La función de dispersión puntual ( PSF ) describe la respuesta de un sistema de imágenes ópticas enfocadas a una fuente puntual u objeto puntual. Un término más general para el PSF es respuesta al impulso del sistema ; el PSF es la respuesta al impulso o función de respuesta al impulso (IRF) de un sistema de imágenes ópticas enfocadas. En muchos contextos, el PSF puede considerarse como la mancha extendida en una imagen que representa un objeto puntual único, que se considera como un impulso espacial. En términos funcionales, es la versión del dominio espacial (es decir, la transformada de Fourier inversa) de la función de transferencia óptica (OTF) de un sistema de imágenes . Es un concepto útil en óptica de Fourier , imágenes astronómicas , imágenes médicas , microscopía electrónica y otras técnicas de imágenes como la microscopía 3D (como en la microscopía de barrido láser confocal ) y la microscopía de fluorescencia .
El grado de dispersión (borroso) en la imagen de un objeto puntual para un sistema de imágenes es una medida de la calidad del sistema de imágenes. En sistemas de imágenes no coherentes , como microscopios fluorescentes , telescopios o microscopios ópticos, el proceso de formación de imágenes es lineal en la intensidad de la imagen y se describe mediante una teoría de sistemas lineales . Esto significa que cuando se obtienen imágenes de dos objetos A y B simultáneamente mediante un sistema de imágenes no coherente, la imagen resultante es igual a la suma de los objetos fotografiados de forma independiente. En otras palabras: la imagen de A no se ve afectada por la imagen de B y viceversa , debido a la propiedad de los fotones de no interactuar. En sistemas invariantes en el espacio, es decir, aquellos en los que el PSF es el mismo en todas partes del espacio de imagen, la imagen de un objeto complejo es entonces la convolución de ese objeto y el PSF. El PSF se puede derivar de integrales de difracción. [1]
En virtud de la propiedad de linealidad de los sistemas ópticos de imágenes no coherentes , es decir,
La imagen de un objeto en un microscopio o telescopio como un sistema de imágenes no coherente se puede calcular expresando el campo del plano del objeto como una suma ponderada de funciones de impulso 2D y luego expresando el campo del plano de la imagen como una suma ponderada de las imágenes. de estas funciones de impulso. Esto se conoce como principio de superposición , válido para sistemas lineales . Las imágenes de las funciones de impulso individuales en el plano del objeto se denominan funciones de dispersión puntual (PSF), y reflejan el hecho de que un punto matemático de luz en el plano del objeto se extiende para formar un área finita en el plano de la imagen. (En algunas ramas de las matemáticas y la física, estas podrían denominarse funciones de Green o funciones de respuesta al impulso . Las PSF se consideran funciones de respuesta al impulso para sistemas de imágenes.
Cuando el objeto se divide en objetos puntuales discretos de intensidad variable, la imagen se calcula como la suma del PSF de cada punto. Como el PSF normalmente está determinado en su totalidad por el sistema de imágenes (es decir, microscopio o telescopio), la imagen completa se puede describir conociendo las propiedades ópticas del sistema. Este proceso de obtención de imágenes suele formularse mediante una ecuación de convolución . En el procesamiento de imágenes microscópicas y en astronomía , conocer el PSF del dispositivo de medición es muy importante para restaurar el objeto (original) mediante deconvolución . Para el caso de los rayos láser, el PSF se puede modelar matemáticamente utilizando los conceptos de haces gaussianos . [3] Por ejemplo, la deconvolución del PSF modelado matemáticamente y la imagen mejora la visibilidad de las características y elimina el ruido de la imagen. [2]
La función de dispersión de puntos puede ser independiente de la posición en el plano del objeto, en cuyo caso se denomina invariante de desplazamiento . Además, si no hay distorsión en el sistema, las coordenadas del plano de la imagen están relacionadas linealmente con las coordenadas del plano del objeto mediante la ampliación M como:
Si el sistema de imágenes produce una imagen invertida, podemos simplemente considerar los ejes de coordenadas del plano de la imagen como invertidos respecto de los ejes del plano del objeto. Con estos dos supuestos, es decir, que el PSF es invariante al desplazamiento y que no hay distorsión, calcular la integral de convolución del plano de la imagen es un proceso sencillo.
Matemáticamente, podemos representar el campo del plano objeto como:
es decir, como una suma sobre funciones de impulso ponderadas, aunque en realidad esto también es simplemente indicar la propiedad de tamizado de las funciones delta 2D (que se analiza más adelante). Reescribir la función de transmitancia del objeto en el formulario anterior nos permite calcular el campo del plano de la imagen como la superposición de las imágenes de cada una de las funciones de impulso individuales, es decir, como una superposición sobre las funciones de dispersión de puntos ponderados en el plano de la imagen usando la misma función de ponderación. como en el plano del objeto, es decir, . Matemáticamente, la imagen se expresa como:
en la cual está la imagen de la función de impulso .
La función de impulso 2D puede considerarse como el límite (ya que la dimensión lateral w tiende a cero) de la función "poste cuadrado", que se muestra en la siguiente figura.
Imaginamos el plano del objeto descompuesto en áreas cuadradas como ésta, cada una de las cuales tiene su propia función de poste cuadrado asociada. Si la altura, h , del poste se mantiene en 1/w 2 , entonces, cuando la dimensión lateral w tiende a cero, la altura, h , tiende al infinito de tal manera que el volumen (integral) permanece constante en 1. Esto le da al impulso 2D la propiedad de tamizado (que está implícita en la ecuación anterior), que dice que cuando la función de impulso 2D, δ( x − u , y − v ), se integra con cualquier otra función continua, f ( u , v ) , "tamiza" el valor de f en el lugar del impulso, es decir, en el punto ( x , y ) .
El concepto de un objeto fuente puntual perfecto es fundamental para la idea de PSF. Sin embargo, no existe en la naturaleza un radiador de fuente puntual matemático perfecto; el concepto es completamente no físico y es más bien una construcción matemática utilizada para modelar y comprender los sistemas de imágenes ópticas. La utilidad del concepto de fuente puntual proviene del hecho de que una fuente puntual en el plano del objeto 2D solo puede irradiar una onda esférica perfecta de amplitud uniforme, una onda que tiene frentes de fase perfectamente esféricos que viajan hacia afuera con intensidad uniforme en todas partes de las esferas ( ver principio de Huygens-Fresnel ). En la siguiente figura se muestra una fuente de ondas esféricas uniformes. También observamos que un radiador de fuente puntual perfecta no sólo irradiará un espectro uniforme de ondas planas que se propagan, sino también un espectro uniforme de ondas que decaen exponencialmente ( evanescentes ), y son estas las responsables de una resolución más fina que una longitud de onda (ver Óptica de Fourier ). Esto se desprende de la siguiente expresión de transformada de Fourier para una función de impulso 2D,
La lente cuadrática intercepta una porción de esta onda esférica y la reenfoca en un punto borroso en el plano de la imagen. Para una sola lente , una fuente puntual en el eje en el plano del objeto produce un PSF de disco de Airy en el plano de la imagen. Se puede demostrar (ver Óptica de Fourier , Principio de Huygens-Fresnel , Difracción de Fraunhofer ) que el campo irradiado por un objeto plano (o, por reciprocidad, el campo que converge en una imagen plana) está relacionado con su correspondiente plano fuente (o imagen). distribución a través de una relación de transformada de Fourier (FT). Además, una función uniforme sobre un área circular (en un dominio FT) corresponde a J 1 ( x )/ x en el otro dominio FT, donde J 1 ( x ) es la función de Bessel de primer orden y de primer tipo. Es decir, una apertura circular uniformemente iluminada que pasa por una onda esférica uniforme convergente produce una imagen de disco de Airy en el plano focal. En la figura adjunta se muestra un gráfico de un disco de Airy de muestra.
Por lo tanto, la onda esférica convergente ( parcial ) que se muestra en la figura anterior produce un disco de Airy en el plano de la imagen. El argumento de la función J 1 ( x )/ x es importante, porque determina la escala del disco de Airy (en otras palabras, qué tan grande es el disco en el plano de la imagen). Si Θ max es el ángulo máximo que forman las ondas convergentes con el eje de la lente, r es la distancia radial en el plano de la imagen y el número de onda k = 2π/λ donde λ = longitud de onda, entonces el argumento de la función es: kr tan(Θ máx .) . Si Θ max es pequeño (sólo una pequeña porción de la onda esférica convergente está disponible para formar la imagen), entonces la distancia radial, r, tiene que ser muy grande antes de que el argumento total de la función se aleje del punto central. En otras palabras, si Θ max es pequeño, el disco de Airy es grande (lo cual es simplemente otra declaración del principio de incertidumbre de Heisenberg para los pares de la Transformada de Fourier, es decir, que una pequeña extensión en un dominio corresponde a una gran extensión en el otro dominio, y los dos son relacionados a través del producto espacio-ancho de banda ). En virtud de esto, los sistemas de gran aumento , que normalmente tienen valores pequeños de Θ máx (según la condición del seno de Abbe ), pueden tener más desenfoque en la imagen, debido al PSF más amplio. El tamaño del PSF es proporcional a la ampliación , por lo que el desenfoque no es peor en sentido relativo, pero sí definitivamente peor en sentido absoluto.
La figura de arriba ilustra el truncamiento de la onda esférica incidente por la lente. Para medir la función de dispersión puntual (o función de respuesta al impulso) de la lente, no se necesita una fuente puntual perfecta que irradie una onda esférica perfecta en todas las direcciones del espacio. Esto se debe a que la lente tiene sólo un ancho de banda finito (angular), o un ángulo de intersección finito. Por lo tanto, cualquier ancho de banda angular contenido en la fuente, que se extienda más allá del ángulo del borde de la lente (es decir, que quede fuera del ancho de banda del sistema), es esencialmente ancho de banda de la fuente desperdiciado porque la lente no puede interceptarlo para procesarlo. Como resultado, no se requiere una fuente puntual perfecta para medir una función de dispersión puntual perfecta. Todo lo que necesitamos es una fuente de luz que tenga al menos tanto ancho de banda angular como la lente que se está probando (y, por supuesto, que sea uniforme en ese sector angular). En otras palabras, sólo necesitamos una fuente puntual que sea producida por una onda esférica convergente (uniforme) cuyo medio ángulo sea mayor que el ángulo del borde de la lente.
Debido a la resolución intrínseca limitada de los sistemas de imágenes, los PSF medidos no están libres de incertidumbre. [4] En imágenes, se desea suprimir los lóbulos laterales del haz de imágenes mediante técnicas de apodización . En el caso de sistemas de transmisión de imágenes con distribución de haz gaussiano, el PSF se modela mediante la siguiente ecuación: [5]
donde el factor k depende de la relación de truncamiento y el nivel de irradiancia, NA es la apertura numérica, c es la velocidad de la luz, f es la frecuencia de los fotones del haz de imágenes, Ir es la intensidad del haz de referencia, a es un ajuste factor y es la posición radial desde el centro de la viga en el plano z correspondiente .
La teoría de la difracción de las funciones de dispersión puntual fue estudiada por primera vez por Airy en el siglo XIX. Desarrolló una expresión para la función de dispersión de puntos, amplitud e intensidad de un instrumento perfecto, libre de aberraciones (el llamado disco Airy ). Zernike y Nijboer estudiaron la teoría de las funciones de dispersión de puntos aberradas cerca del plano focal óptimo en las décadas de 1930 y 1940. Un papel central en su análisis lo desempeñan los polinomios circulares de Zernike , que permiten una representación eficiente de las aberraciones de cualquier sistema óptico con simetría rotacional. Resultados analíticos recientes han hecho posible ampliar el enfoque de Nijboer y Zernike para la evaluación de la función de dispersión de puntos a un gran volumen alrededor del punto focal óptimo. Esta teoría ampliada de Nijboer-Zernike (ENZ) permite estudiar la obtención de imágenes imperfectas de objetos tridimensionales en microscopía confocal o astronomía en condiciones de obtención de imágenes no ideales. La teoría ENZ también se ha aplicado a la caracterización de instrumentos ópticos con respecto a su aberración midiendo la distribución de intensidad a través del foco y resolviendo un problema inverso apropiado .
En microscopía, la determinación experimental de PSF requiere fuentes radiantes de subresolución (puntuales). Para este fin se suelen considerar los puntos cuánticos y las perlas fluorescentes . [6] [7] Los modelos teóricos descritos anteriormente, por otro lado, permiten el cálculo detallado del PSF para diversas condiciones de imagen. Generalmente se prefiere la forma más compacta de PSF con limitación de difracción . Sin embargo, mediante el uso de elementos ópticos apropiados (por ejemplo, un modulador de luz espacial ), la forma del PSF se puede diseñar para diferentes aplicaciones.
En astronomía observacional , la determinación experimental de una PSF suele ser muy sencilla debido a la amplia oferta de fuentes puntuales ( estrellas o quásares ). La forma y fuente del PSF pueden variar ampliamente según el instrumento y el contexto en el que se utiliza.
Para radiotelescopios y telescopios espaciales con difracción limitada , los términos dominantes en el PSF pueden inferirse de la configuración de la apertura en el dominio de Fourier . En la práctica, puede haber múltiples términos aportados por los distintos componentes de un sistema óptico complejo. Una descripción completa del PSF también incluirá la difusión de la luz (o fotoelectrones) en el detector, así como los errores de seguimiento en la nave espacial o el telescopio.
Para los telescopios ópticos terrestres, la turbulencia atmosférica (conocida como visión astronómica ) domina la contribución al PSF. En imágenes terrestres de alta resolución, a menudo se encuentra que el PSF varía con la posición en la imagen (un efecto llamado anisoplanatismo). En los sistemas de óptica adaptativa terrestres , el PSF es una combinación de la apertura del sistema con términos atmosféricos residuales no corregidos. [8]
El PSF también es un límite fundamental para la obtención de imágenes enfocadas convencionales de un agujero, [9] con un tamaño mínimo de impresión en el rango de 0,6-0,7 longitud de onda/NA, siendo NA la apertura numérica del sistema de imágenes. [10] [11] Por ejemplo, en el caso de un sistema EUV con una longitud de onda de 13,5 nm y NA = 0,33, el tamaño mínimo de orificio individual del que se pueden obtener imágenes está en el rango de 25 a 29 nm. Una máscara de cambio de fase tiene bordes de fase de 180 grados que permiten una resolución más fina. [9]
Las funciones de dispersión de puntos se han convertido recientemente en una herramienta de diagnóstico útil en oftalmología clínica . Los pacientes se miden con un sensor de frente de onda Shack-Hartmann y un software especial calcula el PSF para el ojo de ese paciente. Este método permite al médico simular tratamientos potenciales en un paciente y estimar cómo esos tratamientos alterarían el PSF del paciente. Además, una vez medido, el PSF se puede minimizar utilizando un sistema de óptica adaptativa. Esto, junto con una cámara CCD y un sistema de óptica adaptativa, se puede utilizar para visualizar estructuras anatómicas que de otro modo no serían visibles in vivo , como los fotorreceptores de cono. [12]
![{\displaystyle \mathrm {PSF} (f,z)=I_{r}(0,z,f)\exp \left[-z\alpha (f)-{\dfrac {2\rho ^{2}} {0.36{\frac {cka}{{\text{NA}}f}}{\sqrt {{1+\left({\frac {2\ln 2}{c\pi }}\left({\frac {\text{NA}}{0.56k}}\right)^{2}fz\right)}^{2}}}}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a99718e5f38c64ae7d567b6d9f0bd40d3781f92)
