Discriminante de un cuerpo de números algebraicos

Mide el tamaño del anillo de números enteros del campo de números algebraicos.

Dominio fundamental del anillo de números enteros del cuerpo K obtenido a partir de Q mediante la adición de una raíz de x ³  −  x ²  − 2 x  + 1. Este dominio fundamental se encuentra dentro de K  ⊗ _Q  R . El discriminante de K es 49 = 7 ² . En consecuencia, el volumen del dominio fundamental es 7 y K solo se ramifica en 7.

En matemáticas , el discriminante de un cuerpo de números algebraicos es un invariante numérico que, en términos generales, mide el tamaño del ( anillo de números enteros del) cuerpo de números algebraicos. Más específicamente, es proporcional al volumen al cuadrado del dominio fundamental del anillo de números enteros y regula qué primos se ramifican .

El discriminante es uno de los invariantes más básicos de un cuerpo numérico y aparece en varias fórmulas analíticas importantes , como la ecuación funcional de la función zeta de Dedekind de K y la fórmula analítica del número de clase para K. Un teorema de Hermite afirma que solo hay un número finito de cuerpos numéricos de discriminante acotado, sin embargo, determinar esta cantidad sigue siendo un problema abierto y el tema de la investigación actual. ^[1]

El discriminante de K puede denominarse discriminante absoluto de K para distinguirlo del discriminante relativo de una extensión K / L de cuerpos de números. Este último es un ideal en el anillo de números enteros de L y, al igual que el discriminante absoluto, indica qué primos se ramifican en K / L. Es una generalización del discriminante absoluto que permite que L sea mayor que Q ; de hecho, cuando L  =  Q , el discriminante relativo de K / Q es el ideal principal de Z generado por el discriminante absoluto de K.

Definición

Sea K un cuerpo de números algebraicos y sea O _K su anillo de enteros . Sea b ₁ , ..., b _n una base integral de O _K (es decir, una base como un Z -módulo ), y sea {σ ₁ , ..., σ _n } el conjunto de incrustaciones de K en los números complejos (es decir, homomorfismos de anillo inyectivos K  →  C ). El discriminante de K es el cuadrado del determinante de la matriz n por n B cuya ( i , j )-entrada es σ _i ( b _j ). Simbólicamente,

${\displaystyle \Delta _{K}=\det \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})&\cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{array}}\right)^{2}.}$

De manera equivalente, se puede utilizar la traza de K a Q. En concreto, definamos la forma de la traza como la matriz cuya entrada ( i , j ) es Tr _{K / Q} ( b _i b _j ). Esta matriz es igual a B ^T B , por lo que el cuadrado del discriminante de K es el determinante de esta matriz.

El discriminante de un orden en K con base integral b ₁ , ..., b _n se define de la misma manera.

Ejemplos

• Campos de números cuadráticos : sea d un entero libre de cuadrados , entonces el discriminante de es ^[2] ${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$

${\displaystyle \Delta _{K}=\left\{{\begin{array}{ll}d&{\text{if }}d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&{\text{if }}d\equiv 2,3{\pmod {4}}.\\\end{array}}\right.}$

Un número entero que aparece como discriminante de un campo de números cuadráticos se denomina discriminante fundamental . ^[3]

• Campos ciclotómicos : sea n  > 2 un entero, sea ζ _n una raíz primitiva n -ésima de la unidad y sea K _n = Q (ζ _n ) el n- ésimo campo ciclotómico. El discriminante de K _n está dado por ^{[2] [4]}

${\displaystyle \Delta _{K_{n}}=(-1)^{\varphi (n)/2}{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _{p|n}p^{\varphi (n)/(p-1)}}}}$

donde es la función totiente de Euler , y el producto en el denominador es sobre los primos p dividiendo n . ${\displaystyle \varphi (n)}$

• Bases de potencia: En el caso en que el anillo de números enteros tenga una base integral de potencia , es decir, se pueda escribir como O _K = Z [α], el discriminante de K es igual al discriminante del polinomio mínimo de α. Para ver esto, se puede elegir que la base integral de O _K sea b ₁  = 1, b ₂  = α, b ₃  =  α ² , ..., b _n  =  α ^{n −1} . Entonces, la matriz en la definición es la matriz de Vandermonde asociada a α _i  = σ _i (α), cuyo determinante al cuadrado es

${\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}$

que es exactamente la definición del discriminante del polinomio mínimo.

• Sea K = Q (α) el cuerpo de números que se obtiene al adjuntar una raíz α del polinomio x ³  −  x ²  − 2 x  − 8. Este es el ejemplo original de Richard Dedekind de un cuerpo de números cuyo anillo de números enteros no posee una base de potencia. Una base integral está dada por {1, α, α(α + 1)/2} y el discriminante de K es −503. ^{[5] [6]}
• Discriminantes repetidos: el discriminante de un cuerpo cuadrático lo identifica de forma única, pero esto no es cierto, en general, para cuerpos numéricos de grado superior . Por ejemplo, hay dos cuerpos cúbicos no isomorfos de discriminante 3969. Se obtienen al adjuntar una raíz del polinomio x ³ − 21 x + 28 o x ³ − 21 x − 35 , respectivamente. ^[7]

Resultados básicos

• Teorema de Brill : ^[8] El signo del discriminante es (−1) ^{r ₂} donde r ₂ es el número de lugares complejos de K . ^[9]
• Un primo p se ramifica en K si y sólo si p divide a Δ _K  . ^{[10] [11]}
• Teorema de Stickelberger : ^[12]

${\displaystyle \Delta _{K}\equiv 0{\text{ or }}1{\pmod {4}}.}$

• Límite de Minkowski : ^[13] Sea n el grado de la extensión K / Q y r ₂ el número de lugares complejos de K , entonces

${\displaystyle |\Delta _{K}|^{1/2}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{r_{2}}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{n/2}.}$

• Teorema de Minkowski : ^[14] Si K no es Q , entonces |Δ _K | > 1 (esto se deduce directamente del límite de Minkowski).
• Teorema de Hermite-Minkowski : ^[15] Sea N un entero positivo. Solo hay un número finito (salvo isomorfismos) de cuerpos numéricos algebraicos K con |Δ _K | < N . Nuevamente, esto se deduce del límite de Minkowski junto con el teorema de Hermite (que solo hay un número finito de cuerpos numéricos algebraicos con discriminante prescrito).

Historia

Richard Dedekind demostró que cada cuerpo numérico posee una base integral, lo que le permitió definir el discriminante de un cuerpo numérico arbitrario. ^[16]

La definición del discriminante de un cuerpo numérico algebraico general, K , fue dada por Dedekind en 1871. ^[16] En este punto, ya conocía la relación entre el discriminante y la ramificación. ^[17]

El teorema de Hermite es anterior a la definición general del discriminante, ya que Charles Hermite publicó una prueba del mismo en 1857. ^[18] En 1877, Alexander von Brill determinó el signo del discriminante. ^[19] Leopold Kronecker fue el primero en formular el teorema de Minkowski en 1882, ^[20] aunque la primera prueba la dio Hermann Minkowski en 1891. ^[21] Ese mismo año, Minkowski publicó su límite sobre el discriminante. ^[22] Cerca del final del siglo XIX, Ludwig Stickelberger obtuvo su teorema sobre el residuo del discriminante módulo cuatro. ^{[23] [24]}

Discriminante relativo

El discriminante definido anteriormente se denomina a veces discriminante absoluto de K para distinguirlo del discriminante relativo Δ _{K / L} de una extensión de cuerpos numéricos K / L , que es un ideal en O _L . El discriminante relativo se define de manera similar al discriminante absoluto, pero debe tener en cuenta que los ideales en O _L pueden no ser principales y que puede no haber una base O _L de O _K . Sea {σ ₁ , ..., σ _n } el conjunto de incrustaciones de K en C que son la identidad en L . Si b ₁ , ..., b _n es cualquier base de K sobre L , sea d ( b ₁ , ..., b _n ) el cuadrado del determinante de la matriz n por n cuya entrada ( i , j ) es σ _i ( b _j ). Entonces, el discriminante relativo de K / L es el ideal generado por d ( b ₁ , ..., b _n ) cuando { b ₁ , ..., b _n } varía sobre todas las bases integrales de K / L . (es decir, bases con la propiedad de que b _i  ∈  O _K para todo i .) Alternativamente, el discriminante relativo de K / L es la norma de la diferencia de K / L . ^[25] Cuando L = Q , el discriminante relativo Δ _{K / Q} es el ideal principal de Z generado por el discriminante absoluto Δ _K  . En una torre de campos K / L / F los discriminantes relativos están relacionados por

${\displaystyle \Delta _{K/F}={\mathcal {N}}_{L/F}\left({\Delta _{K/L}}\right)\Delta _{L/F}^{[K:L]}}$

donde denota norma relativa . ^[26] ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

Ramificación

El discriminante relativo regula los datos de ramificación de la extensión de campo K / L . Un ideal primo p de L se ramifica en K si, y solo si, divide al discriminante relativo Δ _{K / L} . Una extensión no está ramificada si, y solo si, el discriminante es el ideal unitario. ^[25] El límite de Minkowski anterior muestra que no hay extensiones no ramificadas no triviales de Q . Los campos mayores que Q pueden tener extensiones no ramificadas: por ejemplo, para cualquier campo con número de clase mayor que uno, su campo de clase de Hilbert es una extensión no ramificada no trivial.

Discriminante de raíz

El discriminante raíz de un cuerpo numérico de grado n K se define mediante la fórmula

${\displaystyle \operatorname {rd} _{K}=|\Delta _{K}|^{1/n}.}$^[27]

La relación entre discriminantes relativos en una torre de campos muestra que el discriminante raíz no cambia en una extensión no ramificada.

Límites inferiores asintóticos

Dados los números racionales no negativos ρ y σ , no ambos 0, y un entero positivo n tal que el par ( r ,2 s ) = ( ρn , σn ) está en Z  × 2 Z , sea α _n ( ρ ,  σ ) el ínfimo de rd _K cuando K abarca cuerpos de números de grado n con r incrustaciones reales y 2 s incrustaciones complejas, y sea α ( ρ ,  σ ) = liminf _{n →∞}  α _n ( ρ ,  σ ). Entonces

${\displaystyle \alpha (\rho ,\sigma )\geq 60.8^{\rho }22.3^{\sigma }}$,

y la hipótesis generalizada de Riemann implica el límite más fuerte

${\displaystyle \alpha (\rho ,\sigma )\geq 215.3^{\rho }44.7^{\sigma }.}$^[28]

También hay un límite inferior que se cumple en todos los grados, no sólo de forma asintótica: para campos totalmente reales, el discriminante raíz es > 14, con 1229 excepciones. ^[29]

Límites superiores asintóticos

Por otra parte, la existencia de una torre de campos de clase infinita puede dar límites superiores a los valores de α ( ρ ,  σ ). Por ejemplo, la torre de campos de clase infinita sobre Q ( √ - m ) con m  = 3·5·7·11·19 produce campos de grado arbitrariamente grande con discriminante raíz 2 √ m ≈ 296.276, ^[28] por lo que α (0,1) < 296.276. Utilizando torres ligeramente ramificadas , Hajir y Maire han demostrado que α (1,0) < 954.3 y α (0,1) < 82.2, ^[27] mejorando los límites anteriores de Martinet. ^{[28] [30]}

Relación con otras magnitudes

• Cuando se incorpora en , el volumen del dominio fundamental de O _K es (a veces se utiliza una medida diferente y el volumen obtenido es , donde r ₂ es el número de lugares complejos de K ). ${\displaystyle K\otimes _{\mathbf {Q} }\mathbf {R} }$ ${\displaystyle {\sqrt {|\Delta _{K}|}}}$ ${\displaystyle 2^{-r_{2}}{\sqrt {|\Delta _{K}|}}}$
• Debido a su aparición en este volumen, el discriminante también aparece en la ecuación funcional de la función zeta de Dedekind de K , y por tanto en la fórmula del número de clase analítico y en el teorema de Brauer-Siegel .
• El discriminante relativo de K / L es el conductor de Artin de la representación regular del grupo de Galois de K / L . Esto proporciona una relación con los conductores de Artin de los caracteres del grupo de Galois de K / L , llamada fórmula del conductor-discriminante . ^[31]

Notas

1. Cohen, Díaz y Díaz & Olivier 2002
2. Manin, Yu. I. ; Panchishkin, AA (2007), Introducción a la teoría de números moderna , Enciclopedia de ciencias matemáticas, vol. 49 (segunda ed.), pág. 130, ISBN 978-3-540-20364-3, ISSN  0938-0396, Zbl  1079.11002
3. Definición 5.1.2 de Cohen 1993
4. Proposición 2.7 de Washington de 1997
5. Dedekind 1878, págs. 30-31
6. Narkiewicz 2004, pág. 64
7. Cohen 1993, Teorema 6.4.6
8. Koch 1997, pág. 11
9. Lema 2.2 de Washington 1997
10. Corolario III.2.12 de Neukirch 1999
11. Conrad, Keith. "Discriminantes y primos ramificados" (PDF) . Teorema 1.3 (Dedekind). Para un cuerpo de números K, un primo p se ramifica en K si y sólo si p divide al entero discZ(OK)
12. Ejercicio I.2.7 de Neukirch 1999
13. Proposición III.2.14 de Neukirch 1999
14. Teorema III.2.17 de Neukirch 1999
15. Teorema III.2.16 de Neukirch 1999
16. Suplemento X de Dedekind de la segunda edición de Vorlesungen über Zahlentheorie de Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Dedekind 1871)
17. Bourbaki 1994
18. Hermita 1857.
19. Brillante 1877.
20. Kronecker 1882.
21. Minkowski 1891a.
22. Minkowski 1891b.
23. Stickelberger 1897.
24. Todos los datos de este párrafo se pueden encontrar en Narkiewicz 2004, pp. 59, 81
25. Neukirch 1999, §III.2
26. Corolario III.2.10 de Neukirch 1999 o Proposición III.2.15 de Fröhlich & Taylor 1993
27. Hajir, Farshid; Maire, Christian (2002). "Torres ramificadas mansamente y límites discriminantes para cuerpos numéricos. II". J. Symbolic Comput. 33 : 415–423. doi : 10.1023/A:1017537415688 .
28. Koch 1997, págs. 181-182
29. Voight 2008
30. Martinet, Jacques (1978). "Tours de corps declasses et estimaciones de discriminants". Inventiones Mathematicae (en francés). 44 : 65–73. Código Bib : 1978 InMat..44...65M. doi :10.1007/bf01389902. S2CID  122278145. Zbl  0369.12007.
31. Sección 4.4 de Serre 1967

Referencias

Fuentes primarias

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• Dedekind, Richard (1871), Vorlesungen über Zahlentheorie von PG Lejeune Dirichlet (2 ed.), Vieweg , consultado el 5 de agosto de 2009
• Dedekind, Richard (1878), "Über den Zusammenhang zwischen der Theorie der Ideale und der Theorie der höheren Congruenzen", Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen , 23 (1) , recuperado 2009-08-20
• Hermite, Charles (1857), "Extrait d'une lettre de MC Hermite à M. Borchardt sur le nombre limité d'irrationalités auxquelles se réduisent les racines des équations à coeficientes entiers complexes d'un degré et d'un discriminant donnés", Crelle's Journal , 1857 (53): 182–192, doi :10.1515/crll.1857.53.182, S2CID  120694650 , consultado el 20 de agosto de 2009
• Kronecker, Leopold (1882), "Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen", Crelle's Journal , 92 : 1–122, JFM  14.0038.02 , consultado el 20 de agosto de 2009
• Minkowski, Hermann (1891a), "Ueber die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen", Crelle's Journal , 1891 (107): 278–297, doi :10.1515/crll.1891.107.278, JFM  23.0212.01 , retrieved 2009-08 -20
• Minkowski, Hermann (1891b), "Théorèmes d'arithmétiques", Comptes rendus de l'Académie des sciences , 112 : 209–212, JFM  23.0214.01
• Stickelberger, Ludwig (1897), "Über eine neue Eigenschaft der Diskriminanten algebraischer Zahlkörper", Actas del Primer Congreso Internacional de Matemáticos, Zürich , págs. 182-193, JFM  29.0172.03

Fuentes secundarias

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• Cohen, Henri (1993), Un curso de teoría algebraica computacional de números , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 138, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-55640-4, Sr.  1228206
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• Voight, John (2008), "Enumeration of totally real number fields of bounded root discriminant", en van der Poorten, Alfred J. ; Stein, Andreas (eds.), Algorithmic number theory. Proceedings, 8th International Symposium, ANTS-VIII, Banff, Canadá, mayo de 2008 , Lecture Notes in Computer Science, vol. 5011, Berlín: Springer-Verlag, pp. 268–281, arXiv : 0802.0194 , doi :10.1007/978-3-540-79456-1_18, ISBN 978-3-540-79455-4, MR  2467853, S2CID  30036220, Zbl  1205.11125
• Washington, Lawrence (1997), Introducción a los campos ciclotómicos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 83 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4, MR  1421575, Zbl  0966.11047

Lectura adicional

• Milne, James S. (1998), Teoría de números algebraicos , consultado el 20 de agosto de 2008