covarianza

${\displaystyle \pi (g,\gamma )W_{\mathcal {F}}(z)\pi (g,\gamma )^{*}=W_{\mathcal {F}}(g\cdot z),}$

dónde

${\displaystyle g\cdot z=\alpha z+\beta {\overline {z}}.}$

Dado que es un espacio de Hilbert con núcleo reproductor , cualquier operador acotado T en él corresponde a un núcleo dado por una serie de potencias de sus dos argumentos. De hecho, si ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle K_{T}(a,b)=(TE_{\overline {b}},E_{a}),}$

y F en , entonces ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle TF(a)=(TF,E_{a})=(F,T^{*}E_{a})={\frac {1}{\pi }}\iint _{\mathbf {C} }F(z){\overline {(T^{*}E_{a},E_{z})}}e^{-|z|^{2}}\,dxdy={\frac {1}{\pi }}\iint _{\mathbf {C} }K_{T}(a,{\overline {z}})F(z)e^{-|z|^{2}}\,dxdy.}$

Las relaciones de covarianza y la analiticidad del kernel implican que para S = π( g , γ),

${\displaystyle K_{S}(a,z)=C\cdot \exp \,{1 \over 2\alpha }({\overline {\beta }}z^{2}+2az-\beta a^{2})}$

para una constante C. El cálculo directo muestra que

${\displaystyle C=\gamma ^{-1}}$

conduce a una representación ordinaria de la doble cubierta. ^[20]

Los estados coherentes pueden definirse nuevamente como la órbita de E ₀ bajo el grupo metapléctico.

Para el complejo w , establezca

${\displaystyle F_{w}(z)=e^{wz^{2}/2}.}$

Entonces, si y sólo si | w | < 1. En particular, F ₀ = 1 = E ₀ . Además, ${\displaystyle F_{w}\in {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \pi (g,\gamma )F_{w}=({\overline {\alpha }}+{\overline {\beta }}w)^{-{\frac {1}{2}}}F_{gw}={\frac {1}{\overline {\gamma }}}\left(1+{{\overline {\beta }} \over {\overline {\alpha }}}w\right)^{-1/2}F_{gw},}$

dónde

${\displaystyle gw={\alpha w+\beta \over {\overline {\beta }}w+{\overline {\alpha }}}.}$

De manera similar, las funciones zF _w se encuentran y forman una órbita del grupo metapléctico: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \pi (g,\gamma )[zF_{w}](z)=({\overline {\alpha }}+{\overline {\beta }}w)^{-3/2}zF_{gw}(z).}$

Como ( F _w , E ₀ ) = 1, el coeficiente matricial de la función E ₀ = 1 viene dado por ^[21]

${\displaystyle (\pi (g,\gamma )1,1)=\gamma ^{-1}.}$

Modelo de disco

La representación proyectiva de SL(2, R ) en L ² ( R ) o en ruptura como una suma directa de dos representaciones irreducibles, correspondientes a funciones pares e impares de x o z . Las dos representaciones se pueden realizar en espacios de Hilbert de funciones holomorfas en el disco unitario; o, utilizando la transformada de Cayley, en el semiplano superior. ^{[22] [23]} ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Las funciones pares corresponden a funciones holomorfas F ₊ para las cuales

${\displaystyle {1 \over 2\pi }\iint |F_{+}(z)|^{2}(1-|z|^{2})^{-1/2}\,dxdy+{2 \over \pi }\iint |F'_{+}(z)|^{2}(1-|z|^{2})^{\frac {1}{2}}\,dxdy}$

es finito; y las funciones impares a funciones holomorfas F _– para las cuales

${\displaystyle {1 \over 2\pi }\iint |F_{-}(z)|^{2}(1-|z|^{2})^{-1/2}\,dxdy}$

es finito. Las formas polarizadas de estas expresiones definen los productos internos.

La acción del grupo metapléctico está dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{\pm }(g^{-1})F_{\pm }(z)&=\left({\overline {\beta }}z+{\overline {\alpha }}\right)^{-1\pm {\frac {1}{2}}}F_{\pm }(gz)\\&=\left(-{\overline {\beta }}z+\alpha \right)^{-1\pm {\frac {1}{2}}}F_{\pm }\left({{\overline {\alpha }}z-\beta \over -{\overline {\beta }}z+\alpha }\right)&&g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

La irreducibilidad de estas representaciones se establece de manera estándar. ^[24] Cada representación se descompone como una suma directa de espacios propios unidimensionales del grupo de rotación, cada uno de los cuales es generado por un vector C ^∞ para todo el grupo. De ello se deduce que cualquier subespacio invariante cerrado es generado por la suma directa algebraica de los espacios propios que contiene y que esta suma es invariante bajo la acción infinitesimal del álgebra de Lie . Por otra parte, esa acción es irreducible. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

El isomorfismo con funciones pares e impares en se puede demostrar utilizando la construcción de Gelfand-Naimark ya que los coeficientes matriciales asociados a 1 y z en las representaciones correspondientes son proporcionales. Itzykson (1967) dio otro método a partir de las aplicaciones ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle U_{+}(F)(w)={\frac {1}{\pi }}\iint _{\mathbf {C} }F(z)e^{{\frac {1}{2}}w{\overline {z}}^{2}}e^{-|z|^{2}}\,dxdy,}$

${\displaystyle U_{-}(F)(w)={\frac {1}{\pi }}\iint _{\mathbf {C} }F(z){\overline {z}}e^{{\frac {1}{2}}w{\overline {z}}^{2}}e^{-|z|^{2}}\,dxdy,}$

de las partes pares e impares a funciones en el disco unitario. Estas funciones entrelazan las acciones del grupo metapléctico dado anteriormente y envían z ⁿ a un múltiplo de w ⁿ . La estipulación de que U _± debe ser unitario determina los productos internos de las funciones en el disco, que pueden expresarse en la forma anterior. ^[25]

Aunque en estas representaciones el operador L ₀ tiene espectro positivo (la característica que distingue a las representaciones de series discretas holomorfas de SU(1,1)), las representaciones no se encuentran en las series discretas del grupo metapléctico. De hecho, Kashiwara y Vergne (1978) observaron que los coeficientes de la matriz no son integrables al cuadrado, aunque su tercera potencia sí lo es. ^[26]

Oscilador armónico y funciones de Hermite

Consideremos el siguiente subespacio de L ² ( R ):

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\left\{f\in L^{2}(\mathbf {R} )\left|f(x)=p(x)e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},p(x)\in \mathbf {R} [x]\right.\right\}.}$

Los operadores

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=Q-iP={d \over dx}+x\\Y&=Q+iP=-{d \over dx}+x\end{aligned}}}$

El acto sobre X se llama operador de aniquilación y el de Y operador de creación . Satisfacen ${\displaystyle {\mathcal {H}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=Y^{*}\\XY&=D+I&&D=-{d^{2} \over dx^{2}}+x^{2}\\XY-YX&=2I\\XY^{n}-Y^{n}X&=2nY^{n-1}&&{\text{by induction}}\end{aligned}}}$

Definir las funciones

${\displaystyle F_{n}(x)=Y^{n}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$

Afirmamos que son las funciones propias del oscilador armónico, D . Para demostrarlo, utilizamos las relaciones de conmutación anteriores:

${\displaystyle {\begin{aligned}DF_{n}&=DY^{n}F_{0}\\&=(XY-I)Y^{n}F_{0}\\&=\left(XY^{n+1}-Y^{n}\right)F_{0}\\&=\left(\left((2n+2)Y^{n}+Y^{n+1}X\right)-Y^{n}\right)F_{0}\\&=\left((2n+1)Y^{n}+Y^{n+1}X\right)F_{0}\\&=(2n+1)Y^{n}F_{0}+Y^{n+1}XF_{0}\\&=(2n+1)F_{n}&&XF_{0}=0\end{aligned}}}$

A continuación tenemos:

${\displaystyle \|F_{n}\|_{2}^{2}=2^{n}n!{\sqrt {\pi }}.}$

Esto se sabe para n = 0 y la relación de conmutación anterior produce

${\displaystyle (F_{n},F_{n})=\left(XY^{n}F_{0},Y^{n-1}F_{0}\right)=2n(F_{n-1},F_{n-1}).}$

La n- ésima función de Hermite se define por

${\displaystyle H_{n}(x)=\|F_{n}\|^{-1}F_{n}(x)=p_{n}(x)e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}.}$

p _n se llama n- ésimo polinomio de Hermite .

Dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={1 \over {\sqrt {2}}}Y={1 \over {\sqrt {2}}}\left(-{d \over dx}+x\right)\\A^{*}&={1 \over {\sqrt {2}}}X={1 \over {\sqrt {2}}}\left({d \over dx}+x\right)\end{aligned}}}$

De este modo

${\displaystyle AA^{*}-A^{*}A=I.}$

Los operadores P , Q o equivalentemente A , A * actúan irreduciblemente sobre un argumento estándar. ^{[27] [28]} ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

En efecto, bajo el isomorfismo unitario con el espacio de Fock holomorfo se puede identificar con C [ z ], el espacio de polinomios en z , con ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle A={\frac {\partial }{\partial z}},\qquad A^{*}=z.}$

Si un subespacio invariante bajo A y A* contiene un polinomio p ( z ) distinto de cero , entonces, aplicando una potencia de A *, contiene una constante distinta de cero; aplicando luego una potencia de A , contiene todos los z ⁿ .

Bajo el isomorfismo F _n se envía a un múltiplo de z ⁿ y el operador D está dado por

${\displaystyle D=2A^{*}A+I.}$

Dejar

${\displaystyle L_{0}={1 \over 2}(A^{*}A+{1 \over 2})={1 \over 2}(z{\partial \over \partial z}+{1 \over 2})}$

de modo que

${\displaystyle L_{0}z^{n}={1 \over 2}(n+{1 \over 2})z^{n}.}$

En la terminología de la física , A , A * dan un único bosón y L ₀ es el operador de energía. Es diagonalizable con valores propios 1/2, 1, 3/2, ...., cada uno de multiplicidad uno. Tal representación se llama representación de energía positiva .

Además,

${\displaystyle [L_{0},A]=-{1 \over 2}A,[L_{0},A^{*}]={1 \over 2}A^{*},}$

de modo que el corchete de Lie con L ₀ define una derivación del álgebra de Lie abarcada por A , A * e I . Adjuntando L ₀ se obtiene el producto semidirecto . La versión infinitesimal del teorema de Stone-von Neumann establece que la representación anterior en C [ z ] es la única representación de energía positiva irreducible de esta álgebra de Lie con L ₀ = A * A + 1/2. Para A disminuye la energía y A * aumenta la energía. Por lo tanto, cualquier vector de energía más baja v es aniquilado por A y el módulo se agota por las potencias de A * aplicadas a v . Por lo tanto, es un cociente distinto de cero de C [ z ] y, por lo tanto, puede identificarse con él por irreducibilidad.

Dejar

${\displaystyle L_{-1}={1 \over 2}A^{2},L_{1}={1 \over 2}A^{*2},}$

de modo que

${\displaystyle [L_{-1},A]=0,\,\,\,[L_{-1},A^{*}]=A,\,\,\,[L_{1},A]=-A^{*},\,\,\,[L_{1},A^{*}]=0.}$

Estos operadores satisfacen:

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}}$

y actúan por derivaciones sobre el álgebra de Lie abarcada por A , A * e I .

Son los operadores infinitesimales correspondientes a la representación metapléctica de SU(1,1).

Las funciones F _n están definidas por

${\displaystyle F_{n}(x)=\left(x-{d \over dx}\right)^{n}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}=(-1)^{n}e^{\frac {x^{2}}{2}}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x^{2}}\right)=\left(2^{n}x^{n}+\cdots \right)e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}.}$

De ello se deduce que las funciones de Hermite son la base ortonormal obtenida al aplicar el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt a la base x ⁿ exp - x ² /2 de . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

La completitud de las funciones de Hermite se desprende del hecho de que la transformada de Bargmann es unitaria y lleva la base ortonormal e _n ( z ) del espacio de Fock holomórfico al H _n ( x ).

El operador de calor para el oscilador armónico es el operador en L ² ( R ) definido como el operador diagonal

${\displaystyle e^{-Dt}H_{n}=e^{-(2n+1)t}H_{n}.}$

Corresponde al núcleo de calor dado por la fórmula de Mehler :

${\displaystyle K_{t}(x,y)\equiv \sum _{n\geq 0}e^{-(2n+1)t}H_{n}(x)H_{n}(y)=(4\pi t)^{-{1 \over 2}}\left({2t \over \sinh 2t}\right)^{1 \over 2}\exp \left(-{1 \over 4t}\left[{2t \over \tanh 2t}(x^{2}+y^{2})-{2t \over \sinh 2t}(2xy)\right]\right).}$

Esto se desprende de la fórmula

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}s^{n}H_{n}(x)H_{n}(y)={1 \over {\sqrt {\pi (1-s^{2})}}}\exp {4xys-(1+s^{2})(x^{2}+y^{2}) \over 2(1-s^{2})}.}$

Para probar esta fórmula observe que si s = σ ² , entonces por la fórmula de Taylor

${\displaystyle F_{\sigma ,x}(z)\equiv \sum _{n\geq 0}\sigma ^{n}e_{n}(z)H_{n}(x)=\pi ^{-{1 \over 4}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\sum _{n\geq 0}{(-z)^{n}\sigma ^{n} \over 2^{n}n!}{d^{n}e^{x^{2}} \over dx^{n}}=\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\exp \left(-{x^{2} \over 2}+{\sqrt {2}}xz\sigma -{z^{2}\sigma ^{2} \over 2}\right).}$

Por lo tanto, F _{σ, x} se encuentra en el espacio de Fock holomórfico y

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}s^{n}H_{n}(x)H_{n}(y)=(F_{\sigma ,x},F_{\sigma ,y})_{\mathcal {F}},}$

un producto interno que se puede calcular directamente.

Wiener (1933, pp. 51-67) establece directamente la fórmula de Mehler y utiliza un argumento clásico para demostrar que

${\displaystyle \int K_{t}(x,y)f(y)\,dy}$

tiende a f en L ² ( R ) a medida que t disminuye a 0. Esto muestra la completitud de las funciones de Hermite y también, dado que

${\displaystyle {\widehat {H_{n}}}=(-i)^{n}H_{n},}$

se puede utilizar para derivar las propiedades de la transformada de Fourier.

Existen otros métodos elementales para demostrar la completitud de las funciones de Hermite, por ejemplo utilizando series de Fourier . ^[29]

Espacios de Sobolev

Los espacios de Sobolev H _s , a veces llamados espacios de Hermite-Sobolev , se definen como las completaciones de con respecto a las normas ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle \|f\|_{(s)}^{2}=\sum _{n\geq 0}|a_{n}|^{2}(1+2n)^{s},}$

dónde

${\displaystyle f=\sum a_{n}H_{n}}$

es la expansión de f en funciones de Hermite. ^[30]

De este modo

${\displaystyle \|f\|_{(s)}^{2}=(D^{s}f,f),\qquad (f_{1},f_{2})_{(s)}=(D^{s}f_{1},f_{2}).}$

Los espacios de Sobolev son espacios de Hilbert. Además, H _s y H _{– s} están en dualidad bajo el emparejamiento

${\displaystyle \langle f_{1},f_{2}\rangle =\int f_{1}f_{2}\,dx.}$

Para s ≥ 0,

${\displaystyle \|(aP+bQ)f\|_{(s)}\leq (|a|+|b|)C_{s}\|f\|_{\left(s+{1 \over 2}\right)}}$

para alguna constante positiva C _s .

De hecho, dicha desigualdad se puede comprobar para operadores de creación y aniquilación que actúan sobre funciones de Hermite H _n y esto implica la desigualdad general. ^[31]

Se sigue para s arbitrario por dualidad.

En consecuencia, para un polinomio cuadrático R en P y Q

${\displaystyle \|Rf\|_{(s)}\leq C'_{s}\|f\|_{(s+1)}.}$

La desigualdad de Sobolev se cumple para f en H _s con s > 1/2:

${\displaystyle |f(x)|\leq C_{s,k}\|f\|_{(s+k)}(1+x^{2})^{-k}}$

para cualquier k ≥ 0.

De hecho, el resultado para k general se sigue del caso k = 0 aplicado a Q ^k f .

Para k = 0 la fórmula de inversión de Fourier

${\displaystyle f(x)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(t)e^{itx}\,dt}$

implica

${\displaystyle |f(x)|\leq C\left(\int \left|{\widehat {f}}(t)\right|^{2}(1+t^{2})^{s}\,dt\right)^{1 \over 2}=C\left(\left(I+Q^{2}\right)^{s}{\widehat {f}},{\widehat {f}}\right)^{1 \over 2}\leq C'\left\|{\widehat {f}}\right\|_{(s)}=C'\|f\|_{(s)}.}$

Si s < t , la forma diagonal de D , muestra que la inclusión de H _t en H _s es compacta (lema de Rellich).

De la desigualdad de Sobolev se deduce que la intersección de los espacios H _s es . Las funciones en se caracterizan por el rápido decaimiento de sus coeficientes de Hermite a _n . ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Los argumentos estándar muestran que cada espacio de Sobolev es invariante bajo los operadores W ( z ) y el grupo metapléctico. ^[32] De hecho, es suficiente comprobar la invariancia cuando g está suficientemente cerca de la identidad. En ese caso

${\displaystyle gDg^{-1}=D+A}$

con D + A un isomorfismo de a ${\displaystyle H_{t+2}}$ ${\displaystyle H_{t}.}$

Resulta que

${\displaystyle \|\pi (g)f\|_{(s)}^{2}=\left|((D+A)^{s}f,f)\right|\leq \left\|(D+A)^{s}f\right\|_{(-s)}\cdot \|f\|_{(s)}\leq C\|f\|_{(s)}^{2}.}$

Si entonces ${\displaystyle f\in H_{s},}$

${\displaystyle {d \over ds}U(s)f=iPU(s)f,\qquad {d \over dt}V(t)f=iQV(t)f,}$

donde se encuentran las derivadas ${\displaystyle H_{s-1/2}.}$

De manera similar, las derivadas parciales de grado total k de U ( s ) V ( t ) f se encuentran en espacios de Sobolev de orden s – k /2.

En consecuencia, un monomio en P y Q de orden 2k aplicado a f se encuentra en H _{s – k} y puede expresarse como una combinación lineal de derivadas parciales de U(s)V(t)f de grado ≤ 2k evaluado en 0.

Vectores suaves

Los vectores suaves para las relaciones de conmutación de Weyl son aquellos u en L ² ( R ) tales que la función

${\displaystyle \Phi (z)=W(z)u}$

es uniforme. Por el teorema de acotación uniforme , esto es equivalente al requisito de que cada coeficiente de matriz (W(z)u,v) sea uniforme.

Un vector es suave si y solo se encuentra en . ^[33] La suficiencia es clara. Por necesidad, la suavidad implica que las derivadas parciales de W(z)u se encuentran en L ² ( R ) y, por lo tanto, también D ^k u para todo k positivo . Por lo tanto, u se encuentra en la intersección de H _k , por lo que en . ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

De ello se deduce que los vectores suaves también son suaves para el grupo metapléctico.

Además, un vector está en si y sólo si es un vector suave para el subgrupo de rotación de SU(1,1). ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Vectores analíticos

Si Π( t ) es un grupo unitario de un parámetro y para f en ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle \Pi (f)=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\Pi (t)\,dt,}$

entonces los vectores Π( f )ξ forman un conjunto denso de vectores suaves para Π.

De hecho, tomar

${\displaystyle f_{\varepsilon }(x)={1 \over {\sqrt {2\pi \varepsilon }}}e^{-x^{2}/2\varepsilon }}$

los vectores v = Π( f _ε )ξ convergen a ξ cuando ε disminuye a 0 y

${\displaystyle \Phi (t)=\Pi (t)v}$

es una función analítica de t que se extiende a una función completa en C .

El vector se llama vector entero para Π.

El operador de onda asociado al oscilador armónico se define por

${\displaystyle \Pi (t)=e^{it{\sqrt {D}}}.}$

El operador es diagonal con las funciones de Hermite H _n como funciones propias:

${\displaystyle \Pi (t)H_{n}=e^{i(2n+1)^{1 \over 2}t}H_{n}.}$

Dado que conmuta con D , conserva los espacios de Sobolev.

Los vectores analíticos construidos anteriormente se pueden reescribir en términos del semigrupo de Hermite como

${\displaystyle v=e^{-\varepsilon D}\xi .}$

El hecho de que v sea un vector entero para Π es equivalente a la condición de sumabilidad

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{r^{n}\|D^{n \over 2}v\| \over n!}<\infty }$

para todo r > 0.

Cualquier vector de este tipo es también un vector completo para U(s)V(t) , es decir, el mapa

${\displaystyle F(s,t)=U(s)V(t)v}$

definido en R ² se extiende a un mapa analítico en C ² .

Esto se reduce a la estimación de la serie de potencias.

${\displaystyle \left\|\sum _{m,n\geq 0}{1 \over m!n!}z^{m}w^{n}P^{m}Q^{n}v\right\|\leq C\sum _{k\geq 0}{(|z|+|w|)^{k} \over k!}\|D^{k \over 2}v\|<\infty .}$

Por lo tanto, estos forman un conjunto denso de vectores completos para U(s)V(t) ; esto también se puede verificar directamente utilizando la fórmula de Mehler.

Los espacios de vectores suaves y enteros para U(s)V(t) son cada uno por definición invariantes bajo la acción del grupo metapléctico así como del semigrupo de Hermite.

Dejar

${\displaystyle W(z,w)=e^{-izw/2}U(z)V(w)}$

sea ​​la continuación analítica de los operadores W ( x , y ) desde R ² hasta C ² tales que

${\displaystyle e^{-izw/2}F(z,w)=W(z,w)v.}$

Entonces W deja invariante el espacio de vectores enteros y satisface

${\displaystyle W(z_{1},w_{1})W(z_{2},w_{2})=e^{i(z_{1}w_{2}-w_{1}z_{2})}W(z_{1}+z_{2},w_{1}+w_{2}).}$

Además, para g en SL(2, R )

${\displaystyle \pi (g)W(u)\pi (g)^{*}=W(gu),}$

utilizando la acción natural de SL(2, R ) sobre C ² .

Formalmente

${\displaystyle W(z,w)^{*}=W(-{\overline {z}},-{\overline {w}}).}$

Semigrupo oscilador

Existe una doble cobertura natural del semigrupo de Olshanski H , y su clausura que extiende la doble cobertura de SU(1,1) correspondiente al grupo metapléctico. Está dada por pares ( g , γ) donde g es un elemento de H o su clausura ${\displaystyle {\overline {H}}}$

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

y γ es una raíz cuadrada de a .

Tal elección determina una rama única de

${\displaystyle \left(-{\overline {b}}z+{\overline {d}}\right)^{1 \over 2}}$

para | z | < 1.

Los operadores unitarios π( g ) para g en SL(2, R ) satisfacen

${\displaystyle \pi (g)W(u)=W(g\cdot u)\pi (g),\,\,\,\pi (g)^{*}W(u)=W(g^{-1}\cdot u)\pi (g)^{*}}$

para u en C ² .

Se dice que un elemento g de la complejización SL(2, C ) es implementable si existe un operador acotado T tal que él y su adjunto dejan el espacio de vectores enteros para W invariante, ambos tienen imágenes densas y satisfacen las relaciones de covarianza.

${\displaystyle TW(u)=W(g\cdot u)T,\,\,\,T^{*}W(u)=W(g^{\dagger }\cdot u)T^{*}}$

para u en C ² . El operador de implementación T se determina de forma única hasta la multiplicación por un escalar distinto de cero.

Los elementos implementables forman un semigrupo que contiene SL(2, R ). Dado que la representación tiene energía positiva, los operadores autoadjuntos compactos acotados

${\displaystyle S_{0}(t)=e^{-tL_{0}}}$

para t > 0 implemente los elementos del grupo en exp C ₁ .

De ello se deduce que se implementan todos los elementos del semigrupo de Olshanski y su cierre.

La maximización del semigrupo de Olshanki implica que no se implementan otros elementos de SL(2, C ). De hecho, de lo contrario, cada elemento de SL(2, C ) se implementaría mediante un operador acotado, lo que contradeciría la no invertibilidad de los operadores S ₀ ( t ) para t > 0.

En la representación de Schrödinger los operadores S ₀ ( t ) para t > 0 están dados por la fórmula de Mehler. Son operadores de contracción , positivos y en cada clase de Schatten . Además, dejan invariantes cada uno de los espacios de Sobolev. La misma fórmula es válida para por continuación analítica. ${\displaystyle \Re \,t>0}$

Se puede ver directamente en el modelo de Fock que los operadores implementadores pueden elegirse de modo que definan una representación ordinaria de la doble cobertura de H construida anteriormente. El semigrupo correspondiente de operadores de contracción se llama semigrupo del oscilador . El semigrupo del oscilador extendido se obtiene tomando el producto semidirecto con los operadores W ( u ). Estos operadores se encuentran en cada clase de Schatten y dejan invariantes los espacios de Sobolev y el espacio de vectores completos para W .

La descomposición

${\displaystyle {\overline {H}}=G\cdot \exp {\overline {C}}}$

corresponde a nivel de operador a la descomposición polar de operadores acotados .

Además, dado que cualquier matriz en H es conjugada a una matriz diagonal por elementos en H o H ⁻¹ , cada operador en el semigrupo del oscilador es cuasi-similar a un operador S ₀ ( t ) con . En particular, tiene el mismo espectro que consiste en valores propios simples. ${\displaystyle \Re t>0}$

En el modelo de Fock, si el elemento g del semigrupo de Olshanki H corresponde a la matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},}$

El operador correspondiente viene dado por

${\displaystyle \pi (g,\gamma )f(w)={1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }K(w,{\overline {z}})f(z)e^{-|z|^{2}}\,dxdy,}$

dónde

${\displaystyle K(w,z)=\gamma ^{-1}\cdot \exp \,{1 \over 2a}(cz^{2}+2wz-bw^{2})}$

y γ es una raíz cuadrada de a . Los operadores π( g ,γ) para g en el semigrupo H son exactamente aquellos que son operadores de Hilbert–Schmidt y corresponden a núcleos de la forma

${\displaystyle K(w,z)=C\cdot \exp \,{1 \over 2}(pz^{2}+2qwz+rw^{2})}$

para lo cual la matriz simétrica compleja

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\q&r\end{pmatrix}}}$

tiene una norma de operador estrictamente menor que uno.

Los operadores en el semigrupo del oscilador extendido se dan mediante expresiones similares con términos lineales adicionales en z y w que aparecen en el exponencial.

En el modelo de disco para los dos componentes irreducibles de la representación metapléctica, los operadores correspondientes están dados por

${\displaystyle \pi _{\pm }(g)F_{\pm }(z)=(-{\overline {b}}z+{\overline {d}})^{-1\pm 1/2}F_{\pm }\left({{\overline {a}}z-{\overline {c}} \over -{\overline {b}}z+{\overline {d}}}\right).}$

También es posible dar una fórmula explícita para los operadores de contracción correspondientes a g en H en la representación de Schrödinger. Fue mediante esta fórmula que Howe (1988) introdujo el semigrupo del oscilador como una familia explícita de operadores en L ² ( R ). ^[34]

De hecho, consideremos el semiplano superior de Siegel, que consiste en matrices complejas simétricas 2x2 con una parte real definida positiva:

${\displaystyle Z={\begin{pmatrix}A&B\\B&D\end{pmatrix}}}$

y definir el núcleo

${\displaystyle K_{Z}(x,y)=e^{-(Ax^{2}+2Bxy+Dy^{2})}.}$

con el operador correspondiente

${\displaystyle T_{Z}f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }K_{Z}(x,y)f(y)\,dy}$

para f en L ² ( R ).

Luego el cálculo directo da

${\displaystyle T_{Z_{1}}T_{Z_{2}}=(D_{1}+A_{2})^{-1/2}T_{Z_{3}}}$

dónde

${\displaystyle Z_{3}={\begin{pmatrix}A_{1}-B_{1}^{2}(D_{1}+A_{2})^{-1}&-B_{1}B_{2}(D_{1}+A_{2})^{-1}\\-B_{1}B_{2}(D_{1}+A_{2})^{-1}&D_{2}-B_{2}^{2}(D_{1}+A_{2})^{-1}\end{pmatrix}}.}$

Además,

${\displaystyle T_{Z}^{*}=T_{Z^{+}}}$

dónde

${\displaystyle Z^{+}={\begin{pmatrix}{\overline {D}}&{\overline {B}}\\{\overline {B}}&{\overline {A}}\end{pmatrix}}.}$

Por la fórmula de Mehler para ${\displaystyle \Re \,t>0}$

${\displaystyle e^{-t(P^{2}+Q^{2})}=(\mathrm {cosech} \,2t)^{1 \over 2}\cdot T_{Z(t)}}$

con

${\displaystyle Z(t)={\begin{pmatrix}\coth 2t&-\mathrm {cosech} \,2t\\-\mathrm {cosech} \,2t&\coth 2t\end{pmatrix}}.}$

El semigrupo del oscilador se obtiene tomando solo matrices con B ≠ 0. De lo anterior, esta condición está cerrada bajo composición.

Un operador normalizado se puede definir mediante

${\displaystyle S_{Z}=B^{1 \over 2}\cdot T_{Z}.}$

La elección de una raíz cuadrada determina una doble cobertura.

En este caso S _Z corresponde al elemento

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}-DB^{-1}&DAB^{-1}-B\\B^{-1}&-AB^{-1}\end{pmatrix}}}$

del semigrupo H de Olshankii .

Además, S _Z es una contracción estricta:

${\displaystyle \|S_{Z}\|<1.}$

De ello se deduce también que

${\displaystyle S_{Z_{1}}S_{Z_{2}}=\pm S_{Z_{3}}.}$

Cálculo de Weyl

Para una función a ( x , y ) en R ² = C , sea

${\displaystyle \psi (a)={1 \over 2\pi }\int {\widehat {a}}(x,y)W(x,y)\,dxdy.}$

Entonces

${\displaystyle \psi (a)f(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy,}$

dónde

${\displaystyle K(x,y)=\int a(t,{x+y \over 2})e^{i(x-y)t}\,dt.}$

Definiendo en general

${\displaystyle W(F)={1 \over 2\pi }\int F(z)W(z)\,dxdy,}$

El producto de dos de estos operadores se da por la fórmula

${\displaystyle W(F)W(G)=W(F\star G),}$

donde la convolución torcida o producto de Moyal está dada por

${\displaystyle F\star G(z)={1 \over 2\pi }\int F(z_{1})G(z_{2}-z_{1})e^{i(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})}\,dx_{1}dy_{1}.}$

Los operadores de suavizado corresponden a W ( F ) o ψ( a ) con F o a funciones de Schwartz en R ² . Los operadores correspondientes T tienen núcleos que son funciones de Schwartz. Llevan cada espacio de Sobolev a las funciones de Schwartz. Además, cada operador acotado en L ² ( R ) que tenga esta propiedad tiene esta forma.

Para los operadores ψ( a ) el producto de Moyal se traduce en el cálculo simbólico de Weyl . De hecho, si las transformadas de Fourier de a y b tienen soporte compacto entonces

${\displaystyle \psi (a)\psi (b)=\psi (a\circ b),}$

dónde

${\displaystyle a\circ b=\sum _{n\geq 0}{i^{n} \over n!}\left({\partial ^{2} \over \partial x_{1}\partial y_{2}}-{\partial ^{2} \over \partial y_{1}\partial x_{2}}\right)^{n}a\otimes b|_{\mathrm {diagonal} }.}$

Esto se debe a que en este caso b debe extenderse a una función completa en C ² por el teorema de Paley-Wiener .

Este cálculo se puede extender a una amplia clase de símbolos, pero el más simple corresponde a la convolución por una clase de funciones o distribuciones que tienen todas la forma T + S donde T es una distribución de compacta con soporte singular concentrado en 0 y donde S es una función de Schwartz. Esta clase contiene los operadores P , Q así como D ^1/2 y D ^−1/2 donde D es el oscilador armónico.

Los símbolos de orden m S ^m se dan mediante funciones suaves que satisfacen

${\displaystyle |\partial ^{\alpha }a(z)|\leq C_{\alpha }(1+|z|)^{m-|\alpha |}}$

para todo α y Ψ ^m consta de todos los operadores ψ( a ) para tal .

Si a está en S ^m y χ es una función suave de soporte compacto igual a 1 cerca de 0, entonces

${\displaystyle {\widehat {a}}=\chi {\widehat {a}}+(1-\chi ){\widehat {a}}=T+S,}$

con T y S como arriba.

Estos operadores conservan las funciones de Schwartz y satisfacen;

${\displaystyle \Psi ^{m}\cdot \Psi ^{m}\subseteq \Psi ^{m+n},\,\,\,\,[\Psi ^{m},\Psi ^{n}]\subseteq \Psi ^{m+n-2}.}$

Los operadores P y Q se encuentran en Ψ ¹ y D se encuentra en Ψ ² .

Propiedades:

• Un símbolo de orden cero define un operador acotado en L ² ( R ).
• D ⁻¹ se encuentra en Ψ ⁻²
• Si R = R * es suavizado, entonces D + R tiene un conjunto completo de vectores propios f _n en ( D + R ) f _n = λ _n f _n y λ _n tiende a ≈ cuando n tiende a ≈. ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$
• D ^1/2 se encuentra en Ψ ¹ y, por lo tanto, D ^−1/2 se encuentra en Ψ ⁻¹ , ya que D ^−1/2 = D ^1/2 · D ⁻¹
• Ψ ⁻¹ consta de operadores compactos, Ψ ^{− s} consta de operadores de clase traza para s > 1 y Ψ ^k transporta H _m en H _{m – k} .
• ${\displaystyle \mathrm {Tr} \,\psi (a)=\int a}$

La prueba de acotación de Howe (1980) es particularmente simple: si

${\displaystyle T_{a,b}v=(v,b)a,}$

entonces

${\displaystyle T_{W(z)a,b}=e^{|z|^{2}/2}[W(z)T_{a,E_{0}}W(z)^{-1}T_{E_{0},b}],}$

donde el operador entre corchetes tiene una norma menor que . Por lo tanto, si F se admite en | z | ≤ R , entonces ${\displaystyle \|a\|\cdot \|b\|}$

${\displaystyle \|W(F)\|\leq e^{R^{2}/2}\|{\widehat {F}}\|_{\infty }.}$

La propiedad de D ⁻¹ se demuestra tomando

${\displaystyle S=\psi (a)}$

con

${\displaystyle a(z)={1 \over |z|^{2}+1}.}$

Entonces R = I – DS se encuentra en Ψ ⁻¹ , de modo que

${\displaystyle A\sim S+SR+SR^{2}+\cdots }$

se encuentra en Ψ ⁻² y T = DA – I es suavizante. Por lo tanto

${\displaystyle D^{-1}=A-D^{-1}T}$

se encuentra en Ψ ⁻² ya que D ⁻¹ T es suavizante.

La propiedad para D ^1/2 se establece de manera similar construyendo B en Ψ ^1/2 con símbolo real de modo que D – B ⁴ sea un operador de suavizado. Utilizando el cálculo funcional holomorfo se puede comprobar que D ^1/2 – B ² es un operador de suavizado.

Howe (1980) utilizó el resultado de acotación anterior para establecer la desigualdad más general de Alberto Calderón y Remi Vaillancourt para operadores pseudodiferenciales . Howe (1988) presentó una prueba alternativa que se aplica de manera más general a los operadores integrales de Fourier . Demostró que dichos operadores pueden expresarse como integrales sobre el semigrupo de osciladores y luego estimarse utilizando el lema de Cotlar-Stein . ^[35]

Aplicaciones y generalizaciones

Teoría de grupos abelianos finitos

Weil (1964) observó que el formalismo del teorema de Stone-von Neumann y la representación oscilatoria del grupo simpléctico se extiende desde los números reales R a cualquier grupo abeliano localmente compacto . Un ejemplo particularmente simple lo proporcionan los grupos abelianos finitos , donde las pruebas son elementales o simplificaciones de las pruebas para R. ^{[36] [37]}

Sea A un grupo abeliano finito, escrito de forma aditiva, y sea Q una forma cuadrática no degenerada en A con valores en T. Por lo tanto

${\displaystyle (a,b)=Q(a)Q(b)Q(a+b)^{-1}}$

es una forma bilineal simétrica en A que no es degenerada, por lo que permite una identificación entre A y su grupo dual A * = Hom ( A , T ).

Sea el espacio de funciones de valor complejo en A con producto interno ${\displaystyle V=\ell ^{2}(A)}$

${\displaystyle (f,g)=\sum _{x\in A}f(x){\overline {g(x)}}.}$

Definir operadores en V por

${\displaystyle U(x)f(t)=f(t-x),\,\,\,V(y)f(t)=(y,t)f(t)}$

para x , y en A. Entonces U ( x ) y V ( y ) son representaciones unitarias de A en V que satisfacen las relaciones de conmutación

${\displaystyle U(x)V(y)=(x,y)V(y)U(x).}$

Esta acción es irreducible y es la única representación irreducible de estas relaciones.

Sea G = A × A y para z = ( x , y ) en el conjunto G

${\displaystyle W(z)=U(x)V(y).}$

Entonces

${\displaystyle W(z_{1})W(z_{2})=B(z_{1},z_{2})W(z_{2})W(z_{1}),}$

dónde

${\displaystyle B(z_{1},z_{2})=(x_{1},y_{2})(x_{2},y_{1})^{-1},}$

una forma bilineal alternada no degenerada en G . El resultado de unicidad anterior implica que si W' ( z ) es otra familia de unitarios que dan una representación proyectiva de G tal que

${\displaystyle W'(z_{1})W'(z_{2})=B(z_{1},z_{2})W'(z_{2})W'(z_{1}),}$

entonces existe una U unitaria , única hasta una fase, tal que

${\displaystyle W'(z)=\lambda (z)UW(z)U^{*},}$

para algún λ( z ) en T .

En particular, si g es un automorfismo de G que preserva B , entonces existe un π( g ) unitario esencialmente único tal que

${\displaystyle W(gz)=\lambda _{g}(z)\pi (g)W(z)\pi (g)^{*}.}$

El grupo de todos estos automorfismos se llama grupo simpléctico para B y π da una representación proyectiva de G en V.

El grupo SL(2. Z ) actúa naturalmente sobre G = A x A por automorfismos simplécticos. Se genera por las matrices

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\qquad R={\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}.}$

Si Z = – I , entonces Z es central y

${\displaystyle {S^{2}=Z,\,\,\,(SR)^{3}=Z,\,\,\,Z^{2}=I.}}$

Estos automorfismos de G se implementan en V mediante los siguientes operadores:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi (S)f(t)&=|A|^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{x\in A}(-x,t)f(x)&&{\text{the Fourier transform for }}A\\\pi (Z)f(t)&=f(-t)\\\pi (R)f(t)&=Q(t)^{-1}f(t)\\\end{aligned}}}$

Resulta que

${\displaystyle (\pi (S)\pi (R))^{3}=\mu \pi (Z),}$

donde μ se encuentra en T . El cálculo directo muestra que μ está dado por la suma de Gauss

${\displaystyle \mu =|A|^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{x\in A}Q(x).}$

Leyes de transformación para funciones theta

El grupo metapléctico se definió como el grupo

${\displaystyle \operatorname {Mp} (2,\mathbf {R} )=\left\{\left(\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},G\right)\right|G(\tau )^{2}=c\tau +d,\tau \in \mathbf {H} \right\},}$

El estado coherente

${\displaystyle f_{\tau }(x)=e^{{\frac {1}{2}}i\tau x^{2}}}$

define un mapa holomórfico de H en L ² ( R ) que satisface

${\displaystyle \pi ((g^{t})^{-1})f_{\tau }=(c\tau +d)^{-{\frac {1}{2}}}f_{g\tau }.}$

De hecho, se trata de un mapa holomórfico en cada espacio de Sobolev H _k y, por lo tanto, también . ${\displaystyle H_{\approx }={\mathcal {S}}}$

Por otra parte, en (de hecho en H _–1 ) hay un espacio de dimensión finita de distribuciones invariantes bajo SL(2, Z ) e isomorfas a la representación del oscilador N -dimensional en donde A = Z / N Z . ${\displaystyle H_{-\approx }={\mathcal {S}}'}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(A)}$

De hecho, sea m > 0 y establezca N = 2 m . Sea

${\displaystyle M={\sqrt {2\pi m}}\cdot \mathbf {Z} .}$

Los operadores U ( x ), V ( y ) con x e y en M conmutan todos y tienen un subespacio de dimensión finita de vectores fijos formado por las distribuciones

${\displaystyle \Psi _{b}=\sum _{x\in M}\delta _{x+b}}$

con b en M ₁ , donde

${\displaystyle M_{1}={1 \over 2m}M\supset M.}$

La suma que define Ψ _b converge en y depende sólo de la clase de b en M ₁ / M . Por otra parte, los operadores U ( x ) y V ( y ) con ' x , y en M ₁ conmutan con todos los operadores correspondientes para M . Por lo tanto, M ₁ sale del subespacio V ₀ generado por el invariante Ψ _b . Por lo tanto, el grupo A = M ₁ actúa sobre V ₀ . Esta acción puede identificarse inmediatamente con la acción sobre V para la representación del oscilador N -dimensional asociada con A , ya que ${\displaystyle H_{-1}\subset {\mathcal {S}}'}$

${\displaystyle U(b)\Psi _{b'}=\Psi _{b+b'},\qquad V(b)\Psi _{b'}=e^{-imbb'}\Psi _{b'}.}$

Puesto que los operadores π( R ) y π( S ) normalizan los dos conjuntos de operadores U y V correspondientes a M y M ₁ , se deduce que dejan V ₀ invariante y en V ₀ deben ser múltiplos constantes de los operadores asociados a la representación del oscilador de A . De hecho, coinciden. A partir de R esto es inmediato a partir de las definiciones, que muestran que

${\displaystyle R(\Psi _{b})=e^{\pi imb^{2}}\Psi _{b}.}$

Para S se sigue de la fórmula de suma de Poisson y de las propiedades de conmutación con los operadores U ) x ) y V ( y ). La suma de Poisson se demuestra clásicamente de la siguiente manera. ^[38]

Para a > 0 y f en let ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle F(t)=\sum _{x\in M}f(x+t).}$

F es una función suave en R con período a :

${\displaystyle F(t+a)=F(t).}$

La teoría de las series de Fourier muestra que

${\displaystyle F(0)=\sum _{n\in \mathbf {Z} }c_{n}}$

con la suma absolutamente convergente y los coeficientes de Fourier dados por

${\displaystyle c_{n}=a^{-1}\int _{0}^{a}F(t)e^{-{\frac {2\pi int}{a}}}\,dt=a^{-1}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-{\frac {2\pi int}{a}}}\,dt={{\sqrt {2\pi }} \over a}{\widehat {f}}\left({\tfrac {2\pi n}{a}}\right).}$

Por eso

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbf {Z} }f(na)={\frac {\sqrt {2\pi }}{a}}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{\widehat {f}}\left({\tfrac {2\pi n}{a}}\right),}$

la fórmula habitual de suma de Poisson.

Esta fórmula muestra que S actúa de la siguiente manera

${\displaystyle S(\Psi _{b})=(2m)^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{b'\in M_{1}/M}e^{-imbb'}\Psi _{b'},}$

y por lo tanto concuerda exactamente con la fórmula para la representación del oscilador en A.

Identificando A con Z /2 m Z , con

${\displaystyle b(n)={\frac {{\sqrt {2\pi }}n}{2m}}}$

asignadas a un entero n módulo 2 m , las funciones theta se pueden definir directamente como coeficientes matriciales: ^[39]

${\displaystyle \Theta _{m,n}(\tau ,z)=(W(z)f_{\tau },\Psi _{b(n)}).}$

Para τ en H y z en C se establece

${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau },\qquad u=e^{\pi iz}}$

de modo que | q | < 1. Las funciones theta concuerdan con las fórmulas clásicas estándar para las funciones theta de Jacobi-Riemann:

${\displaystyle \Theta _{n,m}(\tau ,z)=\sum _{k\in {\frac {n}{2m}}+\mathbf {Z} }q^{mk^{2}}u^{2mk}.}$

Por definición, definen funciones holomorfas en H × C . Las propiedades de covarianza de la función f _τ y la distribución Ψ _b conducen inmediatamente a las siguientes leyes de transformación:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{n,m}(\tau ,z+a)&=\Theta _{n,m}(\tau ,z)&&a\in \mathbf {Z} \\\Theta _{n,m}(\tau ,z+b\tau )&=q^{-b^{2}}u^{-b}\Theta _{n,m}(\tau ,z)&&b\in \mathbf {Z} \\\Theta _{n,m}(\tau +1,z)&=e^{\frac {\pi in^{2}}{m}}\Theta _{n,m}(\tau ,z)\\\Theta _{n,m}(-{\tfrac {1}{\tau }},{\tfrac {z}{\tau }})&=\tau ^{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {i\pi }{8}}}(2m)^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{n'\in \mathbf {Z} /2m\mathbf {Z} }e^{-{\frac {\pi inn'}{m}}}\Theta _{n',m}(\tau ,z)\end{aligned}}}$

Derivación de la ley de reciprocidad cuadrática

Debido a que los operadores π( S ), π ( R ) y π( J ) en L ² ( R ) se restringen a los operadores correspondientes en V ₀ para cualquier elección de m , los signos de los cociclos se pueden determinar tomando m = 1. En este caso, la representación es bidimensional y la relación

${\displaystyle {(\pi (S)\pi (R))^{3}=\pi (J)}}$

en L ² ( R ) se puede comprobar directamente en V ₀ .

Pero en este caso

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e^{\frac {i\pi }{4}}+e^{-{\frac {i\pi }{4}}}\right)=1.}$

La relación también se puede comprobar directamente aplicando ambos lados al estado fundamental exp - x ² /2.

En consecuencia, se deduce que para m ≥ 1 la suma de Gauss se puede evaluar: ^[40]

${\displaystyle \sum _{x\in \mathbf {Z} /2m\mathbf {Z} }e^{\pi ix^{2}/2m}={\sqrt {m}}(1+i).}$

Para m impar, definir

${\displaystyle {G(c,m)=\sum _{x\in \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} }e^{2\pi icx^{2}/m}.}}$

Si m es impar, entonces, dividiendo la suma anterior en dos partes, se deduce que G (1, m ) es igual a m ^1/2 si m es congruente con 1 módulo 4 y es igual a i m ^1/2 en caso contrario. Si p es un primo impar y c no es divisible por p , esto implica

${\displaystyle {G(c,p)=\left({c \over p}\right)G(1,p)}}$

donde el símbolo de Legendre es igual a 1 si c es un cuadrado módulo p y –1 en caso contrario. Además, si p y q son primos impares distintos, entonces ${\displaystyle \left({c \over p}\right)}$

${\displaystyle {G(1,pq)/G(1,p)G(1,q)=\left({p \over q}\right)\left({q \over p}\right)}.}$

De la fórmula para G (1, p ) y esta relación, se deduce la ley de reciprocidad cuadrática:

${\displaystyle {\left({p \over q}\right)\left({q \over p}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}}.}}$

Teoría en dimensiones superiores

La teoría de la representación del oscilador se puede extender de R a R ⁿ con el grupo SL(2, R ) reemplazado por el grupo simpléctico Sp(2n, R ). Los resultados se pueden demostrar ya sea mediante generalizaciones directas a partir del caso unidimensional como en Folland (1989) o utilizando el hecho de que el caso n -dimensional es un producto tensorial de n casos unidimensionales, lo que refleja la descomposición:

${\displaystyle L^{2}({\mathbf {R} }^{n})=L^{2}({\mathbf {R} })^{\otimes n}.}$

Sea el espacio de funciones de Schwartz en R ⁿ , un subespacio denso de L ² ( R ⁿ ). Para s , t en R ⁿ , definamos U ( s ) y V ( t ) en y L ² ( R ) por ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle U(s)f(x)=f(x-s),\qquad V(t)f(tx)=e^{ix\cdot t}f(x).}$

De la definición U y V satisfacen la relación de conmutación de Weyl

${\displaystyle U(s)V(t)=e^{-is\cdot t}V(t)U(s).}$

Como antes, esto se llama la representación de Schrödinger.

La transformada de Fourier se define por ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle {{\widehat {f}}(t)={1 \over (2\pi )^{n/2}}\int _{{\mathbf {R} }^{n}}f(x)e^{-ix\cdot t}\,dx.}}$

La fórmula de inversión de Fourier

${\displaystyle {f(x)={1 \over (2\pi )^{n/2}}\int _{{\mathbf {R} }^{n}}{\widehat {f}}(t)e^{ix\cdot t}\,dt}}$

muestra que la transformada de Fourier es un isomorfismo de sí mismo que se extiende a una aplicación unitaria de L ² ( R ⁿ ) sobre sí mismo ( teorema de Plancherel ). ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

El teorema de Stone-von Neumann afirma que la representación de Schrödinger es irreducible y es la única representación irreducible de las relaciones de conmutación: cualquier otra representación es una suma directa de copias de esta representación.

Si U y V satisfacen las relaciones de conmutación de Weyl, defina

${\displaystyle {W(x,y)=e^{ix\cdot y/2}U(x)V(y).}}$

Entonces

${\displaystyle {W(x_{1},y_{1})W(x_{2},y_{2})=e^{i(x_{1}\cdot y_{2}-y_{1}\cdot x_{2})}W(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}),}}$

de modo que W define una representación unitaria proyectiva de R ^{2 n} con cociclo dado por

${\displaystyle \omega (z_{1},z_{2})=e^{iB(z_{1},z_{2})},}$

donde y B es la forma simpléctica en R ^{2 n} dada por ${\displaystyle z=x+iy=(x,y)}$

${\displaystyle B(z_{1},z_{2})=x_{1}\cdot y_{2}-y_{1}\cdot x_{2}=\Im \,z_{1}\cdot {\overline {z_{2}}}.}$

El grupo simpléctico Sp (2 n , R ) se define como un grupo de automorfismos g de R ^{2 n} que conservan la forma B . Del teorema de Stone-von Neumann se deduce que para cada uno de estos g hay un π( g ) unitario en L ² ( R ) que satisface la relación de covarianza

${\displaystyle \pi (g)W(z)\pi (g)^{*}=W(g(z)).}$

Por el lema de Schur, el π( g ) unitario es único hasta la multiplicación por un escalar ζ con |ζ| = 1, de modo que π define una representación unitaria proyectiva de Sp( n ). Se pueden elegir representantes para π( g ), únicos hasta un signo, que muestran que el 2-cociclo para la representación proyectiva de Sp(2 n , R ) toma valores ±1. De hecho, los elementos del grupo Sp( n , R ) están dados por matrices reales g de 2 n × 2 n que satisfacen

${\displaystyle {gJg^{t}=J,}}$

dónde

${\displaystyle {J={\begin{pmatrix}0&-I\\I&0\end{pmatrix}}.}}$

Sp(2 n , R ) se genera mediante matrices de la forma

${\displaystyle g_{1}={\begin{pmatrix}A&0\\0&(A^{t})^{-1}\end{pmatrix}},\,\,g_{2}={\begin{pmatrix}I&0\\B&I\end{pmatrix}},\,\,g_{3}={\begin{pmatrix}0&I\\-I&0\end{pmatrix}},}$

y los operadores

${\displaystyle {\pi (g_{1})f(x)=\pm \det(A)^{-{\frac {1}{2}}}f(A^{-1}x),\,\,\pi (g_{2})f(x)=\pm e^{-ix^{t}Bx}f(x),\,\,\pi (g_{3})f(x)=\pm e^{in\pi /8}{\widehat {f}}(x)}}$

satisfacen las relaciones de covarianza anteriores. Esto da una representación unitaria ordinaria del grupo metapléctico , una doble cobertura de Sp(2 n , R ). De hecho, Sp( n , R ) actúa mediante transformaciones de Möbius en el semiplano superior de Siegel generalizado H _n que consiste en matrices complejas simétricas n × n Z con una parte estrictamente imaginaria por

${\displaystyle {gZ=(AZ+B)(CZ+D)^{-1}}}$

si

${\displaystyle {g={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}.}}$

La función

${\displaystyle {m(g,z)=\det(CZ+D)}}$

satisface la relación de 1-cociclo

${\displaystyle {m(gh,Z)=m(g,hZ)m(h,Z).}}$

El grupo metapléctico Mp(2 n , R ) se define como el grupo

${\displaystyle {Mp(2,\mathbf {R} )=\{(g,G):\,G(Z)^{2}=m(g,Z)\}}}$

y es un grupo de doble recubrimiento conectado de Sp(2 n , R ).

Si , entonces define un estado coherente ${\displaystyle \Im Z>0}$

${\displaystyle {f_{z}(x)=e^{ix^{t}Zx/2}}}$

en L ² , que se encuentra en una única órbita de Sp(2 n ) generada por

${\displaystyle {f_{iI}(x)=e^{-x\cdot x/2}.}}$

Si g se encuentra en Mp(2n, R ) entonces

${\displaystyle {\pi ((g^{t})^{-1})f_{Z}(x)=m(g,Z)^{-1/2}f_{gZ}(x)}}$

define una representación unitaria ordinaria del grupo metapléctico, de la que se deduce que el cociclo en Sp(2 n , R ) solo toma valores ±1.

El espacio de Fock holomorfo es el espacio de Hilbert de funciones holomorfas f ( z ) en C _n con norma finita ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

${\displaystyle {{1 \over \pi ^{n}}\int _{{\mathbf {C} }^{n}}|f(z)|^{2}e^{-|z|^{2}}\,dx\cdot dy}}$

producto interno

${\displaystyle {(f_{1},f_{2})={1 \over \pi ^{n}}\int _{{\mathbf {C} }^{n}}f_{1}(z){\overline {f_{2}(z)}}e^{-|z|^{2}}\,dx\cdot dy.}}$

y base ortonormal

${\displaystyle {e_{\alpha }(z)={z^{\alpha } \over {\sqrt {\alpha !}}}}}$

para α un multinomio . Para f en y z en C ⁿ , los operadores ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

${\displaystyle {W_{{\mathcal {F}}_{n}}(z)f(w)=e^{-|z|^{2}}e^{w{\overline {z}}}f(w-z).}}$

Definir una representación unitaria irreducible de las relaciones de conmutación de Weyl. Por el teorema de Stone-von Neumann existe un operador unitario de L ² ( R ⁿ ) a que entrelaza las dos representaciones. Está dado por la transformada de Bargmann ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

${\displaystyle {{\mathcal {U}}f(z)={1 \over (2\pi )^{n/2}}\int B(z,t)f(t)\,dt,}}$

dónde

${\displaystyle B(z,t)=\exp[-z\cdot z-t\cdot t/2+z\cdot t].}$

Su adjunto viene dado por la fórmula: ${\displaystyle {\mathcal {U}}^{*}}$

${\displaystyle {{\mathcal {U}}^{*}F(t)={1 \over \pi ^{n}}\int _{{\mathbf {C} }^{n}}B({\overline {z}},t)F(z)\,dx\cdot dy.}}$

Los espacios de Sobolev, los vectores suaves y analíticos se pueden definir como en el caso unidimensional utilizando la suma de n copias del oscilador armónico.

${\displaystyle \Delta _{n}=\sum _{i=1}^{n}-{\partial ^{2} \over \partial x_{i}^{2}}+x_{i}^{2}.}$

El cálculo de Weyl se extiende de manera similar al caso n -dimensional.

La complejización Sp(2 n , C ) del grupo simpléctico se define por la misma relación, pero permitiendo que las matrices A , B , C y D sean complejas. El subsemigrupo de elementos del grupo que toman el semiplano superior de Siegel en sí mismo tiene una doble cobertura natural. Las representaciones de Mp(2 n , R ) en L ² ( R ⁿ ) y se extienden naturalmente a una representación de este semigrupo por operadores de contracción definidos por núcleos, que generalizan el caso unidimensional (tomando determinantes cuando sea necesario). La acción de Mp(2 n , R ) sobre estados coherentes se aplica igualmente bien a los operadores en este semigrupo más grande. ^[41] ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

Al igual que en el caso unidimensional, donde el grupo SL(2, R ) tiene una contraparte SU(1,1) a través de la transformada de Cayley con el semiplano superior reemplazado por el disco unitario, el grupo simpléctico tiene una contraparte compleja. De hecho, si C es la matriz unitaria

${\displaystyle {C={1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}I&iI\\I&-iI\end{pmatrix}}}}$

entonces C Sp(2n) C ⁻¹ es el grupo de todas las matrices

${\displaystyle {g={\begin{pmatrix}A&B\\{\overline {B}}&{\overline {A}}\end{pmatrix}}}}$

de tal manera que

${\displaystyle {AA^{*}-BB^{*}=I,\,\,\,AB^{t}=BA^{t};}}$

o equivalentemente

${\displaystyle gKg^{*}=K,}$

dónde

${\displaystyle {K={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}}.}}$

El disco generalizado de Siegel D _n se define como el conjunto de matrices n x n simétricas complejas W con norma del operador menor que 1.

Consiste precisamente en las transformadas de Cayley de los puntos Z en el semiplano superior generalizado de Siegel:

${\displaystyle {W=(Z-iI)(Z+iI)^{-1}.}}$

Los elementos g actúan sobre D _n

${\displaystyle {gW=(AW+B)({\overline {B}}W+{\overline {A}})^{-1}}}$

y, como en el caso unidimensional esta acción es transitiva. El subgrupo estabilizador de 0 está formado por matrices con A unitaria y B = 0.

Para W en D _n los estados coherentes metaplécticos en el espacio de Fock holomorfo se definen por

${\displaystyle {f_{W}(z)=e^{z^{t}Wz/2}.}}$

El producto interno de dos de estos estados viene dado por

${\displaystyle {(f_{W_{1}},f_{W_{2}})=\det(1-W_{1}{\overline {W_{2}}})^{-1/2}.}}$

Además, la representación metapléctica π satisface

${\displaystyle {\pi (g)f_{W}=\det({\overline {A}}+{\overline {B}}W)^{-1/2}f_{gW}.}}$

El espacio lineal cerrado de estos estados da la parte par del espacio de Fock holomorfo . La incrustación de Sp(2 n ) en Sp(2( n +1)) y la identificación compatible ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}^{+}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n+1}^{+}={\mathcal {F}}_{n}^{+}\oplus {\mathcal {F}}_{n}^{-}}$

conducen a una acción sobre el conjunto de . Se puede verificar directamente que es compatible con la acción de los operadores W ( z ). ^[42] ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

Puesto que el semigrupo complejo tiene como frontera de Shilov el grupo simpléctico, el hecho de que esta representación tenga una extensión contractiva bien definida al semigrupo se sigue del principio de módulo máximo y del hecho de que los operadores del semigrupo están cerrados bajo adjuntos. En efecto, basta con comprobar, para dos operadores de este tipo S , T y vectores v _i proporcionales a estados coherentes metaplécticos, que

${\displaystyle \left|\sum _{i,j}(STv_{i},v_{j})\right|\leq \|\sum _{i}v_{i}\|^{2},}$

lo cual se sigue porque la suma depende holomorfamente de S y T , que son unitarios en el límite.

Teoremas de índice para operadores de Toeplitz

Sea S la esfera unidad en C ⁿ y definamos el espacio de Hardy H ² ( S ) como la clausura en L ² ( S ) de la restricción de polinomios en las coordenadas z ₁ , ..., z _n . Sea P la proyección sobre el espacio de Hardy. Se sabe que si m ( f ) denota la multiplicación por una función continua f sobre S , entonces el conmutador [P, m ( f )] es compacto. En consecuencia, definiendo el operador de Toeplitz por

${\displaystyle {T(f)=Pm(f)P}}$

en el espacio de Hardy, se sigue que T ( fg ) – T ( f ) T ( g ) es compacto para f y g continuos . Lo mismo se cumple si f y g son funciones con valores matriciales (de modo que los operadores de Toeplitz correspondientes son matrices de operadores en H ² ( S )). En particular, si f es una función en S que toma valores en matrices invertibles, entonces

${\displaystyle {T(f)T(f^{-1})-I,\qquad T(f^{-1})T(f)-I}}$

son compactos y, por lo tanto, T ( f ) es un operador de Fredholm con un índice definido como

${\displaystyle \operatorname {ind} T(f)=\dim \ker T(f)-\dim \ker T(f)^{*}.}$

El índice ha sido calculado utilizando los métodos de la teoría K por Coburn (1973) y coincide hasta un signo con el grado de f como una aplicación continua de S en el grupo lineal general.

Helton y Howe (1975) dieron una forma analítica de establecer este teorema del índice, simplificado posteriormente por Howe. Su prueba se basa en el hecho de que si f es uniforme, entonces el índice viene dado por la fórmula de McKean y Singer : ^[43]

${\displaystyle \operatorname {ind} T(f)=\operatorname {Tr} (I-T(f^{-1})T(f))^{n}-\operatorname {Tr} (I-T(f)T(f^{-1}))^{n}.}$

Howe (1980) notó que había un isomorfismo unitario natural entre H ² ( S ) y L ² ( R ⁿ ) que llevaban los operadores de Toeplitz.

${\displaystyle {T_{j}=T(z_{j})}}$

sobre los operadores

${\displaystyle {(P_{j}+iQ_{j})\Delta ^{-1/2}.}}$

Estos son ejemplos de operadores de orden cero construidos dentro del cálculo de Weyl. Las trazas en la fórmula de McKean-Singer se pueden calcular directamente utilizando el cálculo de Weyl, lo que conduce a otra prueba del teorema del índice. ^[44] Este método de prueba de teoremas del índice fue generalizado por Alain Connes dentro del marco de la cohomología cíclica . ^[45]

Teoría en dimensiones infinitas

La teoría de la representación del oscilador en dimensiones infinitas se debe a Irving Segal y David Shale. ^[46] Graeme Segal la utilizó para dar una construcción matemáticamente rigurosa de representaciones proyectivas de grupos de bucles y del grupo de difeomorfismos del círculo. A nivel infinitesimal la construcción de las representaciones de las álgebras de Lie, en este caso el álgebra afín de Kac-Moody y el álgebra de Virasoro , ya era conocida por los físicos, a través de la teoría de resonancia dual y más tarde la teoría de cuerdas . Aquí solo se considerará el caso más simple, que involucra al grupo de bucles LU(1) de aplicaciones suaves del círculo en U(1) = T . El semigrupo del oscilador, desarrollado independientemente por Neretin y Segal, permite definir operadores de contracción para el semigrupo de aplicaciones holomorfas univalentes del disco unidad en sí mismo, extendiendo los operadores unitarios correspondientes a difeomorfismos del círculo. Cuando se aplica al subgrupo SU(1,1) del grupo de difeomorfismos, esto da una generalización de la representación del oscilador en L ² ( R ) y su extensión al semigrupo de Olshanskii.

La representación de la conmutación en el espacio de Fock se generaliza a dimensiones infinitas reemplazando C ⁿ (o su espacio dual) por un espacio de Hilbert complejo arbitrario H . El grupo simétrico S _k actúa sobre H ^{⊗ k} . S ^k ( H ) se define como el subespacio de punto fijo de S _k y el álgebra simétrica es la suma directa algebraica

${\displaystyle {\bigoplus _{k\geq 0}S^{k}(H).}}$

Tiene un producto interno natural heredado de H ^{⊗ k} :

${\displaystyle {(x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{k},y_{1}\otimes \cdots \otimes y_{k})=k!\cdot \prod _{i=1}^{k}(x_{i},y_{i}).}}$

Tomando los componentes S ^k ( H ) como mutuamente ortogonales, el espacio de Fock simétrico S ( H ) se define como la compleción del espacio de Hilbert de esta suma directa.

Para ξ en H definamos el estado coherente e ^ξ por

${\displaystyle {e^{\xi }=\sum _{k\geq 0}(k!)^{-1}\xi ^{\otimes k}.}}$

De ello se deduce que su extensión lineal es densa en S ( H ), que los estados coherentes correspondientes a n vectores distintos son linealmente independientes y que

${\displaystyle {(e^{\xi },e^{\eta })=e^{(\xi ,\eta )}.}}$

Cuando H es de dimensión finita, S ( H ) puede identificarse naturalmente con el espacio de Fock holomorfo para H *, ya que en la forma estándar S ^k ( H ) son simplemente polinomios homogéneos de grado k en H * y los productos internos coinciden. Además, S ( H ) tiene propiedades funcionales. Lo más importante

${\displaystyle S(H_{1}\oplus H_{2})=S(H_{1})\otimes S(H_{2}),\qquad e^{x_{1}\oplus x_{2}}=e^{x_{1}}\otimes e^{x_{2}}.}$

Un resultado similar se cumple para sumas directas ortogonales finitas y se extiende a sumas directas ortogonales infinitas, utilizando la definición de von Neumman del producto tensorial infinito con 1 como vector unitario de referencia en S ⁰ ( H _i ). Cualquier operador de contracción entre espacios de Hilbert induce un operador de contracción entre los espacios de Fock simétricos correspondientes de manera funcional.

Un operador unitario en S ( H ) está determinado de forma única por sus valores en estados coherentes. Además, para cualquier asignación v _ξ tal que

${\displaystyle {(v_{\xi },v_{\eta })=e^{(\xi ,\eta )}}}$

existe un operador unitario único U en S ( H ) tal que

${\displaystyle {v_{\xi }=U(e^{\xi }).}}$

Al igual que en el caso de dimensión finita, esto permite definir los operadores unitarios W ( x ) para x en H :

${\displaystyle {W(x)e^{y}=e^{-\|x\|^{2}/2}e^{-(x,y)}e^{x+y}.}}$

Se deduce inmediatamente del caso de dimensión finita que estos operadores son unitarios y satisfacen

${\displaystyle {W(x)W(y)=e^{-{i \over 2}\Im (x,y)}W(x+y).}}$

En particular se satisfacen las relaciones de conmutación de Weyl:

${\displaystyle {W(x)W(y)=e^{-i\Im (x,y)}W(y)W(x).}}$

Tomando una base ortonormal e _n de H , S ( H ) puede escribirse como un producto tensorial infinito de S ( C e _n ). La irreducibilidad de W en cada uno de estos espacios implica la irreducibilidad de W en todo S ( H ). W se denomina representación de onda compleja .

Para definir el grupo simpléctico en dimensiones infinitas, sea H _R el espacio vectorial real subyacente de H con la forma simpléctica

${\displaystyle {B(x,y)=-\Im (x,y)}}$

y producto interno real

${\displaystyle {(x,y)_{\mathbf {R} }=\Re (x,y).}}$

La estructura compleja se define entonces mediante el operador ortogonal

${\displaystyle {J(x)=ix}}$

de modo que

${\displaystyle {B(x,y)=-(Jx,y)_{\mathbf {R} }.}}$

Un operador lineal real invertible acotado T en H _R se encuentra en el grupo simpléctico si él y su inverso preservan B . Esto es equivalente a las condiciones:

${\displaystyle {TJT^{t}=J=T^{t}JT.}}$

Se dice que el operador T es implementable en S ( H ) siempre que exista un π( T ) unitario tal que

${\displaystyle \pi (T)W(x)\pi (T)^{*}=W(Tx).}$

Los operadores implementables forman un subgrupo del grupo simpléctico, el grupo simpléctico restringido . Por el lema de Schur, π( T ) está determinado de forma única hasta un escalar en T , por lo que π da una representación unitaria proyectiva de este subgrupo.

El criterio de cuantificación de Segal-Shale establece que T es implementable, es decir, se encuentra en el grupo simpléctico restringido, si y solo si el conmutador TJ – JT es un operador de Hilbert-Schmidt .

A diferencia del caso de dimensión finita, en el que se podía elegir un π de elevación que fuera multiplicativo hasta un signo, esto no es posible en el caso de dimensión infinita. (Esto se puede ver directamente utilizando el ejemplo de la representación proyectiva del grupo de difeomorfismos del círculo construido a continuación).

La representación proyectiva del grupo simpléctico restringido se puede construir directamente sobre estados coherentes como en el caso de dimensión finita. ^[47]

De hecho, eligiendo un subespacio de Hilbert real de H del cual H es una complejización, para cualquier operador T sobre H también se define un conjugado complejo de T. Entonces, el análogo de dimensión infinita de SU(1,1) consiste en operadores acotados invertibles

${\displaystyle {g={\begin{pmatrix}A&B\\{\overline {B}}&{\overline {A}}\end{pmatrix}}}}$

que satisfacen gKg * = K (o equivalentemente las mismas relaciones que en el caso de dimensión finita). Pertenecen al grupo simpléctico restringido si y solo si B es un operador de Hilbert-Schmidt. Este grupo actúa transitivamente sobre el análogo de dimensión infinita D _≈ del disco unitario generalizado de Seigel que consiste en operadores de Hilbert-Schmidt W que son simétricos con norma de operador menor que 1 a través de la fórmula

${\displaystyle {gZ=(AW+B)({\overline {B}}W+{\overline {A}})^{-1}.}}$

Nuevamente el subgrupo estabilizador de 0 consiste en g con A unitario y B = 0. Los estados coherentes metaplécticos f _W pueden definirse como antes y su producto interno se da por la misma fórmula, utilizando el determinante de Fredholm :

${\displaystyle {(f_{W_{1}},f_{W_{2}})=\det(I-W_{2}^{*}W_{1})^{-{\frac {1}{2}}}.}}$

Definir vectores unitarios por

${\displaystyle {e_{W}=\det(I-W^{*}W)^{1/4}f_{W}}}$

y establecer

${\displaystyle {\pi (g)e_{W}=\mu (\det(I+{\overline {A}}^{-1}{\overline {B}}W)^{-{\frac {1}{2}}})e_{gW},}}$

donde μ(ζ) = ζ/|ζ|. Como antes, esto define una representación proyectiva y, si g ₃ = g ₁ g ₂ , el cociclo está dado por

${\displaystyle {\omega (g_{1},g_{2})=\mu [\det(A_{3}(A_{1}A_{2})^{-1})^{-{\frac {1}{2}}}].}}$

Esta representación se extiende por continuación analítica para definir operadores de contracción para el semigrupo complejo mediante el mismo argumento de continuación analítica que en el caso de dimensión finita. También se puede demostrar que son contracciones estrictas.

Ejemplo Sea H _R el espacio de Hilbert real que consiste en funciones de valor real en el círculo con media 0

${\displaystyle f(\theta )=\sum _{n\neq 0}a_{n}e^{in\theta }}$

y para cual

${\displaystyle {\sum _{n\neq 0}|n||a_{n}|^{2}<\infty .}}$

El producto interno viene dado por

${\displaystyle \left(\sum a_{n}e^{in\theta },\sum b_{m}e^{im\theta }\right)=\sum _{n\neq 0}|n|a_{n}{\overline {b_{n}}}.}$

Una base ortogonal está dada por la función sin( n θ) y cos( n θ) para n > 0. La transformada de Hilbert en el círculo definido por

${\displaystyle J\sin(n\theta )=\cos(n\theta ),\qquad J\cos(n\theta )=-\sin(n\theta )}$

define una estructura compleja en H _R . J también se puede escribir

${\displaystyle J\sum _{n\neq 0}a_{n}e^{in\theta }=\sum _{n\neq 0}i\operatorname {sign} (n)a_{n}e^{in\theta },}$

donde el signo n = ±1 denota el signo de n . La forma simpléctica correspondiente es proporcional a

${\displaystyle B(f,g)=\int _{S^{1}}fdg.}$

En particular, si φ es un difeomorfismo que preserva la orientación del círculo y

${\displaystyle {T_{\varphi }f(\theta )=f(\varphi ^{-1}(\theta ))-{1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }f(\varphi ^{-1}(\theta ))\,d\theta ,}}$

entonces T _φ es implementable. ^[48]

Los operadores W ( f ) con f suave corresponden a un subgrupo del grupo de bucles L T invariante bajo el grupo de difeomorfismos del círculo. Los operadores infinitesimales correspondientes a los campos vectoriales

${\displaystyle {L_{n}=-\pi \left(ie^{in\theta }{d \over d\theta }\right)}}$

Se pueden calcular de forma explícita. Satisfacen las relaciones de Virasoro.

${\displaystyle {[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{m^{3}-m \over 12}\delta _{m+n,0}.}}$

En particular, no se pueden ajustar mediante la adición de operadores escalares para eliminar el segundo término del lado derecho. Esto demuestra que el cociclo en el grupo simpléctico restringido no es equivalente a uno que tome solo los valores ±1.

Véase también

• Grupo metapléctico
• Cono convexo invariante

Notas

1. Folland 1989
2. Hilgert y Neeb 1993, págs. 59–60
3. Hilgert y Neeb 1993, págs. 250-253
4. Lawson 1998, págs. 146-147
5. Ferrara y otros 1973
6. Lawson 2011, pág. 140
7. Helgason 1978
8. Ver: Lawson 1998 y Hilgert & Neeb 1993, págs. 48–56
9. Hörmander 1983, págs. 160-163
10. Folland 1989, págs. 35-36
11. por Neumann 1929 harvnb error: no target: CITEREFvon_Neumann1929 (help)
12. Lang 1985, pág. 209
13. Pressley y Segal 1986
14. Lion y Vergne 1980, págs. 73–83
15. Folland 1989
16. Hall 2013, págs. 299-300
17. Hall 2013, págs. 297-299
18. Hall 2013, págs. 300-301
19. Folland 1989
20. Folland 1989, págs. 181-184
21. Él 2007
22. Itzykson 1967
23. Folland 1989
24. Folland 1989, pág. 94
25. Folland (1989, págs. 210-215)
26. Él 2007
27. Howe y Tan 1992
28. Kac y Raina 1987
29. Igusa 1972
30. Suhrab 1981
31. Goodman y Wallach 1984
32. Goodman y Wallach 1984
33. Goodman 1969
34. Folland 1989, págs. 223-255
35. Folland 1989, págs. 121-129
36. Mumford, Nori y Norman 2006
37. Igusa 1972
38. Hörmander 1983, págs. 178-179
39. Ver:
    • Igusa 1972
    • León y Vergne 1980
    • Kac y Raina 1990 harvnb error: no target: CITEREFKacRaina1990 (help)
    • Kac 1990
    • Mumford, Nori y Norman 2006
40. Lion y Vergne 1980, págs. 149-161
41. Folland 1989
42. Segal 1981, págs. 315–320
43. Hörmander 1985, pág. 188
44. Ver:
    • Helton y Howe 1975
    • Hörmander 1985, Capítulo XIX
45. Connes 1990
46. Ver:
    • Baez y otros 1992
    • Segal 1981
    • Pressley y Segal 1986
    • Neretín 1996
47. Segal 1981, págs. 315–320
48. Ver:
    • Segal 1981
    • Pressley y Segal 1986

Referencias

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