Función de transferencia

Función que especifica el comportamiento de un componente en un sistema electrónico o de control.

En ingeniería , una función de transferencia (también conocida como función de sistema ^[1] o función de red ) de un sistema, subsistema o componente es una función matemática que modela la salida del sistema para cada entrada posible. ^{[2] [3] [4]} Se utiliza ampliamente en herramientas de ingeniería electrónica como simuladores de circuitos y sistemas de control . En casos simples, esta función se puede representar como un gráfico bidimensional de una entrada escalar independiente versus la salida escalar dependiente (conocida como curva de transferencia o curva característica ). Las funciones de transferencia para componentes se utilizan para diseñar y analizar sistemas ensamblados a partir de componentes, particularmente utilizando la técnica del diagrama de bloques , en electrónica y teoría de control .

Las dimensiones y unidades de la función de transferencia modelan la respuesta de salida del dispositivo para una variedad de entradas posibles. La función de transferencia de un circuito electrónico de dos puertos , como un amplificador , podría ser una gráfica bidimensional del voltaje escalar en la salida en función del voltaje escalar aplicado a la entrada; la función de transferencia de un actuador electromecánico podría ser el desplazamiento mecánico del brazo móvil en función de la corriente eléctrica aplicada al dispositivo; La función de transferencia de un fotodetector podría ser el voltaje de salida en función de la intensidad luminosa de la luz incidente de una longitud de onda determinada .

El término "función de transferencia" también se utiliza en el análisis en el dominio de la frecuencia de sistemas que utilizan métodos de transformada, como la transformada de Laplace ; es la amplitud de la salida en función de la frecuencia de la señal de entrada. La función de transferencia de un filtro electrónico es la amplitud en la salida en función de la frecuencia de una onda sinusoidal de amplitud constante aplicada a la entrada. Para los dispositivos de imágenes ópticas, la función de transferencia óptica es la transformada de Fourier de la función de dispersión puntual (una función de la frecuencia espacial ).

Sistemas lineales invariantes en el tiempo

Las funciones de transferencia se utilizan comúnmente en el análisis de sistemas, como filtros de entrada única y salida única en procesamiento de señales , teoría de la comunicación y teoría del control . El término se utiliza a menudo exclusivamente para referirse a sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI). La mayoría de los sistemas reales tienen características de entrada-salida no lineales , pero muchos sistemas operados dentro de parámetros nominales (no sobredirigidos) tienen un comportamiento lo suficientemente cercano a lineal como para que la teoría del sistema LTI sea una representación aceptable de su comportamiento de entrada-salida.

Tiempo continuo

Las descripciones se dan en términos de una variable compleja . En muchas aplicaciones es suficiente establecer (por lo tanto ), lo que reduce las transformadas de Laplace con argumentos complejos a transformadas de Fourier con el argumento real ω. Esto es común en aplicaciones interesadas principalmente en la respuesta de estado estable del sistema LTI (suele ser el caso en el procesamiento de señales y la teoría de la comunicación ), no en la respuesta transitoria de encendido y apagado fugaz o en problemas de estabilidad. ${\displaystyle s=\sigma +j\cdot \omega }$ ${\displaystyle \sigma =0}$ ${\displaystyle s=j\cdot \omega }$

Para señales de entrada y salida de tiempo continuo , al dividir la transformada de Laplace de la salida, por la transformada de Laplace de la entrada, se obtiene la función de transferencia del sistema : ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}$ ${\displaystyle X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}$ ${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}{{\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}}}$

que se puede reorganizar como:

${\displaystyle Y(s)=H(s)\;X(s)\,.}$

Tiempo discreto

Las señales de tiempo discreto se pueden representar como matrices indexadas por un número entero (por ejemplo, para entrada y salida). En lugar de utilizar la transformada de Laplace (que es mejor para señales de tiempo continuo), las señales de tiempo discreto se tratan utilizando la transformada z (anotada con la letra mayúscula correspondiente, como y ), por lo que la función de transferencia de un sistema de tiempo discreto puede escribirse como: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle y[n]}$ ${\displaystyle X(z)}$ ${\displaystyle Y(z)}$

$${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {{\mathcal {Z}}\{y[n]\}}{{\mathcal {Z}}\{x[n]\}}}.}$$

Derivación directa de ecuaciones diferenciales.

Una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes.

${\displaystyle L[u]={\frac {d^{n}u}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}u}{dt^{n-1}}}+\dotsb +a_{n-1}{\frac {du}{dt}}+a_{n}u=r(t)}$

donde u y r son funciones adecuadamente suaves de t , y L es el operador definido en el espacio funcional relevante, transforma u en r . Ese tipo de ecuación se puede utilizar para restringir la función de salida u en términos de la función forzada r . La función de transferencia se puede utilizar para definir un operador que actúa como inverso derecho de L , lo que significa que . ${\displaystyle F[r]=u}$ ${\displaystyle L[F[r]]=r}$

Las soluciones de la ecuación diferencial homogénea de coeficiente constante se pueden encontrar probando . Esa sustitución produce el polinomio característico. ${\displaystyle L[u]=0}$ ${\displaystyle u=e^{\lambda t}}$

${\displaystyle p_{L}(\lambda )=\lambda ^{n}+a_{1}\lambda ^{n-1}+\dotsb +a_{n-1}\lambda +a_{n}\,}$

El caso no homogéneo se puede resolver fácilmente si la función de entrada r también tiene la forma . Sustituyendo , si definimos ${\displaystyle r(t)=e^{st}}$ ${\displaystyle u=H(s)e^{st}}$ ${\displaystyle L[H(s)e^{st}]=e^{st}}$

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{p_{L}(s)}}\qquad {\text{wherever }}\quad p_{L}(s)\neq 0.}$

Se utilizan otras definiciones de la función de transferencia, por ejemplo ^[5] ${\displaystyle 1/p_{L}(ik).}$

Ganancia, comportamiento transitorio y estabilidad.

Se puede escribir una entrada sinusoidal general a un sistema de frecuencia . La respuesta de un sistema a una entrada sinusoidal que comienza en el tiempo consistirá en la suma de la respuesta en estado estacionario y una respuesta transitoria. La respuesta en estado estacionario es la salida del sistema en el límite de tiempo infinito, y la respuesta transitoria es la diferencia entre la respuesta y la respuesta en estado estacionario; corresponde a la solución homogénea de la ecuación diferencial . La función de transferencia para un sistema LTI se puede escribir como el producto: ${\displaystyle \omega _{0}/(2\pi )}$ ${\displaystyle \exp(j\omega _{0}t)}$ ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle H(s)=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{s-s_{P_{i}}}}}$

donde s _{P i} son las N raíces del polinomio característico y serán los polos de la función de transferencia. En una función de transferencia con un solo polo donde , la transformada de Laplace de una sinusoide general de amplitud unitaria será . La transformada de Laplace de la salida será y la salida temporal será la transformada de Laplace inversa de esa función: ${\displaystyle H(s)={\frac {1}{s-s_{P}}}}$ ${\displaystyle s_{P}=\sigma _{P}+j\omega _{P}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{s-j\omega _{i}}}}$ ${\displaystyle {\frac {H(s)}{s-j\omega _{0}}}}$

${\displaystyle g(t)={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}-e^{(\sigma _{P}+j\,\omega _{P})t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}}$

El segundo término del numerador es la respuesta transitoria, y en el límite del tiempo infinito divergerá hasta el infinito si σ _P es positivo. Para que un sistema sea estable, su función de transferencia no debe tener polos cuyas partes reales sean positivas. Si la función de transferencia es estrictamente estable, las partes reales de todos los polos serán negativas y el comportamiento transitorio tenderá a cero en el límite del tiempo infinito. La salida en estado estacionario será:

${\displaystyle g(\infty )={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}}$

La respuesta de frecuencia (o "ganancia") G del sistema se define como el valor absoluto de la relación entre la amplitud de salida y la amplitud de entrada en estado estable:

${\displaystyle G(\omega _{i})=\left|{\frac {1}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}\right|={\frac {1}{\sqrt {\sigma _{P}^{2}+(\omega _{P}-\omega _{0})^{2}}}},}$

que es el valor absoluto de la función de transferencia evaluada en . Este resultado es válido para cualquier número de polos de función de transferencia. ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle j\omega _{i}}$

Procesamiento de la señal

Si es la entrada a un sistema lineal general invariante en el tiempo , y es la salida, y la transformada de Laplace bilateral de y es ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X(s)&={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-st}\,dt,\\Y(s)&={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-st}\,dt.\end{aligned}}}$

La salida está relacionada con la entrada mediante la función de transferencia como ${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle Y(s)=H(s)X(s)}$

y la función de transferencia en sí es

${\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}.}$

Si una señal armónica compleja con componente sinusoidal con amplitud , frecuencia angular y fase , donde arg es el argumento ${\displaystyle |X|}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \arg(X)}$

${\displaystyle x(t)=Xe^{j\omega t}=|X|e^{j(\omega t+\arg(X))}}$

dónde ${\displaystyle X=|X|e^{j\arg(X)}}$

se ingresa a un sistema lineal invariante en el tiempo, el componente correspondiente en la salida es:

${\displaystyle {\begin{aligned}y(t)&=Ye^{j\omega t}=|Y|e^{j(\omega t+\arg(Y))},\\Y&=|Y|e^{j\arg(Y)}.\end{aligned}}}$

En un sistema lineal invariante en el tiempo, la frecuencia de entrada no ha cambiado; El sistema sólo ha cambiado la amplitud y el ángulo de fase de la sinusoide. La respuesta de frecuencia describe este cambio para cada frecuencia en términos de ganancia. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle H(j\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle G(\omega )={\frac {|Y|}{|X|}}=|H(j\omega )|}$

y cambio de fase

${\displaystyle \phi (\omega )=\arg(Y)-\arg(X)=\arg(H(j\omega )).}$

El retraso de fase (la cantidad de retraso dependiente de la frecuencia introducida en la sinusoide por la función de transferencia) es

${\displaystyle \tau _{\phi }(\omega )=-{\frac {\phi (\omega )}{\omega }}.}$

El retraso de grupo (la cantidad de retraso dependiente de la frecuencia introducida en la envolvente de la sinusoide por la función de transferencia) se calcula calculando la derivada del desplazamiento de fase con respecto a la frecuencia angular . ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}.}$

La función de transferencia también se puede mostrar usando la transformada de Fourier , un caso especial de transformada de Laplace bilateral donde . ${\displaystyle s=j\omega }$

Familias de funciones de transferencia comunes

Aunque cualquier sistema LTI puede describirse mediante alguna función de transferencia, comúnmente se utilizan "familias" de funciones de transferencia especiales:

• Filtro Butterworth  : máximamente plano en banda de paso y banda de parada para el orden dado
• Filtro Chebyshev (Tipo I)  : máximamente plano en la banda de parada, corte más nítido que un filtro Butterworth del mismo orden
• Filtro Chebyshev (Tipo II): máximamente plano en banda de paso, corte más nítido que un filtro Butterworth del mismo orden
• Filtro Bessel : retardo de grupo  máximo constante para un pedido determinado
• Filtro elíptico  : corte más nítido (transición más estrecha entre banda de paso y banda de parada) para el orden dado
• Filtro "L" óptimo
• Filtro gaussiano  – retardo mínimo de grupo; no da exceso a una función de paso
• Filtro de reloj de arena
• Filtro de coseno elevado

Ingeniería de control

En ingeniería de control y teoría de control , la función de transferencia se deriva con la transformada de Laplace . La función de transferencia fue la herramienta principal utilizada en la ingeniería de control clásica. Se puede obtener una matriz de transferencia para cualquier sistema lineal para analizar su dinámica y otras propiedades; cada elemento de una matriz de transferencia es una función de transferencia que relaciona una variable de entrada particular con una variable de salida. Howard H. Rosenbrock propuso una representación que une los métodos del espacio de estados y la función de transferencia , y se conoce como matriz del sistema Rosenbrock .

Imágenes

En imágenes , las funciones de transferencia se utilizan para describir la relación entre la luz de la escena, la señal de la imagen y la luz mostrada.

Sistemas no lineales

Las funciones de transferencia no existen para muchos sistemas no lineales , como los osciladores de relajación ; ^[6] sin embargo, a veces se pueden utilizar funciones descriptivas para aproximar tales sistemas no lineales invariantes en el tiempo.

Ver también

• Computadora analógica
• Caja negra
• trama de presagio
• Circunvolución
• principio de duhamel
• Respuesta frecuente
• Respuesta impulsiva
• transformada de Laplace
• Teoría del sistema LTI
• Trama de Nyquist
• Amplificador operacional
• Función de transferencia óptica
• Función de transferencia adecuada
• Matriz del sistema Rosenbrock
• Parcela semilogarítmica
• Gráfico de flujo de señal
• Función de transferencia de señal

Referencias

1. Bernd Girod , Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger, Señales y sistemas , 2ª ed., Wiley, 2001, ISBN  0-471-98800-6 p. 50
2. MA Laughton; DF Warne (27 de septiembre de 2002). Libro de referencia del ingeniero eléctrico (16 ed.). Newnes. págs. 14/9–14/10. ISBN 978-0-08-052354-5.
3. EA Parr (1993). Manual del diseñador lógico: circuitos y sistemas (2ª ed.). Novedad. págs. 65–66. ISBN 978-1-4832-9280-9.
4. Ian Sinclair; John Dunton (2007). Servicios electrónicos y eléctricos: electrónica comercial y de consumo . Rutledge. pag. 172.ISBN _ 978-0-7506-6988-7.
5. Birkhoff, Garrett; Rota, Gian-Carlo (1978). Ecuaciones diferenciales ordinarias . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-05224-1.^{[ página necesaria ]}
6. Valentijn De Smedt, Georges Gielen y Wim Dehaene (2015). Referencias de tiempo independientes de la temperatura y el voltaje de suministro para redes de sensores inalámbricos . Saltador. pag. 47.ISBN _ 978-3-319-09003-0.

enlaces externos

• ECE 209: Revisión de circuitos como sistemas LTI: breve introducción al análisis matemático de sistemas LTI (eléctricos).