Diagrama de cuerdas

Los diagramas de cuerdas son un lenguaje gráfico formal para representar morfismos en categorías monoidales o, más generalmente, 2-celdas en 2-categorías . Son una herramienta destacada en la teoría de categorías aplicada . Cuando se interpretan en la categoría monoidal de espacios vectoriales y mapas lineales con el producto tensorial , los diagramas de cuerdas se denominan redes tensoriales o notación gráfica de Penrose . Esto ha llevado al desarrollo de la mecánica cuántica categórica donde los axiomas de la teoría cuántica se expresan en el lenguaje de las categorías monoidales.

Historia

Günter Hotz dio la primera definición matemática de los diagramas de cuerdas para formalizar los circuitos electrónicos . ^[1] Sin embargo, la invención de los diagramas de cuerdas se suele atribuir a Roger Penrose , ^[2] y los diagramas de Feynman también se describen como precursores. ^[3] Más tarde se caracterizaron como las flechas de categorías monoidales libres en un artículo seminal de André Joyal y Ross Street . ^[4] Si bien los diagramas de estos primeros artículos fueron dibujados a mano, la llegada de software de composición tipográfica como LaTeX y PGF/TikZ hizo que la publicación de diagramas de cuerdas se difundiera más ampliamente. ^[5]

Los grafos existenciales y el razonamiento diagramático de Charles Sanders Peirce son posiblemente la forma más antigua de diagramas de cuerdas, se interpretan en la categoría monoidal de conjuntos finitos y relaciones con el producto cartesiano . ^[6] Las líneas de identidad de los grafos existenciales de Peirce pueden axiomatizarse como un álgebra de Frobenius , los cortes son operadores unarios en homsets que axiomatizan la negación lógica . Esto hace que los diagramas de cuerdas sean un sistema de deducción bidimensional sólido y completo para la lógica de primer orden , ^[7] inventado independientemente de la sintaxis unidimensional de la Begriffsschrift de Gottlob Frege .

Intuición

Los diagramas de cadenas están formados por cajas , que representan procesos , con una lista de cables que entran por la parte superior e inferior, que representan los sistemas de entrada y salida que procesa la caja . A partir de una colección de cables y cajas, llamada firma , se puede generar el conjunto de todos los diagramas de cadenas por inducción: ${\displaystyle f:x\to y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$

• Cada caja es un diagrama de cadenas, ${\displaystyle f:x\to y}$
• Para cada lista de cables , la identidad es un diagrama de cadenas que representa el proceso que no hace nada en su sistema de entrada; se dibuja como un conjunto de cables paralelos. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\text{id}}(x):x\to x}$
• para cada par de diagramas de cuerdas y , su tensor es un diagrama de cuerdas que representa la composición paralela de procesos, se dibuja como la concatenación horizontal de los dos diagramas, ${\displaystyle f:x\to y}$ ${\displaystyle f':x'\to y'}$ ${\displaystyle f\otimes f':xx'\to yy'}$
• para cada par de diagramas de cadenas y , su composición es un diagrama de cadenas que representa la composición secuencial de los procesos, se dibuja como la concatenación vertical de los dos diagramas. ${\displaystyle f:x\to y}$ ${\displaystyle g:y\to z}$ ${\displaystyle g\circ f:x\to z}$

Definición

Algebraico

Sea la estrella de Kleene el monoide libre , es decir, el conjunto de listas con elementos en un conjunto . ${\displaystyle X^{\star }}$ ${\displaystyle X}$

Una firma monoidal viene dada por: ${\displaystyle \Sigma }$

• un conjunto de objetos generadores , las listas de objetos generadores también se denominan tipos , ${\displaystyle \Sigma _{0}}$ ${\textstyle \Sigma _{0}^{\star }}$
• un conjunto de flechas generadoras , también llamadas cajas , ${\displaystyle \Sigma _{1}}$
• un par de funciones que asignan un dominio y un codominio a cada caja, es decir, los tipos de entrada y salida. ${\displaystyle {\text{dom}},{\text{cod}}:\Sigma _{1}\to \Sigma _{0}^{\star }}$

Un morfismo de signatura monoidal es un par de funciones y que es compatible con el dominio y codominio, es decir, tal que y . De esta manera obtenemos la categoría de signaturas monoidales y sus morfismos. ${\displaystyle F:\Sigma \to \Sigma '}$ ${\displaystyle F_{0}:\Sigma _{0}\to \Sigma '_{0}}$ ${\displaystyle F_{1}:\Sigma _{1}\to \Sigma '_{1}}$ ${\displaystyle {\text{dom}}\circ F_{1}\ =\ F_{0}\circ {\text{dom}}}$ ${\displaystyle {\text{cod}}\circ F_{1}\ =\ F_{0}\circ {\text{cod}}}$ ${\displaystyle \mathbf {MonSig} }$

Hay un funtor olvidadizo que envía una categoría monoidal a su firma subyacente y un funtor monoidal a su morfismo subyacente de firmas, es decir, olvida la identidad, la composición y el tensor. El funtor libre , es decir, el adjunto izquierdo del funtor olvidadizo, envía una firma monoidal a la categoría monoidal libre que genera. ${\displaystyle U:\mathbf {MonCat} \to \mathbf {MonSig} }$ ${\displaystyle C_{-}:\mathbf {MonSig} \to \mathbf {MonCat} }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle C_{\Sigma }}$

Los diagramas de cadenas (con generadores de ) son flechas en la categoría monoidal libre . ^[8] La interpretación en una categoría monoidal está definida por un funtor monoidal , que por su libertad está determinado únicamente por un morfismo de firmas monoidales . Intuitivamente, una vez que se da la imagen de los objetos generadores y las flechas, la imagen de cada diagrama que generan es fija. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle C_{\Sigma }}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F:C_{\Sigma }\to D}$ ${\displaystyle F:\Sigma \to U(D)}$

Geométrico

Un grafo topológico , también llamado complejo de celdas unidimensional , es una tupla de un espacio de Hausdorff , un subconjunto discreto cerrado de nodos y un conjunto de componentes conectados llamados aristas , cada uno homeomorfo a un intervalo abierto con límite en y tal que . ${\displaystyle (\Gamma ,\Gamma _{0},\Gamma _{1})}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma _{0}\subseteq \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma _{1}}$ ${\displaystyle \Gamma _{0}}$ ${\textstyle \Gamma -\Gamma _{0}=\coprod \Gamma _{1}}$

Un grafo plano entre dos números reales con es un grafo topológico finito incrustado en tal que cada punto es también un nodo y pertenece al cierre de exactamente una arista en . Dichos puntos se denominan nodos externos , definen el dominio y el codominio del diagrama de cuerdas, es decir, la lista de aristas que están conectadas al límite superior e inferior. Los otros nodos se denominan nodos internos . ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times [a,b]}$ ${\displaystyle x\in \Gamma \ \cap \ \mathbb {R} \times \{a,b\}}$ ${\displaystyle x\in \Gamma _{0}}$ ${\displaystyle \Gamma _{1}}$ ${\displaystyle {\text{dom}}(\Gamma ),{\text{cod}}(\Gamma )\in \Gamma _{1}^{\star }}$ ${\displaystyle f\in \Gamma _{0}\ -\ \{a,b\}\times \mathbb {R} }$

Un grafo plano es progresivo , también llamado reclinado , cuando la proyección vertical es inyectiva para cada arista . Intuitivamente, las aristas en un grafo plano progresivo van de arriba hacia abajo sin doblarse hacia atrás. En ese caso, a cada arista se le puede dar una orientación de arriba hacia abajo con nodos designados como origen y destino. Luego se puede definir el dominio y el codominio de cada nodo interno , dado por la lista de aristas que tienen origen y destino. ${\displaystyle e\to [a,b]}$ ${\displaystyle e\in \Gamma _{1}}$ ${\displaystyle {\text{dom}}(f),{\text{cod}}(f)\in \Gamma _{1}^{\star }}$ ${\displaystyle f}$

Un grafo plano es genérico cuando la proyección vertical es inyectiva, es decir, no hay dos nodos internos a la misma altura. En ese caso, se puede definir una lista de los nodos internos ordenados de arriba a abajo. ${\displaystyle \Gamma _{0}-\{a,b\}\times \mathbb {R} \to [a,b]}$ ${\displaystyle {\text{boxes}}(\Gamma )\in \Gamma _{0}^{\star }}$

Un gráfico plano progresivo se etiqueta con una firma monoidal si viene equipado con un par de funciones desde los bordes hasta los objetos generadores y desde los nodos internos hasta las flechas generadoras, de una manera compatible con el dominio y el codominio. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle v_{0}:\Gamma _{1}\to \Sigma _{0}}$ ${\displaystyle v_{1}:\Gamma _{0}-\{a,b\}\times \mathbb {R} \to \Sigma _{1}}$

Una deformación de grafos planos es un mapa continuo tal que ${\displaystyle h:\Gamma \times [0,1]\to [a,b]\times \mathbb {R} }$

• La imagen de define un gráfico plano para todos los , ${\displaystyle h(-,t)}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$
• para todos , si es un nodo interno para algunos es interno para todos . ${\displaystyle x\in \Gamma _{0}}$ ${\displaystyle h(x,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$

Una deformación es progresiva (genérica, etiquetada) si es progresiva (genérica, etiquetada) para todo . Las deformaciones inducen una relación de equivalencia con si y solo si hay alguna con y . Los diagramas de cadenas son clases de equivalencia de grafos planos progresivos etiquetados . De hecho, se puede definir: ${\displaystyle h(-,t)}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle \Gamma \sim \Gamma '}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h(-,0)=\Gamma }$ ${\displaystyle h(-,1)=\Gamma '}$

• El diagrama de identidad como un conjunto de aristas paralelas etiquetadas por algún tipo , ${\displaystyle {\text{id}}(x)}$ ${\displaystyle x\in \Sigma _{0}^{\star }}$
• la composición de dos diagramas como su concatenación vertical con el codominio del primero identificado con el dominio del segundo,
• el tensor de dos diagramas como su concatenación horizontal.

Combinacional

Si bien la definición geométrica hace explícito el vínculo entre la teoría de categorías y la topología de baja dimensión , es necesaria una definición combinatoria para formalizar los diagramas de cadenas en los sistemas de álgebra computacional y usarlos para definir problemas computacionales . Una de esas definiciones es definir los diagramas de cadenas como clases de equivalencia de fórmulas bien tipificadas generadas por la firma, la identidad, la composición y el tensor. En la práctica, es más conveniente codificar los diagramas de cadenas como fórmulas en forma genérica , que están en biyección con los gráficos genéricos progresivos del plano etiquetados definidos anteriormente.

Fije una firma monoidal . Una capa se define como un triple de un tipo a la izquierda, una caja en el medio y un tipo a la derecha. Las capas tienen un dominio y un codominio definidos de la manera obvia. Esto forma un multigrafo dirigido , también conocido como quiver , con los tipos como vértices y las capas como aristas. Un diagrama de cadenas se codifica como una ruta en este multigrafo , es decir, se da por: ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle (x,f,y)\in \Sigma _{0}^{\star }\times \Sigma _{1}\times \Sigma _{0}^{\star }=:L(\Sigma )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\text{dom}},{\text{cod}}:L(\Sigma )\to \Sigma _{0}^{\star }}$ ${\displaystyle d}$

• Un dominio como punto de partida ${\displaystyle {\text{dom}}(d)\in \Sigma _{0}^{\star }}$
• una longitud , ${\displaystyle {\text{len}}(d)=n\geq 0}$
• una lista de ${\displaystyle {\text{layers}}(d)=d_{1}\dots d_{n}\in L(\Sigma )}$

de tal manera que y para todos . De hecho, la lista explícita de capas es redundante, basta con especificar la longitud del tipo a la izquierda de cada capa, conocida como desplazamiento . El bigote de un diagrama por un tipo se define como la concatenación a la derecha de cada capa y simétricamente para el bigote de la izquierda. Se puede entonces definir: ${\displaystyle {\text{dom}}(d_{1})={\text{dom}}(d)}$ ${\displaystyle {\text{cod}}(d_{i})={\text{dom}}(d_{i+1})}$ ${\displaystyle i<n}$ ${\displaystyle d\otimes z}$ ${\displaystyle d=(x_{1},f_{1},y_{1})\dots (x_{n},f_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle d\otimes z=(x_{1},f_{1},y_{1}z)\dots (x_{n},f_{n},y_{n}z)}$ ${\displaystyle z\otimes d}$

• el diagrama de identidad con y , ${\displaystyle {\text{id}}(x)}$ ${\displaystyle {\text{len}}({\text{id}}(x))=0}$ ${\displaystyle {\text{dom}}({\text{id}}(x))=x}$
• la composición de dos diagramas como la concatenación de su lista de capas,
• el tensor de dos diagramas como composición de bigotes . ${\displaystyle d\otimes d'=d\otimes {\text{dom}}(d')\ \circ \ {\text{cod}}(d)\otimes d'}$

Obsérvese que, como el diagrama está en forma genérica (es decir, cada capa contiene exactamente una caja), la definición de tensor está necesariamente sesgada: el diagrama del lado izquierdo está por encima del del lado derecho. Se podría haber elegido la definición opuesta . ${\textstyle d\otimes d'={\text{dom}}(d)\otimes d'\ \circ \ d\otimes {\text{cod}}(d')}$

Dos diagramas son iguales (hasta los axiomas de categorías monoidales) siempre que estén en la misma clase de equivalencia de la relación de congruencia generada por el intercambiador : es decir, si las cajas en dos capas consecutivas no están conectadas, entonces su orden puede intercambiarse. Intuitivamente, si no hay comunicación entre dos procesos paralelos, entonces el orden en que ocurren es irrelevante. $${\displaystyle d\otimes {\text{dom}}(d')\ \circ \ {\text{cod}}(d)\otimes d'\quad =\quad {\text{dom}}(d)\otimes d'\ \circ \ d\otimes {\text{cod}}(d')}$$

El problema verbal de las categorías monoidales libres, es decir, decidir si dos diagramas dados son iguales, se puede resolver en tiempo polinomial . El intercambiador es un sistema de reescritura confluente en el subconjunto de diagramas conexos en el borde , es decir, siempre que los grafos planos no tengan más de un componente conexo que no esté conectado al dominio o codominio y no se aplique el argumento de Eckmann-Hilton . ^[9]

Ampliación a 2 categorías

La idea es representar estructuras de dimensión d mediante estructuras de dimensión 2-d , utilizando la dualidad de Poincaré . Así,

• un objeto está representado por una porción de plano,
• Una celda 1 está representada por un segmento vertical, llamado cadena , que separa el plano en dos (la parte derecha corresponde a A y la izquierda a B ), ${\displaystyle f:A\to B}$
• Una celda de 2 celdas se representa mediante una intersección de cadenas (las cadenas correspondientes a f encima del enlace, las cadenas correspondientes a g debajo del enlace). ${\displaystyle \alpha :f\Rightarrow g:A\to B}$

La composición paralela de 2 celdas corresponde a la yuxtaposición horizontal de diagramas y la composición secuencial a la yuxtaposición vertical de diagramas.

Una categoría monoidal es equivalente a una categoría 2 con una única celda 0. Intuitivamente, pasar de categorías monoidales a categorías 2 equivale a añadir colores al fondo de los diagramas de cadenas.

Ejemplos

La ecuación de la serpiente

Consideremos una adjunción entre dos categorías y donde es el adjunto izquierdo de y las transformaciones naturales y son respectivamente la unidad y la unidad de counidad. Los diagramas de cuerdas correspondientes a estas transformaciones naturales son: ${\displaystyle (F,G,\eta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\leftarrow {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \eta :I\rightarrow GF}$ ${\displaystyle \varepsilon :FG\rightarrow I}$

La cadena correspondiente al funtor identidad se dibuja como una línea de puntos y se puede omitir. La definición de una adjunción requiere las siguientes igualdades:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\varepsilon F)\circ F(\eta )&=1_{F}\\G(\varepsilon )\circ (\eta G)&=1_{G}\end{aligned}}}$

El primero se representa como

Una categoría monoidal en la que cada objeto tiene un adjunto izquierdo y uno derecho se denomina categoría rígida . Los diagramas de cadenas para categorías rígidas se pueden definir como gráficos planos no progresivos , es decir, los bordes se pueden doblar hacia atrás.

En el contexto de la mecánica cuántica categórica , esto se conoce como la ecuación de la serpiente .

La categoría de los espacios de Hilbert es rígida, este hecho subyace a la prueba de corrección del protocolo de teletransportación cuántica . La unidad y la counidad de la adjunción son una abstracción del estado de Bell y la medición de Bell respectivamente. Si Alice y Bob comparten dos qubits Y y Z en un estado entrelazado y Alice realiza una medición entrelazada ( postseleccionada ) entre Y y otro qubit X, entonces este qubit X será teletransportado de Alice a Bob: la teletransportación cuántica es un morfismo de identidad.

Una ilustración del cálculo diagramático: el protocolo de teletransportación cuántica tal como se modela en la mecánica cuántica categórica.

La misma ecuación aparece en la definición de gramáticas pregrupales , donde captura la noción de flujo de información en la semántica del lenguaje natural . Esta observación ha llevado al desarrollo del marco DisCoCat y al procesamiento cuántico del lenguaje natural .

Jerarquía de lenguajes gráficos

Se han introducido muchas extensiones de diagramas de cadenas para representar flechas en categorías monoidales con estructura adicional, formando una jerarquía de lenguajes gráficos que se clasifica en el Estudio de lenguajes gráficos para categorías monoidales de Selinger. ^[10]

• Categorías monoidales trenzadas con diagramas tridimensionales, una generalización de los grupos trenzados .
• Categorías monoidales simétricas con diagramas de 4 dimensiones donde las aristas pueden cruzarse, una generalización del grupo simétrico .
• Categorías de cinta con diagramas tridimensionales donde los bordes no están dirigidos, una generalización de los diagramas de nudos .
• Categorías cerradas compactas con diagramas de 4 dimensiones donde los bordes no están dirigidos, una generalización de la notación gráfica de Penrose .
• Categorías de daga donde cada diagrama tiene una reflexión horizontal.

Lista de aplicaciones

Se han utilizado diagramas de cuerdas para formalizar los siguientes objetos de estudio.

• Teoría de la concurrencia ^[11]
• Redes neuronales artificiales ^[12]
• Teoría de juegos ^[13]
• Probabilidad bayesiana ^[14]
• Conciencia ^[15]
• Núcleos de Markov ^[16]
• Gráficos de flujo de señales ^[17]
• Consultas conjuntivas ^[18]
• Transformaciones bidireccionales ^[19]
• Mecánica cuántica categórica
• Circuitos cuánticos , computación cuántica basada en mediciones y corrección de errores cuánticos , véase cálculo ZX
• Procesamiento del lenguaje natural , véase DisCoCat
• Procesamiento cuántico del lenguaje natural

Véase también

• Redes de prueba , una generalización de los diagramas de cadenas utilizados para denotar pruebas en lógica lineal
• Gráficos existenciales , un precursor de los diagramas de cuerdas utilizados para denotar fórmulas en lógica de primer orden.
• Notación gráfica de Penrose y diagramas de Feynman , dos precursores de los diagramas de cuerdas en física
• Redes tensoriales , interpretación de diagramas de cuerdas en espacios vectoriales , mapas lineales y productos tensoriales

Referencias

1. Hotz, Günter (1965). "Eine Algebraisierung des Syntheseproblems von Schaltkreisen I.". Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik . 1 (3): 185–205.
2. Penrose, Roger (1971). "Aplicaciones de tensores de dimensión negativa". Matemáticas combinatorias y sus aplicaciones . 1 : 221–244.
3. Baez, J.; Stay, M. (2011), Coecke, Bob (ed.), "Física, topología, lógica y computación: una piedra de Rosetta", New Structures for Physics , Lecture Notes in Physics, vol. 813, Berlín, Heidelberg: Springer, págs. 95–172, arXiv : 0903.0340 , Bibcode :2011LNP...813...95B, doi :10.1007/978-3-642-12821-9_2, ISBN 978-3-642-12821-9, S2CID  115169297 , consultado el 8 de noviembre de 2022
4. Joyal, André; Street, Ross (1991). "La geometría del cálculo tensorial, I". Avances en Matemáticas . 88 (1): 55–112. doi :10.1016/0001-8708(91)90003-P.
5. "Categorías: Historia de los diagramas de cuerdas (hilo, 2017may02-...)". angg.twu.net . Consultado el 11 de noviembre de 2022 .
6. Brady, Geraldine; Trimble, Todd H (2000). "Una interpretación categórica de la lógica proposicional Alpha de CS Peirce". Revista de Álgebra Pura y Aplicada . 149 (3): 213–239. doi :10.1016/S0022-4049(98)00179-0.
7. Haydon, Nathan; Sobociński, Pawe\l (2020). "Lógica diagramática compositiva de primer orden". Conferencia internacional sobre teoría y aplicación de diagramas . Springer: 402–418.
8. Joyal, André; Street, Ross (1988). "Planar diagrams and tensorial algebra". Manuscrito inédito, disponible en el sitio web de Ross Street .
9. Vicary, Jamie; Delpeuch, Antonin (2022). "Normalización para diagramas de cuerdas planares y un algoritmo de equivalencia cuadrática". Métodos lógicos en informática . 18 .
10. Selinger, Peter (2010), "Un estudio de lenguajes gráficos para categorías monoidales", Nuevas estructuras para la física , Springer, pp. 289–355 , consultado el 8 de noviembre de 2022
11. Abramsky, Samson (1996). "Recorriendo algunos caminos en el álgebra de procesos". Conferencia internacional sobre teoría de la concurrencia . Springer: 1–17.
12. Fong, Brendan; Spivak, David I.; Tuyéras, Rémy (1 de mayo de 2019). "Backprop como functor: una perspectiva compositiva sobre el aprendizaje supervisado". arXiv : 1711.10455 [math.CT].
13. Ghani, Neil; Hedges, Jules; Winschel, Viktor; Zahn, Philipp (2018). "Teoría de juegos composicional". Actas del 33.° simposio anual ACM/IEEE sobre lógica en informática. págs. 472–481. doi :10.1145/3209108.3209165. ISBN 9781450355834. Número de identificación del sujeto  17887510.
14. Coecke, Bob; Spekkens, Robert W (2012). "Representación de la inferencia bayesiana clásica y cuántica". Synthese . 186 (3): 651–696. arXiv : 1102.2368 . doi :10.1007/s11229-011-9917-5. S2CID  3736082.
15. Signorelli, Camilo Miguel; Wang, Quanlong; Coecke, Bob (1 de octubre de 2021). "Razonamiento sobre la experiencia consciente con matemáticas axiomáticas y gráficas". Conciencia y cognición . 95 : 103168. doi : 10.1016/j.concog.2021.103168 . hdl : 10230/53097 . ISSN  1053-8100. PMID  34627099. S2CID  235683270.
16. Fritz, Tobias (agosto de 2020). "Un enfoque sintético para los núcleos de Markov, la independencia condicional y los teoremas sobre estadísticas suficientes". Avances en Matemáticas . 370 : 107239. arXiv : 1908.07021 . doi :10.1016/j.aim.2020.107239. S2CID  201103837.
17. Bonchi, Filippo; Sobociński, Pawel; Zanasi, Fabio (septiembre de 2014). "Una semántica categórica de los gráficos de flujo de señales". CONCUR 2014 – Teoría de la concurrencia . Apuntes de clase en informática. Vol. CONCUR 2014 - Teoría de la concurrencia - 25.ª conferencia internacional. Roma, Italia. págs. 435–450. doi :10.1007/978-3-662-44584-6_30. ISBN 978-3-662-44583-9.S2CID 18492893  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
18. Bonchi, Filippo; Seeber, Jens; Sobocinski, Pawel (20 de abril de 2018). "Consultas gráficas conjuntivas". arXiv : 1804.07626 [cs.LO].
19. Riley, Mitchell (2018). "Categorías de óptica". arXiv : 1809.00738 [math.CT].

Enlaces externos

• TheCatsters (2007). Diagramas de cuerdas 1 (video en streaming) . Youtube. Archivado desde el original el 19 de diciembre de 2021.
• Diagramas de cadenas en el laboratorio n
• DisCoPy, un conjunto de herramientas de Python para realizar cálculos con diagramas de cadenas

Enlaces externos

• Medios relacionados con Diagrama de cuerdas en Wikimedia Commons