Categoría monooidal trenzada

Objeto en la teoría de categorías

En matemáticas , una restricción de conmutatividad en una categoría monoidal es una elección de isomorfismo para cada par de objetos A y B que forman una "familia natural". En particular, para tener una restricción de conmutatividad, se debe tener para todos los pares de objetos . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \gamma _{A,B}:A\otimes B\rightarrow B\otimes A}$ ${\displaystyle A\otimes B\cong B\otimes A}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {C}}}$

Una categoría monoidal trenzada es una categoría monoidal dotada de un trenzado , es decir, una restricción de conmutatividad que satisface axiomas que incluyen las identidades hexagonales definidas a continuación. El término trenzado hace referencia al hecho de que el grupo de trenzado desempeña un papel importante en la teoría de categorías monoidales trenzadas. En parte por esta razón, las categorías monoidales trenzadas y otros temas están relacionados en la teoría de invariantes de nudos . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \gamma }$

Alternativamente, una categoría monoidal trenzada puede verse como una tricategoría con una celda 0 y una celda 1.

Las categorías monoidales trenzadas fueron introducidas por André Joyal y Ross Street en una preimpresión de 1986. ^[1] Una versión modificada de este artículo se publicó en 1993. ^[2]

Las identidades del hexágono

Para que una categoría monoide trenzada sea conmutativa, junto con la restricción de conmutatividad , los siguientes diagramas hexagonales deben conmutar para todos los objetos . Aquí está el isomorfismo de asociatividad que surge de la estructura monoide en : ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Propiedades

Coherencia

Se puede demostrar que el isomorfismo natural junto con las funciones provenientes de la estructura monoidal en la categoría , satisfacen varias condiciones de coherencia , que establecen que varias composiciones de funciones de estructura son iguales. En particular: ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha ,\lambda ,\rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• El trenzado conmuta con las unidades, es decir, el siguiente diagrama conmuta:

• La acción de un producto tensorial de pliegues se ve afectada por el grupo trenzado . En particular, ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle (\gamma _{B,C}\otimes {\text{Id}})\circ ({\text{Id}}\otimes \gamma _{A,C})\circ (\gamma _{A,B}\otimes {\text{Id}})=({\text{Id}}\otimes \gamma _{A,B})\circ (\gamma _{A,C}\otimes {\text{Id}})\circ ({\text{Id}}\otimes \gamma _{B,C})}$

como mapas . Aquí hemos omitido los mapas asociados. ${\displaystyle A\otimes B\otimes C\rightarrow C\otimes B\otimes A}$

Variaciones

Existen varias variantes de categorías monoidales trenzadas que se utilizan en diversos contextos. Véase, por ejemplo, el artículo expositivo de Savage (2009) para una explicación de las categorías monoidales simétricas y colímites, y el libro de Chari y Pressley (1995) para las categorías de cinta.

Categorías monoidales simétricas

Una categoría monoidal trenzada se denomina simétrica si también satisface para todos los pares de objetos y . En este caso, la acción de sobre un producto tensorial de pliegue se factoriza a través del grupo simétrico . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle N}$

Categorías de cintas

Una categoría monoidal trenzada es una categoría de cinta si es rígida y puede conservar la traza cuántica y la traza co-cuántica. Las categorías de cinta son particularmente útiles para construir invariantes de nudos .

Categorías monoidales colímitentes

Una categoría monoidal colímite o “cactus” es una categoría monoidal junto con una familia de isomorfismos naturales con las siguientes propiedades: ${\displaystyle (C,\otimes ,{\text{Id}})}$ ${\displaystyle \gamma _{A,B}:A\otimes B\to B\otimes A}$

• ${\displaystyle \gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id}}}$para todos los pares de objetos y . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
• ${\displaystyle \gamma _{B\otimes A,C}\circ (\gamma _{A,B}\otimes {\text{Id}})=\gamma _{A,C\otimes B}\circ ({\text{Id}}\otimes \gamma _{B,C})}$

La primera propiedad nos muestra que , lo que nos permite omitir el análogo del segundo diagrama definitorio de una categoría monoidal trenzada e ignorar los mapas de asociadores como está implícito. ${\displaystyle \gamma _{A,B}^{-1}=\gamma _{B,A}}$

Ejemplos

• La categoría de representaciones de un grupo (o un álgebra de Lie ) es una categoría monoidal simétrica donde . ${\displaystyle \gamma (v\otimes w)=w\otimes v}$
• La categoría de representaciones de un álgebra envolvente universal cuantificada es una categoría monoidal trenzada, donde se construye utilizando la matriz R universal . De hecho, este ejemplo también es una categoría de cinta. ${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \gamma }$

Aplicaciones

• Invariantes de nudos .
• Las categorías monoidales cerradas simétricas se utilizan en modelos denotacionales de lógica lineal y tipos lineales .
• Descripción y clasificación de sistemas cuánticos ordenados topológicamente.

Referencias

1. André Joyal; Ross Street (noviembre de 1986), "Categorías monoidales trenzadas" (PDF) , Macquarie Mathematics Reports (860081)
2. André Joyal; Ross Street (1993), "Categorías tensoriales trenzadas", Advances in Mathematics , 102 : 20–78, doi : 10.1006/aima.1993.1055

• Chari, Vyjayanthi ; Pressley, Andrew. "Una guía para los grupos cuánticos". Cambridge University Press. 1995.
• Savage, Alistair. Categorías monoidales trenzadas y colímite. Álgebras, representaciones y aplicaciones, 229–251, Contemp. Math., 483, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2009. Disponible en arXiv

Enlaces externos

• Categoría monoide trenzada en el laboratorio n
• John Baez (1999), Una introducción a las categorías monoidales trenzadas, Hallazgos de esta semana en física matemática 137.