sistema lineal

Sistema físico que satisface el principio de superposición.

En teoría de sistemas , un sistema lineal es un modelo matemático de un sistema basado en el uso de un operador lineal . Los sistemas lineales suelen exhibir características y propiedades que son mucho más simples que el caso no lineal ^{[ se necesita desambiguación ]} . Como abstracción o idealización matemática, los sistemas lineales encuentran aplicaciones importantes en la teoría del control automático , el procesamiento de señales y las telecomunicaciones . Por ejemplo, el medio de propagación de los sistemas de comunicación inalámbrica a menudo puede modelarse mediante sistemas lineales.

Definición

Diagrama de bloques que ilustra la propiedad de aditividad de un sistema SISO determinista de tiempo continuo. El sistema satisface la propiedad de aditividad o es aditivo si y sólo si para todo el tiempo y para todas las entradas y . Haga clic en la imagen para ampliarla. ${\displaystyle y_{3}(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x_{1}(t)}$ ${\displaystyle x_{2}(t)}$

Diagrama de bloques que ilustra la propiedad de homogeneidad de un sistema SISO determinista de tiempo continuo. El sistema satisface la propiedad de homogeneidad o es homogéneo si y sólo si para todo el tiempo , para todos los reales constantes y para todos los insumos . Haga clic en la imagen para ampliarla. ${\displaystyle y_{2}(t)=a\,y_{1}(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x_{1}(t)}$

Diagrama de bloques que ilustra el principio de superposición de un sistema SISO determinista de tiempo continuo. El sistema satisface el principio de superposición y, por tanto, es lineal si y sólo si para todo el tiempo , para todas las constantes reales y para todas las entradas y . Haga clic en la imagen para ampliarla. ${\displaystyle y_{3}(t)=a_{1}\,y_{1}(t)+a_{2}\,y_{2}(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}(t)}$ ${\displaystyle x_{2}(t)}$

Un sistema determinista general puede describirse mediante un operador, H , que asigna una entrada, x ( t ) , en función de t, a una salida, y ( t ) , un tipo de descripción de caja negra .

Un sistema es lineal si y sólo si satisface el principio de superposición , o de manera equivalente las propiedades de aditividad y homogeneidad, sin restricciones (es decir, para todas las entradas, todas las constantes de escala y todo el tiempo). ^{[1] [2] [3] [4]}

El principio de superposición significa que una combinación lineal de entradas al sistema produce una combinación lineal de las salidas individuales de estado cero (es decir, salidas que establecen las condiciones iniciales en cero) correspondientes a las entradas individuales. ^{[5] [6]}

En un sistema que satisface la propiedad de homogeneidad, escalar la entrada siempre resulta en escalar la respuesta de estado cero por el mismo factor. ^[6] En un sistema que satisface la propiedad de aditividad, agregar dos entradas siempre da como resultado la suma de las dos respuestas de estado cero correspondientes debido a las entradas individuales. ^[6]

Matemáticamente, para un sistema de tiempo continuo, dadas dos entradas arbitrarias

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}(t)&=H\left\{x_{1}(t)\right\}\\y_{2}(t)&=H\left\{x_{2}(t)\right\}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \alpha y_{1}(t)+\beta y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}}$$

escalar αβx ₁ ( t )x ₂ ( t )t

Luego, el sistema se define mediante la ecuación H ( x ( t )) = y ( t ) , donde y ( t ) es alguna función arbitraria del tiempo y x ( t ) es el estado del sistema. Dados y ( t ) y H , el sistema se puede resolver para x ( t ) .

El comportamiento del sistema resultante sometido a una entrada compleja puede describirse como una suma de respuestas a entradas más simples. En sistemas no lineales no existe tal relación. Esta propiedad matemática hace que la solución de ecuaciones de modelado sea más sencilla que muchos sistemas no lineales. Para los sistemas invariantes en el tiempo, esta es la base de la respuesta al impulso o los métodos de respuesta en frecuencia (ver teoría de sistemas LTI ), que describen una función de entrada general x ( t ) en términos de impulsos unitarios o componentes de frecuencia .

Las ecuaciones diferenciales típicas de sistemas lineales invariantes en el tiempo están bien adaptadas al análisis utilizando la transformada de Laplace en el caso continuo y la transformada Z en el caso discreto (especialmente en implementaciones informáticas).

Otra perspectiva es que las soluciones a sistemas lineales comprenden un sistema de funciones que actúan como vectores en el sentido geométrico.

Un uso común de los modelos lineales es describir un sistema no lineal mediante linealización . Esto generalmente se hace por conveniencia matemática.

La definición anterior de sistema lineal es aplicable a sistemas SISO (una sola entrada y una sola salida). Para sistemas MIMO (múltiples entradas y múltiples salidas), se consideran vectores de señales de entrada y salida ( , , , ) en lugar de señales de entrada y salida ( , , , .) ^{[2] [4]} ${\displaystyle {\mathbf {x} }_{1}(t)}$ ${\displaystyle {\mathbf {x} }_{2}(t)}$ ${\displaystyle {\mathbf {y} }_{1}(t)}$ ${\displaystyle {\mathbf {y} }_{2}(t)}$ ${\displaystyle x_{1}(t)}$ ${\displaystyle x_{2}(t)}$ ${\displaystyle y_{1}(t)}$ ${\displaystyle y_{2}(t)}$

Esta definición de sistema lineal es análoga a la definición de ecuación diferencial lineal en cálculo y a transformación lineal en álgebra lineal .

Ejemplos

Un oscilador armónico simple obedece a la ecuación diferencial:

$${\displaystyle m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx.}$$

Si

$${\displaystyle H(x(t))=m{\frac {d^{2}(x(t))}{dt^{2}}}+kx(t),}$$

Hy ( t ) = 0 ,H ( x ( t )) = y ( t ) ,

Otros ejemplos de sistemas lineales incluyen los descritos por , , y cualquier sistema descrito por ecuaciones diferenciales lineales ordinarias. ^[4] Los sistemas descritos por , , , , , , y un sistema con salida de simetría impar que consta de una región lineal y una región de saturación (constante) son no lineales porque no siempre satisfacen el principio de superposición. ^{[7] [8] [9] [10]} ${\displaystyle y(t)=k\,x(t)}$ ${\displaystyle y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}}$ ${\displaystyle y(t)=k\,\int _{-\infty }^{t}x(\tau )\mathrm {d} \tau }$ ${\displaystyle y(t)=k}$ ${\displaystyle y(t)=k\,x(t)+k_{0}}$ ${\displaystyle y(t)=\sin {[x(t)]}}$ ${\displaystyle y(t)=\cos {[x(t)]}}$ ${\displaystyle y(t)=x^{2}(t)}$ ${\textstyle y(t)={\sqrt {x(t)}}}$ ${\displaystyle y(t)=|x(t)|}$

La gráfica de salida versus entrada de un sistema lineal no tiene por qué ser una línea recta que pasa por el origen. Por ejemplo, considere un sistema descrito por (como un capacitor de capacitancia constante o un inductor de inductancia constante ). Es lineal porque satisface el principio de superposición. Sin embargo, cuando la entrada es una sinusoide, la salida también es una sinusoide, por lo que su gráfica salida-entrada es una elipse centrada en el origen en lugar de una línea recta que pasa por el origen. ${\displaystyle y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}}$

Además, la salida de un sistema lineal puede contener armónicos (y tener una frecuencia fundamental menor que la entrada) incluso cuando la entrada es una sinusoide. Por ejemplo, considere un sistema descrito por . Es lineal porque satisface el principio de superposición. Sin embargo, cuando la entrada es una sinusoide de la forma , usando identidades trigonométricas producto-suma se puede demostrar fácilmente que la salida es , es decir, la salida no consta solo de sinusoides de la misma frecuencia que la entrada ( 3 rad/s ), sino también de sinusoides de frecuencias 2 rad/s y 4 rad/s ; además, tomando el mínimo común múltiplo del período fundamental de las sinusoides de la salida, se puede demostrar que la frecuencia angular fundamental de la salida es 1 rad/s , que es diferente a la de la entrada. ${\displaystyle y(t)=(1.5+\cos {(t)})\,x(t)}$ ${\displaystyle x(t)=\cos {(3t)}}$ ${\displaystyle y(t)=1.5\cos {(3t)}+0.5\cos {(2t)}+0.5\cos {(4t)}}$

Respuesta al impulso variable en el tiempo

La respuesta al impulso variable en el tiempo h ( t ₂ , t ₁ ) de un sistema lineal se define como la respuesta del sistema en el momento t = t ₂ a un único impulso aplicado en el momento t = t ₁ . En otras palabras, si la entrada x ( t ) a un sistema lineal es

$${\displaystyle x(t)=\delta (t-t_{1})}$$

δ( t )función delta de Diracy ( t )

$${\displaystyle y(t=t_{2})=h(t_{2},t_{1})}$$

h ( t ₂ , t ₁ )condición de causalidad :

$${\displaystyle h(t_{2},t_{1})=0,t_{2}<t_{1}}$$

La integral de convolución

La salida de cualquier sistema lineal general de tiempo continuo está relacionada con la entrada mediante una integral que puede escribirse en un rango doblemente infinito debido a la condición de causalidad:

$${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t,t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,t')x(t')dt'}$$

Si las propiedades del sistema no dependen del tiempo en el que se opera, entonces se dice que es invariante en el tiempo y h es función únicamente de la diferencia de tiempo τ = t − t' , que es cero para τ < 0 ( es decir, t < t' ). Mediante la redefinición de h es posible escribir la relación entrada-salida de manera equivalente en cualquiera de las formas,

$${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau =\int _{0}^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau }$$

Los sistemas lineales invariantes en el tiempo se caracterizan más comúnmente por la transformada de Laplace de la función de respuesta al impulso llamada función de transferencia, que es:

$${\displaystyle H(s)=\int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,dt.}$$

En aplicaciones, esta suele ser una función algebraica racional de s . Debido a que h ( t ) es cero para t negativo , la integral se puede escribir igualmente en el rango doblemente infinito y poniendo s = iω sigue la fórmula para la función de respuesta de frecuencia :

$${\displaystyle H(i\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-i\omega t}dt}$$

Sistemas de tiempo discreto

La salida de cualquier sistema lineal de tiempo discreto está relacionada con la entrada mediante la suma de convolución variable en el tiempo:

$${\displaystyle y[n]=\sum _{m=-\infty }^{n}{h[n,m]x[m]}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{h[n,m]x[m]}}$$

h

$${\displaystyle y[n]=\sum _{k=0}^{\infty }{h[k]x[n-k]}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}}$$

$${\displaystyle k=n-m}$$

mn

Ver también

• Sistema invariante de cambios
• control lineal
• Sistema lineal invariante en el tiempo
• Sistema no lineal
• Análisis del sistema
• Sistema de ecuaciones lineales.

Referencias

1. Phillips, Charles L.; Parr, John M.; Riskin, Eve A. (2008). Señales, sistemas y transformaciones (4 ed.). Pearson. pag. 74.ISBN​ 978-0-13-198923-8.
2. Bessai, Horst J. (2005). Señales y Sistemas MIMO . Saltador. págs. 27-28. ISBN 0-387-23488-8.
3. Alkin, Oktay (2014). Señales y sistemas: un enfoque integrado de MATLAB . Prensa CRC. pag. 99.ISBN​ 978-1-4665-9854-6.
4. Nahvi, Mahmood (2014). Señales y Sistemas . McGraw-Hill. págs. 162-164, 166, 183. ISBN 978-0-07-338070-4.
5. Sundararajan, D. (2008). Un enfoque práctico de señales y sistemas . Wiley. pag. 80.ISBN​ 978-0-470-82353-8.
6. Roberts, Michael J. (2018). Señales y sistemas: análisis mediante métodos de transformación y MATLAB® (3 ed.). McGraw-Hill. págs. 131, 133-134. ISBN 978-0-07-802812-0.
7. Deergha Rao, K. (2018). Señales y Sistemas . Saltador. págs. 43–44. ISBN 978-3-319-68674-5.
8. Chen, Chi-Tsong (2004). Señales y sistemas (3 ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 55–57. ISBN 0-19-515661-7.
9. ElAli, Taan S.; Karim, Mohammad A. (2008). Señales y sistemas continuos con MATLAB (2 ed.). Prensa CRC. pag. 53.ISBN​ 978-1-4200-5475-0.
10. Apte, Shaila Dinkar (2016). Señales y Sistemas: Principios y Aplicaciones . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 187.ISBN​ 978-1-107-14624-2.