En geometría , un sistema de coordenadas cartesianas ( UK : / kɑːrˈt iːzjən / , US : / kɑːrˈt iːʒən / ) en un plano es un sistema de coordenadas que especifica cada punto de forma única mediante un par de números reales llamados coordenadas , que son las distancias con signo al punto desde dos líneas orientadas perpendiculares fijas , llamadas líneas de coordenadas , ejes de coordenadas o simplemente ejes ( plural de axis ) del sistema. El punto donde se encuentran los ejes se llama origen y tiene (0, 0) como coordenadas. Las direcciones de los ejes representan una base ortogonal . La combinación de origen y base forma un marco de coordenadas llamado marco cartesiano .
De manera similar, la posición de cualquier punto en el espacio tridimensional se puede especificar mediante tres coordenadas cartesianas , que son las distancias con signo desde el punto hasta tres planos mutuamente perpendiculares. De manera más general, n coordenadas cartesianas especifican el punto en un espacio euclidiano n -dimensional para cualquier dimensión n . Estas coordenadas son las distancias con signo desde el punto hasta n hiperplanos fijos mutuamente perpendiculares .
Las coordenadas cartesianas se denominan así por René Descartes , cuya invención en el siglo XVII revolucionó las matemáticas al permitir la expresión de problemas de geometría en términos de álgebra y cálculo . Utilizando el sistema de coordenadas cartesianas, las formas geométricas (como las curvas ) pueden describirse mediante ecuaciones que involucran las coordenadas de los puntos de la forma. Por ejemplo, un círculo de radio 2, centrado en el origen del plano, puede describirse como el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas x e y satisfacen la ecuación x 2 + y 2 = 4 ; el área , el perímetro y la línea tangente en cualquier punto pueden calcularse a partir de esta ecuación utilizando integrales y derivadas , de manera que se pueda aplicar a cualquier curva.
Las coordenadas cartesianas son la base de la geometría analítica y proporcionan interpretaciones geométricas esclarecedoras para muchas otras ramas de las matemáticas, como el álgebra lineal , el análisis complejo , la geometría diferencial , el cálculo multivariante , la teoría de grupos y más. Un ejemplo familiar es el concepto de gráfico de una función . Las coordenadas cartesianas también son herramientas esenciales para la mayoría de las disciplinas aplicadas que tratan con la geometría, incluida la astronomía , la física , la ingeniería y muchas más. Son el sistema de coordenadas más común utilizado en gráficos de computadora , diseño geométrico asistido por computadora y otro procesamiento de datos relacionados con la geometría .
El adjetivo cartesiano hace referencia al matemático y filósofo francés René Descartes , quien publicó esta idea en 1637 mientras residía en los Países Bajos . Fue descubierta independientemente por Pierre de Fermat , quien también trabajó en tres dimensiones, aunque Fermat no publicó el descubrimiento. [1] La clériga francesa Nicole Oresme utilizó construcciones similares a las coordenadas cartesianas mucho antes de la época de Descartes y Fermat. [2]
Tanto Descartes como Fermat utilizaron un único eje en sus tratamientos y tienen una longitud variable medida en referencia a este eje. [3] El concepto de utilizar un par de ejes se introdujo más tarde, después de que La Géométrie de Descartes fuera traducida al latín en 1649 por Frans van Schooten y sus estudiantes. Estos comentaristas introdujeron varios conceptos mientras intentaban aclarar las ideas contenidas en la obra de Descartes. [4]
El desarrollo del sistema de coordenadas cartesianas jugaría un papel fundamental en el desarrollo del cálculo de Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz . [5] La descripción de dos coordenadas del plano se generalizó posteriormente al concepto de espacios vectoriales . [6]
Desde Descartes se han desarrollado muchos otros sistemas de coordenadas, como las coordenadas polares para el plano y las coordenadas esféricas y cilíndricas para el espacio tridimensional.
Una línea afín con un sistema de coordenadas cartesiano elegido se denomina línea numérica . Cada punto de la línea tiene una coordenada de número real, y cada número real representa algún punto de la línea.
Hay dos grados de libertad en la elección del sistema de coordenadas cartesianas para una línea, que se pueden especificar eligiendo dos puntos distintos a lo largo de la línea y asignándolos a dos números reales distintos (más comúnmente cero y uno). Luego, otros puntos se pueden asignar de forma única a números mediante interpolación lineal . De manera equivalente, un punto se puede asignar a un número real específico, por ejemplo, un punto de origen correspondiente a cero, y se puede elegir una longitud orientada a lo largo de la línea como una unidad, con la orientación indicando la correspondencia entre direcciones a lo largo de la línea y números positivos o negativos. [7] Cada punto corresponde a su distancia con signo desde el origen (un número con un valor absoluto igual a la distancia y un signo + o − elegido en función de la dirección).
Una transformación geométrica de la línea puede representarse mediante una función de una variable real , por ejemplo, la traslación de la línea corresponde a la suma y el escalado de la línea corresponde a la multiplicación. Dos sistemas de coordenadas cartesianos cualesquiera en la línea pueden relacionarse entre sí mediante una función lineal (función de la forma ) que toma la coordenada de un punto específico en un sistema a su coordenada en el otro sistema. La elección de un sistema de coordenadas para cada una de dos líneas diferentes establece una función afín de una línea a la otra que lleva cada punto en una línea al punto en la otra línea con la misma coordenada.
Un sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones (también llamado sistema de coordenadas rectangulares o sistema de coordenadas ortogonales [8] ) se define por un par ordenado de líneas perpendiculares (ejes), una sola unidad de longitud para ambos ejes y una orientación para cada eje. El punto donde se encuentran los ejes se toma como el origen de ambos, convirtiendo así cada eje en una línea numérica. Para cualquier punto P , se traza una línea a través de P perpendicular a cada eje, y la posición donde se encuentra con el eje se interpreta como un número. Los dos números, en ese orden elegido, son las coordenadas cartesianas de P . La construcción inversa permite determinar el punto P dadas sus coordenadas.
La primera y la segunda coordenadas se denominan abscisa y ordenada de P , respectivamente; y el punto en el que se encuentran los ejes se denomina origen del sistema de coordenadas. Las coordenadas se escriben normalmente como dos números entre paréntesis, en ese orden, separados por una coma, como en (3, −10,5) . Por tanto, el origen tiene coordenadas (0, 0) , y los puntos de los semiejes positivos, a una unidad del origen, tienen coordenadas (1, 0) y (0, 1) .
En matemáticas, física e ingeniería, el primer eje suele definirse o representarse como horizontal y orientado hacia la derecha, y el segundo eje es vertical y está orientado hacia arriba. (Sin embargo, en algunos contextos de gráficos por ordenador , el eje de ordenadas puede estar orientado hacia abajo). El origen suele etiquetarse como O y las dos coordenadas suelen estar indicadas por las letras X e Y , o x e y . En ese caso, los ejes pueden denominarse eje X y eje Y. La elección de las letras procede de la convención original, que consiste en utilizar la última parte del alfabeto para indicar valores desconocidos. La primera parte del alfabeto se utilizaba para designar valores conocidos.
Un plano euclidiano con un sistema de coordenadas cartesianas elegido se denominaPlano cartesiano . En un plano cartesiano se pueden definir representantes canónicos de ciertas figuras geométricas, como elcírculo unitario(con radio igual a la unidad de longitud y centro en el origen), elcuadrado unitario(cuya diagonal tiene puntos extremos en(0, 0)y(1, 1)), lahipérbola unitaria, etc.
Los dos ejes dividen el plano en cuatro ángulos rectos , llamados cuadrantes . Los cuadrantes pueden tener distintos nombres o numerarse, pero el cuadrante en el que todas las coordenadas son positivas suele llamarse primer cuadrante .
Si las coordenadas de un punto son ( x , y ) , entonces sus distancias desde el eje X y desde el eje Y son | y | y | x |, respectivamente; donde | · | denota el valor absoluto de un número.
Un sistema de coordenadas cartesianas para un espacio tridimensional consiste en un triplete ordenado de líneas (los ejes ) que pasan por un punto común (el origen ) y son perpendiculares entre sí; una orientación para cada eje; y una única unidad de longitud para los tres ejes. Como en el caso bidimensional, cada eje se convierte en una línea numérica. Para cualquier punto P del espacio, se considera un plano que pasa por P perpendicular a cada eje de coordenadas, y se interpreta el punto donde ese plano corta el eje como un número. Las coordenadas cartesianas de P son esos tres números, en el orden elegido. La construcción inversa determina el punto P dadas sus tres coordenadas.
Alternativamente, cada coordenada de un punto P puede tomarse como la distancia de P al plano definido por los otros dos ejes, con el signo determinado por la orientación del eje correspondiente.
Cada par de ejes define un plano de coordenadas . Estos planos dividen el espacio en ocho octantes . Los octantes son:
Las coordenadas se escriben normalmente como tres números (o fórmulas algebraicas) entre paréntesis y separados por comas, como en (3, −2,5, 1) o ( t , u + v , π /2) . Por tanto, el origen tiene coordenadas (0, 0, 0) , y los puntos unitarios en los tres ejes son (1, 0, 0) , (0, 1, 0) y (0, 0, 1) .
Los nombres estándar para las coordenadas en los tres ejes son abscisa , ordenada y aplicada . [9] Las coordenadas a menudo se denotan con las letras x , y y z . Los ejes pueden entonces denominarse eje x , eje y y eje z , respectivamente. Luego, los planos de coordenadas pueden denominarse plano xy , plano yz y plano xz .
En contextos de matemáticas, física e ingeniería, los dos primeros ejes suelen definirse o representarse como horizontales, con el tercer eje apuntando hacia arriba. En ese caso, la tercera coordenada puede llamarse altura o altitud . La orientación suele elegirse de modo que el ángulo de 90 grados entre el primer eje y el segundo eje parezca en sentido antihorario cuando se ve desde el punto (0, 0, 1) ; una convención que comúnmente se denomina regla de la mano derecha .
Como las coordenadas cartesianas son únicas y no ambiguas, los puntos de un plano cartesiano pueden identificarse con pares de números reales ; es decir, con el producto cartesiano , donde es el conjunto de todos los números reales. De la misma manera, los puntos en cualquier espacio euclidiano de dimensión n pueden identificarse con las tuplas (listas) de n números reales; es decir, con el producto cartesiano .
El concepto de coordenadas cartesianas se generaliza para permitir ejes que no sean perpendiculares entre sí y/o unidades diferentes a lo largo de cada eje. En ese caso, cada coordenada se obtiene proyectando el punto sobre un eje a lo largo de una dirección que es paralela al otro eje (o, en general, al hiperplano definido por todos los demás ejes). En un sistema de coordenadas oblicuas de este tipo , los cálculos de distancias y ángulos deben modificarse con respecto a los de los sistemas cartesianos estándar, y muchas fórmulas estándar (como la fórmula pitagórica para la distancia) no se cumplen (véase plano afín ).
Las coordenadas cartesianas de un punto se escriben habitualmente entre paréntesis y separadas por comas, como en (10, 5) o (3, 5, 7) . El origen suele estar etiquetado con la letra mayúscula O. En geometría analítica, las coordenadas desconocidas o genéricas suelen denotarse con las letras ( x , y ) en el plano y ( x , y , z ) en el espacio tridimensional. Esta costumbre proviene de una convención del álgebra, que utiliza letras cerca del final del alfabeto para valores desconocidos (como las coordenadas de puntos en muchos problemas geométricos) y letras cerca del principio para cantidades dadas.
Estos nombres convencionales se utilizan a menudo en otros ámbitos, como la física y la ingeniería, aunque se pueden utilizar otras letras. Por ejemplo, en un gráfico que muestra cómo varía la presión con el tiempo , las coordenadas del gráfico pueden denotarse p y t . Cada eje suele recibir el nombre de la coordenada que se mide a lo largo de él; por lo tanto, se dice eje x , eje y , eje t , etc.
Otra convención común para nombrar coordenadas es usar subíndices, como ( x 1 , x 2 , ..., x n ) para las n coordenadas en un espacio n -dimensional, especialmente cuando n es mayor que 3 o no está especificado. Algunos autores prefieren la numeración ( x 0 , x 1 , ..., x n −1 ). Estas notaciones son especialmente ventajosas en programación informática : al almacenar las coordenadas de un punto como una matriz , en lugar de un registro , el subíndice puede servir para indexar las coordenadas.
En las ilustraciones matemáticas de los sistemas cartesianos bidimensionales, la primera coordenada (tradicionalmente llamada abscisa ) se mide a lo largo de un eje horizontal , orientado de izquierda a derecha. La segunda coordenada (ordenada ) se mide a lo largo de un eje vertical , generalmente orientado de abajo hacia arriba. Los niños pequeños que están aprendiendo el sistema cartesiano, generalmente aprenden el orden para leer los valores antes de consolidar los conceptos de los ejes x , y y z , comenzando con mnemotecnias 2D (por ejemplo, "Camina por el pasillo y luego sube las escaleras", similar a caminar directamente a través del eje x y luego hacia arriba verticalmente a lo largo del eje y ).
Sin embargo, los gráficos por computadora y el procesamiento de imágenes a menudo utilizan un sistema de coordenadas con el eje y orientado hacia abajo en la pantalla de la computadora. Esta convención se desarrolló en la década de 1960 (o antes) a partir de la forma en que las imágenes se almacenaban originalmente en los búferes de visualización .
En los sistemas tridimensionales, una convención es representar el plano xy horizontalmente, con el eje z añadido para representar la altura (positiva hacia arriba). Además, existe una convención para orientar el eje x hacia el observador, sesgado hacia la derecha o hacia la izquierda. Si un diagrama ( proyección 3D o dibujo en perspectiva 2D ) muestra los ejes x e y horizontalmente y verticalmente, respectivamente, entonces el eje z debería mostrarse apuntando "fuera de la página" hacia el observador o la cámara. En un diagrama 2D de un sistema de coordenadas 3D, el eje z aparecería como una línea o un rayo apuntando hacia abajo y hacia la izquierda o hacia abajo y hacia la derecha, dependiendo de la perspectiva presunta del observador o de la cámara . En cualquier diagrama o pantalla, la orientación de los tres ejes, en su conjunto, es arbitraria. Sin embargo, la orientación de los ejes entre sí siempre debe cumplir con la regla de la mano derecha , a menos que se indique específicamente lo contrario. Todas las leyes de la física y las matemáticas asumen esta lateralidad, lo que garantiza la coherencia.
En los diagramas 3D, rara vez se utilizan los nombres "abscisa" y "ordenada" para x e y , respectivamente. Cuando sí se utilizan, la coordenada z se denomina a veces " aplicada " . Las palabras abscisa , ordenada y aplicada se utilizan a veces para referirse a los ejes de coordenadas en lugar de a los valores de las coordenadas. [8]
Los ejes de un sistema cartesiano bidimensional dividen el plano en cuatro regiones infinitas, llamadas cuadrantes , [8] cada uno de ellos delimitado por dos semiejes. Estos suelen estar numerados del 1.º al 4.º y denotados con números romanos : I (donde las coordenadas tienen ambas signos positivos), II (donde la abscisa es negativa − y la ordenada es positiva +), III (donde tanto la abscisa como la ordenada son −) y IV (abscisa +, ordenada −). Cuando los ejes se dibujan según la costumbre matemática, la numeración va en sentido antihorario comenzando desde el cuadrante superior derecho ("noreste").
De manera similar, un sistema cartesiano tridimensional define una división del espacio en ocho regiones u octantes , [8] según los signos de las coordenadas de los puntos. La convención utilizada para nombrar un octante específico es enumerar sus signos; por ejemplo, (+ + +) o (− + −) . La generalización del cuadrante y octante a un número arbitrario de dimensiones es el ortante , y se aplica un sistema de nombres similar.
La distancia euclidiana entre dos puntos del plano con coordenadas cartesianas es
Esta es la versión cartesiana del teorema de Pitágoras . En el espacio tridimensional, la distancia entre los puntos y es
que puede obtenerse mediante dos aplicaciones consecutivas del teorema de Pitágoras. [10]
Las transformaciones euclidianas o movimientos euclidianos son aplicaciones ( biyectivas ) de puntos del plano euclidiano sobre sí mismos que preservan las distancias entre puntos. Existen cuatro tipos de estas aplicaciones (también llamadas isometrías): traslaciones , rotaciones , reflexiones y reflexiones de deslizamiento . [11]
Trasladar un conjunto de puntos del plano, conservando las distancias y direcciones entre ellos, equivale a sumar un par fijo de números ( a , b ) a las coordenadas cartesianas de cada punto del conjunto. Es decir, si las coordenadas originales de un punto son ( x , y ) , después de la traslación serán
Girar una figura en sentido antihorario alrededor del origen en un ángulo determinado equivale a reemplazar cada punto con coordenadas ( x , y ) por el punto con coordenadas ( x' , y' ), donde
De este modo:
Si ( x , y ) son las coordenadas cartesianas de un punto, entonces (− x , y ) son las coordenadas de su reflexión sobre el segundo eje de coordenadas (el eje y), como si esa línea fuera un espejo. Asimismo, ( x , − y ) son las coordenadas de su reflexión sobre el primer eje de coordenadas (el eje x). En términos más generales, la reflexión sobre una línea que pasa por el origen y forma un ángulo con el eje x es equivalente a reemplazar cada punto con coordenadas ( x , y ) por el punto con coordenadas ( x ′, y ′) , donde
De este modo:
Una reflexión de deslizamiento es la composición de una reflexión a lo largo de una línea seguida de una traslación en la dirección de esa línea. Se puede observar que el orden de estas operaciones no importa (la traslación puede venir primero, seguida de la reflexión).
Todas las transformaciones afines del plano pueden describirse de manera uniforme mediante el uso de matrices. Para este propósito, las coordenadas de un punto se representan comúnmente como la matriz columna. El resultado de aplicar una transformación afín a un punto viene dado por la fórmula donde es una matriz 2×2 y es una matriz columna. [12] Es decir,
Entre las transformaciones afines, las transformaciones euclidianas se caracterizan por el hecho de que la matriz es ortogonal ; es decir, sus columnas son vectores ortogonales de norma euclidiana uno, o, explícitamente, y
Esto equivale a decir que A por su transpuesta es la matriz identidad . Si estas condiciones no se cumplen, la fórmula describe una transformación afín más general .
La transformación es una traslación si y solo si A es la matriz identidad . La transformación es una rotación alrededor de algún punto si y solo si A es una matriz de rotación , es decir, que es ortogonal y
Una reflexión o reflexión de deslizamiento se obtiene cuando,
Suponiendo que no se utilizan traslaciones (es decir, ), las transformaciones se pueden componer simplemente multiplicando las matrices de transformación asociadas. En el caso general, es útil utilizar la matriz aumentada de la transformación; es decir, reescribir la fórmula de transformación donde Con este truco, la composición de las transformaciones afines se obtiene multiplicando las matrices aumentadas.
Las transformaciones afines del plano euclidiano son transformaciones que convierten rectas en rectas, pero pueden cambiar las distancias y los ángulos. Como se dijo en la sección anterior, se pueden representar con matrices aumentadas:
Las transformaciones euclidianas son las transformaciones afines tales que la matriz 2×2 de es ortogonal .
La matriz aumentada que representa la composición de dos transformaciones afines se obtiene multiplicando sus matrices aumentadas.
Algunas transformaciones afines que no son transformaciones euclidianas han recibido nombres específicos.
Un ejemplo de transformación afín que no es euclidiana lo da el escalado. Hacer una figura más grande o más pequeña es equivalente a multiplicar las coordenadas cartesianas de cada punto por el mismo número positivo m . Si ( x , y ) son las coordenadas de un punto de la figura original, el punto correspondiente en la figura escalada tiene coordenadas
Si m es mayor que 1, la cifra se hace más grande; si m está entre 0 y 1, se hace más pequeña.
Una transformación de corte empujará la parte superior de un cuadrado hacia los lados para formar un paralelogramo. El corte horizontal se define por:
El corte también se puede realizar en sentido vertical:
La fijación o elección del eje x determina la dirección del eje y . Es decir, el eje y es necesariamente la perpendicular al eje x que pasa por el punto marcado como 0 en el eje x . Pero existe la posibilidad de elegir cuál de las dos semirrectas de la perpendicular se designa como positiva y cuál como negativa. Cada una de estas dos opciones determina una orientación diferente (también llamada lateralidad ) del plano cartesiano.
La forma habitual de orientar el plano, con el eje x positivo apuntando hacia la derecha y el eje y positivo apuntando hacia arriba (y siendo el eje x el "primero" y el eje y el "segundo"), se considera la orientación positiva o estándar , también llamada orientación hacia la derecha .
Una regla mnemotécnica de uso común para definir la orientación positiva es la regla de la mano derecha . Colocando la mano derecha algo cerrada en el plano con el pulgar apuntando hacia arriba, los dedos apuntan desde el eje x al eje y , en un sistema de coordenadas orientado positivamente.
La otra forma de orientar el avión es siguiendo la regla de la mano izquierda , colocando la mano izquierda sobre el avión con el pulgar apuntando hacia arriba.
Al apuntar el pulgar lejos del origen a lo largo de un eje hacia positivo, la curvatura de los dedos indica una rotación positiva a lo largo de ese eje.
Independientemente de la regla utilizada para orientar el plano, al rotar el sistema de coordenadas se conservará la orientación. Al cambiar un eje cualquiera, se invertirá la orientación, pero al cambiar ambos, la orientación no cambiará.
Una vez que se especifican los ejes x e y , estos determinan la línea a lo largo de la cual debe estar el eje z , pero hay dos orientaciones posibles para esta línea. Los dos posibles sistemas de coordenadas resultantes se denominan "diestro" y "zurdo". [13] La orientación estándar, donde el plano xy es horizontal y el eje z apunta hacia arriba (y los ejes x e y forman un sistema de coordenadas bidimensional orientado positivamente en el plano xy si se observa desde arriba del plano xy ) se denomina diestro o positivo .
El nombre deriva de la regla de la mano derecha . Si el dedo índice de la mano derecha apunta hacia adelante, el dedo medio se dobla hacia adentro en ángulo recto con él y el pulgar se coloca en ángulo recto con ambos, los tres dedos indican la orientación relativa de los ejes x , y y z en un sistema diestro . El pulgar indica el eje x , el dedo índice el eje y y el dedo medio el eje z . Por el contrario, si se hace lo mismo con la mano izquierda, resulta un sistema zurdo.
La figura 7 muestra un sistema de coordenadas para diestros y zurdos. Como en la pantalla bidimensional se representa un objeto tridimensional, se producen distorsiones y ambigüedades. El eje que apunta hacia abajo (y hacia la derecha) también apunta hacia el observador, mientras que el eje "medio" apunta en dirección contraria al observador. El círculo rojo es paralelo al plano horizontal xy e indica una rotación desde el eje x hasta el eje y (en ambos casos). Por lo tanto, la flecha roja pasa por delante del eje z .
La figura 8 es otro intento de representar un sistema de coordenadas para diestros. Nuevamente, existe una ambigüedad causada por la proyección del sistema de coordenadas tridimensional en el plano. Muchos observadores ven la figura 8 como un "cambio de posición" entre un cubo convexo y una "esquina" cóncava. Esto corresponde a las dos orientaciones posibles del espacio. Ver la figura como convexa da como resultado un sistema de coordenadas para zurdos. Por lo tanto, la forma "correcta" de ver la figura 8 es imaginar el eje x apuntando hacia el observador y, por lo tanto, ver una esquina cóncava.
Un punto en el espacio en un sistema de coordenadas cartesianas también puede representarse mediante un vector de posición , que puede considerarse como una flecha que apunta desde el origen del sistema de coordenadas hasta el punto. [14] Si las coordenadas representan posiciones espaciales (desplazamientos), es común representar el vector desde el origen hasta el punto de interés como . En dos dimensiones, el vector desde el origen hasta el punto con coordenadas cartesianas (x, y) se puede escribir como:
donde y son vectores unitarios en la dirección del eje x y del eje y respectivamente, generalmente denominados base estándar (en algunas áreas de aplicación también se los puede denominar versores ). De manera similar, en tres dimensiones, el vector desde el origen hasta el punto con coordenadas cartesianas se puede escribir como: [15]
donde y
No existe una interpretación natural de la multiplicación de vectores para obtener otro vector que funcione en todas las dimensiones, sin embargo, hay una forma de utilizar números complejos para proporcionar dicha multiplicación. En un plano cartesiano bidimensional, identifique el punto con coordenadas ( x , y ) con el número complejo z = x + iy . Aquí, i es la unidad imaginaria y se identifica con el punto con coordenadas (0, 1) , por lo que no es el vector unitario en la dirección del eje x . Dado que los números complejos se pueden multiplicar dando otro número complejo, esta identificación proporciona un medio para "multiplicar" vectores. En un espacio cartesiano tridimensional se puede realizar una identificación similar con un subconjunto de los cuaterniones .
