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Mecánica cuántica categórica

La mecánica cuántica categórica es el estudio de los fundamentos cuánticos y de la información cuántica utilizando paradigmas de las matemáticas y la informática , en particular la teoría de categorías monoidales . Los objetos primitivos de estudio son los procesos físicos y las diferentes formas en que estos pueden estar compuestos. Fue iniciada en 2004 por Samson Abramsky y Bob Coecke . La mecánica cuántica categórica es la entrada 18M40 en MSC2020 .

Configuración matemática

Matemáticamente, la configuración básica se captura mediante una categoría monoidal simétrica de daga : la composición de morfismos modela la composición secuencial de procesos, y el producto tensorial describe la composición paralela de procesos. La función de la daga es asignar a cada estado una prueba correspondiente. A continuación, se pueden adornar con más estructura para estudiar diversos aspectos. Por ejemplo:

Una parte sustancial de la columna vertebral matemática de este enfoque se extrae de la "teoría de categorías australiana", sobre todo del trabajo de Max Kelly y ML Laplaza, [6] Andre Joyal y Ross Street , [7] A. Carboni y RFC Walters, [8] y Steve Lack. [9] Los libros de texto modernos incluyen Categorías para la teoría cuántica [10] y Representación de procesos cuánticos . [11]

Cálculo diagramático

Una de las características más notables de la mecánica cuántica categórica es que la estructura compositiva puede ser capturada fielmente por diagramas de cuerdas . [12]

Una ilustración del cálculo diagramático: el protocolo de teletransportación cuántica tal como se modela en la mecánica cuántica categórica.

Estos lenguajes diagramáticos se remontan a la notación gráfica de Penrose , desarrollada a principios de la década de 1970. [13] El razonamiento diagramático se ha utilizado antes en la ciencia de la información cuántica en el modelo de circuito cuántico , sin embargo, en la mecánica cuántica categórica, las puertas primitivas como la puerta CNOT surgen como compuestos de álgebras más básicas, lo que resulta en un cálculo mucho más compacto. [14] En particular, el cálculo ZX ha surgido de la mecánica cuántica categórica como una contraparte diagramática del razonamiento algebraico lineal convencional sobre las puertas cuánticas . El cálculo ZX consiste en un conjunto de generadores que representan las puertas cuánticas comunes de Pauli y la puerta de Hadamard equipadas con un conjunto de reglas de reescritura gráfica que gobiernan su interacción. Aunque aún no se ha establecido un conjunto estándar de reglas de reescritura, se ha demostrado que algunas versiones son completas , lo que significa que cualquier ecuación que se cumpla entre dos circuitos cuánticos representados como diagramas se puede demostrar utilizando las reglas de reescritura. [15] El cálculo ZX se ha utilizado para estudiar, por ejemplo, la computación cuántica basada en mediciones .

Ramas de actividad

Axiomatización y nuevos modelos

Uno de los principales éxitos del programa de investigación de la mecánica cuántica categórica es que, a partir de restricciones abstractas aparentemente débiles sobre la estructura compositiva, resultó posible derivar muchos fenómenos mecánicos cuánticos. A diferencia de los enfoques axiomáticos anteriores, que apuntaban a reconstruir la teoría cuántica del espacio de Hilbert a partir de supuestos razonables, esta actitud de no aspirar a una axiomatización completa puede conducir a nuevos modelos interesantes que describan los fenómenos cuánticos, que podrían ser de utilidad para la elaboración de futuras teorías. [16]

Resultados de integridad y representatividad

Hay varios teoremas que relacionan el entorno abstracto de la mecánica cuántica categórica con los entornos tradicionales de la mecánica cuántica.

La mecánica cuántica categórica como lógica

La mecánica cuántica categórica también puede verse como una forma de lógica cuántica basada en la teoría de tipos que, en contraste con la lógica cuántica tradicional, admite el razonamiento deductivo formal. [26] Existe software que admite y automatiza este razonamiento.

Existe otra conexión entre la mecánica cuántica categórica y la lógica cuántica, ya que los subobjetos en las categorías de núcleo de daga y las categorías de biproductos complementadas con daga forman redes ortomodulares . [27] [28] De hecho, la primera configuración permite cuantificadores lógicos , cuya existencia nunca se abordó satisfactoriamente en la lógica cuántica tradicional.

La mecánica cuántica categórica como fundamento de la mecánica cuántica

La mecánica cuántica categórica permite describir teorías más generales que la teoría cuántica, lo que permite estudiar qué características distinguen a la teoría cuántica de otras teorías no físicas, con lo que se espera obtener una idea de la naturaleza de la teoría cuántica. Por ejemplo, el marco permite una descripción compositiva sucinta de la teoría de los juguetes de Spekkens que permite señalar qué ingrediente estructural la hace diferente de la teoría cuántica. [29]

Mecánica cuántica categórica y DisCoCat

El marco DisCoCat aplica la mecánica cuántica categórica al procesamiento del lenguaje natural . [30] Los tipos de una gramática de pregrupo se interpretan como sistemas cuánticos, es decir, como objetos de una categoría compacta de daga . Las derivaciones gramaticales se interpretan como procesos cuánticos, por ejemplo, un verbo transitivo toma su sujeto y objeto como entrada y produce una oración como salida. Las palabras de función como determinantes, preposiciones, pronombres relativos, coordinadores, etc. se pueden modelar utilizando las mismas álgebras de Frobenius que modelan la comunicación clásica. [31] [32] Esto puede entenderse como un funtor monoidal de la gramática a los procesos cuánticos, una analogía formal que condujo al desarrollo del procesamiento cuántico del lenguaje natural . [33]

Véase también

Referencias

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