Fijación del calibre

Procedimiento para afrontar grados de libertad redundantes en teorías de campos físicos.

En la física de las teorías de calibre , la fijación de calibre (también llamada elección de calibre ) denota un procedimiento matemático para hacer frente a grados de libertad redundantes en variables de campo . Por definición, una teoría de calibre representa cada configuración físicamente distinta del sistema como una clase de equivalencia de configuraciones de campo locales detalladas. Dos configuraciones detalladas cualesquiera en la misma clase de equivalencia están relacionadas por una determinada transformación, equivalente a un corte a lo largo de ejes no físicos en el espacio de configuración. La mayoría de las predicciones físicas cuantitativas de una teoría de calibre sólo pueden obtenerse bajo una prescripción coherente para suprimir o ignorar estos grados de libertad no físicos.

Aunque los ejes no físicos en el espacio de configuraciones detalladas son una propiedad fundamental del modelo físico, no existe un conjunto especial de direcciones "perpendiculares" a ellos. Por lo tanto, existe una enorme libertad al tomar una "sección transversal" que represente cada configuración física mediante una configuración detallada particular (o incluso una distribución ponderada de ellas). Una fijación sensata del calibre puede simplificar enormemente los cálculos, pero se vuelve cada vez más difícil a medida que el modelo físico se vuelve más realista; su aplicación a la teoría cuántica de campos está plagada de complicaciones relacionadas con la renormalización , especialmente cuando el cálculo continúa en órdenes superiores . Históricamente, la búsqueda de procedimientos de fijación de calibres lógicamente consistentes y computacionalmente manejables, y los esfuerzos por demostrar su equivalencia frente a una desconcertante variedad de dificultades técnicas, han sido un importante impulsor de la física matemática desde finales del siglo XIX hasta el presente. ^{[ cita necesaria ]}

Libertad de calibre

La teoría de calibre arquetípica es la formulación de Heaviside - Gibbs de la electrodinámica continua en términos de un cuatro potencial electromagnético , que se presenta aquí en notación de Heaviside asimétrica espacio/tiempo. El campo eléctrico E y el campo magnético B de las ecuaciones de Maxwell contienen sólo grados de libertad "físicos", en el sentido de que cada grado de libertad matemático en una configuración de campo electromagnético tiene un efecto medible por separado sobre los movimientos de las cargas de prueba en las proximidades. Estas variables de "intensidad de campo" se pueden expresar en términos del potencial escalar eléctrico y el potencial del vector magnético A mediante las relaciones: ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle {\mathbf {E} }=-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\,,\quad {\mathbf {B} }=\nabla \times {\mathbf {A} }.}$$

Si la transformación

se hace, entonces B permanece sin cambios, ya que (con la identidad ) ${\displaystyle \nabla \times \nabla \psi =0}$

$${\displaystyle {\mathbf {B} }=\nabla \times ({\mathbf {A} }+\nabla \psi )=\nabla \times {\mathbf {A} }.}$$

Sin embargo, esta transformación cambia E según

$${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}-\nabla {\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}=-\nabla \left(\varphi +{\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}\right)-{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}.}$$

Si otro cambio

se hace entonces E también permanece igual. Por lo tanto, los campos E y B no cambian si se toma cualquier función ψ ( r , t ) y simultáneamente se transforma A y φ mediante las transformaciones ( 1 ) y ( 2 ).

Una elección particular de los potenciales escalar y vectorial es un calibre (más precisamente, potencial de calibre ) y una función escalar ψ utilizada para cambiar el calibre se llama función de calibre . ^{[ cita necesaria ]} La existencia de números arbitrarios de funciones de calibre ψ ( r , t ) corresponde a la libertad de calibre U (1) de esta teoría. La fijación del calibre se puede realizar de muchas maneras, algunas de las cuales exhibimos a continuación.

Aunque ahora se suele hablar del electromagnetismo clásico como una teoría de calibre, originalmente no se concibió en estos términos. El movimiento de una carga puntual clásica se ve afectado sólo por las intensidades del campo eléctrico y magnético en ese punto, y los potenciales pueden tratarse como un mero recurso matemático para simplificar algunas pruebas y cálculos. No fue hasta el advenimiento de la teoría cuántica de campos que se pudo decir que los potenciales mismos son parte de la configuración física de un sistema. La primera consecuencia que se pudo predecir con precisión y verificar experimentalmente fue el efecto Aharonov-Bohm , que no tiene contrapartida clásica. Sin embargo, la libertad de medición sigue siendo cierta en estas teorías. Por ejemplo, el efecto Aharonov-Bohm depende de una integral de línea de A alrededor de un circuito cerrado, y esta integral no cambia por

$${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi \,.}$$

La fijación de calibres en teorías de calibres no abelianos , como la teoría de Yang-Mills y la relatividad general , es un tema bastante más complicado; para obtener más detalles, consulte Ambigüedad de Gribov , Fantasma de Faddeev-Popov y Paquete de marcos .

Una ilustración

Fijación del calibre de un cilindro torcido . (Nota: la línea está en la superficie del cilindro, no dentro de él).

Como ejemplo de fijación de calibre, se puede observar una varilla cilíndrica e intentar determinar si está torcida. Si la varilla es perfectamente cilíndrica, entonces la simetría circular de la sección transversal hace imposible saber si está torcida o no. Sin embargo, si se trazara una línea recta a lo largo de la varilla, entonces se podría decir fácilmente si hay una torsión o no al observar el estado de la línea. Trazar una línea es fijar el calibre . Dibujar la línea arruina la simetría del calibre, es decir, la simetría circular U(1) de la sección transversal en cada punto de la varilla. La línea es el equivalente a una función de calibre ; no es necesario que sea recto. Casi cualquier línea tiene una fijación de ancho válida, es decir, existe una gran libertad de ancho . En resumen, para saber si la varilla está torcida, se debe conocer el calibre. Las cantidades físicas, como la energía de torsión, no dependen del calibre, es decir, son invariantes de calibre .

calibre de coulomb

El calibre de Coulomb (también conocido como calibre transversal ) se utiliza en química cuántica y física de la materia condensada y se define por la condición del calibre (más precisamente, la condición de fijación del calibre).

$${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }(\mathbf {r} ,t)=0\,.}$$

Es particularmente útil para cálculos "semiclásicos" en mecánica cuántica, en los que el potencial vectorial está cuantificado pero la interacción de Coulomb no.

El calibre de Coulomb tiene varias propiedades:

1. Los potenciales se pueden expresar en términos de valores instantáneos de los campos y densidades (en Sistema Internacional de Unidades ) ^[1]
   $${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathbf {\rho } (\mathbf {r} ',t)}{R}}d^{3}\mathbf {r} '}$$
   $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\nabla \times \int {\frac {\mathbf {B} (\mathbf {r} ',t)}{4\pi R}}d^{3}\mathbf {r} '}$$
   donde ρ ( r , t ) es la densidad de carga eléctrica, y (donde r es cualquier vector de posición en el espacio y r ′ es un punto en la carga o distribución de corriente), opera en r y d ³  r es el elemento de volumen en r . ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {r} -\mathbf {r} '}$ ${\displaystyle R=\left|\mathbf {R} \right|}$ ${\displaystyle \nabla }$

   La naturaleza instantánea de estos potenciales parece, a primera vista, violar la causalidad , ya que los movimientos de una carga eléctrica o de un campo magnético aparecen en todas partes instantáneamente como cambios en los potenciales. Esto se justifica observando que los potenciales escalares y vectoriales en sí no afectan los movimientos de las cargas, sólo las combinaciones de sus derivadas que forman la intensidad del campo electromagnético. Aunque se pueden calcular las intensidades de campo explícitamente en el calibre de Coulomb y demostrar que los cambios en ellos se propagan a la velocidad de la luz, es mucho más sencillo observar que las intensidades de campo no cambian bajo transformaciones de calibre y demostrar causalidad en la manifiestamente covariante de Lorentz. calibre que se describe a continuación.

   Se ha obtenido otra expresión para el potencial vectorial, en términos de la densidad de corriente eléctrica retardada J ( r , t ) , que es: ^[2]

   $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\nabla \times \int \left[\int _{0}^{R/c}\tau \,{\frac {{\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t-\tau )}\times {\mathbf {R} }}{R^{3}}}\,d\tau \right]d^{3}\mathbf {r} '.}$$
2. Se podrían realizar más transformaciones de calibre que retengan la condición de calibre de Coulomb con funciones de calibre que satisfagan ∇ ² ψ = 0 , pero como la única solución a esta ecuación que desaparece en el infinito (donde se requiere que todos los campos desaparezcan) es ψ ( r , t ) = 0 , no queda ninguna arbitrariedad de calibre. Debido a esto, se dice que el medidor de Coulomb es un medidor completo, en contraste con los medidores en los que persiste cierta arbitrariedad en el calibre, como el medidor de Lorenz que se muestra a continuación.
3. El calibre de Coulomb es un calibre mínimo en el sentido de que la integral de A ² sobre todo el espacio es mínima para este calibre: todos los demás calibres dan una integral mayor. ^[3] El valor mínimo dado por el calibre de Coulomb es
   $${\displaystyle \int \mathbf {A} ^{2}(\mathbf {r} ,t)d^{3}\mathbf {r} =\iint {\frac {\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ',t)}{4\pi R}}d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {r} '.}$$
4. En regiones alejadas de la carga eléctrica, el potencial escalar se vuelve cero. Esto se conoce como indicador de radiación . En este medidor se cuantificó por primera vez la radiación electromagnética .
5. El calibre de Coulomb admite una formulación hamiltoniana natural de las ecuaciones de evolución del campo electromagnético interactuando con una corriente conservada, ^{[ cita necesaria ]} lo cual es una ventaja para la cuantificación de la teoría. Sin embargo, el indicador de Coulomb no es covariante de Lorentz. Si se lleva a cabo una transformación de Lorentz a un nuevo sistema inercial, se debe realizar una transformación de calibre adicional para conservar la condición de calibre de Coulomb. Debido a esto, el calibre de Coulomb no se utiliza en la teoría de la perturbación covariante, que se ha convertido en estándar para el tratamiento de teorías relativistas de campos cuánticos como la electrodinámica cuántica (QED). En estas teorías se suelen utilizar indicadores covariantes de Lorentz, como el indicador de Lorenz. Las amplitudes de los procesos físicos en QED en el calibre de Coulomb no covariante coinciden con las del calibre covariante de Lorenz. ^[4]
6. Para un campo magnético B uniforme y constante , el potencial vectorial en el calibre de Coulomb se puede expresar en el llamado calibre simétrico como
   $${\displaystyle {\mathbf {A} }(\mathbf {r} ,t)=-{\frac {1}{2}}\mathbf {r} \times \mathbf {B} }$$
   más el gradiente de cualquier campo escalar (la función de calibre), que se puede confirmar calculando el div y el curl de A. La divergencia de A en el infinito es consecuencia de la suposición no física de que el campo magnético es uniforme en todo el espacio. Aunque este vector de potencial no es realista en general, puede proporcionar una buena aproximación al potencial en un volumen finito de espacio en el que el campo magnético es uniforme. Otra opción común para campos constantes homogéneos es el calibre Landau (que no debe confundirse con el calibre R _ξ Landau de la siguiente sección), donde y ${\displaystyle \mathbf {B} =B{\hat {z}}}$
   $${\displaystyle \mathbf {A} =B(\mathbf {r} \cdot {\hat {x}}){\hat {y}},}$$
   donde son los vectores unitarios del sistema de coordenadas cartesiano (eje z alineado con el campo magnético). ${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}}$
7. Como consecuencia de las consideraciones anteriores, los potenciales electromagnéticos pueden expresarse en sus formas más generales en términos de campos electromagnéticos como
   $${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {\nabla '\cdot {\mathbf {E} }(\mathbf {r} ',t)}{4\pi R}}\operatorname {d} \!^{3}\mathbf {r} '-{\frac {\partial {\psi (\mathbf {r} ,t)}}{\partial t}}}$$
   $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\nabla \times \int {\frac {\mathbf {B} (\mathbf {r} ',t)}{4\pi R}}\operatorname {d} \!^{3}\mathbf {r} '+\nabla \psi (\mathbf {r} ,t)}$$
   donde ψ ( r , t ) es un campo escalar arbitrario llamado función de calibre. Los campos que son derivados de la función de calibre se conocen como campos de calibre puros y la arbitrariedad asociada con la función de calibre se conoce como libertad de calibre. En un cálculo que se realiza correctamente, los términos de calibre puros no tienen ningún efecto sobre ningún observable físico. Una cantidad o expresión que no depende de la función de calibre se dice que es invariante de calibre: se requiere que todos los observables físicos sean invariantes de calibre. Una transformación de calibre de Coulomb a otro calibre se realiza tomando la función de calibre como la suma de una función específica que dará la transformación de calibre deseada y la función arbitraria. Si la función arbitraria se pone a cero, se dice que el calibre está fijo. Los cálculos se pueden realizar en un calibre fijo, pero deben realizarse de manera que sea invariante en el calibre.

calibre de lorenz

El calibre de Lorenz viene dado, en unidades del SI , por:

$${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0}$$

unidades gaussianas

$${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0.}$$

Esto puede reescribirse como:

$${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0.}$$

cuatro potencial electromagnético∂ _μgradiente 4firma métrica ${\displaystyle A^{\mu }=\left[\,{\tfrac {1}{c}}\varphi ,\,\mathbf {A} \,\right]}$

Es único entre los medidores de restricciones al retener la invariancia manifiesta de Lorentz . Tenga en cuenta, sin embargo, que este medidor recibió originalmente el nombre del físico danés Ludvig Lorenz y no de Hendrik Lorentz ; a menudo se escribe mal "medidor de Lorentz". (Ninguno de los dos fue el primero en utilizarlo en los cálculos; fue introducido en 1888 por George Francis FitzGerald ).

El calibre de Lorenz conduce a las siguientes ecuaciones de onda no homogéneas para los potenciales:

$${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}{\varphi }={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}{\mathbf {A} }=\mu _{0}\mathbf {J} }$$

De estas ecuaciones se desprende que, en ausencia de corriente y carga, las soluciones son potenciales que se propagan a la velocidad de la luz.

El calibre de Lorenz es incompleto en algún sentido: queda un subespacio de transformaciones de calibre que también puede preservar la restricción. Estos grados de libertad restantes corresponden a funciones de calibre que satisfacen la ecuación de onda

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\psi }$$

Estos grados de libertad restantes se propagan a la velocidad de la luz. Para obtener un calibre completamente fijo, se deben agregar condiciones de contorno a lo largo del cono de luz de la región experimental.

Las ecuaciones de Maxwell en el calibre de Lorenz se simplifican a

$${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=\mu _{0}j^{\nu }}$$

corriente de cuatro ${\displaystyle j^{\nu }=\left[\,c\,\rho ,\,\mathbf {j} \,\right]}$

Dos soluciones de estas ecuaciones para la misma configuración actual difieren por una solución de la ecuación de la onda de vacío

$${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=0.}$$

ecuación de Klein-Gordon y, por tanto, que la condición de calibre de Lorenz permite ondas polarizadasidentidades de Wardecuación de continuidad.

$${\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0.}$$

Muchas de las diferencias entre la electrodinámica clásica y la cuántica pueden explicarse por el papel que desempeñan las polarizaciones longitudinales y temporales en las interacciones entre partículas cargadas a distancias microscópicas.

calibres R ξ

Los calibres R _ξ son una generalización del calibre de Lorenz aplicable a teorías expresadas en términos de un principio de acción con densidad lagrangiana . En lugar de fijar el calibre restringiendo el campo de calibre a priori , mediante una ecuación auxiliar, se agrega un término de ruptura de calibre al lagrangiano "físico" (invariante de calibre). ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

$${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=-{\frac {\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)^{2}}{2\xi }}}$$

La elección del parámetro ξ determina la elección del calibre. El calibre R _ξ Landau es clásicamente equivalente al calibre de Lorenz: se obtiene en el límite ξ  → 0 pero pospone la toma de ese límite hasta después de que se haya cuantificado la teoría. Mejora el rigor de determinadas pruebas de existencia y equivalencia. La mayoría de los cálculos de la teoría cuántica de campos son más simples en el calibre de Feynman-'t Hooft , en el que ξ = 1 ; algunos son más manejables en otros calibres R _ξ , como el calibre Yennie ξ = 3 .

Una formulación equivalente de R _ξ calibre utiliza un campo auxiliar , un campo escalar B sin dinámica independiente:

$${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=B\,\partial _{\mu }A^{\mu }+{\frac {\xi }{2}}B^{2}}$$

El campo auxiliar, a veces llamado campo Nakanishi-Lautrup, se puede eliminar "completando el cuadrado" para obtener la forma anterior. Desde una perspectiva matemática, el campo auxiliar es una variedad del bosón de Goldstone , y su uso tiene ventajas a la hora de identificar los estados asintóticos de la teoría, y especialmente a la hora de generalizar más allá de QED.

Históricamente, el uso de medidores R _ξ fue un avance técnico significativo en la extensión de los cálculos de electrodinámica cuántica más allá del orden de un bucle . Además de retener la invariancia manifiesta de Lorentz , la prescripción R _ξ rompe la simetría bajo transformaciones de calibre locales al tiempo que preserva la relación de medidas funcionales de dos configuraciones de calibre físicamente distintas . Esto permite un cambio de variables en el que las perturbaciones infinitesimales a lo largo de direcciones "físicas" en el espacio de configuración están completamente desacopladas de aquellas a lo largo de direcciones "no físicas", permitiendo que estas últimas sean absorbidas en la normalización físicamente sin sentido de la integral funcional . Cuando ξ es finito, cada configuración física (órbita del grupo de transformaciones de calibre) está representada no por una única solución de una ecuación de restricción sino por una distribución gaussiana centrada en el extremo del término de ruptura de calibre. En términos de las reglas de Feynman de la teoría de calibre fijo, esto aparece como una contribución al propagador de fotones para líneas internas de fotones virtuales de polarización no física .

El propagador de fotones, que es el factor multiplicativo correspondiente a un fotón interno en la expansión del diagrama de Feynman de un cálculo QED, contiene un factor g _μν correspondiente a la métrica de Minkowski . Una expansión de este factor como suma de las polarizaciones de fotones implica términos que contienen las cuatro polarizaciones posibles. La radiación polarizada transversalmente se puede expresar matemáticamente como una suma sobre una base polarizada lineal o circularmente . De manera similar, se pueden combinar las polarizaciones de calibre longitudinal y temporal para obtener polarizaciones "hacia adelante" y "hacia atrás"; se trata de una forma de coordenadas de cono de luz en las que la métrica está fuera de la diagonal. Una expansión del factor g _μν en términos de coordenadas de polarización circular (espín ±1) y del cono de luz se denomina suma de espín. Las sumas de espín pueden ser muy útiles tanto para simplificar expresiones como para obtener una comprensión física de los efectos experimentales asociados con diferentes términos en un cálculo teórico.

Richard Feynman utilizó argumentos aproximadamente en este sentido en gran medida para justificar procedimientos de cálculo que producían resultados consistentes, finitos y de alta precisión para importantes parámetros observables, como el momento magnético anómalo del electrón. Aunque sus argumentos a veces carecían de rigor matemático incluso para los estándares de los físicos y pasaban por alto detalles como la derivación de las identidades Ward-Takahashi de la teoría cuántica, sus cálculos funcionaron y Freeman Dyson pronto demostró que su método era sustancialmente equivalente a los de Julian Schwinger. y Sin-Itiro Tomonaga , con quien Feynman compartió el Premio Nobel de Física de 1965 .

La radiación polarizada hacia adelante y hacia atrás se puede omitir en los estados asintóticos de una teoría cuántica de campos (ver identidad Ward-Takahashi ). Por esta razón, y porque su aparición en las sumas de espines puede verse como un mero dispositivo matemático en QED (muy parecido al cuatro potencial electromagnético en la electrodinámica clásica), a menudo se habla de ellos como "no físicos". Pero a diferencia de los procedimientos de fijación de calibre basados ​​en restricciones anteriores, el calibre R _ξ se generaliza bien a grupos de calibre no abelianos como el SU(3) de QCD . Los acoplamientos entre los ejes de perturbación físicos y no físicos no desaparecen por completo con el correspondiente cambio de variables; Para obtener resultados correctos, se debe tener en cuenta el jacobiano no trivial de la incorporación de ejes de libertad de calibre dentro del espacio de configuraciones detalladas. Esto lleva a la aparición explícita de bosones de calibre polarizados hacia adelante y hacia atrás en los diagramas de Feynman, junto con fantasmas de Faddeev-Popov , que son aún más "antifísicos" porque violan el teorema de la estadística de espín . La relación entre estas entidades y las razones por las que no aparecen como partículas en el sentido de la mecánica cuántica se vuelve más evidente en el formalismo de cuantificación BRST.

Calibre abeliano máximo

En cualquier teoría de calibre no abeliano , cualquier calibre abeliano máximo es un calibre incompleto que fija la libertad de calibre fuera del subgrupo abeliano máximo. Ejemplos son

• Para la teoría de calibre SU (2) en dimensiones D, el subgrupo abeliano máximo es un subgrupo U (1). Si se elige que ésta sea la generada por la matriz de Pauli σ ₃ , entonces el calibre abeliano máximo es aquel que maximiza la función
  $${\displaystyle \int d^{D}x\left[\left(A_{\mu }^{1}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{2}\right)^{2}\right]\,,}$$
  dónde
  $${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\mu }=A_{\mu }^{a}\sigma _{a}\,.}$$
• Para la teoría de calibre SU (3) en dimensiones D, el subgrupo abeliano máximo es un subgrupo U (1) × U (1). Si se elige que sea el generado por las matrices de Gell-Mann λ ₃ y λ ₈ , entonces el calibre abeliano máximo es aquel que maximiza la función
  $${\displaystyle \int d^{D}x\left[\left(A_{\mu }^{1}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{2}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{4}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{5}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{6}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{7}\right)^{2}\right]\,,}$$
  dónde
  $${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\mu }=A_{\mu }^{a}\lambda _{a}}$$

Esto se aplica regularmente en álgebras superiores (de grupos de álgebras), por ejemplo, el álgebra de Clifford, y como es habitual.

Medidores menos utilizados

En la literatura han aparecido otros medidores que pueden ser beneficiosos en situaciones específicas. ^[2]

calibre weyl

El calibre de Weyl (también conocido como calibre hamiltoniano o temporal ) es un calibre incompleto que se obtiene por elección

$${\displaystyle \varphi =0}$$

Lleva el nombre de Hermann Weyl . Elimina el fantasma de la norma negativa , carece de invariancia manifiesta de Lorentz y requiere fotones longitudinales y una restricción de los estados. ^[5]

calibre multipolar

La condición de gálibo del gálibo multipolar (también conocido como gálibo de línea , gálibo de punto o gálibo de Poincaré (llamado así en honor a Henri Poincaré )) es:

$${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {A} =0.}$$

Este es otro medidor en el que los potenciales se pueden expresar de forma sencilla en términos de campos instantáneos.

$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=-\mathbf {r} \times \int _{0}^{1}\mathbf {B} (u\mathbf {r} ,t)u\,du}$$

$${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)=-\mathbf {r} \cdot \int _{0}^{1}\mathbf {E} (u\mathbf {r} ,t)du.}$$

Medidor de Fock-Schwinger

La condición de calibre del calibre de Fock-Schwinger (llamado así en honor a Vladimir Fock y Julian Schwinger ; a veces también llamado calibre relativista de Poincaré ) es:

$${\displaystyle x^{\mu }A_{\mu }=0}$$

x ^μposición de cuatro vectores

calibre de Dirac

La condición de calibre de Dirac no lineal (llamada así en honor a Paul Dirac ) es:

$${\displaystyle A_{\mu }A^{\mu }=k^{2}}$$

Referencias

1. Stewart, AM (2003). "Potencial vectorial del calibre de Coulomb". Revista Europea de Física . 24 (5): 519–524. Código Bib : 2003EJPh...24..519S. doi :10.1088/0143-0807/24/5/308. S2CID  250880504.
2. Jackson, JD (2002). "De Lorenz a Coulomb y otras transformaciones de calibre explícitas". Revista Estadounidense de Física . 70 (9): 917–928. arXiv : física/0204034 . Código Bib : 2002AmJPh..70..917J. doi :10.1119/1.1491265. S2CID  119652556.
3. Gubarev, FV; Stodolsky, L.; Zajarov, VI (2001). "Sobre la importancia del vector potencial al cuadrado". Física. Rev. Lett. 86 (11): 2220–2222. arXiv : hep-ph/0010057 . Código Bib : 2001PhRvL..86.2220G. doi : 10.1103/PhysRevLett.86.2220. PMID  11289894. S2CID  45172403.
4. Adkins, Gregory S. (15 de septiembre de 1987). "Reglas de Feynman de la QED de calibre de Coulomb y el momento magnético del electrón". Revisión física D. 36 (6). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 1929-1932. Código bibliográfico : 1987PhRvD..36.1929A. doi :10.1103/physrevd.36.1929. ISSN  0556-2821. PMID  9958379.
5. Hatfield, Brian (1992). Teoría cuántica de campos de partículas puntuales y cuerdas . Addison-Wesley. págs. 210-213. ISBN 0201360799.

Otras lecturas

• Landau, Lev ; Lifshitz, Evgeny (2007). La teoría clásica de los campos . Ámsterdam: Elsevier Butterworth Heinemann. ISBN 978-0-7506-2768-9.
• Jackson, JD (1999). Electrodinámica clásica (3ª ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.