Teorema de Banach-Alaoglu

Theorem in functional analysis

En análisis funcional y ramas relacionadas de las matemáticas , el teorema de Banach-Alaoglu (también conocido como teorema de Alaoglu ) establece que la bola unitaria cerrada del espacio dual de un espacio vectorial normado es compacta en la topología débil* . ^[1] Una prueba común identifica la bola unitaria con la topología débil-* como un subconjunto cerrado de un producto de conjuntos compactos con la topología del producto . Como consecuencia del teorema de Tychonoff , este producto, y por tanto la bola unitaria que contiene, es compacto.

Este teorema tiene aplicaciones en física cuando se describe el conjunto de estados de un álgebra de observables, es decir, que cualquier estado puede escribirse como una combinación lineal convexa de los llamados estados puros.

Historia

Según Lawrence Narici y Edward Beckenstein, el teorema de Alaoglu es un “resultado muy importante, tal vez el hecho más importante sobre la topología débil* , [que] resuena en todo el análisis funcional”. ^[2] En 1912, Helly demostró que la bola unitaria del espacio dual continuo de es contablemente débil-* compacta. ^[3] En 1932, Stefan Banach demostró que la unidad de bola cerrada en el espacio dual continuo de cualquier espacio normado separable es secuencialmente débil-* compacta (Banach solo consideró la compacidad secuencial ). ^[3] La prueba para el caso general fue publicada en 1940 por el matemático Leonidas Alaoglu . Según Pietsch [2007], hay al menos doce matemáticos que pueden reivindicar este teorema o un antecesor importante del mismo. ^[2] ${\displaystyle C([a,b])}$

El teorema de Bourbaki-Alaoglu es una generalización ^{[4] [5]} del teorema original de Bourbaki a topologías duales en espacios localmente convexos . Este teorema también se llama teorema de Banach-Alaoglu o teorema de compacidad débil-* y comúnmente se le llama simplemente teorema de Alaoglu . ^[2]

Declaración

Si es un espacio vectorial sobre el campo entonces denotará el espacio dual algebraico de y estos dos espacios están asociados en adelante con el mapa de evaluación bilineal definido por donde el triple forma un sistema dual llamado sistema dual canónico . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :X\times X^{\#}\to \mathbb {K} }$ $${\displaystyle \left\langle x,f\right\rangle ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~f(x)}$$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\#},\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle \right\rangle }$

Si es un espacio vectorial topológico (TVS), entonces su espacio dual continuo se denotará por donde siempre se cumple. Denota la topología débil-* en por y denota la topología débil-* en por La topología débil-* también se llama topología de convergencia puntual porque dado un mapa y una red de mapas a los que la red converge en esta topología si y solo si para cada punto del dominio, la red de valores converge al valor ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime }\subseteq X^{\#}}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle f(x).}$

Teorema de Alaoglu ^[3]  -  Para cualquier espacio vectorial topológico (TVS) ( no necesariamente Hausdorff o localmente convexo ) con espacio dual continuo, la polar de cualquier vecindad de origen es compacta en la topología débil-* ^{[nota 1]} en Además, es igual al polar de con respecto al sistema canónico y también es un subconjunto compacto de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ $${\displaystyle U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}$$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$

Prueba que involucra la teoría de la dualidad

Prueba

Denote por el campo subyacente de por el cual son los números reales o los números complejos. Esta prueba utilizará algunas de las propiedades básicas que se enumeran en los artículos: conjunto polar , sistema dual y operador lineal continuo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Para comenzar la demostración, se recuerdan algunas definiciones y resultados fácilmente verificables. Cuando está dotado de la topología débil-*, entonces este espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff se denota por El espacio es siempre un TVS completo ; sin embargo, puede no ser un espacio completo, razón por la cual esta prueba involucra el espacio. Específicamente, esta prueba utilizará el hecho de que un subconjunto de un espacio de Hausdorff completo es compacto si (y solo si) es cerrado y totalmente acotado. . Es importante destacar que la topología subespacial que hereda de es igual a Esto se puede verificar fácilmente mostrando que dada cualquier red en converge en una de estas topologías si y sólo si también converge en la otra topología (la conclusión se sigue porque dos topologías son iguales si y sólo si tienen exactamente las mismas redes convergentes). ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right),}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right).}$ ${\displaystyle f\in X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

El triple es un emparejamiento dual aunque, a diferencia de él, en general no se garantiza que sea un sistema dual. En todo momento, salvo que se indique lo contrario, todos los conjuntos polares se tomarán respecto al emparejamiento canónico ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle ,}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}$

Sea una vecindad del origen en y sea: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}$ser el polar de con respecto al emparejamiento canónico ; ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$
• ${\displaystyle U^{\circ \circ }=\left\{x\in X~:~\sup _{f\in U^{\circ }}|f(x)|\leq 1\right\}}$ser el bipolar de ${\displaystyle U}$ con respecto a ; ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$
• ${\displaystyle U^{\#}=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}$ser el polar de con respecto al sistema dual canónico. Tenga en cuenta que ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle .}$ ${\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}\cap X^{\prime }.}$

Un hecho bien conocido sobre los conjuntos polares es que ${\displaystyle U^{\circ \circ \circ }\subseteq U^{\circ }.}$

1. Demostrar que es un subconjunto cerrado de Let y suponer que es un neto en que converge a en Para concluir que es suficiente (y necesario) demostrar que para cada Porque en el campo escalar y cada valor pertenece al cerrado (en ) subconjunto también debe pertenecer el límite de esta red a este conjunto. De este modo ${\displaystyle U^{\#}}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ ${\displaystyle X^{\#}:}$ ${\displaystyle f\in X^{\#}}$ ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle U^{\#}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$ ${\displaystyle f\in U^{\#},}$ ${\displaystyle |f(u)|\leq 1}$ ${\displaystyle u\in U.}$ ${\displaystyle f_{i}(u)\to f(u)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle f_{i}(u)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\},}$ ${\displaystyle f(u)}$ ${\displaystyle |f(u)|\leq 1.}$
2. Muestre eso y luego concluya que es un subconjunto cerrado de ambos y La inclusión se cumple porque todo funcional lineal continuo es (en particular) un funcional lineal. Para la inclusión inversa, sea lo que establece exactamente que el funcional lineal está acotado en la vecindad ; por tanto, es un funcional lineal continuo (es decir, ) y así como se desee. Usando (1) y el hecho de que la intersección está cerrada en la topología subespacial se sigue la afirmación de que está cerrada. ${\displaystyle U^{\#}=U^{\circ }}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right):}$ ${\displaystyle U^{\circ }\subseteq U^{\#}}$ ${\displaystyle \,U^{\#}\subseteq U^{\circ },\,}$ ${\displaystyle f\in U^{\#}}$ ${\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle f\in U^{\circ },}$ ${\displaystyle U^{\#}\cap X^{\prime }=U^{\circ }\cap X^{\prime }=U^{\circ }}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$
3. Demuestre que es un subconjunto totalmente acotado de Por el teorema bipolar , donde debido a que la vecindad es un subconjunto absorbente del mismo debe ser cierto para el conjunto, es posible demostrar que esto implica que es un subconjunto acotado de Debido a que distingue puntos de un subconjunto de está acotado si y sólo si está totalmente acotado . Así, en particular, también está totalmente acotado. ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }:}$ ${\displaystyle U\subseteq U^{\circ \circ }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U^{\circ \circ };}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$
4. Concluya que también es un subconjunto totalmente acotado de Recuerde que la topología de es idéntica a la topología subespacial que hereda de Este hecho, junto con (3) y la definición de "totalmente acotado", implica que es un subconjunto totalmente acotado de ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ ${\displaystyle X^{\#}:}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ ${\displaystyle X^{\#}.}$
5. Finalmente, deduzca que es un subconjunto compacto de Porque es un TVS completo y es un subconjunto cerrado (por (2)) y totalmente acotado (por (4)) de lo que se deduce que es compacto. ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }:}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right),}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Si es un espacio vectorial normado , entonces la polar de una vecindad está cerrada y acotada por normas en el espacio dual. En particular, si la bola unitaria abierta (o cerrada) es entonces la polar de es la bola unitaria cerrada en el espacio dual continuo de (con la norma dual habitual ). En consecuencia, este teorema se puede especializar en: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

Teorema de Banach-Alaoglu  :  si es un espacio normado, entonces la bola unitaria cerrada en el espacio dual continuo (dotada de su norma de operador habitual ) es compacta con respecto a la topología débil-* . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Cuando el espacio dual continuo de es un espacio normado de dimensión infinita, entonces es imposible que la bola unitaria cerrada sea un subconjunto compacto cuando tiene su topología normal habitual. Esto se debe a que la bola unitaria en la topología normal es compacta si y sólo si el espacio es de dimensión finita (cf. teorema de F. Riesz ). Este teorema es un ejemplo de la utilidad de tener diferentes topologías en el mismo espacio vectorial. ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Cabe advertir que, a pesar de las apariencias, el teorema de Banach-Alaoglu no implica que la topología débil-* sea localmente compacta . Esto se debe a que la bola unitaria cerrada es solo una vecindad del origen en la topología fuerte , pero generalmente no es una vecindad del origen en la topología débil*, ya que tiene un interior vacío en la topología débil*, a menos que el espacio sea de dimensión finita. De hecho, es un resultado de Weil que todos los espacios vectoriales topológicos de Hausdorff localmente compactos deben ser de dimensión finita.

Prueba elemental

La siguiente prueba elemental no utiliza la teoría de la dualidad y sólo requiere conceptos básicos de la teoría de conjuntos, la topología y el análisis funcional. Lo que se necesita de la topología es un conocimiento práctico de la convergencia neta en espacios topológicos y estar familiarizado con el hecho de que un funcional lineal es continuo si y sólo si está acotado en una vecindad del origen (ver los artículos sobre funcionales lineales continuos y funcionales sublineales). para detalles). También se requiere una comprensión adecuada de los detalles técnicos de cómo el espacio de todas las funciones de la forma se identifica como el producto cartesiano y la relación entre la convergencia puntual , la topología del producto y las topologías subespaciales que inducen en subconjuntos como el espacio dual algebraico. y productos de subespacios como Ahora se ofrece una explicación de estos detalles para los lectores interesados. ${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {K} }$ ${\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}$

La esencia del teorema de Banach-Alaoglu se puede encontrar en la siguiente proposición, de la que se deriva el teorema de Banach-Alaoglu. A diferencia del teorema de Banach-Alaoglu, esta proposición no requiere que el espacio vectorial esté dotado de ninguna topología. ${\displaystyle X}$

Proposición ^[3]  —  Sea un subconjunto de un espacio vectorial sobre el campo (donde ) y para cada número real dote a la bola cerrada de su topología habitual ( no necesita estar dotada de ninguna topología, pero tiene su topología euclidiana habitual ). Definir ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} {\text{ or }}\mathbb {K} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle r,}$ ${\textstyle B_{r}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ $${\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}.}$$

Si para cada es un número real tal que entonces es un subespacio cerrado y compacto del espacio del producto (donde debido a que esta topología del producto es idéntica a la topología de convergencia puntual , que también se llama topología débil-* en análisis funcional, esto significa que es compacto en la topología débil-* o "débil-* compacto" para abreviar). ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r_{x}>0}$ ${\displaystyle x\in r_{x}U,}$ ${\displaystyle U^{\#}}$ ${\displaystyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}$ ${\displaystyle U^{\#}}$

Antes de probar la proposición anterior, primero se muestra cómo se deriva de ella el teorema de Banach-Alaoglu (a diferencia de la proposición, Banach-Alaoglu supone que es un espacio vectorial topológico (TVS) y que es una vecindad del origen). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$

Prueba de que Banach-Alaoglu se sigue de la proposición anterior

Supongamos que es un espacio vectorial topológico con espacio dual continuo y que es una vecindad del origen. Debido a que es una vecindad del origen, también es un subconjunto absorbente de entonces, para cada existe un número real tal que, por lo tanto, se satisfacen las hipótesis de la proposición anterior y, por lo tanto, el conjunto es compacto en la topología débil-* . La demostración del teorema de Banach-Alaoglu estará completa una vez que se demuestre que ^{[nota 2]} recuerde que se definió como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r_{x}>0}$ ${\displaystyle x\in r_{x}U.}$ ${\displaystyle U^{\#}}$ ${\displaystyle U^{\#}=U^{\circ },}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ $${\displaystyle U^{\circ }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}~=~U^{\#}\cap X^{\prime }.}$$

Prueba de que ${\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}:}$ Debido a que la conclusión es equivalente a Si entonces, que establece exactamente que el funcional lineal está acotado en la vecindad, entonces es un funcional lineal continuo (es decir, ), como se desea. ${\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}\cap X^{\prime },}$ ${\displaystyle U^{\#}\subseteq X^{\prime }.}$ ${\displaystyle f\in U^{\#}}$ ${\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U;}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Prueba de propuesta

El espacio producto es compacto según el teorema de Tychonoff (ya que cada bola cerrada es un espacio compacto de Hausdorff ^{[nota 3]} ). Debido a que un subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto, la prueba de la proposición estará completa una vez que se demuestre que es un subconjunto cerrado de. Las siguientes afirmaciones garantizan esta conclusión: ${\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}$ ${\displaystyle B_{r_{x}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r_{x}\}}$ $${\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}~=~\left\{f\in X^{\#}~:~f(U)\subseteq B_{1}\right\}}$$ ${\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}$

1. ${\displaystyle U^{\#}\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}$
2. ${\displaystyle U^{\#}}$es un subconjunto cerrado del espacio del producto ${\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} =\mathbb {K} ^{X}.}$

Prueba de (1) :

Para cualquier , denotemos la proyección a la coordenada ^enésima (como se define arriba). Para demostrar que es suficiente (y necesario) demostrar que para cada So fix and let Porque queda por demostrar que Recall que se definió en el enunciado de la proposición como cualquier número real positivo que satisfaga (así, por ejemplo, sería un número válido elección para cada ), lo que implica Porque es una función homogénea positiva que satisface ${\displaystyle z\in X,}$ ${\textstyle \Pr {}_{z}:\prod _{x\in X}\mathbb {K} \to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle z}$ ${\textstyle U^{\#}\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}},}$ ${\displaystyle \Pr {}_{x}\left(U^{\#}\right)\subseteq B_{r_{x}}}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f\in U^{\#}.}$ ${\displaystyle \Pr {}_{x}(f)\,=\,f(x),}$ ${\displaystyle f(x)\in B_{r_{x}}.}$ ${\displaystyle r_{x}>0}$ ${\displaystyle x\in r_{x}U}$ ${\displaystyle r_{u}:=1}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle \,u_{x}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\frac {1}{r_{x}}}\,x\in U.\,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,}$ $${\displaystyle {\frac {1}{r_{x}}}|f(x)|=\left|{\frac {1}{r_{x}}}f(x)\right|=\left|f\left({\frac {1}{r_{x}}}x\right)\right|=\left|f\left(u_{x}\right)\right|\leq \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1.}$$

Así , lo que demuestra que es lo deseado. ${\displaystyle |f(x)|\leq r_{x},}$ ${\displaystyle f(x)\in B_{r_{x}},}$

Prueba de (2) :

El espacio dual algebraico es siempre un subconjunto cerrado de (esto se demuestra en el lema siguiente para lectores que no estén familiarizados con este resultado). El conjunto es cerrado en la topología del producto porque es producto de subconjuntos cerrados de Por lo tanto, es una intersección de dos subconjuntos cerrados de lo que se demuestra (2). ^{[nota 4]} ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}U_{B_{1}}&\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,{\Big \{}~~\;~~\;~~\;~~f\ \in \mathbb {K} ^{X}~~\;~~:\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}\\&={\big \{}~~\;~~\;~~\;~~f\,\in \mathbb {K} ^{X}~~\;~~:f(u)\in B_{1}{\text{ for all }}u\in U{\big \}}\\&={\Big \{}\left(f_{x}\right)_{x\in X}\in \prod _{x\in X}\mathbb {K} \,~:~\;~f_{u}~\in B_{1}{\text{ for all }}u\in U{\Big \}}\\&=\prod _{x\in X}C_{x}\quad {\text{ where }}\quad C_{x}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\begin{cases}B_{1}&{\text{ if }}x\in U\\\mathbb {K} &{\text{ if }}x\not \in U\\\end{cases}}\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} =\mathbb {K} ^{X}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle U_{B_{1}}\cap X^{\#}=U^{\#}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{X},}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

También se puede llegar a la conclusión de que el conjunto es cerrado aplicando el siguiente resultado más general, esta vez probado usando redes, al caso especial y ${\displaystyle U_{B_{1}}=\left\{f\in \mathbb {K} ^{X}:f(U)\subseteq B_{1}\right\}}$ ${\displaystyle Y:=\mathbb {K} }$ ${\displaystyle B:=B_{1}.}$

Observación : Si es cualquier conjunto y si es un subconjunto cerrado de un espacio topológico, entonces es un subconjunto cerrado en la topología de convergencia puntual. ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle U_{B}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{f\in Y^{X}:f(U)\subseteq B\right\}}$ ${\displaystyle Y^{X}}$

Prueba de observación : Supongamos que es una red que converge puntualmente a. Queda por mostrar lo que por definición significa Para cualquier porque en y cada valor pertenece al subconjunto cerrado (en) , también el límite de esta red debe pertenecer a este subconjunto cerrado. colocar; lo que completa la prueba. ${\displaystyle f\in Y^{X}}$ ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle U_{B}}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f\in U_{B},}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq B.}$ ${\displaystyle u\in U,}$ ${\displaystyle \left(f_{i}(u)\right)_{i\in I}\to f(u)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{i}(u)\in f_{i}(U)\subseteq B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle f(u)\in B,}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Lema ( está cerrado ) ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$ —  El espacio dual algebraico de cualquier espacio vectorial sobre un campo (donde es o ) es un subconjunto cerrado de en la topología de la convergencia puntual. (El espacio vectorial no necesita estar dotado de ninguna topología). ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$

El lema anterior en realidad también se deriva del corolario siguiente, ya que es un espacio uniforme completo de Hausdorff y cualquier subconjunto de dicho espacio (en particular ) es cerrado si y sólo si es completo. ${\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} }$ ${\displaystyle X^{\#}}$

Corolario del lema ( es débil-* completo) ${\displaystyle X^{\#}}$ :  cuando el espacio dual algebraico de un espacio vectorial está equipado con la topología de convergencia puntual (también conocida como topología débil-*), entonces el espacio topológico resultante es una topología localmente convexa de Hausdorff completa . espacio vectorial . ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$

La prueba elemental anterior del teorema de Banach-Alaoglu en realidad muestra que si hay algún subconjunto que satisface (como cualquier subconjunto absorbente de ), entonces es un subconjunto compacto débil-* de ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle X=(0,\infty )U~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{ru:r>0,u\in U\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{f\in X^{\#}:f(U)\subseteq B_{1}\right\}}$ ${\displaystyle X^{\#}.}$

Como nota al margen, con la ayuda de la prueba elemental anterior, se puede demostrar (ver esta nota al pie) ^{[prueba 1]} que existen números reales no negativos indexados tales que estos números reales también pueden elegirse como " mínimo" en el siguiente sentido: usar (como en la prueba) y definir la notación para cualquiera si entonces y para cada que muestra que estos números son únicos; de hecho, esta fórmula mínima puede usarse para definirlos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{x}\right)_{x\in X}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}U^{\circ }&=U^{\#}&&\\&=X^{\#}&&\cap \prod _{x\in X}B_{m_{x}}\\&=X^{\prime }&&\cap \prod _{x\in X}B_{m_{x}}\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle m_{\bullet }}$ ${\displaystyle P~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~U^{\circ }}$ ${\displaystyle P=U^{\#}}$ ${\displaystyle \prod B_{R_{\bullet }}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\prod _{x\in X}B_{R_{x}}}$ ${\displaystyle R_{\bullet }=\left(R_{x}\right)_{x\in X}\in \mathbb {R} ^{X},}$ $${\displaystyle T_{P}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{R_{\bullet }\in \mathbb {R} ^{X}~:~P\subseteq \prod B_{R_{\bullet }}\right\}}$$ ${\displaystyle m_{\bullet }\in T_{P}}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle m_{x}=\inf \left\{R_{x}:R_{\bullet }\in T_{P}\right\},}$ ${\displaystyle m_{\bullet }}$

De hecho, si denota el conjunto de todos los productos de bolas cerradas que contienen el conjunto polar, entonces donde denota la intersección de todos los conjuntos que pertenecen a ${\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle P,}$ $${\displaystyle \operatorname {Box} _{P}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{\prod B_{R_{\bullet }}~:~R_{\bullet }\in T_{P}\right\}~=~\left\{\prod B_{R_{\bullet }}~:~P\subseteq \prod B_{R_{\bullet }}\right\},}$$ ${\textstyle \prod B_{m_{\bullet }}=\cap \operatorname {Box} _{P}\in \operatorname {Box} _{P}}$ ${\textstyle \bigcap \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle \operatorname {Box} _{P}.}$

Esto implica (entre otras cosas ^{[nota 5]} ) que el elemento mínimo único de con respecto a esto puede usarse como una definición alternativa de este conjunto (necesariamente convexo y equilibrado ). La función es una seminorma y no cambia si se reemplaza por el casco balanceado convexo de (porque ). Del mismo modo, porque tampoco cambia si se sustituye por su cierre en ${\textstyle \prod B_{m_{\bullet }}=\prod _{x\in X}B_{m_{x}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle \,\subseteq ;}$ ${\displaystyle m_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(m_{x}\right)_{x\in X}:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{\#}=[\operatorname {cobal} U]^{\#}}$ ${\displaystyle U^{\circ }=\left[\operatorname {cl} _{X}U\right]^{\circ },}$ ${\displaystyle m_{\bullet }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X.}$

Teorema secuencial de Banach-Alaoglu

Un caso especial del teorema de Banach-Alaoglu es la versión secuencial del teorema, que afirma que la bola unitaria cerrada del espacio dual de un espacio vectorial normado separable es secuencialmente compacta en la topología débil-*. De hecho, la topología débil* en la bola unitaria cerrada del dual de un espacio separable es metrizable y, por tanto, la compacidad y la compacidad secuencial son equivalentes.

Específicamente, sea un espacio normado separable y la bola unitaria cerrada en Dado que es separable, sea un subconjunto denso contable. Luego, lo siguiente define una métrica, donde para cualquiera en el que denota el emparejamiento de dualidad de con la compacidad secuencial de en esta métrica se puede mostrar mediante un argumento de diagonalización similar al empleado en la prueba del teorema de Arzelà-Ascoli . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x,y\in B}$ $${\displaystyle \rho (x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }\,2^{-n}\,{\frac {\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}{1+\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}}}$$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle B}$

Debido a la naturaleza constructiva de su demostración (a diferencia del caso general, que se basa en el axioma de elección), el teorema secuencial de Banach-Alaoglu se utiliza a menudo en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales para construir soluciones a PDE o problemas variacionales. . Por ejemplo, si uno quiere minimizar un funcional en el dual de un espacio vectorial normado separable, una estrategia común es construir primero una secuencia minimizadora que se acerque al mínimo de usar el teorema secuencial de Banach-Alaoglu para extraer una subsecuencia que converge en el débil. * topología hasta un límite y luego establecer que es un minimizador de El último paso a menudo requiere obedecer una propiedad de semicontinuidad inferior (secuencial) en la topología débil*. ${\displaystyle F:X^{\prime }\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots \in X^{\prime }}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle F}$

Cuando el espacio de medidas finitas de radón está en la línea real (es decir, el espacio de funciones continuas que se desvanecen en el infinito, según el teorema de representación de Riesz ), el teorema secuencial de Banach-Alaoglu es equivalente al teorema de selección de Helly . ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X=C_{0}(\mathbb {R} )}$

Prueba

Para cada let y let esté dotado de la topología del producto . Como cada es un subconjunto compacto del plano complejo, el teorema de Tychonoff garantiza que su producto es compacto. ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle D_{x}=\{c\in \mathbb {C} :|c|\leq \|x\|\}}$$ $${\displaystyle D=\prod _{x\in X}D_{x}}$$ ${\displaystyle D_{x}}$ ${\displaystyle D}$

La unidad de bola cerrada denotada por se puede identificar como un subconjunto de de forma natural: ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle B_{1}^{\,\prime },}$ ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}F:\;&&B_{1}^{\,\prime }&&\;\to \;&D\\[0.3ex]&&f&&\;\mapsto \;&(f(x))_{x\in X}.\\\end{alignedat}}}$$

Este mapa es inyectivo y es continuo cuando tiene la topología débil-* . La inversa de este mapa, definida en su imagen, también es continua. ${\displaystyle B_{1}^{\,\prime }}$

Ahora se mostrará que la imagen del mapa de arriba está cerrada, lo que completará la demostración del teorema. Dado un punto y una red en la imagen de indexado por tal que el funcional definido por se encuentra en y ${\displaystyle \lambda _{\bullet }=\left(\lambda _{x}\right)_{x\in X}\in D}$ ${\displaystyle \left(f_{i}(x)\right)_{x\in X}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle i\in I}$ $${\displaystyle \lim _{i}\left(f_{i}(x)\right)_{x\in X}\to \lambda _{\bullet }\quad {\text{ in }}D,}$$ ${\displaystyle g:X\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle g(x)=\lambda _{x}\qquad {\text{ for every }}x\in X,}$$ ${\displaystyle B_{1}^{\,\prime }}$ ${\displaystyle F(g)=\lambda _{\bullet }.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Consecuencias

Consecuencias para los espacios normados

Supongamos que es un espacio normado y dotemos a su espacio dual continuo de la norma dual habitual . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

• La unidad cerrada de bola es débil-* compacta. ^[3] Entonces, si es de dimensión infinita, entonces su bola unitaria cerrada no necesariamente es compacta en la topología normal según el teorema de F. Riesz (a pesar de ser débil-* compacta). ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$
• Un espacio de Banach es reflexivo si y sólo si su bola unitaria cerrada es compacta; esto se conoce como teorema de James . ^[3] ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$
• Si es un espacio de Banach reflexivo , entonces cada secuencia acotada tiene una subsecuencia débilmente convergente. (Esto se sigue aplicando el teorema de Banach-Alaoglu a un subespacio débilmente metrizable de ; o, más sucintamente, aplicando el teorema de Eberlein-Šmulian .) Por ejemplo, supongamos que es el espacio Lp espacio donde y deja satisfacer Sea una secuencia acotada de funciones en Entonces existe una subsecuencia y una tal que El resultado correspondiente para no es verdadero, ya que no es reflexivo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}$ ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \left(f_{n_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle f\in X}$ $${\displaystyle \int f_{n_{k}}g\,d\mu \to \int fg\,d\mu \qquad {\text{ for all }}g\in L^{q}(\mu )=X^{\prime }.}$$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$

Consecuencias para los espacios de Hilbert

• En un espacio de Hilbert, todo conjunto acotado y cerrado es relativamente compacto débilmente, por lo tanto, cada red acotada tiene una subred débilmente convergente (los espacios de Hilbert son reflexivos ).
• Como los conjuntos convexos con normas cerradas están débilmente cerrados ( teorema de Hahn-Banach ), los cierres de normas de conjuntos acotados convexos en espacios de Hilbert o espacios reflexivos de Banach son débilmente compactos.
• Los conjuntos cerrados y acotados son precompactos con respecto a la topología de operador débil (la topología de operador débil es más débil que la topología ultradébil , que a su vez es la topología débil-* con respecto al predual de los operadores de clase de traza ). Por tanto, las secuencias acotadas de operadores tienen un punto de acumulación débil. Como consecuencia, tiene la propiedad de Heine-Borel , si está equipado con el operador débil o la topología ultradébil. ${\displaystyle B(H)}$ ${\displaystyle B(H),}$ ${\displaystyle B(H)}$

Relación con el axioma de elección y otros enunciados

El Banach-Alaoglu puede demostrarse utilizando el teorema de Tychonoff , que según el marco axiomático de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ( ZF ) es equivalente al axioma de elección . La mayoría de los análisis funcionales convencionales se basan en ZF + el axioma de elección, que a menudo se denota por ZFC . Sin embargo, el teorema no se basa en el axioma de elección en el caso separable (ver arriba): en este caso realmente existe una prueba constructiva. En el caso general de un espacio normado arbitrario, el ultrafiltro Lema , que es estrictamente más débil que el axioma de elección y equivalente al teorema de Tychonoff para espacios compactos de Hausdorff , es suficiente para la prueba del teorema de Banach-Alaoglu y, de hecho, es equivalente a él.

El teorema de Banach-Alaoglu es equivalente al lema del ultrafiltro , que implica el teorema de Hahn-Banach para espacios vectoriales reales ( HB ), pero no es equivalente a él (dicho de otra manera, Banach-Alaoglu también es estrictamente más fuerte que HB ). Sin embargo, el teorema de Hahn-Banach es equivalente a la siguiente versión débil del teorema de Banach-Alaoglu para el espacio normado ^[6] en la que la conclusión de compacidad (en la topología débil-* de la bola unitaria cerrada del espacio dual) es reemplazado por la conclusión de cuasicompacidad (también llamada a veces compacidad convexa );

Versión débil del teorema de Alaoglu ^[6]  - Seaun espacio normado ydenotemos la bola unitaria cerrada de suespacio dual continuo.Entoncestiene la siguiente propiedad, que se llama (débil-*) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle B}$cuasicompacto ocompacidad convexa : siempre quesea una cubierta desubconjuntos cerrados convexos débiles-* detalquetengalapropiedadde intersección finita, entoncesno está vacío. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \{B\cap C:C\in {\mathcal {C}}\}}$ ${\displaystyle B\cap \bigcap _{C\in {\mathcal {C}}}C}$

La compacidad implica compacidad convexa porque un espacio topológico es compacto si y sólo si cada familia de subconjuntos cerrados que tienen la propiedad de intersección finita (FIP) tiene una intersección no vacía. La definición de compacidad convexa es similar a esta caracterización de espacios compactos en términos del FIP, excepto que solo involucra aquellos subconjuntos cerrados que también son convexos (en lugar de todos los subconjuntos cerrados).

Ver también

• Teorema de Bishop-Phelps
• Teorema de Banach-Mazur
• Teorema de la compacidad delta
• Teorema de Dixmier-Ng
• Teorema de Eberlein-Šmulian  : relaciona tres tipos diferentes de compacidad débil en un espacio de Banach
• Teorema de Goldstine
• Teorema de James  - teorema en matemáticasPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Teorema de Krein-Milman  : cuando un espacio es igual al casco convexo cerrado de sus puntos extremosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Lema de Mazur  : sobre combinaciones fuertemente convergentes de una secuencia débilmente convergente en un espacio de Banach
• Espacio vectorial topológico  : espacio vectorial con noción de cercanía

Notas

1. Explícitamente, se dice que un subconjunto es "compacto (resp. totalmente delimitado, etc.) en la topología débil-*" si cuando se le da la topología débil-* y al subconjunto se le da la topología subespacial heredada de entonces es un compacto (resp. totalmente delimitado , etc.) espacio. ${\displaystyle B^{\prime }\subseteq X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle B^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right),}$ ${\displaystyle B^{\prime }}$
2. Si denota la topología que está (originalmente) dotada, entonces la igualdad muestra que el polar de depende solo de (y ) y que el resto de la topología puede ignorarse. Para aclarar lo que se quiere decir, supongamos que cualquier topología TVS es tal que el conjunto es (también) una vecindad del origen en Denote el espacio dual continuo de by y denote el polar de con respecto a by, de modo que sea solo el conjunto desde arriba . Entonces, debido a que ambos conjuntos son iguales a Said de manera diferente, el "requisito" que define al conjunto polar de que sea un subconjunto del espacio dual continuo es intrascendente y puede ignorarse porque no tiene ningún efecto sobre el conjunto resultante de funcionales lineales. . Sin embargo, si la topología TVS es tal que no es una vecindad del origen, entonces no se garantiza que la polar con respecto a sea igual y, por lo tanto, no se puede ignorar la topología . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}}$ ${\displaystyle U^{\circ }={\Big \{}f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X,\sigma ).}$ ${\displaystyle (X,\sigma )}$ ${\displaystyle (X,\sigma )^{\prime }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X,\sigma )}$ $${\displaystyle U^{\circ ,\sigma }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in (X,\sigma )^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}}$$ ${\displaystyle U^{\circ ,\tau }}$ ${\displaystyle U^{\circ }}$ ${\displaystyle U^{\circ ,\tau }=U^{\circ ,\sigma }}$ ${\displaystyle U^{\#}.}$ ${\displaystyle U^{\circ ,\sigma }}$ ${\displaystyle U^{\circ ,\sigma }}$ ${\displaystyle (X,\sigma )^{\prime }}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle U^{\circ ,\nu }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle U^{\#}}$ ${\displaystyle \nu }$
3. Debido a que cada es también un espacio de Hausdorff , la conclusión de que es compacto solo requiere el llamado "teorema de Tychonoff para espacios compactos de Hausdorff", que es equivalente al lema del ultrafiltro y estrictamente más débil que el axioma de elección . ${\displaystyle B_{r_{x}}}$ ${\displaystyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}$
4. La conclusión se puede escribir como El conjunto puede definirse de manera equivalente Reescribir la definición de esta manera ayuda a hacer evidente que el conjunto es cerrado porque esto es cierto para X #. {\displaystyle X^{\#}.} ${\displaystyle U_{B_{1}}=\prod _{x\in X}C_{x}}$ ${\displaystyle U_{B_{1}}~=~{\Big (}\prod _{u\in U}B_{1}{\Big )}\times \prod _{x\in X\setminus U}\mathbb {K} .}$ ${\displaystyle U^{\#}}$ ${\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~X^{\#}\cap \left[{\Big (}\prod _{u\in U}B_{1}{\Big )}\times \prod _{x\in X\setminus U}\mathbb {K} \right].}$ ${\displaystyle U^{\#}}$ ${\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} }$
5. Esta tupla es el elemento menor con respecto al orden parcial puntual inducido natural definido por si y solo si para cada Por lo tanto, cada vecindad del origen en puede asociarse con esta función única (mínima) Para cualquier si es tal que entonces entonces que en particular, y para cada ${\displaystyle m_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(m_{x}\right)_{x\in X}}$ ${\displaystyle T_{P}}$ ${\displaystyle R_{\bullet }\leq S_{\bullet }}$ ${\displaystyle R_{x}\leq S_{x}}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m_{\bullet }:X\to [0,\infty ).}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in rU}$ ${\displaystyle m_{x}\leq r}$ ${\displaystyle m_{0}=0}$ ${\displaystyle m_{u}\leq 1}$ ${\displaystyle u\in U.}$

Pruebas

1. Para cualquier subconjunto no vacío, la igualdad se cumple (la intersección de la izquierda es un disco cerrado, en lugar de abierto, posiblemente de radio , porque es una intersección de subconjuntos cerrados de y, por lo tanto, debe estar cerrado). Para cada let de modo que la igualdad del conjunto anterior implica De ello se deduce que y por lo tanto hacer el elemento mínimo de con respecto a (De hecho, la familia está cerrada bajo intersecciones arbitrarias (no nulas ) y también bajo uniones finitas de al menos un conjunto ). La prueba elemental demostró que y no están vacías y además, incluso demostró que tiene un elemento que satisface para cada lo que implica que para cada La inclusión es inmediata; para probar la inclusión inversa, sea Por definición, si y sólo si es así sea y queda por demostrar que De ello se sigue lo que implica que como se desea. ${\displaystyle A\subseteq [0,\infty ),}$ ${\displaystyle \cap \left\{B_{a}:a\in A\right\}=B_{\inf _{}A}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle m_{x}=\inf _{}\left\{R_{x}:R_{\bullet }\in T_{P}\right\}}$ ${\displaystyle \cap \operatorname {Box} _{P}=\bigcap _{R_{\bullet }\in T_{P}}\prod _{x\in X}B_{R_{x}}=\prod _{x\in X}\bigcap _{R_{\bullet }\in T_{P}}B_{R_{x}}=\prod _{x\in X}B_{m_{x}}.}$ ${\displaystyle P\subseteq \cap \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle m_{\bullet }\in T_{P}}$ ${\displaystyle \cap \operatorname {Box} _{P}\in \operatorname {Box} _{P},}$ ${\displaystyle \cap \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle \,\subseteq .\,}$ ${\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle T_{P}}$ ${\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}$ ${\displaystyle T_{P}}$ ${\displaystyle \left(r_{x}\right)_{x\in X}}$ ${\displaystyle r_{u}=1}$ ${\displaystyle u\in U,}$ ${\displaystyle m_{u}\leq 1}$ ${\displaystyle u\in U.}$ ${\displaystyle P~\subseteq ~\left(\cap \operatorname {Box} _{P}\right)\cap X^{\prime }~\subseteq ~\left(\cap \operatorname {Box} _{P}\right)\cap X^{\#}}$ ${\displaystyle f\in \left(\cap \operatorname {Box} _{P}\right)\cap X^{\#}.}$ ${\displaystyle f\in P~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~U^{\#}}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle |f(u)|\leq 1.}$ ${\displaystyle f\in \cap \operatorname {Box} _{P}=\prod B_{m_{\bullet }},}$ ${\displaystyle f(u)=\Pr {}_{u}(f)\in \Pr {}_{u}\left(\prod _{x\in X}B_{m_{x}}\right)=B_{m_{u}},}$ ${\displaystyle |f(u)|\leq m_{u}\leq 1,}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Citas

1. Rudin 1991, Teorema 3.15.
2. Narici y Beckenstein 2011, págs.
3. Narici y Beckenstein 2011, págs.
4. Köthe 1983, Teorema (4) en §20.9.
5. Meise y Vogt 1997, teorema 23.5.
6. Bell, J.; Fremlin, David (1972). "Una forma geométrica del axioma de elección" (PDF) . Fundamentos Mathematicae . 77 (2): 167-170. doi : 10.4064/fm-77-2-167-170 . Consultado el 26 de diciembre de 2021 .

Referencias

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• Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar (1997). "Teorema 23.5". Introducción al Análisis Funcional . Oxford, Inglaterra: Clarendon Press. pag. 264.ISBN​ 0-19-851485-9.
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277. Véase el teorema 3.15, pág. 68.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Prensa académica. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

Otras lecturas

• Conway, John B. (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 96 (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
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