Integración de contornos

Método de evaluación de ciertas integrales a lo largo de trayectorias en el plano complejo

En el campo matemático del análisis complejo , la integración de contornos es un método para evaluar ciertas integrales a lo largo de trayectorias en el plano complejo . ^{[1] [2] [3]}

La integración de contornos está estrechamente relacionada con el cálculo de residuos , ^[4] un método de análisis complejo .

Un uso de las integrales de contorno es la evaluación de integrales a lo largo de la línea real que no se encuentran fácilmente utilizando solo métodos de variables reales. ^[5]

Los métodos de integración de contornos incluyen:

• integración directa de una función de valor complejo a lo largo de una curva en el plano complejo;
• aplicación de la fórmula integral de Cauchy ; y
• aplicación del teorema del residuo .

Se puede utilizar un método, o una combinación de estos métodos, o varios procesos limitantes, con el fin de encontrar estas integrales o sumas.

Curvas en el plano complejo

En el análisis complejo, un contorno es un tipo de curva en el plano complejo . En la integración de contornos, los contornos proporcionan una definición precisa de las curvas en las que se puede definir adecuadamente una integral. Una curva en el plano complejo se define como una función continua desde un intervalo cerrado de la línea real hasta el plano complejo: . ${\displaystyle z:[a,b]\to \mathbb {C} }$

Esta definición de curva coincide con la noción intuitiva de curva, pero incluye una parametrización por una función continua a partir de un intervalo cerrado. Esta definición más precisa nos permite considerar qué propiedades debe tener una curva para que sea útil para la integración. En las siguientes subsecciones, acotamos el conjunto de curvas que podemos integrar para incluir solo aquellas que se pueden construir a partir de un número finito de curvas continuas a las que se les puede dar una dirección. Además, restringiremos que los "fragmentos" se crucen entre sí y exigiremos que cada fragmento tenga una derivada continua finita (que no se anule). Estos requisitos corresponden a exigir que consideremos solo curvas que se puedan trazar, por ejemplo con un bolígrafo, en una secuencia de trazos uniformes y constantes, que se detengan solo para comenzar un nuevo fragmento de la curva, todo ello sin tener que levantar el bolígrafo. ^[6]

Curvas suaves dirigidas

Los contornos a menudo se definen en términos de curvas suaves dirigidas. ^[6] Estos proporcionan una definición precisa de un "trozo" de una curva suave, de la cual se forma un contorno.

Una curva suave es una curva con una derivada continua que no se desvanece, de modo que cada punto se recorre solo una vez ( z es uno a uno), con la posible excepción de una curva en la que los puntos finales coinciden ( ). En el caso en que los puntos finales coinciden, la curva se llama cerrada y se requiere que la función sea uno a uno en todos los demás lugares y la derivada debe ser continua en el punto identificado ( ). Una curva suave que no está cerrada a menudo se denomina arco suave. ^[6] ${\displaystyle z:[a,b]\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z(a)=z(b)}$ ${\displaystyle z'(a)=z'(b)}$

La parametrización de una curva proporciona un orden natural de los puntos de la curva: va antes de si . Esto nos lleva a la noción de una curva suave dirigida . Es más útil considerar las curvas independientemente de la parametrización específica. Esto se puede hacer considerando clases de equivalencia de curvas suaves con la misma dirección. Una curva suave dirigida se puede definir entonces como un conjunto ordenado de puntos en el plano complejo que es la imagen de alguna curva suave en su orden natural (según la parametrización). Nótese que no todos los ordenamientos de los puntos son el orden natural de una curva suave. De hecho, una curva suave dada tiene solo dos de esos ordenamientos. Además, una única curva cerrada puede tener cualquier punto como su punto final, mientras que un arco suave tiene solo dos opciones para sus puntos finales. ${\displaystyle z(x)}$ ${\displaystyle z(y)}$ ${\displaystyle x<y}$

Contornos

Los contornos son la clase de curvas en las que definimos la integración de contornos. Un contorno es una curva dirigida que se compone de una secuencia finita de curvas suaves dirigidas cuyos puntos finales coinciden para dar una única dirección. Esto requiere que la secuencia de curvas sea tal que el punto terminal de coincida con el punto inicial de para todas las curvas suaves dirigidas de manera que . Esto incluye todas las curvas suaves dirigidas. Además, un único punto en el plano complejo se considera un contorno. El símbolo se utiliza a menudo para indicar la unión de curvas para formar una nueva curva. Por lo tanto, podríamos escribir un contorno que se compone de curvas como ${\displaystyle \gamma _{1},\dots ,\gamma _{n}}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle \gamma _{i+1}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1\leq i<n}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \Gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}+\cdots +\gamma _{n}.}$$

Integrales de contorno

La integral de contorno de una función compleja es una generalización de la integral para funciones de valores reales. Para funciones continuas en el plano complejo , la integral de contorno se puede definir de manera análoga a la integral de línea definiendo primero la integral a lo largo de una curva suave dirigida en términos de una integral sobre un parámetro de valor real. Se puede dar una definición más general en términos de particiones del contorno en analogía con la partición de un intervalo y la integral de Riemann . En ambos casos, la integral sobre un contorno se define como la suma de las integrales sobre las curvas suaves dirigidas que forman el contorno. ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

Para funciones continuas

Para definir la integral de contorno de esta manera, primero se debe considerar la integral, sobre una variable real, de una función de valor complejo. Sea una función de valor complejo de una variable real, . Las partes real e imaginaria de a menudo se denotan como y , respectivamente, de modo que Entonces la integral de la función de valor complejo sobre el intervalo está dada por ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u(t)}$ ${\displaystyle v(t)}$ $${\displaystyle f(t)=u(t)+iv(t).}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(t)\,dt&=\int _{a}^{b}{\big (}u(t)+iv(t){\big )}\,dt\\&=\int _{a}^{b}u(t)\,dt+i\int _{a}^{b}v(t)\,dt.\end{aligned}}}$$

Ahora, para definir la integral de contorno, sea una función continua sobre la curva suave dirigida . Sea cualquier parametrización de que sea consistente con su orden (dirección). Entonces la integral a lo largo se denota y se da por ^[6] ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z:[a,b]\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz\,}$$ $${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz:=\int _{a}^{b}f{\big (}z(t){\big )}z'(t)\,dt.}$$

Esta definición está bien definida. Es decir, el resultado es independiente de la parametrización elegida. ^[6] En el caso en que la integral real del lado derecho no exista, se dice que la integral a lo largo no existe. ${\displaystyle \gamma }$

Como generalización de la integral de Riemann

La generalización de la integral de Riemann a funciones de variable compleja se realiza en completa analogía con su definición para funciones de números reales. La partición de una curva suave dirigida se define como un conjunto finito y ordenado de puntos en . La integral sobre la curva es el límite de sumas finitas de valores de funciones, tomadas en los puntos de la partición, en el límite en que la distancia máxima entre dos puntos sucesivos cualesquiera en la partición (en el plano complejo bidimensional), también conocida como malla, tiende a cero. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Métodos directos

Los métodos directos implican el cálculo de la integral mediante métodos similares a los utilizados para calcular la integral de línea en el cálculo multivariante. Esto significa que utilizamos el siguiente método:

• parametrizando el contorno

  El contorno se parametriza mediante una función compleja diferenciable de variables reales, o bien el contorno se divide en partes y se parametriza por separado.

• sustitución de la parametrización en el integrando

  Sustituyendo la parametrización en el integrando transforma la integral en una integral de una variable real.

• evaluación directa

  La integral se evalúa mediante un método similar a una integral de variable real.

Ejemplo

Un resultado fundamental en el análisis complejo es que la integral de contorno de ⁠1/el⁠ es 2π i , donde la trayectoria del contorno se toma como el círculo unitario recorrido en sentido antihorario (o cualquier curva de Jordan orientada positivamente alrededor de 0). En el caso del círculo unitario existe un método directo para evaluar la integral $${\displaystyle \oint _{C}{\frac {1}{z}}\,dz.}$$

Para evaluar esta integral, use el círculo unitario | z | = 1 como contorno, parametrizado por z ( t ) = e ^it , con t ∈ [0, 2π] , entonces ⁠el/es⁠ = es decir , ^eso y $${\displaystyle \oint _{C}{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }1\,dt=i\,t{\Big |}_{0}^{2\pi }=\left(2\pi -0\right)i=2\pi i}$$

que es el valor de la integral. Este resultado solo se aplica al caso en que z se eleva a la potencia -1. Si la potencia no es igual a -1, entonces el resultado siempre será cero.

Aplicaciones de los teoremas integrales

Las aplicaciones de teoremas integrales también se utilizan a menudo para evaluar la integral de contorno a lo largo de un contorno, lo que significa que la integral de valor real se calcula simultáneamente junto con el cálculo de la integral de contorno.

Los teoremas integrales como la fórmula integral de Cauchy o el teorema del residuo se utilizan generalmente en el siguiente método:

• Se elige un contorno específico:

  El contorno se elige de modo que siga la parte del plano complejo que describe la integral de valor real y también encierra singularidades del integrando, de modo que sea posible la aplicación de la fórmula integral de Cauchy o el teorema del residuo.

• Aplicación del teorema integral de Cauchy

  La integral se reduce a sólo una integración alrededor de un pequeño círculo alrededor de cada polo.

• Aplicación de la fórmula integral de Cauchy o teorema del residuo

  La aplicación de estas fórmulas integrales nos da un valor para la integral alrededor de todo el contorno.

• división del contorno en un contorno a lo largo de la parte real y la parte imaginaria

  El contorno completo se puede dividir en el contorno que sigue la parte del plano complejo que describe la integral de valor real elegida anteriormente (llamémosla R ), y la integral que cruza el plano complejo (llamémosla I ). La integral sobre el contorno completo es la suma de la integral sobre cada uno de estos contornos.

• Demostración de que la integral que cruza el plano complejo no juega ningún papel en la suma.

  Si se puede demostrar que la integral I es cero, o si la integral de valor real que se busca es impropia, entonces si demostramos que la integral I como se describió anteriormente tiende a 0, la integral a lo largo de R tenderá a la integral alrededor del contorno R + I.

• conclusión

  Si podemos mostrar el paso anterior, entonces podemos calcular directamente R , la integral de valor real.

Ejemplo 1

Considere la integral $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}}\,dx,}$$

Para evaluar esta integral, observamos la función de valor complejo $${\displaystyle f(z)={\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}}$$

que tiene singularidades en i y − i . Elegimos un contorno que encierra la integral de valor real, en este caso un semicírculo con diámetro límite en la línea real (que va de, digamos, − a a a ) será conveniente. Llamemos a este contorno C .

Hay dos formas de proceder, utilizando la fórmula integral de Cauchy o por el método de residuos:

Utilizando la fórmula integral de Cauchy

Tenga en cuenta que: por lo tanto $${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\int _{-a}^{a}f(z)\,dz+\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz}$$ $${\displaystyle \int _{-a}^{a}f(z)\,dz=\oint _{C}f(z)\,dz-\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz}$$

Además, observe que $${\displaystyle f(z)={\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}={\frac {1}{(z+i)^{2}(z-i)^{2}}}.}$$

Dado que la única singularidad en el contorno es la de  i , entonces podemos escribir $${\displaystyle f(z)={\frac {\frac {1}{(z+i)^{2}}}{(z-i)^{2}}},}$$

que pone la función en la forma para la aplicación directa de la fórmula. Luego, utilizando la fórmula integral de Cauchy, $${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}{\frac {\frac {1}{(z+i)^{2}}}{(z-i)^{2}}}\,dz=2\pi i\,\left.{\frac {d}{dz}}{\frac {1}{(z+i)^{2}}}\right|_{z=i}=2\pi i\left[{\frac {-2}{(z+i)^{3}}}\right]_{z=i}={\frac {\pi }{2}}}$$

Tomamos la primera derivada, en los pasos anteriores, porque el polo es un polo de segundo orden. Es decir, ( z − i ) se eleva a la segunda potencia, por lo que empleamos la primera derivada de f ( z ) . Si fuera ( z − i ) elevado a la tercera potencia, utilizaríamos la segunda derivada y dividiríamos por 2!, etc. El caso de ( z − i ) elevado a la primera potencia corresponde a una derivada de orden cero, es decir, f ( z ) misma.

Necesitamos demostrar que la integral sobre el arco del semicírculo tiende a cero cuando a → ∞ , utilizando el lema de estimación $${\displaystyle \left|\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz\right|\leq ML}$$

donde M es un límite superior de | f ( z ) | a lo largo del arco y L la longitud del arco. Ahora, entonces $${\displaystyle \left|\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz\right|\leq {\frac {a\pi }{\left(a^{2}-1\right)^{2}}}\to 0{\text{ as }}a\to \infty .}$$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f(z)\,dz=\lim _{a\to +\infty }\int _{-a}^{a}f(z)\,dz={\frac {\pi }{2}}.\quad \square }$$

Utilizando el método de residuos

Consideremos la serie de Laurent de f ( z ) con respecto a i , la única singularidad que debemos considerar. Entonces tenemos $${\displaystyle f(z)={\frac {-1}{4(z-i)^{2}}}+{\frac {-i}{4(z-i)}}+{\frac {3}{16}}+{\frac {i}{8}}(z-i)+{\frac {-5}{64}}(z-i)^{2}+\cdots }$$

(Véase el ejemplo de cálculo de Laurent de la serie de Laurent para la derivación de esta serie).

Al inspeccionarlo, queda claro que el residuo es − ⁠i/4⁠ , entonces, por el teorema del residuo , tenemos $${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}{\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}\,dz=2\pi i\,\operatorname {Res} _{z=i}f(z)=2\pi i\left(-{\frac {i}{4}}\right)={\frac {\pi }{2}}\quad \square }$$

De esta manera obtenemos el mismo resultado que antes.

Nota de contorno

Aparte de esto, puede surgir la pregunta de si no consideramos que el semicírculo incluye la otra singularidad, que encierra − i . Para que la integral a lo largo del eje real se mueva en la dirección correcta, el contorno debe viajar en el sentido de las agujas del reloj, es decir, en una dirección negativa, invirtiendo el signo de la integral en general.

Esto no afecta el uso del método de residuos por series.

Ejemplo 2 – Distribución de Cauchy

La integral $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx}$$

El contorno

(que surge en la teoría de la probabilidad como un múltiplo escalar de la función característica de la distribución de Cauchy ) resiste las técnicas del cálculo elemental . La evaluaremos expresándola como un límite de integrales de contorno a lo largo del contorno C que va a lo largo de la línea real desde − a hasta a y luego en sentido antihorario a lo largo de un semicírculo centrado en 0 desde a hasta − a . Tome a mayor que 1, de modo que la unidad imaginaria i esté encerrada dentro de la curva. La integral de contorno es $${\displaystyle \int _{C}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz.}$$

Como e ^itz es una función entera (que no tiene singularidades en ningún punto del plano complejo), esta función tiene singularidades solo donde el denominador z ² + 1 es cero. Como z ² + 1 = ( z + i )( z − i ) , eso sucede solo donde z = i o z = − i . Solo uno de esos puntos está en la región limitada por este contorno. El residuo de f ( z ) en z = i es $${\displaystyle \lim _{z\to i}(z-i)f(z)=\lim _{z\to i}(z-i){\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}=\lim _{z\to i}(z-i){\frac {e^{itz}}{(z-i)(z+i)}}=\lim _{z\to i}{\frac {e^{itz}}{z+i}}={\frac {e^{-t}}{2i}}.}$$

De acuerdo con el teorema del residuo , entonces, tenemos $${\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\operatorname {Res} _{z=i}f(z)=2\pi i{\frac {e^{-t}}{2i}}=\pi e^{-t}.}$$

El contorno C se puede dividir en una parte "recta" y un arco curvo, de modo que y así $${\displaystyle \int _{\text{straight}}+\int _{\text{arc}}=\pi e^{-t},}$$ $${\displaystyle \int _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int _{\text{arc}}.}$$

Según el lema de Jordan , si t > 0 entonces $${\displaystyle \int _{\text{arc}}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz\rightarrow 0{\mbox{ as }}a\rightarrow \infty .}$$

Por lo tanto, si t > 0 entonces $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx=\pi e^{-t}.}$$

Un argumento similar con un arco que gira alrededor de − i en lugar de i muestra que si t < 0 entonces y finalmente tenemos esto: $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx=\pi e^{t},}$$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx=\pi e^{-|t|}.}$$

(Si t = 0 entonces la integral se traduce inmediatamente en métodos de cálculo de valores reales y su valor es π .)

Ejemplo 3 – integrales trigonométricas

Se pueden realizar ciertas sustituciones a integrales que involucran funciones trigonométricas , de modo que la integral se transforma en una función racional de una variable compleja y luego se pueden usar los métodos anteriores para evaluar la integral.

Como ejemplo, consideremos $${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }{\frac {1}{1+3(\cos t)^{2}}}\,dt.}$$

Buscamos hacer una sustitución de z = e ^it . Ahora, recordemos y $${\displaystyle \cos t={\frac {1}{2}}\left(e^{it}+e^{-it}\right)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {dz}{dt}}=iz,\ dt={\frac {dz}{iz}}.}$$

Tomando C como el círculo unitario, sustituimos para obtener:

${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}{\frac {1}{1+3\left({\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)\right)^{2}}}\,{\frac {dz}{iz}}&=\oint _{C}{\frac {1}{1+{\frac {3}{4}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)^{2}}}{\frac {1}{iz}}\,dz\\&=\oint _{C}{\frac {-i}{z+{\frac {3}{4}}z\left(z+{\frac {1}{z}}\right)^{2}}}\,dz\\&=-i\oint _{C}{\frac {dz}{z+{\frac {3}{4}}z\left(z^{2}+2+{\frac {1}{z^{2}}}\right)}}\\&=-i\oint _{C}{\frac {dz}{z+{\frac {3}{4}}\left(z^{3}+2z+{\frac {1}{z}}\right)}}\\&=-i\oint _{C}{\frac {dz}{{\frac {3}{4}}z^{3}+{\frac {5}{2}}z+{\frac {3}{4z}}}}\\&=-i\oint _{C}{\frac {4}{3z^{3}+10z+{\frac {3}{z}}}}\,dz\\&=-4i\oint _{C}{\frac {dz}{3z^{3}+10z+{\frac {3}{z}}}}\\&=-4i\oint _{C}{\frac {z}{3z^{4}+10z^{2}+3}}\,dz\\&=-4i\oint _{C}{\frac {z}{3\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\,dz\\&=-{\frac {4i}{3}}\oint _{C}{\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\,dz.\end{aligned}}}$

Las singularidades a considerar son: Sea C ₁ un pequeño círculo alrededor y C ₂ un pequeño círculo alrededor Entonces llegamos a lo siguiente: ${\displaystyle {\tfrac {\pm i}{\sqrt {3}}}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {i}{\sqrt {3}}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {-i}{\sqrt {3}}}.}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&-{\frac {4i}{3}}\left[\oint _{C_{1}}{\frac {\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}{z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}}\,dz+\oint _{C_{2}}{\frac {\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}{z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}}}\,dz\right]\\={}&-{\frac {4i}{3}}\left[2\pi i\left[{\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]_{z={\frac {i}{\sqrt {3}}}}+2\pi i\left[{\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]_{z=-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\sqrt {3}}i\right)\left({\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\sqrt {3}}i\right)\left({\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{\left(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\sqrt {3}}i\right)\left(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\sqrt {3}}i\right)\left(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}i\right)\left(-{\frac {2}{i{\sqrt {3}}}}\right)\left({\frac {2}{{\sqrt {3}}i}}\right)}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}i\right)\left(-{\frac {4}{\sqrt {3}}}i\right)\left(-{\frac {2}{\sqrt {3}}}i\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{i\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{-i\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}+{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {16}{3{\sqrt {3}}}}}+{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {16}{3{\sqrt {3}}}}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {3}{16}}+{\frac {3}{16}}\right]\\={}&\pi .\end{aligned}}}$$

Ejemplo 3a – integrales trigonométricas, procedimiento general

El método anterior se puede aplicar a todas las integrales del tipo $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {P{\big (}\sin(t),\sin(2t),\ldots ,\cos(t),\cos(2t),\ldots {\big )}}{Q{\big (}\sin(t),\sin(2t),\ldots ,\cos(t),\cos(2t),\ldots {\big )}}}\,dt}$$

donde P y Q son polinomios, es decir, se está integrando una función racional en términos trigonométricos. Nótese que los límites de integración también pueden ser π y − π , como en el ejemplo anterior, o cualquier otro par de puntos extremos separados por 2 π .

El truco es utilizar la sustitución z = e ^it donde dz = ie ^it dt y por lo tanto $${\displaystyle {\frac {1}{iz}}\,dz=dt.}$$

Esta sustitución asigna el intervalo [0, 2π] al círculo unitario. Además, y de modo que de la sustitución resulta una función racional f ( z ) en z , la integral se convierte en que a su vez se calcula sumando los residuos de f ( z ) ⁠ $${\displaystyle \sin(kt)={\frac {e^{ikt}-e^{-ikt}}{2i}}={\frac {z^{k}-z^{-k}}{2i}}}$$ $${\displaystyle \cos(kt)={\frac {e^{ikt}+e^{-ikt}}{2}}={\frac {z^{k}+z^{-k}}{2}}}$$ $${\displaystyle \oint _{|z|=1}f(z){\frac {1}{iz}}\,dz}$$1/es⁠ dentro del círculo unitario.

La imagen de la derecha ilustra esto, por lo que ahora realizaremos los cálculos. El primer paso es reconocer que $${\displaystyle I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{1+(\sin t)^{2}}}\,dt,}$$ $${\displaystyle I={\frac {1}{4}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{1+(\sin t)^{2}}}\,dt.}$$

La sustitución produce $${\displaystyle {\frac {1}{4}}\oint _{|z|=1}{\frac {4iz}{z^{4}-6z^{2}+1}}\,dz=\oint _{|z|=1}{\frac {iz}{z^{4}-6z^{2}+1}}\,dz.}$$

Los polos de esta función están en 1 ± √ 2 y −1 ± √ 2 . De estos, 1 + √ 2 y −1 − √ 2 están fuera del círculo unitario (mostrados en rojo, no a escala), mientras que 1 − √ 2 y −1 + √ 2 están dentro del círculo unitario (mostrados en azul). Los residuos correspondientes son ambos iguales a − ⁠yo √ 2/16⁠ , de modo que el valor de la integral es $${\displaystyle I=2\pi i\;2\left(-{\frac {\sqrt {2}}{16}}i\right)=\pi {\frac {\sqrt {2}}{4}}.}$$

Ejemplo 4 – cortes de ramas

Consideremos la integral real $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {x}}{x^{2}+6x+8}}\,dx.}$$

Podemos comenzar formulando la integral compleja $${\displaystyle \int _{C}{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz=I.}$$

Podemos utilizar nuevamente la fórmula integral de Cauchy o el teorema de los residuos para obtener los residuos relevantes. Sin embargo, lo importante a tener en cuenta es que z ^1/2 = e ^{(Log z )/2} , por lo que z ^1/2 tiene un corte de rama . Esto afecta nuestra elección del contorno C . Normalmente, el corte de rama logarítmica se define como el eje real negativo, sin embargo, esto hace que el cálculo de la integral sea un poco más complicado, por lo que lo definimos como el eje real positivo.

Luego, utilizamos el llamado contorno de ojo de cerradura , que consiste en un pequeño círculo alrededor del origen de radio ε digamos, que se extiende hasta un segmento de línea paralelo y cercano al eje real positivo pero sin tocarlo, hasta un círculo casi completo, regresando a un segmento de línea paralelo, cercano y debajo del eje real positivo en sentido negativo, regresando al pequeño círculo en el medio.

Nótese que z = −2 y z = −4 están dentro del círculo grande. Estos son los dos polos restantes, derivables factorizando el denominador del integrando. El punto de ramificación en z = 0 se evitó desviándose alrededor del origen.

Sea γ el círculo pequeño de radio ε , Γ el más grande, con radio R , entonces $${\displaystyle \int _{C}=\int _{\varepsilon }^{R}+\int _{\Gamma }+\int _{R}^{\varepsilon }+\int _{\gamma }.}$$

Se puede demostrar que las integrales sobre Γ y γ tienden a cero cuando ε → 0 y R → ∞ , mediante un argumento de estimación anterior, que deja dos términos. Ahora bien, dado que z ^1/2 = e ^{(Log z )/2} , en el contorno fuera del corte de la rama, hemos ganado 2 π en el argumento a lo largo de γ . (Por la identidad de Euler , e ^{i π} representa el vector unitario, que por lo tanto tiene π como su logaritmo. Este π es lo que se entiende por el argumento de z . El coeficiente de ⁠1/2⁠ nos obliga a utilizar 2 π .) Entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\operatorname {Log} z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}(\log |z|+i\arg {z})}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\log |z|}e^{{\frac {1}{2}}(2\pi i)}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\log |z|}e^{\pi i}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {-{\sqrt {z}}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{\varepsilon }^{R}{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto: $${\displaystyle \int _{C}{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz=2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {x}}{x^{2}+6x+8}}\,dx.}$$

Utilizando el teorema del residuo o la fórmula integral de Cauchy (empleando primero el método de fracciones parciales para derivar una suma de dos integrales de contorno simples) se obtiene $${\displaystyle \pi i\left({\frac {i}{\sqrt {2}}}-i\right)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {x}}{x^{2}+6x+8}}\,dx=\pi \left(1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right).\quad \square }$$

Ejemplo 5 – el cuadrado del logaritmo

En esta sección se trata un tipo de integral del cual se da un ejemplo. $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx}$$

Para calcular esta integral se utiliza la función y la rama del logaritmo correspondiente a −π < arg z ≤ π . $${\displaystyle f(z)=\left({\frac {\log z}{1+z^{2}}}\right)^{2}}$$

Calcularemos la integral de f ( z ) a lo largo del contorno de la cerradura que se muestra a la derecha. Resulta que esta integral es un múltiplo de la integral inicial que deseamos calcular y, por el teorema del residuo de Cauchy, tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\int _{R}+\int _{M}+\int _{N}+\int _{r}\right)f(z)\,dz=&\ 2\pi i{\big (}\operatorname {Res} _{z=i}f(z)+\operatorname {Res} _{z=-i}f(z){\big )}\\=&\ 2\pi i\left(-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {1}{16}}i\pi ^{2}-{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{16}}i\pi ^{2}\right)\\=&\ -i\pi ^{2}.\end{aligned}}}$

Sea R el radio del círculo grande y r el radio del pequeño. Denotaremos la línea superior por M y la línea inferior por N. Como antes, tomamos el límite cuando R → ∞ y r → 0. Las contribuciones de los dos círculos se anulan. Por ejemplo, se tiene el siguiente límite superior con el lema ML : $${\displaystyle \left|\int _{R}f(z)\,dz\right|\leq 2\pi R{\frac {(\log R)^{2}+\pi ^{2}}{\left(R^{2}-1\right)^{2}}}\to 0.}$$

Para calcular las contribuciones de M y N establecemos z = − x + iε en M y z = − x − iε en N , con 0 < x < ∞ :

${\displaystyle {\begin{aligned}-i\pi ^{2}&=\left(\int _{R}+\int _{M}+\int _{N}+\int _{r}\right)f(z)\,dz\\[6pt]&=\left(\int _{M}+\int _{N}\right)f(z)\,dz&&\int _{R},\int _{r}{\mbox{ vanish}}\\[6pt]&=-\int _{\infty }^{0}\left({\frac {\log(-x+i\varepsilon )}{1+(-x+i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x-i\varepsilon )}{1+(-x-i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x+i\varepsilon )}{1+(-x+i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x-i\varepsilon )}{1+(-x-i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log x+i\pi }{1+x^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log x-i\pi }{1+x^{2}}}\right)^{2}\,dx&&\varepsilon \to 0\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {(\log x+i\pi )^{2}-(\log x-i\pi )^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {4\pi i\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=4\pi i\int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\end{aligned}}}$

Lo cual da $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx=-{\frac {\pi }{4}}.}$$

Ejemplo 6 – logaritmos y residuo en el infinito

Buscamos evaluar $${\displaystyle I=\int _{0}^{3}{\frac {x^{\frac {3}{4}}(3-x)^{\frac {1}{4}}}{5-x}}\,dx.}$$

Esto requiere un estudio minucioso de $${\displaystyle f(z)=z^{\frac {3}{4}}(3-z)^{\frac {1}{4}}.}$$

Construiremos f ( z ) de manera que tenga una rama cortada en [0, 3] , que se muestra en rojo en el diagrama. Para ello, elegimos dos ramas del logaritmo, estableciendo y $${\displaystyle z^{\frac {3}{4}}=\exp \left({\frac {3}{4}}\log z\right)\quad {\mbox{where }}-\pi \leq \arg z<\pi }$$ $${\displaystyle (3-z)^{\frac {1}{4}}=\exp \left({\frac {1}{4}}\log(3-z)\right)\quad {\mbox{where }}0\leq \arg(3-z)<2\pi .}$$

El corte de z ^{3 ⁄ 4} es por lo tanto (−∞, 0] y el corte de (3 − z ) ^1/4 es (−∞, 3] . Es fácil ver que el corte del producto de los dos, es decir f ( z ) , es [0, 3] , porque f ( z ) es en realidad continua a través de (−∞, 0) . Esto se debe a que cuando z = − r < 0 y nos acercamos al corte desde arriba, f ( z ) tiene el valor $${\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {3}{4}}\pi i}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {2}{4}}\pi i}=r^{\frac {3}{4}}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {5}{4}}\pi i}.}$$

Cuando nos acercamos desde abajo, f ( z ) tiene el valor $${\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{-{\frac {3}{4}}\pi i}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}=r^{\frac {3}{4}}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {3}{4}}\pi i}.}$$

Pero $${\displaystyle e^{-{\frac {3}{4}}\pi i}=e^{{\frac {5}{4}}\pi i},}$$

de modo que tengamos continuidad a través del corte. Esto se ilustra en el diagrama, donde los dos círculos orientados negros están etiquetados con el valor correspondiente del argumento del logaritmo utilizado en z ^{3 ⁄ 4} y (3 − z ) ^1/4 .

Utilizaremos el contorno que se muestra en verde en el diagrama. Para ello debemos calcular el valor de f ( z ) a lo largo de los segmentos de línea justo por encima y justo por debajo del corte.

Sea z = r (en el límite, es decir, cuando los dos círculos verdes se encogen hasta el radio cero), donde 0 ≤ r ≤ 3. A lo largo del segmento superior, encontramos que f ( z ) tiene el valor y a lo largo del segmento inferior, $${\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}(3-r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {2}{4}}\pi i}=ir^{\frac {3}{4}}(3-r)^{\frac {1}{4}}}$$ $${\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}(3-r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}=r^{\frac {3}{4}}(3-r)^{\frac {1}{4}}.}$$

De ello se deduce que la integral de ⁠f ( z )/5 − z⁠ a lo largo del segmento superior es − iI en el límite, y a lo largo del segmento inferior, I .

Si podemos demostrar que las integrales a lo largo de los dos círculos verdes se anulan en el límite, entonces también tenemos el valor de I , por el teorema de residuo de Cauchy . Sea el radio de los círculos verdes ρ , donde ρ < 0,001 y ρ → 0 , y apliquemos la desigualdad ML . Para el círculo C _L de la izquierda, encontramos $${\displaystyle \left|\int _{C_{\mathrm {L} }}{\frac {f(z)}{5-z}}dz\right|\leq 2\pi \rho {\frac {\rho ^{\frac {3}{4}}3.001^{\frac {1}{4}}}{4.999}}\in {\mathcal {O}}\left(\rho ^{\frac {7}{4}}\right)\to 0.}$$

De manera similar, para el círculo C _R de la derecha, tenemos $${\displaystyle \left|\int _{C_{\mathrm {R} }}{\frac {f(z)}{5-z}}dz\right|\leq 2\pi \rho {\frac {3.001^{\frac {3}{4}}\rho ^{\frac {1}{4}}}{1.999}}\in {\mathcal {O}}\left(\rho ^{\frac {5}{4}}\right)\to 0.}$$

Ahora, utilizando el teorema de residuos de Cauchy , tenemos donde el signo menos se debe a la dirección en el sentido de las agujas del reloj alrededor de los residuos. Utilizando la rama del logaritmo de antes, claramente $${\displaystyle (-i+1)I=-2\pi i\left(\operatorname {Res} _{z=5}{\frac {f(z)}{5-z}}+\operatorname {Res} _{z=\infty }{\frac {f(z)}{5-z}}\right).}$$ $${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=5}{\frac {f(z)}{5-z}}=-5^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {1}{4}}\log(-2)}.}$$

El polo se muestra en azul en el diagrama. El valor se simplifica a $${\displaystyle -5^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {1}{4}}(\log 2+\pi i)}=-e^{{\frac {1}{4}}\pi i}5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}.}$$

Utilizamos la siguiente fórmula para el residuo en el infinito: $${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=\infty }h(z)=\operatorname {Res} _{z=0}\left(-{\frac {1}{z^{2}}}h\left({\frac {1}{z}}\right)\right).}$$

Sustituyendo, encontramos y donde hemos utilizado el hecho de que −1 = e ^{π i} para la segunda rama del logaritmo. A continuación aplicamos el desarrollo binomial, obteniendo $${\displaystyle {\frac {1}{5-{\frac {1}{z}}}}=-z\left(1+5z+5^{2}z^{2}+5^{3}z^{3}+\cdots \right)}$$ $${\displaystyle \left({\frac {1}{z^{3}}}\left(3-{\frac {1}{z}}\right)\right)^{\frac {1}{4}}={\frac {1}{z}}(3z-1)^{\frac {1}{4}}={\frac {1}{z}}e^{{\frac {1}{4}}\pi i}(1-3z)^{\frac {1}{4}},}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{z}}e^{{\frac {1}{4}}\pi i}\left(1-{1/4 \choose 1}3z+{1/4 \choose 2}3^{2}z^{2}-{1/4 \choose 3}3^{3}z^{3}+\cdots \right).}$$

La conclusión es que $${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=\infty }{\frac {f(z)}{5-z}}=e^{{\frac {1}{4}}\pi i}\left(5-{\frac {3}{4}}\right)=e^{{\frac {1}{4}}\pi i}{\frac {17}{4}}.}$$

Finalmente, se deduce que el valor de I es lo que da $${\displaystyle I=2\pi i{\frac {e^{{\frac {1}{4}}\pi i}}{-1+i}}\left({\frac {17}{4}}-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}\right)=2\pi 2^{-{\frac {1}{2}}}\left({\frac {17}{4}}-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}\right)}$$ $${\displaystyle I={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\left(17-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {9}{4}}\right)={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\left(17-40^{\frac {3}{4}}\right).}$$

Evaluación con teorema de residuos

Usando el teorema del residuo , podemos evaluar integrales de contorno cerradas. Los siguientes son ejemplos de evaluación de integrales de contorno con el teorema del residuo.

Utilizando el teorema de residuos, evaluemos esta integral de contorno. $${\displaystyle \oint _{C}{\frac {e^{z}}{z^{3}}}\,dz}$$

Recordemos que el teorema del residuo establece $${\displaystyle \oint _{C}f(z)dz=2\pi i\cdot \sum \operatorname {Res} (f,a_{k})}$$

donde es el residuo de , y son las singularidades de que se encuentran dentro del contorno (ninguna de ellas se encuentra directamente sobre ). ${\displaystyle \operatorname {Res} }$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle f(z)}$tiene un solo polo, . A partir de eso, determinamos que el residuo de es ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}f(z)dz&=\oint _{C}{\frac {e^{z}}{z^{3}}}dz\\&=2\pi i\cdot \operatorname {Res} _{z=0}f(z)\\&=2\pi i\operatorname {Res} _{z=0}{\frac {e^{z}}{z^{3}}}\\&=2\pi i\cdot {\frac {1}{2}}\\&=\pi i\end{aligned}}}$$

Así, utilizando el teorema del residuo , podemos determinar: $${\displaystyle \oint _{C}{\frac {e^{z}}{z^{3}}}dz=\pi i.}$$

Integrales de contorno multivariables

Para resolver integrales de contorno multivariables (es decir, integrales de superficie , integrales de volumen complejas e integrales de orden superior ), debemos usar el teorema de divergencia . Por ahora, sea intercambiable con . Ambos servirán como la divergencia del campo vectorial denotado como . Este teorema establece: ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \operatorname {Div} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ $${\displaystyle \underbrace {\int \cdots \int _{U}} _{n}\operatorname {div} (\mathbf {F} )\,dV=\underbrace {\oint \cdots \oint _{\partial U}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS}$$

Además, también necesitamos evaluar dónde es una notación alternativa de . La divergencia de cualquier dimensión se puede describir como ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} (\mathbf {F} )&=\nabla \cdot \mathbf {F} \\&=\left({\frac {\partial }{\partial u}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}},\dots \right)\cdot (F_{u},F_{x},F_{y},F_{z},\dots )\\&=\left({\frac {\partial F_{u}}{\partial u}}+{\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$$

Ejemplo 1

Sea el campo vectorial y acotado por lo siguiente ${\displaystyle \mathbf {F} =\sin(2x)\mathbf {e} _{x}+\sin(2y)\mathbf {e} _{y}+\sin(2z)\mathbf {e} _{z}}$ $${\displaystyle {0\leq x\leq 1}\quad {0\leq y\leq 3}\quad {-1\leq z\leq 4}}$$

La integral de doble contorno correspondiente quedaría así:

${\displaystyle }$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS}$

Ahora evaluamos . Mientras tanto, planteamos la integral triple correspondiente: ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&=\iiint _{V}\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\right)dV\\[6pt]&=\iiint _{V}\left({\frac {\partial \sin(2x)}{\partial x}}+{\frac {\partial \sin(2y)}{\partial y}}+{\frac {\partial \sin(2z)}{\partial z}}\right)dV\\[6pt]&=\iiint _{V}2\left(\cos(2x)+\cos(2y)+\cos(2z)\right)dV\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{3}\int _{-1}^{4}2(\cos(2x)+\cos(2y)+\cos(2z))\,dx\,dy\,dz\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{3}(10\cos(2y)+\sin(8)+\sin(2)+10\cos(z))\,dy\,dz\\[6pt]&=\int _{0}^{1}(30\cos(2z)+3\sin(2)+3\sin(8)+5\sin(6))\,dz\\[6pt]&=18\sin(2)+3\sin(8)+5\sin(6)\end{aligned}}}$$

Ejemplo 2

Sea el campo vectorial , y observe que en este caso hay 4 parámetros. Sea este campo vectorial acotado por lo siguiente: ${\displaystyle \mathbf {F} =u^{4}\mathbf {e} _{u}+x^{5}\mathbf {e} _{x}+y^{6}\mathbf {e} _{y}+z^{-3}\mathbf {e} _{z}}$ $${\displaystyle {0\leq x\leq 1}\quad {-10\leq y\leq 2\pi }\quad {4\leq z\leq 5}\quad {-1\leq u\leq 3}}$$

Para evaluar esto, debemos utilizar el teorema de divergencia como se indicó anteriormente, y debemos evaluar . Sea ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle dV=dx\,dy\,dz\,du}$

${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&=\iiiint _{V}\left({\frac {\partial F_{u}}{\partial u}}+{\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\right)\,dV\\[6pt]&=\iiiint _{V}\left({\frac {\partial u^{4}}{\partial u}}+{\frac {\partial x^{5}}{\partial x}}+{\frac {\partial y^{6}}{\partial y}}+{\frac {\partial z^{-3}}{\partial z}}\right)\,dV\\[6pt]&=\iiiint _{V}{\frac {4u^{3}z^{4}+5x^{4}z^{4}+5y^{4}z^{4}-3}{z^{4}}}\,dV\\[6pt]&=\iiiint _{V}{\frac {4u^{3}z^{4}+5x^{4}z^{4}+5y^{4}z^{4}-3}{z^{4}}}\,dV\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{-10}^{2\pi }\int _{4}^{5}\int _{-1}^{3}{\frac {4u^{3}z^{4}+5x^{4}z^{4}+5y^{4}z^{4}-3}{z^{4}}}\,dV\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{-10}^{2\pi }\int _{4}^{5}\left({\frac {4(3u^{4}z^{3}+3y^{6}+91z^{3}+3)}{3z^{3}}}\right)\,dy\,dz\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{-10}^{2\pi }\left(4u^{4}+{\frac {743440}{21}}+{\frac {4}{z^{3}}}\right)\,dz\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\left(-{\frac {1}{2\pi ^{2}}}+{\frac {1486880\pi }{21}}+8\pi u^{4}+40u^{4}+{\frac {371720021}{1050}}\right)\,du\\[6pt]&={\frac {371728421}{1050}}+{\frac {14869136\pi ^{3}-105}{210\pi ^{2}}}\\[6pt]&\approx {576468.77}\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, podemos evaluar una integral de contorno con . También podemos utilizar el mismo método para evaluar integrales de contorno para cualquier campo vectorial con . ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle n>4}$

Representación integral

Una representación integral de una función es una expresión de la función que implica una integral de contorno. Se conocen varias representaciones integrales para muchas funciones especiales . Las representaciones integrales pueden ser importantes por razones teóricas, por ejemplo, para dar continuidad analítica o ecuaciones funcionales , o a veces para evaluaciones numéricas .

Contorno de Hankel

Por ejemplo, la definición original de la función zeta de Riemann ζ ( s ) a través de una serie de Dirichlet , $${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}$$

es válido sólo para Re( s ) > 1 . Pero $${\displaystyle \zeta (s)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int _{H}{\frac {(-t)^{s-1}}{e^{t}-1}}dt,}$$

donde la integración se realiza sobre el contorno de Hankel H , es válida para todos los complejos no iguales a 1.

Véase también

• Residuo (análisis complejo)
• Valor principal de Cauchy
• Integral de Poisson
• Contorno de martillo perforador

Referencias

1. Stalker, John (1998). Análisis complejo: fundamentos de la teoría clásica de funciones. Springer. pág. 77. ISBN 0-8176-4038-X.
2. Bak, Joseph; Newman, Donald J. (1997). "Capítulos 11 y 12". Análisis complejo . Springer. págs. 130–156. ISBN 0-387-94756-6.
3. Krantz, Steven George (1999). "Capítulo 2". Manual de variables complejas . Springer. ISBN 0-8176-4011-8.
4. Mitrinović, Dragoslav S.; Kečkić, Jovan D. (1984). "Capítulo 2". El método de Cauchy de residuos: teoría y aplicaciones. Springer. ISBN 90-277-1623-4.
5. Mitrinović, Dragoslav S.; Kečkić, Jovan D. (1984). "Capítulo 5". El método de Cauchy de residuos: teoría y aplicaciones. Springer. ISBN 90-277-1623-4.
6. Saff, Edward B.; Snider, Arthur David (2003). "Capítulo 4". Fundamentos del análisis complejo con aplicaciones a la ingeniería, la ciencia y las matemáticas (3.ª ed.). Prentice Hall. ISBN 0-1390-7874-6.

Lectura adicional

• Titchmarsh, EC (1939), La teoría de funciones (2.ª ed.), Oxford University Press, ISBN 0-19-853349-7
• Jean Jacquelin, Marko Riedel, Branche univalente ^{[ enlace muerto permanente ‍]} , Les-Mathematiques.net , en francés.
• Marko Riedel et al., Problème d'intégrale, Les-Mathematiques.net , en francés.
• Marko Riedel et al., Integral por residuo, math.stackexchange.com .
• WWL Chen, Introducción al análisis complejo
• Varios autores, sin límites ni cotas, es.ciencia.matematicas , en español.

Enlaces externos

• "Integración compleja, método de", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]