En óptica , el disco Airy (o disco Airy ) y el patrón Airy son descripciones del punto de luz mejor enfocado que puede producir una lente perfecta con una apertura circular, limitada por la difracción de la luz. El disco de Airy es de importancia en física , óptica y astronomía .
El patrón de difracción resultante de una apertura circular uniformemente iluminada tiene una región central brillante , conocida como disco de Airy, que junto con la serie de anillos concéntricos alrededor se denomina patrón de Airy. Ambos llevan el nombre de George Biddell Airy . El fenómeno del disco y los anillos se conocía antes de Airy; John Herschel describió la apariencia de una estrella brillante vista a través de un telescopio con gran aumento para un artículo sobre la luz de 1828 para la Enciclopedia Metropolitana :
...la estrella se ve entonces (en circunstancias favorables de atmósfera tranquila, temperatura uniforme, etc.) como un disco planetario perfectamente redondo y bien definido, rodeado por dos, tres o más anillos alternativamente oscuros y brillantes, que, si examinados atentamente, se ven ligeramente coloreados en sus bordes. Se suceden casi a intervalos iguales alrededor del disco central.... [1]
Airy escribió el primer tratamiento teórico completo que explica el fenómeno (en 1835, "Sobre la difracción de un objeto de cristal con apertura circular"). [2]
Matemáticamente, el patrón de difracción se caracteriza por la longitud de onda de la luz que ilumina la apertura circular y el tamaño de la apertura. La apariencia del patrón de difracción se caracteriza además por la sensibilidad del ojo u otro detector utilizado para observar el patrón.
La aplicación más importante de este concepto es en cámaras , microscopios y telescopios . Debido a la difracción, el punto más pequeño en el que una lente o espejo puede enfocar un haz de luz es el tamaño del disco de Airy. Incluso si uno fuera capaz de hacer una lente perfecta, todavía existe un límite en la resolución de una imagen creada por dicha lente. Un sistema óptico en el que la resolución ya no está limitada por imperfecciones en las lentes sino sólo por la difracción se dice que está limitada por la difracción .
Lejos de la apertura, el ángulo en el que se produce el primer mínimo, medido desde la dirección de la luz entrante, viene dado por la fórmula aproximada:
o, para ángulos pequeños, simplemente
donde está en radianes, es la longitud de onda de la luz en metros y es el diámetro de la abertura en metros. El ancho total a la mitad del máximo está dado por
Airy escribió esta relación como
donde estaba el ángulo del primer mínimo en segundos de arco, era el radio de la apertura en pulgadas y se suponía que la longitud de onda de la luz era 0,000022 pulgadas (560 nm; la media de las longitudes de onda visibles). [3] Esto es igual a la resolución angular de una apertura circular. El criterio de Rayleigh para resolver apenas dos objetos que son fuentes puntuales de luz, como las estrellas vistas a través de un telescopio, es que el centro del disco de Airy del primer objeto se produce en el primer mínimo del disco de Airy del segundo. Esto significa que la resolución angular de un sistema limitado por difracción viene dada por las mismas fórmulas.
Sin embargo, mientras que el ángulo en el que se produce el primer mínimo (que a veces se describe como el radio del disco de Airy) depende sólo de la longitud de onda y el tamaño de la apertura, la apariencia del patrón de difracción variará con la intensidad (brillo) de la fuente de luz. . Debido a que cualquier detector (ojo, película, digital) utilizado para observar el patrón de difracción puede tener un umbral de intensidad para la detección, es posible que el patrón de difracción completo no sea evidente. En astronomía, los anillos exteriores frecuentemente no son visibles ni siquiera en una imagen muy ampliada de una estrella. Puede ser que ninguno de los anillos sea aparente, en cuyo caso la imagen de la estrella aparece como un disco (sólo el máximo central) en lugar de un patrón de difracción completo. Además, las estrellas más débiles aparecerán como discos más pequeños que las estrellas más brillantes, porque menos de su máximo central alcanza el umbral de detección. [4] Si bien en teoría todas las estrellas u otras "fuentes puntuales" de una longitud de onda determinada y vistas a través de una apertura determinada tienen el mismo radio de disco de Airy caracterizado por la ecuación anterior (y el mismo tamaño del patrón de difracción), diferenciándose sólo en la intensidad, la La apariencia es que las fuentes más débiles aparecen como discos más pequeños y las fuentes más brillantes aparecen como discos más grandes. [5] Esto fue descrito por Airy en su trabajo original: [6]
La rápida disminución de la luz en los anillos sucesivos explicará suficientemente la visibilidad de dos o tres anillos con una estrella muy brillante y la no visibilidad de los anillos con una estrella débil. La diferencia de los diámetros de los puntos centrales (o discos espurios) de diferentes estrellas... también se explica completamente. Así, el radio del disco espurio de una estrella débil, donde una luz de menos de la mitad de la intensidad de la luz central no produce ninguna impresión en el ojo, está determinado por [ s = 1,17/ a ], mientras que el radio del disco espurio de una estrella brillante, donde se percibe una luz de 1/10 de la intensidad de la luz central, está determinada por [ s = 1,97/ a ].
A pesar de esta característica del trabajo de Airy, el radio del disco de Airy a menudo se da simplemente como el ángulo del primer mínimo, incluso en los libros de texto estándar. [7] En realidad, el ángulo del primer mínimo es un valor límite para el tamaño del disco de Airy, y no un radio definido.
Si dos objetos fotografiados por una cámara están separados por un ángulo lo suficientemente pequeño como para que sus discos Airy en el detector de la cámara comiencen a superponerse, los objetos ya no se pueden separar claramente en la imagen y comienzan a difuminarse. Se dice que dos objetos están simplemente resueltos cuando el máximo del primer patrón de Airy cae sobre el primer mínimo del segundo patrón de Airy (el criterio de Rayleigh ).
Por lo tanto, la separación angular más pequeña que pueden tener dos objetos antes de que se desdibujen significativamente está dada como se indicó anteriormente por
Por tanto, la capacidad del sistema para resolver detalles está limitada por la relación de λ/ d . Cuanto mayor sea la apertura para una longitud de onda determinada, más finos serán los detalles que se pueden distinguir en la imagen.
Esto también se puede expresar como
El número f más rápido para el ojo humano es aproximadamente 2,1, [8] correspondiente a una función de dispersión de puntos limitada por difracción con aproximadamente 1 μm de diámetro. Sin embargo, con este número f, la aberración esférica limita la agudeza visual, mientras que un diámetro de pupila de 3 mm (f/5,7) se aproxima a la resolución alcanzada por el ojo humano. [9] La densidad máxima de conos en la fóvea humana es aproximadamente 170.000 por milímetro cuadrado, [10] lo que implica que el espacio entre los conos en el ojo humano es de aproximadamente 2,5 μm, aproximadamente el diámetro de la función de dispersión del punto en f/5.
Un rayo láser circular con intensidad uniforme a lo largo del círculo (un rayo de superficie plana) enfocado por una lente formará un patrón de disco de Airy en el foco. El tamaño del disco Airy determina la intensidad del láser en el foco.
Algunas miras para apuntar armas (por ejemplo, FN FNC ) requieren que el usuario alinee una mirilla (mira trasera, cercana, es decir, que estará desenfocada) con una punta (que debe estar enfocada y superpuesta al objetivo) en el extremo de la mira. barril. Al mirar a través de la mirilla, el usuario notará un disco Airy que ayudará a centrar la mira sobre el pasador. [11]
La luz procedente de una apertura circular uniformemente iluminada (o de un haz uniforme y plano) exhibirá un patrón de difracción de Airy lejos de la apertura debido a la difracción de Fraunhofer (difracción de campo lejano).
Las condiciones para estar en el campo lejano y exhibir un patrón de Airy son: la luz entrante que ilumina la apertura es una onda plana (sin variación de fase a través de la apertura), la intensidad es constante en el área de la apertura y la distancia desde el La apertura donde se observa la luz difractada (la distancia de la pantalla) es grande en comparación con el tamaño de la apertura, y el radio de la apertura no es mucho mayor que la longitud de onda de la luz. Las dos últimas condiciones se pueden escribir formalmente como
En la práctica, las condiciones para una iluminación uniforme se pueden cumplir colocando la fuente de iluminación lejos de la abertura. Si no se cumplen las condiciones para el campo lejano (por ejemplo, si la apertura es grande), el patrón de difracción Airy de campo lejano también se puede obtener en una pantalla mucho más cercana a la apertura utilizando una lente justo después de la apertura (o la lente). sí mismo puede formar la apertura). El patrón Airy se formará entonces en el foco de la lente en lugar de en el infinito.
Por lo tanto, el punto focal de un rayo láser circular uniforme (un rayo plano) enfocado por una lente también será un patrón de Airy.
En una cámara o sistema de imágenes, la lente del objetivo refleja un objeto lejano en la película o en el plano del detector, y el patrón de difracción del campo lejano se observa en el detector. La imagen resultante es una convolución de la imagen ideal con el patrón de difracción de Airy debido a la difracción de la apertura del iris o al tamaño finito de la lente. Esto conduce a la resolución finita de un sistema de lentes descrito anteriormente.
La intensidad del patrón de Airy sigue el patrón de difracción de Fraunhofer de una apertura circular, dado por el módulo al cuadrado de la transformada de Fourier de la apertura circular:
donde es la intensidad máxima del patrón en el centro del disco de Airy, es la función de Bessel de primer orden, es el número de onda, es el radio de la apertura y es el ángulo de observación, es decir, el ángulo entre los ejes de la apertura circular y la línea entre el centro de la apertura y el punto de observación. donde q es la distancia radial desde el punto de observación al eje óptico y R es su distancia a la apertura. Tenga en cuenta que el disco de Airy dado por la expresión anterior solo es válido para R grande , donde se aplica la difracción de Fraunhofer ; El cálculo de la sombra en el campo cercano debe realizarse más bien mediante difracción de Fresnel .
Sin embargo, el patrón Airy exacto aparece a una distancia finita si se coloca una lente en la apertura. Entonces, el patrón de Airy estará perfectamente enfocado a la distancia dada por la distancia focal de la lente (suponiendo que la luz colimada incida en la apertura) dada por las ecuaciones anteriores.
Los ceros de están en De esto, se deduce que el primer anillo oscuro en el patrón de difracción ocurre donde o
Si se utiliza una lente para enfocar el patrón de Airy a una distancia finita, entonces el radio del primer anillo oscuro en el plano focal viene dado únicamente por la apertura numérica A (estrechamente relacionada con el número f ) por
donde la apertura numérica A es igual al radio de la apertura d /2 dividido por R', la distancia desde el centro del patrón Airy hasta el borde de la apertura. Viendo la apertura de radio d /2 y la lente como una cámara (ver diagrama arriba) proyectando una imagen en un plano focal a una distancia f , la apertura numérica A está relacionada con el número f comúnmente citado N = f/d (relación de la distancia focal al diámetro de la lente) según
para N ≫1 simplemente se aproxima como Esto muestra que la mejor resolución de imagen posible de una cámara está limitada por la apertura numérica (y por lo tanto el número f) de su lente debido a la difracción .
La mitad del máximo del disco central de Airy (donde ) ocurre en el punto 1/e 2 (donde ) ocurre en y el máximo del primer anillo ocurre en
La intensidad en el centro del patrón de difracción está relacionada con la potencia total incidente en la apertura mediante [12]
donde es la intensidad de la fuente por unidad de área en la apertura, A es el área de la apertura ( ) y R es la distancia desde la apertura. En el plano focal de una lente, la intensidad en el máximo del primer anillo es aproximadamente el 1,75% de la intensidad en el centro del disco de Airy.
La expresión anterior se puede integrar para dar la potencia total contenida en el patrón de difracción dentro de un círculo de tamaño dado:
donde y son funciones de Bessel . Por tanto, las fracciones de la potencia total contenida en el primer, segundo y tercer anillo oscuro (donde ) son 83,8%, 91,0% y 93,8% respectivamente. [13]
El disco de Airy y el patrón de difracción se pueden calcular numéricamente a partir de los primeros principios utilizando integrales de trayectoria de Feynman. [14]
El patrón de Airy cae bastante lentamente hasta cero a medida que aumenta la distancia desde el centro, y los anillos exteriores contienen una parte significativa de la intensidad integrada del patrón. Como resultado, el tamaño del punto de raíz cuadrática media (RMS) no está definido (es decir, es infinito). Una medida alternativa del tamaño del punto es ignorar los anillos exteriores relativamente pequeños del patrón de Airy y aproximar el lóbulo central con un perfil gaussiano , de modo que
donde es la irradiancia en el centro del patrón, representa la distancia radial desde el centro del patrón y es el ancho RMS gaussiano (en una dimensión). Si equiparamos la amplitud máxima del patrón de Airy y el perfil gaussiano, es decir, y encontramos el valor de dar la aproximación óptima al patrón, obtenemos [15]
donde N es el número f . Si, por otro lado, deseamos hacer cumplir que el perfil gaussiano tenga el mismo volumen que el patrón Airy, entonces esto se convierte en
En la teoría de la aberración óptica , es común describir un sistema de imágenes como limitado por difracción si el radio del disco de Airy es mayor que el tamaño del punto RMS determinado a partir del trazado de rayos geométrico (consulte Diseño de lentes ópticas ). La aproximación del perfil gaussiano proporciona un medio alternativo de comparación: el uso de la aproximación anterior muestra que la cintura gaussiana de la aproximación gaussiana al disco de Airy es aproximadamente dos tercios del radio del disco de Airy, es decir, en contraposición a
También se pueden derivar ecuaciones similares para el patrón de difracción de Airy oscurecido [16] [17] , que es el patrón de difracción de una apertura o haz anular, es decir, una apertura (haz) circular uniforme oscurecida por un bloque circular en el centro. Esta situación es relevante para muchos diseños de telescopios reflectores comunes que incorporan un espejo secundario, incluidos los telescopios newtonianos y los telescopios Schmidt-Cassegrain .
¿ Dónde está la relación de oscurecimiento de la apertura anular, o la relación entre el diámetro del disco de oscurecimiento y el diámetro de la apertura (haz)? y x se define como arriba: donde es la distancia radial en el plano focal desde el eje óptico, es la longitud de onda y es el número f del sistema. La energía rodeada fraccionaria (la fracción de la energía total contenida dentro de un círculo de radio centrado en el eje óptico en el plano focal) viene dada por:
Para las fórmulas, reduzca a las versiones no oscurecidas anteriores.
El efecto práctico de tener una obstrucción central en un telescopio es que el disco central se vuelve ligeramente más pequeño y el primer anillo brillante se vuelve más brillante a expensas del disco central. Esto se vuelve más problemático con telescopios de distancia focal corta que requieren espejos secundarios más grandes. [18]
Un rayo láser circular con un perfil de intensidad uniforme, enfocado por una lente, formará un patrón de Airy en el plano focal de la lente. La intensidad en el centro del foco será donde está la potencia total del haz, es el área del haz ( es el diámetro del haz), es la longitud de onda y es la longitud focal de la lente.
Un haz gaussiano transmitido a través de una abertura dura quedará recortado. Se pierde energía y se produce una difracción de borde que aumenta efectivamente la divergencia. Debido a estos efectos existe un diámetro del haz gaussiano que maximiza la intensidad en el campo lejano. Esto ocurre cuando el diámetro del gaussiano es el 89% del diámetro de apertura, y la intensidad en el eje en el campo lejano será el 81% de la producida por un perfil de intensidad uniforme. [19]
La integral de Fourier de la sección transversal circular de radio es
Este es el caso especial de la integral de Fourier de la sección transversal elíptica con semiejes y : [20]
dónde