Escritura de constitución

Libro de lógica de Gottlob Frege de 1879

Begriffsschrift (que en alemán significa, aproximadamente, "escritura de conceptos") es un libro sobre lógica de Gottlob Frege , publicado en 1879, y el sistema formal expuesto en ese libro.

Begriffsschrift se traduce habitualmente como escritura de conceptos o notación de conceptos ; el título completo del libro lo identifica como "un lenguaje de fórmulas , modelado sobre el de la aritmética , para el pensamiento puro ". La motivación de Frege para desarrollar su enfoque formal de la lógica se parecía a la motivación de Leibniz para su cálculo razonador (a pesar de que, en el prólogo, Frege niega claramente que haya logrado este objetivo, y también que su objetivo principal sería construir un lenguaje ideal como el de Leibniz, que Frege declara ser una tarea bastante difícil e idealista, aunque no imposible). Frege continuó empleando su cálculo lógico en su investigación sobre los fundamentos de las matemáticas , realizada durante el siguiente cuarto de siglo. Este es el primer trabajo en filosofía analítica , un campo que luego filósofos británicos y anglosajones como Bertrand Russell desarrollaron aún más.

Notación y sistema

El cálculo contiene la primera aparición de variables cuantificadas y es esencialmente lógica clásica bivalente de segundo orden con identidad. Es bivalente en el sentido de que las oraciones o fórmulas denotan Verdadero o Falso; de segundo orden porque incluye variables de relación además de variables de objeto y permite la cuantificación sobre ambas. El modificador "con identidad" especifica que el lenguaje incluye la relación de identidad, =. Frege afirmó que su libro era su versión de una characteria universalis , un concepto leibniziano que se aplicaría en matemáticas. ^[1]

Frege presenta su cálculo utilizando una notación bidimensional idiosincrásica : los conectivos y cuantificadores se escriben utilizando líneas que conectan fórmulas, en lugar de los símbolos ¬, ∧ y ∀ que se usan hoy en día. Por ejemplo, que el juicio B implica materialmente el juicio A , es decir, se escribe como ${\displaystyle B\rightarrow A}$.

En el primer capítulo, Frege define ideas básicas y notación, como la proposición ("juicio"), el cuantificador universal ("la generalidad"), el condicional , la negación y el "signo de identidad de contenido" (que utilizó para indicar tanto la equivalencia material como la identidad propiamente dicha); en el segundo capítulo declara nueve proposiciones formalizadas como axiomas. ${\displaystyle \equiv }$

En el capítulo 1, §5, Frege define el condicional de la siguiente manera:

"Sea que A y B se refieren a contenidos juzgables, entonces las cuatro posibilidades son:

1. Se afirma A, se afirma B;
2. Se afirma A, se niega B;
3. A se niega, B se afirma;
4. A se niega, B se niega.

Dejar

significa que la tercera de esas posibilidades no se cumple, pero una de las otras tres sí. Por lo tanto, si negamos, eso significa que la tercera posibilidad es válida, es decir, negamos A y afirmamos B".

El cálculo en la obra de Frege

Frege declaró que nueve de sus proposiciones eran axiomas y las justificó argumentando informalmente que, dados los significados que se les atribuyen, expresan verdades evidentes. Reexpresados ​​en notación contemporánea, estos axiomas son:

1. ${\displaystyle \vdash \ \ A\rightarrow \left(B\rightarrow A\right)}$
2. ${\displaystyle \vdash \ \ \left[\ A\rightarrow \left(B\rightarrow C\right)\ \right]\ \rightarrow \ \left[\ \left(A\rightarrow B\right)\rightarrow \left(A\rightarrow C\right)\ \right]}$
3. ${\displaystyle \vdash \ \ \left[\ D\rightarrow \left(B\rightarrow A\right)\ \right]\ \rightarrow \ \left[\ B\rightarrow \left(D\rightarrow A\right)\ \right]}$
4. ${\displaystyle \vdash \ \ \left(B\rightarrow A\right)\ \rightarrow \ \left(\lnot A\rightarrow \lnot B\right)}$
5. ${\displaystyle \vdash \ \ \lnot \lnot A\rightarrow A}$
6. ${\displaystyle \vdash \ \ A\rightarrow \lnot \lnot A}$
7. ${\displaystyle \vdash \ \ \left(c=d\right)\rightarrow \left(f\left(c\right)=f\left(d\right)\right)}$
8. ${\displaystyle \vdash \ \ c=c}$
9. ${\displaystyle \vdash \ \ \forall a\ f(a)\rightarrow \ f(c)}$

Éstas son las proposiciones 1, 2, 8, 28, 31, 41, 52, 54 y 58 del Begriffschrifft . (1)–(3) gobiernan la implicación material , (4)–(6) la negación , (7) y (8) la identidad, y (9) el cuantificador universal . (7) expresa la indiscernibilidad de los idénticos de Leibniz , y (8) afirma que la identidad es una relación reflexiva .

Todas las demás proposiciones se deducen de (1)–(9) invocando cualquiera de las siguientes reglas de inferencia :

• El modus ponens nos permite inferir a partir de y ; ${\displaystyle \vdash B}$ ${\displaystyle \vdash A\to B}$ ${\displaystyle \vdash A}$
• La regla de generalización nos permite inferir si x no ocurre en P ; ${\displaystyle \vdash P\to \forall xA(x)}$ ${\displaystyle \vdash P\to A(x)}$
• La regla de sustitución , que Frege no enuncia explícitamente. Esta regla es mucho más difícil de articular con precisión que las dos reglas anteriores y Frege la invoca de maneras que no son obviamente legítimas.

Los principales resultados del tercer capítulo, titulado "Partes de una teoría general de series", se refieren a lo que ahora se llama el ancestral de una relación R. " a es un R -ancestro de b " se escribe " aR * b ".

Frege aplicó los resultados del Begriffsschrifft , incluidos los relativos al ancestro de una relación, en su obra posterior The Foundations of Arithmetic . Así, si tomamos xRy como la relación y = x + 1, entonces 0 R * y es el predicado " y es un número natural". (133) dice que si x , y y z son números naturales , entonces debe cumplirse una de las siguientes condiciones: x < y , x = y o y < x . Esta es la llamada "ley de la tricotomía ".

Influencia en otras obras

Para un estudio reciente y cuidadoso de cómo se analizó la Begriffsschrift en la literatura matemática alemana, véase Vilko (1998). Algunos críticos, especialmente Ernst Schröder , fueron en general favorables a ella. Todo el trabajo en lógica formal posterior a la Begriffsschrift está en deuda con ella, porque su lógica de segundo orden fue la primera lógica formal capaz de representar una buena parte de las matemáticas y el lenguaje natural.

Algunos vestigios de la notación de Frege sobreviven en el símbolo del " torniquete " derivado de su "Urteilsstrich" ( trazo de juicio/inferencia ) │ y "Inhaltsstrich" (es decir, trazo de contenido ) ──. Frege utilizó estos símbolos en el Begriffsschrift en la forma unificada ├─ para declarar que una proposición es verdadera. En su posterior "Grundgesetze" revisa ligeramente su interpretación del símbolo ├─. ${\displaystyle \vdash }$

En la "Begriffsschrift" el "Definitionsdoppelstrich" (es decir, doble trazo de definición ) │├─ indica que una proposición es una definición. Además, el signo de negación puede leerse como una combinación del Inhaltsstrich horizontal con un trazo de negación vertical. Este símbolo de negación fue reintroducido por Arend Heyting ^[2] en 1930 para distinguir la negación intuicionista de la clásica. También aparece en la tesis doctoral de Gerhard Gentzen . ${\displaystyle \neg }$

En el Tractatus Logico Philosophicus , Ludwig Wittgenstein rinde homenaje a Frege empleando el término Begriffsschrift como sinónimo de formalismo lógico.

El ensayo de Frege de 1892, " Sobre el sentido y la referencia ", se retracta de algunas de las conclusiones de la Begriffsschrifft sobre la identidad (denotada en matemáticas por el signo "="). En particular, rechaza la visión de la "Begriffsschrift" de que el predicado de identidad expresa una relación entre nombres, a favor de la conclusión de que expresa una relación entre los objetos que son denotados por esos nombres.

Ediciones

• Gottlob Frege . Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens . Halle an der Saale: Verlag von Louis Nebert, 1879.

Traducciones:

• Bynum, Terrell Ward, traducido y editado, 1972. Notación conceptual y artículos relacionados , con biografía e introducción. Oxford University Press .
• Bauer-Mengelberg, Stefan, 1967, "Concept Script" en Jean van Heijenoort , ed., De Frege a Gödel: un libro de consulta sobre lógica matemática, 1879-1931 . Prensa de la Universidad de Harvard .
• Beaney, Michael, 1997, "Begriffsschrift: Selecciones (Prefacio y Parte I)" en The Frege Reader . Oxford: Blackwell.

Véase también

• Relación ancestral
• Cálculo de enunciados equivalentes
• Lógica de primer orden
• Analítica previa
• Las leyes del pensamiento
• Principios matemáticos

Referencias

1. Korte, Tapio (22 de octubre de 2008). "El Begriffsschrift de Frege como lengua característica". Síntesis . 174 (2): 283–294. doi :10.1007/s11229-008-9422-7. S2CID  20587814.
2. Arend Heyting: "Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik", en: Sitzungsberichte der preußischen Akademie der Wissenschaften, physikalisch-mathematische Klasse , 1930, págs.

Bibliografía

• George Boolos , 1985. "Leyendo el Begriffsschrift ", Mind 94: 331–344.
• Ivor Grattan-Guinness , 2000. En busca de raíces matemáticas . Princeton University Press.
• Risto Vilkko, 1998, "La recepción del Begriffsschrift de Frege", Historia Mathematica 25(4) : 412–422.

Enlaces externos

• Zalta, Edward N. "Lógica, teorema y fundamentos de la aritmética de Frege". En Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .
• Begriffsschrift como facsímil para descargar (2,5 MB)
• Lenguaje de programación esotérico : "Gottlob: escribe código en la notación de conceptos de Frege". esoteric.codes . 2020-03-27 . Consultado el 2022-06-19 .