Categoría de daga

Categoría equipada con involución

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una categoría de daga (también llamada categoría involutiva o categoría con involución ^{[1] [2]} ) es una categoría dotada de una determinada estructura llamada daga o involución . El nombre de categoría de daga fue acuñado por Peter Selinger. ^[3]

Definición formal

Una categoría de daga es una categoría equipada con un endofunctor contravariante involutivo que es la identidad de los objetos . ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \dagger }$

En detalle, esto significa que:

• Para todos los morfismos , existe su adjunto. ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle f^{\dagger }:B\to A}$
• para todos los morfismos , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f^{\dagger })^{\dagger }=f}$
• para todos los objetos , ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}^{\dagger }=\mathrm {id} _{A}}$
• para todos y , ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle g:B\to C}$ ${\displaystyle (g\circ f)^{\dagger }=f^{\dagger }\circ g^{\dagger }:C\to A}$

Nótese que en la definición anterior, el término "adjunto" se utiliza de una manera análoga a (e inspirada en) el sentido algebraico lineal , no en el sentido teórico de categorías .

Algunas fuentes ^[5] definen una categoría con involución como una categoría daga con la propiedad adicional de que su conjunto de morfismos está parcialmente ordenado y que el orden de los morfismos es compatible con la composición de los morfismos, es decir implica para los morfismos , , siempre que sus fuentes y destinos sean compatibles. ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle a\circ c<b\circ c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Ejemplos

• La categoría Rel de conjuntos y relaciones posee una estructura de daga: para una relación dada en Rel , la relación es el inverso relacional de . En este ejemplo, un morfismo autoadjunto es una relación simétrica . ${\displaystyle R:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle R^{\dagger }:Y\rightarrow X}$ ${\displaystyle R}$
• La categoría Cob de cobordismos es una categoría compacta de daga , en particular posee una estructura de daga.
• La categoría Hilb de los espacios de Hilbert también posee una estructura de daga: dada una función lineal acotada , la función es simplemente su adjunto en el sentido habitual. ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ ${\displaystyle f^{\dagger }:B\rightarrow A}$
• Cualquier monoide con involución es una categoría de daga con un solo objeto. De hecho, cada conjunto hom de endomorfismos en una categoría de daga no es simplemente un monoide , sino un monoide con involución, debido a la daga.
• Una categoría discreta es trivialmente una categoría de daga.
• Un grupoide (y como corolario trivial, un grupo ) también tiene una estructura de daga en la que el adjunto de un morfismo es su inverso. En este caso, todos los morfismos son unitarios (definición a continuación).

Morfismos notables

En una categoría de daga , un morfismo se llama ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle f}$

• unitario si ${\displaystyle f^{\dagger }=f^{-1},}$
• autoadjunto si ${\displaystyle f^{\dagger }=f.}$

Esto último sólo es posible para un endomorfismo . Los términos unitario y autoadjunto en la definición anterior se toman de la categoría de espacios de Hilbert, donde los morfismos que satisfacen esas propiedades son entonces unitarios y autoadjuntos en el sentido habitual. ${\displaystyle f\colon A\to A}$

Véase también

• Portal de matemáticas

• *-álgebra
• Daga simétrica de categoría monoidal
• Categoría Dagger Compact

Referencias

1. M. Burgin, Categorías con involución y correspondencias en categorías γ , IX Coloquio Algebraico de toda la Unión, Gomel (1968), págs. 34-35; M. Burgin, Categorías con involución y relaciones en categorías γ , Transactions of the Moscow Mathematical Society, 1970, v. 22, págs. 161-228
2. J. Lambek , Búsqueda de diagramas en categorías ordenadas con involución , Journal of Pure and Applied Algebra 143 (1999), n.º 1–3, 293–307
3. P. Selinger, Categorías cerradas compactas de Dagger y mapas completamente positivos , Actas del 3er Taller Internacional sobre Lenguajes de Programación Cuántica, Chicago, 30 de junio–1 de julio de 2005.
4. "Categoría Daga en nLab".
5. Tsalenko, M.Sh. (2001) [1994], "Categoría con involución", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

• Categoría Daga en el Laboratorio n