Coordenadas oblicuas

Un sistema de coordenadas oblicuas es un sistema de coordenadas curvilíneas donde las superficies de coordenadas no son ortogonales , ^[1] a diferencia de las coordenadas ortogonales .

Las coordenadas oblicuas tienden a ser más complicadas de trabajar en comparación con las coordenadas ortogonales, ya que el tensor métrico tendrá componentes fuera de la diagonal distintos de cero, lo que evita muchas simplificaciones en las fórmulas para el álgebra tensorial y el cálculo tensorial . Los componentes fuera de la diagonal distintos de cero del tensor métrico son un resultado directo de la no ortogonalidad de los vectores base de las coordenadas, ya que por definición: ^[2]

${\displaystyle g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}}$

donde es el tensor métrico y los vectores base (covariantes) . ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

Estos sistemas de coordenadas pueden ser útiles si la geometría de un problema se adapta bien a un sistema asimétrico. Por ejemplo, resolver la ecuación de Laplace en un paralelogramo será más fácil si se hace en coordenadas asimétricas apropiadas.

Coordenadas cartesianas con un eje oblicuo

Un sistema de coordenadas donde el eje x se ha doblado hacia el eje z

El caso 3D más simple de un sistema de coordenadas oblicuas es un sistema cartesiano en el que uno de los ejes (por ejemplo, el eje x ) se ha doblado en un ángulo , permaneciendo ortogonal a uno de los dos ejes restantes. Para este ejemplo, el eje x de una coordenada cartesiana se ha doblado hacia el eje z en , permaneciendo ortogonal al eje y . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

Álgebra y magnitudes útiles

Sean , , y respectivamente vectores unitarios a lo largo de los ejes , , y . Estos representan la base covariante ; al calcular sus productos escalares se obtiene el tensor métrico : ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&\sin(\phi )\\0&1&0\\\sin(\phi )&0&1\end{pmatrix}},\qquad [g^{ij}]={\frac {1}{\cos ^{2}(\phi )}}{\begin{pmatrix}1&0&-\sin(\phi )\\0&\cos ^{2}(\phi )&0\\-\sin(\phi )&0&1\end{pmatrix}}}$

dónde

${\displaystyle \quad g_{13}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\phi \right)=\sin(\phi )}$

y

${\displaystyle {\sqrt {g}}=\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})=\cos(\phi )}$

que son cantidades que nos serán útiles más adelante.

La base contravariante está dada por ^[2]

${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\sqrt {g}}}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\cos(\phi )}}}$

${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}={\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{\sqrt {g}}}=\mathbf {e} _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {e} ^{3}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\sqrt {g}}}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\cos(\phi )}}}$

La base contravariante no es muy cómoda de usar, pero aparece en las definiciones, por lo que debe tenerse en cuenta. Preferiremos escribir las cantidades con respecto a la base covariante.

Dado que todos los vectores base son constantes, la suma y resta de vectores será simplemente la suma y resta conocidas por componentes. Ahora, sea

${\displaystyle \mathbf {a} =\sum _{i}a^{i}\mathbf {e} _{i}\quad {\mbox{and}}\quad \mathbf {b} =\sum _{i}b^{i}\mathbf {e} _{i}}$

donde las sumas indican la suma de todos los valores del índice (en este caso, i = 1, 2, 3). Los componentes contravariantes y covariantes de estos vectores pueden estar relacionados por

${\displaystyle a^{i}=\sum _{j}a_{j}g^{ij}}$

de modo que, explícitamente,

${\displaystyle a^{1}={\frac {a_{1}-\sin(\phi )a_{3}}{\cos ^{2}(\phi )}},}$

${\displaystyle a^{2}=a_{2},}$

${\displaystyle a^{3}={\frac {-\sin(\phi )a_{1}+a_{3}}{\cos ^{2}(\phi )}}.}$

El producto escalar en términos de componentes contravariantes es entonces

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i}a^{i}b_{i}=a^{1}b^{1}+a^{2}b^{2}+a^{3}b^{3}+\sin(\phi )(a^{1}b^{3}+a^{3}b^{1})}$

y en términos de componentes covariantes

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\frac {1}{\cos ^{2}(\phi )}}[a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}\cos ^{2}(\phi )+a_{3}b_{3}-\sin(\phi )(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1})].}$

Cálculo

Por definición, ^[3] el gradiente de una función escalar f es

${\displaystyle \nabla f=\sum _{i}\mathbf {e} ^{i}{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {e} ^{1}+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {e} ^{2}+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} ^{3}}$

donde están indexadas las coordenadas x , y , z . Reconociendo esto como un vector escrito en términos de la base contravariante, puede reescribirse: ${\displaystyle q_{i}}$

${\displaystyle \nabla f={\frac {{\frac {\partial f}{\partial x}}-\sin(\phi ){\frac {\partial f}{\partial z}}}{\cos(\phi )^{2}}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {-\sin(\phi ){\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}}{\cos(\phi )^{2}}}\mathbf {e} _{3}.}$

La divergencia de un vector es ${\displaystyle \mathbf {a} }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {a} ={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}a^{i}\right)={\frac {\partial a^{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial a^{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial a^{3}}{\partial z}}.}$

y de un tensor ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i,j}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}a^{ij}\mathbf {e} _{j}\right)=\sum _{i,j}\mathbf {e} _{j}{\frac {\partial a^{ij}}{\partial q^{i}}}.}$

El laplaciano de f es

${\displaystyle \nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f={\frac {1}{\cos(\phi )^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}-2\sin(\phi ){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial z}}\right)+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$

y, dado que la base covariante es normal y constante, el laplaciano vectorial es el mismo que el laplaciano por componentes de un vector escrito en términos de la base covariante.

Si bien tanto el producto escalar como el gradiente son algo confusos porque tienen términos adicionales (en comparación con un sistema cartesiano), el operador de advección que combina un producto escalar con un gradiente resulta muy simple:

${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \nabla )={\biggl (}\sum _{i}a^{i}e_{i}{\biggr )}\cdot {\biggl (}\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\mathbf {e} ^{i}{\biggr )}={\biggl (}\sum _{i}a^{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\biggr )}}$

que puede aplicarse tanto a funciones escalares como a funciones vectoriales, componente por componente cuando se expresa en la base covariante.

Finalmente, el rizo de un vector es

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {a} =\sum _{i,j,k}\mathbf {e} _{k}\epsilon ^{ijk}{\frac {\partial a_{j}}{\partial q^{i}}}=}$

${\displaystyle {\frac {1}{\cos(\phi )}}\left(\left(\sin(\phi ){\frac {\partial a^{1}}{\partial y}}+{\frac {\partial a^{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial a^{2}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{1}+\left({\frac {\partial a^{1}}{\partial z}}+\sin(\phi )\left({\frac {\partial a^{3}}{\partial z}}-{\frac {\partial a^{1}}{\partial x}}\right)-{\frac {\partial a^{3}}{\partial x}}\right)\mathbf {e} _{2}+\left({\frac {\partial a^{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial a^{1}}{\partial y}}-\sin(\phi ){\frac {\partial a^{3}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{3}\right).}$

Referencias

1. Sistema de coordenadas oblicuas en Mathworld
2. Lebedev, Leonid P. (2003). Análisis tensorial . World Scientific. pág. 13. ISBN 981-238-360-3.
3. Lebedev, Leonid P. (2003). Análisis tensorial . World Scientific. pág. 63. ISBN 981-238-360-3.