Límite de Shilov

En análisis funcional , el límite de Shilov es el subconjunto cerrado más pequeño del espacio estructural de un álgebra conmutativa de Banach donde se cumple un análogo del principio del módulo máximo . Lleva el nombre de su descubridor, Georgii Evgen'evich Shilov .

Definición y existencia precisas.

Sea un álgebra conmutativa de Banach y sea su espacio estructural equipado con la topología relativa débil* del dual . Un subconjunto cerrado (en esta topología) de se denomina límite de if for all . El conjunto se denomina límite de Shilov . Shilov ^[1] ha demostrado que es un límite de . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Delta {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Delta {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle \max _{f\in \Delta {\mathcal {A}}}|f(x)|=\max _{f\in F}|f(x)|}$ ${\displaystyle x\in {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle S=\bigcap \{F:F{\text{ is a boundary of }}{\mathcal {A}}\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Por tanto, también se puede decir que la frontera de Shilov es el único conjunto que satisface ${\displaystyle S\subset \Delta {\mathcal {A}}}$

1. ${\displaystyle S}$es un límite de , y ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
2. siempre que sea un límite de , entonces . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle S\subset F}$

Ejemplos

Sea el disco unitario abierto en el plano complejo y sea el álgebra de disco , es decir, las funciones holomorfas en y continuas en el cierre de con norma suprema y operaciones algebraicas habituales. Entonces y . ${\displaystyle \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}=H^{\infty }(\mathbb {D} )\cap {\mathcal {C}}({\bar {\mathbb {D} }})}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \Delta {\mathcal {A}}={\bar {\mathbb {D} }}}$ ${\displaystyle S=\{|z|=1\}}$

Referencias

• "Límite Bergman-Shilov", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

Notas

1. Teorema 4.15.4 en Einar Hille , Ralph S. Phillips : análisis funcional y semigrupos. -- AMS, Providencia 1957.

Ver también

• límite de james
• Límite de Furstenberg