Categoría monoidal simétrica

Categoría monoidal donde A ⊗ B es naturalmente equivalente a B ⊗ A

En teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una categoría monoidal simétrica es una categoría monoidal (es decir, una categoría en la que se define un "producto tensorial") tal que el producto tensorial es simétrico (es decir , es, en cierto sentido estricto, naturalmente isomorfo a para todos los objetos y de la categoría). Uno de los ejemplos prototípicos de una categoría monoidal simétrica es la categoría de espacios vectoriales sobre algún cuerpo fijo k, utilizando el producto tensorial ordinario de espacios vectoriales . ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle A\otimes B}$ ${\displaystyle B\otimes A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Definición

Una categoría monoidal simétrica es una categoría monoidal ( C , ⊗, I ) tal que, para cada par A , B de objetos en C , existe un isomorfismo llamado mapa de intercambio ^[1] que es natural tanto en A como en B y tal que los siguientes diagramas conmutan: ${\displaystyle s_{AB}:A\otimes B\to B\otimes A}$

• La coherencia de la unidad:

• La coherencia asociativa:

• La ley inversa:

En los diagramas anteriores, a , l y r son el isomorfismo de asociatividad, el isomorfismo de unidad izquierda y el isomorfismo de unidad derecha respectivamente.

Ejemplos

Algunos ejemplos y no ejemplos de categorías monoidales simétricas:

• La categoría de conjuntos . El producto tensorial es el producto cartesiano teórico de conjuntos, y cualquier singleton puede fijarse como objeto unitario.
• La categoría de grupos . Como antes, el producto tensorial es simplemente el producto cartesiano de grupos, y el grupo trivial es el objeto unitario.
• En términos más generales, cualquier categoría con productos finitos, es decir, una categoría monoidal cartesiana , es monoidal simétrica. El producto tensorial es el producto directo de los objetos, y cualquier objeto terminal (producto vacío) es el objeto unitario.
• La categoría de bimódulos sobre un anillo R es monoidal (usando el producto tensorial ordinario de módulos), pero no necesariamente simétrica. Si R es conmutativa, la categoría de R -módulos izquierdos es monoidal simétrica. La última clase de ejemplo incluye la categoría de todos los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado.
• Dado un cuerpo k y un grupo (o un álgebra de Lie sobre k ), la categoría de todas las representaciones k -lineales del grupo (o del álgebra de Lie) es una categoría monoidal simétrica. Aquí se utiliza el producto tensorial estándar de representaciones.
• Las categorías ( Ste , ) y ( Ste , ) de los espacios estereotípicos sobre son monoidales simétricos, y además, ( Ste , ) es una categoría monoidal simétrica cerrada con el hom-functor interno . ${\displaystyle \circledast }$ ${\displaystyle \odot }$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \circledast }$ ${\displaystyle \oslash }$

Propiedades

El espacio de clasificación (realización geométrica del nervio ) de una categoría monoidal simétrica es un espacio, por lo que su completitud de grupo es un espacio de bucle infinito . ^[2] ${\displaystyle E_{\infty }}$

Especializaciones

Una categoría monoidal simétrica de daga es una categoría monoidal simétrica con una estructura de daga compatible .

Un cosmos es una categoría monoidal simétrica cerrada , completa y cocompleta .

Generalizaciones

En una categoría monoidal simétrica, los isomorfismos naturales son sus propios inversos en el sentido de que . Si abandonamos este requisito (pero aún requerimos que sea naturalmente isomorfo a ), obtenemos la noción más general de una categoría monoidal trenzada . ${\displaystyle s_{AB}:A\otimes B\to B\otimes A}$ ${\displaystyle s_{BA}\circ s_{AB}=1_{A\otimes B}}$ ${\displaystyle A\otimes B}$ ${\displaystyle B\otimes A}$

Referencias

1. Fong, Brendan; Spivak, David I. (12 de octubre de 2018). "Siete bocetos sobre composicionalidad: una invitación a la teoría de categorías aplicada". arXiv : 1803.05316 [math.CT].
2. Thomason, RW (1995). "Las categorías monoidales simétricas modelan todos los espectros conectivos" (PDF) . Teoría y aplicaciones de categorías . 1 (5): 78–118. CiteSeerX 10.1.1.501.2534 . 

• Categoría monoidal simétrica en el laboratorio n
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