Grupo Grothendieck

Grupo abeliano que extiende un monoide conmutativo

En matemáticas , el grupo de Grothendieck , o grupo de diferencias , ^[1] de un monoide conmutativo M es un cierto grupo abeliano . Este grupo abeliano se construye a partir de M de la forma más universal, en el sentido de que cualquier grupo abeliano que contenga una imagen homomórfica de M también contendrá una imagen homomórfica del grupo de Grothendieck de M. La construcción del grupo de Grothendieck toma su nombre de un caso específico en la teoría de categorías , introducido por Alexander Grothendieck en su demostración del teorema de Grothendieck–Riemann–Roch , que resultó en el desarrollo de la teoría K. Este caso específico es el monoide de clases de isomorfismo de objetos de una categoría abeliana , con la suma directa como su operación.

Grupo de Grothendieck de un monoide conmutativo

Motivación

Dado un monoide conmutativo M , el grupo abeliano "más general" K que surge de M se construye introduciendo elementos inversos a todos los elementos de M . Un grupo abeliano de este tipo K siempre existe; se llama grupo de Grothendieck de M . Se caracteriza por una cierta propiedad universal y también se puede construir concretamente a partir de M .

Si M no tiene la propiedad de cancelación (es decir, existen a , b y c en M tales que y ), entonces el grupo de Grothendieck K no puede contener a M . En particular, en el caso de una operación monoide denotada multiplicativamente que tiene un elemento cero que satisface para cada , el grupo de Grothendieck debe ser el grupo trivial ( grupo con un solo elemento), ya que se debe tener ${\displaystyle a\neq b}$ ${\displaystyle ac=bc}$ ${\displaystyle 0.x=0}$ ${\displaystyle x\in M,}$

${\displaystyle x=1.x=(0^{-1}.0).x=0^{-1}.(0.x)=0^{-1}.(0.0)=(0^{-1}.0).0=1.0=0}$

para cada x .

Propiedad universal

Sea M un monoide conmutativo. Su grupo de Grothendieck es un grupo abeliano K con un homomorfismo de monoide que satisface la siguiente propiedad universal: para cualquier homomorfismo de monoide de M a un grupo abeliano A , existe un único homomorfismo de grupo tal que ${\displaystyle i\colon M\to K}$ ${\displaystyle f\colon M\to A}$ ${\displaystyle g\colon K\to A}$ ${\displaystyle f=g\circ i.}$

Esto expresa el hecho de que cualquier grupo abeliano A que contenga una imagen homomórfica de M también contendrá una imagen homomórfica de K , siendo K el grupo abeliano "más general" que contiene una imagen homomórfica de M.

Construcciones explícitas

Para construir el grupo de Grothendieck K de un monoide conmutativo M , se forma el producto cartesiano . Las dos coordenadas representan una parte positiva y una parte negativa, por lo que corresponde a en K . ${\displaystyle M\times M}$ ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ ${\displaystyle m_{1}-m_{2}}$

La adición se define por coordenadas: ${\displaystyle M\times M}$

${\displaystyle (m_{1},m_{2})+(n_{1},n_{2})=(m_{1}+n_{1},m_{2}+n_{2})}$.

A continuación se define una relación de equivalencia en , tal que es equivalente a si, para algún elemento k de M , m ₁ + n ₂ + k = m ₂ + n ₁ + k (el elemento k es necesario porque la ley de cancelación no se cumple en todos los monoides). La clase de equivalencia del elemento ( m ₁ , m ₂ ) se denota por [( m ₁ , m ₂ )]. Se define K como el conjunto de clases de equivalencia. Dado que la operación de adición en M × M es compatible con nuestra relación de equivalencia, se obtiene una adición en K , y K se convierte en un grupo abeliano. El elemento identidad de K es [(0, 0)], y el inverso de [( m ₁ , m ₂ )] es [( m ₂ , m ₁ )]. El homomorfismo envía el elemento m a [( m , 0)]. ${\displaystyle M\times M}$ ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ ${\displaystyle (n_{1},n_{2})}$ ${\displaystyle i:M\to K}$

Alternativamente, el grupo de Grothendieck K de M también puede construirse usando generadores y relaciones : denotando por el grupo abeliano libre generado por el conjunto M , el grupo de Grothendieck K es el cociente de por el subgrupo generado por . (Aquí +′ y −′ denotan la adición y la resta en el grupo abeliano libre mientras que + denota la adición en el monoide M .) Esta construcción tiene la ventaja de que puede realizarse para cualquier semigrupo M y produce un grupo que satisface las propiedades universales correspondientes para semigrupos, es decir, el "grupo más general y más pequeño que contiene una imagen homomórfica de M " . Esto se conoce como "completación de grupo de un semigrupo" o "grupo de fracciones de un semigrupo". ${\displaystyle (Z(M),+')}$ ${\displaystyle Z(M)}$ ${\displaystyle \{(x+'y)-'(x+y)\mid x,y\in M\}}$ ${\displaystyle Z(M)}$

Propiedades

En el lenguaje de la teoría de categorías , cualquier construcción universal da lugar a un funtor ; se obtiene así un funtor de la categoría de monoides conmutativos a la categoría de grupos abelianos que envía al monoide conmutativo M a su grupo de Grothendieck K. Este funtor es adjunto por izquierda al funtor olvidadizo de la categoría de grupos abelianos a la categoría de monoides conmutativos.

Para un monoide conmutativo M , la función i  :  M → K es inyectiva si y solo si M tiene la propiedad de cancelación, y es biyectiva si y solo si M ya es un grupo.

Ejemplo: los números enteros

El ejemplo más sencillo de un grupo de Grothendieck es la construcción de los números enteros a partir de los números naturales (aditivos) . En primer lugar, se observa que los números naturales (incluido el 0) junto con la adición habitual forman un monoide conmutativo. Ahora bien, cuando se utiliza la construcción del grupo de Grothendieck, se obtienen las diferencias formales entre los números naturales como elementos n − m y se tiene la relación de equivalencia. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+).}$

${\displaystyle n-m\sim n'-m'\iff n+m'+k=n'+m+k}$Para algunos . ${\displaystyle k\iff n+m'=n'+m}$

Ahora defina

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :\qquad {\begin{cases}n:=[n-0]\\-n:=[0-n]\end{cases}}}$

Esto define los números enteros . De hecho, esta es la construcción habitual para obtener los números enteros a partir de los números naturales. Consulte "Construcción" en Números enteros para obtener una explicación más detallada. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Ejemplo: los números racionales positivos

De manera similar, el grupo de Grothendieck del monoide conmutativo multiplicativo (que comienza en 1) consta de fracciones formales con la equivalencia ${\displaystyle (\mathbb {N} ^{*},\times )}$ ${\displaystyle p/q}$

${\displaystyle p/q\sim p'/q'\iff pq'r=p'qr}$Para algunos ${\displaystyle r\iff pq'=p'q}$

que por supuesto se pueden identificar con los números racionales positivos .

Ejemplo: el grupo de Grothendieck de una variedad

El grupo de Grothendieck es la construcción fundamental de la K-teoría . El grupo de una variedad compacta M se define como el grupo de Grothendieck del monoide conmutativo de todas las clases de isomorfismo de fibrados vectoriales de rango finito en M con la operación monoide dada por suma directa. Esto da un funtor contravariante de variedades a grupos abelianos. Este funtor se estudia y se extiende en la K-teoría topológica . ${\displaystyle K_{0}(M)}$

Ejemplo: El grupo de Grothendieck de un anillo

El grupo algebraico K cero de un anillo R (no necesariamente conmutativo ) es el grupo de Grothendieck del monoide que consiste en clases de isomorfismo de módulos proyectivos finitamente generados sobre R , con la operación del monoide dada por la suma directa . Entonces es un funtor covariante de anillos a grupos abelianos. ${\displaystyle K_{0}(R)}$ ${\displaystyle K_{0}}$

Los dos ejemplos anteriores están relacionados: considere el caso donde es el anillo de funciones suaves de valor complejo en una variedad compacta M . En este caso, los R -módulos proyectivos son duales a los fibrados vectoriales sobre M (por el teorema de Serre-Swan ). Por lo tanto , y son el mismo grupo. ${\displaystyle R=C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle K_{0}(R)}$ ${\displaystyle K_{0}(M)}$

Grupo Grothendieck y ampliaciones

Definición

Otra construcción que lleva el nombre de grupo de Grothendieck es la siguiente: Sea R un álgebra de dimensión finita sobre algún cuerpo k o más generalmente un anillo artiniano . Luego defina el grupo de Grothendieck como el grupo abeliano generado por el conjunto de clases de isomorfismo de R -módulos finitamente generados y las siguientes relaciones: Para cada secuencia exacta corta ${\displaystyle G_{0}(R)}$ ${\displaystyle \{[X]\mid X\in R{\text{-mod}}\}}$

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

de R -módulos, agregue la relación

${\displaystyle [A]-[B]+[C]=0.}$

Esta definición implica que para dos módulos R finitamente generados M y N , , debido a la secuencia exacta corta dividida ${\displaystyle [M\oplus N]=[M]+[N]}$

${\displaystyle 0\to M\to M\oplus N\to N\to 0.}$

Ejemplos

Sea K un cuerpo. Entonces el grupo de Grothendieck es un grupo abeliano generado por símbolos para cualquier espacio vectorial K de dimensión finita V . De hecho, es isomorfo a cuyo generador es el elemento . Aquí, el símbolo para un espacio vectorial K de dimensión finita V se define como , la dimensión del espacio vectorial V . Supóngase que uno tiene la siguiente secuencia corta exacta de espacios vectoriales K. ${\displaystyle G_{0}(K)}$ ${\displaystyle [V]}$ ${\displaystyle G_{0}(K)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [K]}$ ${\displaystyle [V]}$ ${\displaystyle [V]=\dim _{K}V}$

${\displaystyle 0\to V\to T\to W\to 0}$

Dado que cualquier secuencia corta exacta de espacios vectoriales se divide, se cumple que . De hecho, para dos espacios vectoriales V y W de dimensión finita cualesquiera, se cumple lo siguiente: ${\displaystyle T\cong V\oplus W}$

${\displaystyle \dim _{K}(V\oplus W)=\dim _{K}(V)+\dim _{K}(W)}$

La igualdad anterior satisface por tanto la condición del símbolo en el grupo de Grothendieck. ${\displaystyle [V]}$

${\displaystyle [T]=[V\oplus W]=[V]+[W]}$

Obsérvese que dos espacios vectoriales K de dimensión finita isomorfos tienen la misma dimensión. Asimismo, dos espacios vectoriales K de dimensión finita V y W de la misma dimensión son isomorfos entre sí. De hecho, todo espacio vectorial K de dimensión n finito V es isomorfo a . La observación del párrafo anterior demuestra, por tanto, la siguiente ecuación: ${\displaystyle K^{\oplus n}}$

${\displaystyle [V]=\left[K^{\oplus n}\right]=n[K]}$

Por lo tanto, cada símbolo es generado por el elemento con coeficientes enteros, lo que implica que es isomorfo al generador . ${\displaystyle [V]}$ ${\displaystyle [K]}$ ${\displaystyle G_{0}(K)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [K]}$

En términos más generales, sea el conjunto de los números enteros. El grupo de Grothendieck es un grupo abeliano generado por símbolos para cualquier grupo abeliano finito generado A . En primer lugar, se observa que cualquier grupo abeliano finito G satisface que . Se cumple la siguiente secuencia exacta corta, donde la función es la multiplicación por n . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle G_{0}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle [A]}$ ${\displaystyle [G]=0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to 0}$

La secuencia exacta implica que , por lo que cada grupo cíclico tiene su símbolo igual a 0. Esto a su vez implica que cada grupo abeliano finito G satisface por el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos. ${\displaystyle [\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ]=[\mathbb {Z} ]-[\mathbb {Z} ]=0}$ ${\displaystyle [G]=0}$

Obsérvese que por el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados , todo grupo abeliano A es isomorfo a una suma directa de un subgrupo de torsión y un grupo abeliano libre de torsión isomorfo a para algún entero no negativo r , llamado rango de A y denotado por . Defina el símbolo como . Entonces el grupo de Grothendieck es isomorfo a con generador De hecho, la observación hecha a partir del párrafo anterior muestra que todo grupo abeliano A tiene su símbolo igual al símbolo donde . Además, el rango del grupo abeliano satisface las condiciones del símbolo del grupo de Grothendieck. Supóngase que uno tiene la siguiente secuencia corta exacta de grupos abelianos: ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}}$ ${\displaystyle r={\mbox{rank}}(A)}$ ${\displaystyle [A]}$ ${\displaystyle [A]={\mbox{rank}}(A)}$ ${\displaystyle G_{0}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [\mathbb {Z} ].}$ ${\displaystyle [A]}$ ${\displaystyle [\mathbb {Z} ^{r}]=r[\mathbb {Z} ]}$ ${\displaystyle r={\mbox{rank}}(A)}$ ${\displaystyle [A]}$

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

Entonces, tensar con los números racionales implica la siguiente ecuación. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle 0\to A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to B\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to C\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to 0}$

Como lo anterior es una secuencia corta y exacta de espacios vectoriales, la secuencia se divide. Por lo tanto, se tiene la siguiente ecuación. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \dim _{\mathbb {Q} }(B\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )=\dim _{\mathbb {Q} }(A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )+\dim _{\mathbb {Q} }(C\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )}$

Por otra parte, también se tiene la siguiente relación; para más información, ver Rango de un grupo abeliano .

${\displaystyle \operatorname {rank} (A)=\dim _{\mathbb {Q} }(A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )}$

Por lo tanto, se cumple la siguiente ecuación:

${\displaystyle [B]=\operatorname {rank} (B)=\operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (C)=[A]+[C]}$

Por lo tanto se ha demostrado que es isomorfo a con generador ${\displaystyle G_{0}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [\mathbb {Z} ].}$

Propiedad universal

El grupo de Grothendieck satisface una propiedad universal. Se hace una definición preliminar: Una función del conjunto de clases de isomorfismo a un grupo abeliano se llama aditiva si, para cada sucesión exacta , se tiene Entonces, para cualquier función aditiva , existe un único homomorfismo de grupo tal que factoriza mediante y la función que lleva cada objeto de al elemento que representa su clase de isomorfismo en Concretamente esto significa que satisface la ecuación para cada -módulo finitamente generado y es el único homomorfismo de grupo que hace eso. ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$ ${\displaystyle \chi (A)-\chi (B)+\chi (C)=0.}$ ${\displaystyle \chi :R{\text{-mod}}\to X}$ ${\displaystyle f:G_{0}(R)\to X}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle G_{0}(R).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f([V])=\chi (V)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f}$

Ejemplos de funciones aditivas son la función de carácter de la teoría de representación : Si es un -álgebra de dimensión finita , entonces se puede asociar el carácter a cada -módulo de dimensión finita se define como la traza de la función lineal que se da por la multiplicación con el elemento en . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \chi _{V}:R\to k}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle V:\chi _{V}(x)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x\in R}$ ${\displaystyle V}$

Si se elige una base adecuada y se escriben las matrices correspondientes en forma triangular en bloques, se puede ver fácilmente que las funciones de carácter son aditivas en el sentido antes mencionado. Por la propiedad universal, esto nos da un "carácter universal" tal que . ${\displaystyle \chi :G_{0}(R)\to \mathrm {Hom} _{K}(R,K)}$ ${\displaystyle \chi ([V])=\chi _{V}}$

Si y es el anillo de grupo de un grupo finito , entonces este mapa de caracteres da incluso un isomorfismo natural de y el anillo de caracteres . En la teoría de representación modular de grupos finitos, puede ser un cuerpo la clausura algebraica del cuerpo finito con p elementos. En este caso, el mapa definido análogamente que asocia a cada módulo su carácter de Brauer es también un isomorfismo natural sobre el anillo de caracteres de Brauer. De esta manera, los grupos de Grothendieck aparecen en la teoría de la representación. ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{0}(\mathbb {C} [G])}$ ${\displaystyle Ch(G)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{p}}},}$ ${\displaystyle k[G]}$ ${\displaystyle G_{0}({\overline {\mathbb {F} _{p}}}[G])\to \mathrm {BCh} (G)}$

Esta propiedad universal también hace que sea el 'receptor universal' de las características generalizadas de Euler . En particular, para cada complejo acotado de objetos en ${\displaystyle G_{0}(R)}$ ${\displaystyle R{\text{-mod}}}$

${\displaystyle \cdots \to 0\to 0\to A^{n}\to A^{n+1}\to \cdots \to A^{m-1}\to A^{m}\to 0\to 0\to \cdots }$

uno tiene un elemento canónico

${\displaystyle [A^{*}]=\sum _{i}(-1)^{i}[A^{i}]=\sum _{i}(-1)^{i}[H^{i}(A^{*})]\in G_{0}(R).}$

De hecho, el grupo de Grothendieck se introdujo originalmente para el estudio de las características de Euler.

Grupos de categorías exactas de Grothendieck

Una generalización común de estos dos conceptos la proporciona el grupo de Grothendieck de una categoría exacta . En términos simples, una categoría exacta es una categoría aditiva junto con una clase de secuencias cortas distinguidas A → B → C . Las secuencias distinguidas se denominan "secuencias exactas", de ahí el nombre. Los axiomas precisos para esta clase distinguida no importan para la construcción del grupo de Grothendieck. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

El grupo de Grothendieck se define de la misma manera que antes como el grupo abeliano con un generador [ M  ] para cada (clase de isomorfismo de) objeto(s) de la categoría y una relación ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle [A]-[B]+[C]=0}$

para cada secuencia exacta

${\displaystyle A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C}$.

De manera alternativa y equivalente, se puede definir el grupo de Grothendieck usando una propiedad universal: Una función de en un grupo abeliano X se llama "aditiva" si para cada secuencia exacta se tiene ; un grupo abeliano G junto con una función aditiva se llama grupo de Grothendieck de si y solo si cada función aditiva se factoriza de manera única a través de . ${\displaystyle \chi :\mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C}$ ${\displaystyle \chi (A)-\chi (B)+\chi (C)=0}$ ${\displaystyle \phi :\mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})\to G}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \chi :\mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})\to X}$ ${\displaystyle \phi }$

Toda categoría abeliana es una categoría exacta si se utiliza simplemente la interpretación estándar de "exacto". Esto da la noción de un grupo de Grothendieck en la sección anterior si se elige la categoría de R -módulos finitamente generados como . Esto es realmente abeliano porque se supuso que R era artiniano (y por lo tanto noetheriano ) en la sección anterior. ${\displaystyle {\mathcal {A}}:=R{\text{-mod}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Por otra parte, toda categoría aditiva es también exacta si se declaran como exactas aquellas y sólo aquellas sucesiones que tienen la forma con los morfismos de inclusión y proyección canónicos. Este procedimiento produce el grupo de Grothendieck del monoide conmutativo en el primer sentido (aquí significa el "conjunto" [ignorando todas las cuestiones fundamentales] de clases de isomorfismo en ). ${\displaystyle A\hookrightarrow A\oplus B\twoheadrightarrow B}$ ${\displaystyle (\mathrm {Iso} ({\mathcal {A}}),\oplus )}$ ${\displaystyle \mathrm {Iso} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Grupos de Grothendieck de categorías trianguladas

Generalizando aún más, también es posible definir el grupo de Grothendieck para categorías trianguladas . La construcción es esencialmente similar pero utiliza las relaciones [ X ] − [ Y ] + [ Z ] = 0 siempre que exista un triángulo distinguido X → Y → Z → X [1].

Más ejemplos

• En la categoría abeliana de espacios vectoriales de dimensión finita sobre un cuerpo k , dos espacios vectoriales son isomorfos si y solo si tienen la misma dimensión. Por lo tanto, para un espacio vectorial V

${\displaystyle [V]={\big [}k^{\dim(V)}{\big ]}\in K_{0}(\mathrm {Vect} _{\mathrm {fin} }).}$

Además, para una secuencia exacta

${\displaystyle 0\to k^{l}\to k^{m}\to k^{n}\to 0}$

m = l + n , entonces

${\displaystyle \left[k^{l+n}\right]=\left[k^{l}\right]+\left[k^{n}\right]=(l+n)[k].}$

De este modo

${\displaystyle [V]=\dim(V)[k],}$

y es isomorfo a y es generado por Finalmente, para un complejo acotado de espacios vectoriales de dimensión finita V  *, ${\displaystyle K_{0}(\mathrm {Vect} _{\mathrm {fin} })}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [k].}$

${\displaystyle [V^{*}]=\chi (V^{*})[k]}$

¿Dónde está la característica de Euler estándar definida por ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi (V^{*})=\sum _{i}(-1)^{i}\dim V=\sum _{i}(-1)^{i}\dim H^{i}(V^{*}).}$

• Para un espacio anillado , se puede considerar la categoría de todos los haces localmente libres sobre X. se define entonces como el grupo de Grothendieck de esta categoría exacta y nuevamente esto da un funtor. ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle K_{0}(X)}$
• Para un espacio anillado , también se puede definir la categoría como la categoría de todos los haces coherentes en X. Esto incluye el caso especial (si el espacio anillado es un esquema afín ) de ser la categoría de módulos finitamente generados sobre un anillo noetheriano R. En ambos casos es una categoría abeliana y, a fortiori, una categoría exacta, por lo que se aplica la construcción anterior. ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
• En el caso en que R es un álgebra de dimensión finita sobre algún cuerpo, los grupos de Grothendieck (definidos mediante secuencias exactas cortas de módulos finitamente generados) y (definidos mediante la suma directa de módulos proyectivos finitamente generados) coinciden. De hecho, ambos grupos son isomorfos al grupo abeliano libre generado por las clases de isomorfismo de módulos R simples . ${\displaystyle G_{0}(R)}$ ${\displaystyle K_{0}(R)}$
• Existe otro grupo de Grothendieck de un anillo o un espacio anillado que a veces resulta útil. La categoría en este caso se elige como la categoría de todos los haces cuasi coherentes en el espacio anillado, que se reduce a la categoría de todos los módulos sobre algún anillo R en el caso de esquemas afines. no es un funtor, pero sin embargo lleva información importante. ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle G_{0}}$
• Puesto que la categoría derivada (acotada) está triangulada, también existe un grupo de Grothendieck para categorías derivadas. Esto tiene aplicaciones en la teoría de la representación, por ejemplo. Sin embargo, para la categoría no acotada, el grupo de Grothendieck desaparece. Para una categoría derivada de algún álgebra graduada positiva compleja de dimensión finita, existe una subcategoría en la categoría derivada no acotada que contiene la categoría abeliana A de módulos graduados de dimensión finita cuyo grupo de Grothendieck es la compleción q -ádica del grupo de Grothendieck de A .

Véase también

• Campo de fracciones
• Localización
• Teoría K topológica
• Secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch para calcular la teoría K topológica

Referencias

1. Bruns, Winfried; Gubeladze, Joseph (2009). Politopos, anillos y teoría K. Springer. pág. 50. ISBN. 978-0-387-76355-2.

• Michael F. Atiyah , K-Theory , (Notas tomadas por D. W. Anderson, otoño de 1964), publicada en 1967, WA Benjamin Inc., Nueva York.
• Achar, Pramod N.; Stroppel, Catharina (2013), "Compleciones de grupos de Grothendieck", Boletín de la Sociedad Matemática de Londres , 45 (1): 200–212, arXiv : 1105.2715 , doi :10.1112/blms/bds079, MR  3033967, S2CID  260493607.
• "Grupo Grothendieck", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Grupo Grothendieck". PlanetMath .
• El grupo de Grothendieck de fibrados vectoriales algebraicos; cálculos del espacio afín y proyectivo
• Grupo de Grothendieck de una curva compleja proyectiva suave