Categoría de colectores

Teoría de categorías

En matemáticas , la categoría de variedades , a menudo denominada Man ^p , es la categoría cuyos objetos son variedades de clase de suavidad C ^p y cuyos morfismos son p -veces funciones continuamente diferenciables . Se trata de una categoría porque la composición de dos funciones C ^p es nuevamente continua y de clase C ^p .

A menudo, sólo nos interesan las C ^p -variedades modeladas en espacios de una categoría fija A , y la categoría de dichas variedades se denota Man ^p ( A ). De manera similar, la categoría de las C ^p -variedades modeladas en un espacio fijo E se denota Man ^p ( E ).

También se puede hablar de la categoría de variedades suaves , Man ^∞ , o de la categoría de variedades analíticas , Man ^ω .

Hombrepages una categoría concreta

Como muchas categorías, la categoría Man ^p es una categoría concreta , lo que significa que sus objetos son conjuntos con estructura adicional (es decir, una topología y una clase de equivalencia de atlas de gráficos que definen una estructura C ^p -diferenciable) y sus morfismos son funciones que preservan esta estructura. Existe un functor olvidadizo natural

U  : Hombre ^p → Arriba

a la categoría de espacios topológicos que asigna a cada variedad el espacio topológico subyacente y a cada función p -veces continuamente diferenciable la función continua subyacente de los espacios topológicos. De manera similar, existe un funtor olvidadizo natural

U ′ : Hombre ^p → Conjunto

a la categoría de conjuntos que asigna a cada variedad el conjunto subyacente y a cada función p -veces continuamente diferenciable la función subyacente.

Variedades puntiagudas y el funtor del espacio tangente

A menudo es conveniente o necesario trabajar con la categoría de variedades junto con un punto distinguido: Man _• ^p análogo a Top _• - la categoría de espacios apuntados . Los objetos de Man _• ^p son pares donde es una variedad junto con un punto base y sus morfismos son p -veces mapas continuamente diferenciables que preservan el punto base: p. ej., tales que ^[1] La categoría de variedades apuntadas es un ejemplo de una categoría de coma - Man _• ^p es exactamente donde representa un conjunto singleton arbitrario, y representa un mapa de ese singleton a un elemento de Man ^p , escogiendo un punto base. ${\displaystyle (M,p_{0}),}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{p}}$ ${\displaystyle p_{0}\in M,}$ ${\displaystyle F:(M,p_{0})\to (N,q_{0}),}$ ${\displaystyle F(p_{0})=q_{0}.}$ ${\displaystyle \scriptstyle {(\{\bullet \}\downarrow \mathbf {Man^{p}} )},}$ ${\displaystyle \{\bullet \}}$ ${\displaystyle \downarrow }$

La construcción del espacio tangente puede verse como un funtor de Man _• ^p a Vect _R de la siguiente manera: dadas variedades puntiagudas y con una función entre ellas, podemos asignar los espacios vectoriales y con una función lineal entre ellos dado por el empuje hacia adelante (diferencial) : Esta construcción es un funtor genuino porque el empuje hacia adelante de la función identidad es el isomorfismo del espacio vectorial ^[1] y la regla de la cadena asegura que ^[1] ${\displaystyle (M,p_{0})}$ ${\displaystyle (N,F(p_{0})),}$ ${\displaystyle C^{p}}$ ${\displaystyle F:(M,p_{0})\to (N,F(p_{0}))}$ ${\displaystyle T_{p_{0}}M}$ ${\displaystyle T_{F(p_{0})}N,}$ ${\displaystyle F_{*,p}:T_{p_{0}}M\to T_{F(p_{0})}N.}$ ${\displaystyle \mathbb {1} _{M}:M\to M}$ ${\displaystyle (\mathbb {1} _{M})_{*,p_{0}}:T_{p_{0}}M\to T_{p_{0}}M,}$ ${\displaystyle (f\circ g)_{*,p_{0}}=f_{*,g(p_{0})}\circ g_{*,p_{0}}.}$

Referencias

1. Tu 2011, págs. 89, 111, 112

• Lang, Serge (2012) [1972]. Variedades diferenciales. Springer. ISBN 978-1-4684-0265-0.
• Tu, Loring W. (2011). Introducción a las variedades (2.ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 9781441974006.OCLC 682907530  .