Plaza latina

Este vitral del Gonville and Caius College de Cambridge, que muestra un cuadrado latino de 7 × 7, rinde homenaje a Ronald Fisher , cuyo *Diseño de experimentos* trataba sobre los cuadrados latinos. El vitral de Sir Ronald Fisher fue retirado en 2020 debido a la conexión de Fisher con la eugenesia. ^[1]

En combinatoria y en diseño experimental , un cuadrado latino es una matriz n × n llena de n símbolos diferentes, cada uno de los cuales aparece exactamente una vez en cada fila y exactamente una vez en cada columna. Un ejemplo de un cuadrado latino de 3 × 3 es

El nombre "cuadrado latino" se inspiró en los artículos matemáticos de Leonhard Euler (1707-1783), quien utilizó caracteres latinos como símbolos, ^[2] pero se puede utilizar cualquier conjunto de símbolos: en el ejemplo anterior, la secuencia alfabética A, B, C se puede reemplazar por la secuencia entera 1, 2, 3. Euler inició la teoría general de los cuadrados latinos.

Historia

El matemático coreano Choi Seok-jeong fue el primero en publicar un ejemplo de cuadrados latinos de orden nueve, para construir un cuadrado mágico en 1700, adelantándose 67 años a Leonhard Euler. ^[3]

Forma reducida

Se dice que un cuadrado latino está reducido (también, normalizado o en forma estándar ) si tanto su primera fila como su primera columna están en su orden natural. ^[4] Por ejemplo, el cuadrado latino anterior no está reducido porque su primera columna es A, C, B en lugar de A, B, C.

Cualquier cuadrado latino se puede reducir permutando (es decir, reordenando) las filas y columnas. En este caso, al intercambiar la segunda y la tercera fila de la matriz anterior, se obtiene el siguiente cuadrado:

Este cuadrado latino es reducido; tanto su primera fila como su primera columna están ordenadas alfabéticamente A, B, C.

Propiedades

Representación de matriz ortogonal

Si cada entrada de un cuadrado latino n × n se escribe como una terna ( r , c , s ), donde r es la fila, c es la columna y s es el símbolo, obtenemos un conjunto de n ² ternas llamadas representación de matriz ortogonal del cuadrado. Por ejemplo, la representación de matriz ortogonal del cuadrado latino

{ (1, 1, 1), (1, 2, 2), (1, 3, 3), (2, 1, 2), (2, 2, 3), (2, 3, 1), ( 3, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 3, 2) },

donde por ejemplo el triple (2, 3, 1) significa que en la fila 2 y la columna 3 está el símbolo 1. Las matrices ortogonales se escriben normalmente en forma de matriz donde los triples son las filas, como por ejemplo:

La definición de un cuadrado latino se puede escribir en términos de matrices ortogonales:

Un cuadrado latino es un conjunto de n ² triples ( r , c , s ), donde 1 ≤ r , c , s ≤ n , tales que todos los pares ordenados ( r , c ) son distintos, todos los pares ordenados ( r , s ) son distintos y todos los pares ordenados ( c , s ) son distintos.

Esto significa que los n ² pares ordenados ( r , c ) son todos los pares ( i , j ) con 1 ≤ i , j ≤ n , una vez cada uno. Lo mismo es cierto para los pares ordenados ( r , s ) y los pares ordenados ( c , s ).

La representación de la matriz ortogonal muestra que las filas, columnas y símbolos desempeñan funciones bastante similares, como se aclarará a continuación.

Clases de equivalencia de cuadrados latinos

Muchas operaciones sobre un cuadrado latino producen otro cuadrado latino (por ejemplo, darle la vuelta).

Si permutamos las filas, permutamos las columnas o permutamos los nombres de los símbolos de un cuadrado latino, obtenemos un nuevo cuadrado latino que se dice isotópico del primero. El isotopismo es una relación de equivalencia , por lo que el conjunto de todos los cuadrados latinos se divide en subconjuntos, llamados clases de isotopía , de modo que dos cuadrados de la misma clase son isotópicos y dos cuadrados de clases diferentes no lo son.

Otro tipo de operación es más fácil de explicar utilizando la representación de matriz ortogonal del cuadrado latino. Si reordenamos sistemáticamente y consistentemente los tres elementos en cada triple (es decir, permutamos las tres columnas en forma de matriz), se obtiene otra matriz ortogonal (y, por lo tanto, otro cuadrado latino). Por ejemplo, podemos reemplazar cada triple ( r , c , s ) por ( c , r , s ) que corresponde a transponer el cuadrado (reflexionando sobre su diagonal principal), o podríamos reemplazar cada triple ( r , c , s ) por ( c , s , r ), que es una operación más complicada. En total hay 6 posibilidades, incluida la de "no hacer nada", lo que nos da 6 cuadrados latinos llamados conjugados (también parastrophes ) del cuadrado original. ^[5]

Finalmente, podemos combinar estas dos operaciones de equivalencia: se dice que dos cuadrados latinos son paratópicos , también isotópicos de clase principal , si uno de ellos es isotópico a un conjugado del otro. Esta es nuevamente una relación de equivalencia, con las clases de equivalencia llamadas clases principales , especies o clases de paratopía . ^[5] Cada clase principal contiene hasta seis clases de isotopía.

Número den × nCuadrados latinos

No se conoce ninguna fórmula fácilmente calculable para el número $L n$ de $n \times n$ cuadrados latinos con símbolos $1, 2, ..., n$ . Los límites superior e inferior más precisos conocidos para $n$ grandes están muy separados. Un resultado clásico ^[6] es que $\prod _{k=1}^{n}\left(k!\right)^{n/k}\geq L_{n}\geq {\frac {\left(n!\right)^ {2n}}{n^{n^{2}}}}.$

En 1992 se publicó una fórmula simple y explícita para el número de cuadrados latinos, pero aún no es fácil de calcular debido al aumento exponencial del número de términos. Esta fórmula para el número $L n$ de $n \times n$ cuadrados latinos es donde $B$ $n$ es el conjunto de todas $las n$ $\times$ $n$ matrices {0, 1}, $σ$ $0$ $($ $A$ $)$ es el número de entradas cero en la matriz $A$ , y $per($ $A$ $)$ es el permanente de la matriz $A$ . ^[7] $L_{n}=n!\sum _{A\in B_{n}}^{}(-1)^{\sigma _{0}(A)}{\binom {\operatorname {por} A}{n}},$

La tabla siguiente contiene todos los valores exactos conocidos. Se puede ver que los números crecen extremadamente rápido. Para cada $n$ , el número total de cuadrados latinos (secuencia A002860 en la OEIS ) es $n! (n - 1)!$ veces el número de cuadrados latinos reducidos (secuencia A000315 en la OEIS ).

Para cada $n$ , cada clase de isotopía (secuencia A040082 en la OEIS ) contiene hasta $(¡n!) 3$ cuadrados latinos (el número exacto varía), mientras que cada clase principal (secuencia A003090 en la OEIS ) contiene 1, 2, 3 o 6 clases de isotopía.

El número de cuadrados latinos estructuralmente distintos (es decir, los cuadrados no pueden hacerse idénticos por medio de rotación, reflexión y/o permutación de los símbolos) para $n$ = 1 hasta 7 es 1, 1, 1, 12, 192, 145164, 1524901344 respectivamente (secuencia A264603 en la OEIS ).

Ejemplos

Damos un ejemplo de cuadrado latino de cada clase principal hasta el orden cinco.

{\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&2&3\\2&3&1\\3&1&2\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\\3&4&1&2\\4&3&2&1\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&2&3&4\\2&4&1&3\\3&1&4&2\\4&3&2&1\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&3&5&1&4\\3&5&4&2&1\\4&1&2&5&3\\5&4&1&3&2\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&1&5&3\\3&5&4&2&1\\4&1&5&3&2\\5&3&2&1&4\end{bmatrix}}

Se presentan, respectivamente, las tablas de multiplicar de los siguientes grupos:

{0} – el grupo trivial de 1 elemento
$\mathbb {Z} _{2}$ – el grupo binario
$\mathbb {Z} _{3}$ – grupo cíclico de orden 3
$\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ – los cuatro grupos de Klein
$\mathbb {Z} _{4}$ – grupo cíclico de orden 4
$\mathbb {Z} _{5}$ – grupo cíclico de orden 5
El último es un ejemplo de un cuasigrupo , o más bien de un bucle , que no es asociativo.

Transversales y emparejamientos arcoiris

Una transversal en un cuadrado latino es una elección de n celdas, donde cada fila contiene una celda, cada columna contiene una celda y hay una celda que contiene cada símbolo.

Se puede considerar un cuadrado latino como un grafo bipartito completo en el que las filas son vértices de una parte, las columnas son vértices de la otra parte, cada celda es una arista (entre su fila y su columna) y los símbolos son colores. Las reglas de los cuadrados latinos implican que se trata de una coloración de aristas propiamente dicha . Con esta definición, una transversal latina es una coincidencia en la que cada arista tiene un color diferente; tal coincidencia se llama coincidencia arco iris .

Por lo tanto, muchos resultados sobre cuadrados/rectángulos latinos están contenidos en artículos que tienen el término "coincidencia de arco iris" en su título, y viceversa. ^[8]

Algunos cuadrados latinos no tienen transversal. Por ejemplo, cuando n es par, un cuadrado latino n por n en el que el valor de la celda i , j es ( i + j ) mod n no tiene transversal. He aquí dos ejemplos: En 1967, H. J. Ryser conjeturó que, cuando n es impar , todo cuadrado latino n por n tiene una transversal. ^[9] ${\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\end{bmatrix}}$

En 1975, SK Stein y Brualdi conjeturaron que, cuando n es par , cada cuadrado latino n por n tiene una transversal parcial de tamaño n −1. ^[10]

Una conjetura más general de Stein es que una transversal de tamaño n −1 existe no sólo en cuadrados latinos sino también en cualquier matriz n por n de n símbolos, siempre que cada símbolo aparezca exactamente n veces. ^[9]

Se han demostrado algunas versiones más débiles de estas conjeturas:

Todo cuadrado latino de n por n tiene una transversal parcial de tamaño 2 n /3. ^[11]
Todo cuadrado latino de n por n tiene una transversal parcial de tamaño n − sqrt( n ). ^[12]
Todo cuadrado latino de n por n tiene una transversal parcial de tamaño n − 11 log²
₂( n ). ^[13]
Todo cuadrado latino de n por n tiene una transversal parcial de tamaño n − O(log n/loglog n). ^[14]
Todo cuadrado latino de n por n lo suficientemente grande tiene una transversal parcial de tamaño n −1. ^[15] (Preimpresión)

Algoritmos

Para cuadrados pequeños es posible generar permutaciones y comprobar si se cumple la propiedad del cuadrado latino. Para cuadrados más grandes, el algoritmo de Jacobson y Matthews permite realizar un muestreo a partir de una distribución uniforme en el espacio de n × n cuadrados latinos. ^[16]

Aplicaciones

Estadística y matemáticas

En el diseño de experimentos , los cuadrados latinos son un caso especial de diseños de fila-columna para dos factores de bloqueo . ^[17]^[18]
En álgebra , los cuadrados latinos están relacionados con las generalizaciones de grupos ; en particular, los cuadrados latinos se caracterizan por ser las tablas de multiplicación ( tablas de Cayley ) de los cuasigrupos . Se dice que una operación binaria cuya tabla de valores forma un cuadrado latino obedece a la propiedad del cuadrado latino .

Códigos de corrección de errores

Los conjuntos de cuadrados latinos que son ortogonales entre sí han encontrado una aplicación como códigos de corrección de errores en situaciones donde la comunicación se ve perturbada por más tipos de ruido que el simple ruido blanco , como cuando se intenta transmitir Internet de banda ancha a través de líneas eléctricas. ^[19]^[20]^[21]

En primer lugar, el mensaje se envía utilizando varias frecuencias o canales, un método común que hace que la señal sea menos vulnerable al ruido en cualquier frecuencia específica. Una letra del mensaje que se va a enviar se codifica enviando una serie de señales a diferentes frecuencias en intervalos de tiempo sucesivos. En el ejemplo siguiente, las letras de la A a la L se codifican enviando señales a cuatro frecuencias diferentes, en cuatro intervalos de tiempo. La letra C, por ejemplo, se codifica enviando primero a la frecuencia 3, luego a la 4, 1 y 2.

{\begin{matrix}A\\B\\C\\D\\\end{matrix}}{\begin{bmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\\3&4&1&2\\4&3&2&1\\\end{bmatrix}}\quad {\begin{matrix}E\\F\\G\\H\\\end{matrix}}{\begin{bmatrix}1&3&4&2\\2&4&3&1\\3&1&2&4\\4&2&1&3\\\end{bmatrix}}\quad {\begin{matrix}I\\J\\K\\L\\\end{matrix}}{\begin{bmatrix}1&4&2&3\\2&3&1&4\\3&2&4&1\\4&1&3&2\\\end{bmatrix}}

La codificación de las doce letras se forma a partir de tres cuadrados latinos ortogonales entre sí. Ahora imaginemos que hay ruido añadido en los canales 1 y 2 durante toda la transmisión. La letra A se captaría entonces como: ${\begin{matrix}12&12&123&124\end{matrix}}$

En otras palabras, en la primera ranura recibimos señales tanto de la frecuencia 1 como de la frecuencia 2; mientras que la tercera ranura tiene señales de las frecuencias 1, 2 y 3. Debido al ruido, ya no podemos saber si las dos primeras ranuras fueron 1,1 o 1,2 o 2,1 o 2,2. Pero el caso 1,2 es el único que produce una secuencia que coincide con una letra de la tabla anterior, la letra A. De manera similar, podemos imaginar una ráfaga de estática en todas las frecuencias en la tercera ranura: ${\begin{matrix}1&2&1234&4\end{matrix}}$

De nuevo, podemos inferir de la tabla de codificaciones que debe haber sido la letra A la que se transmitió. El número de errores que este código puede detectar es uno menos que el número de intervalos de tiempo. También se ha demostrado que si el número de frecuencias es un primo o una potencia de un primo, los cuadrados latinos ortogonales producen códigos de detección de errores que son lo más eficientes posible.

Rompecabezas matemáticos

El problema de determinar si un cuadrado parcialmente lleno puede completarse para formar un cuadrado latino es NP-completo . ^[22]

Los populares sudokus son un caso especial de cuadrados latinos; cualquier solución de un sudoku es un cuadrado latino. El sudoku impone la restricción adicional de que nueve subcuadrados adyacentes de 3×3 en particular también deben contener los dígitos del 1 al 9 (en la versión estándar). Véase también Matemáticas del sudoku .

Los rompecabezas más recientes KenKen y Strimko también son ejemplos de cuadrados latinos.

Juegos de mesa

Los cuadrados latinos se han utilizado como base para varios juegos de mesa, en particular el popular juego de estrategia abstracto Kamisado .

Investigación agronómica

Los cuadrados latinos se utilizan en el diseño de experimentos de investigación agronómica para minimizar los errores experimentales. ^[23]

Heráldica

El cuadrado latino también figura en el escudo de la Sociedad Estadística de Canadá , ^[24] siendo mencionado específicamente en su blasón . Asimismo, aparece en el logotipo de la Sociedad Biométrica Internacional . ^[25]

Generalizaciones

Un rectángulo latino es una generalización de un cuadrado latino en el que hay n columnas y n valores posibles, pero el número de filas puede ser menor que n . Cada valor sigue apareciendo como máximo una vez en cada fila y columna.
Un cuadrado grecolatino es un par de dos cuadrados latinos tales que, cuando uno se coloca sobre el otro, cada par ordenado de símbolos aparece exactamente una vez.
Un hipercubo latino es una generalización de un cuadrado latino de dos dimensiones a múltiples dimensiones.

Véase también

Diseño de bloques
Diseño combinatorio
Rompecabezas de ocho reinas
Futoshiki
Cuadrado mágico
Problemas en cuadrados latinos
Gráfico de Rook , un gráfico que tiene cuadrados latinos como sus colorantes.
Plaza Sator
Plaza védica
Cuadrado de palabras

Notas

^ Busby, Mattha (27 de junio de 2020). «Cambridge College quitará ventana conmemorativa de eugenista». The Guardian . Consultado el 28 de junio de 2020 .
^ Wallis, WD; George, JC (2011), Introducción a la combinatoria, CRC Press, pág. 212, ISBN 978-1-4398-0623-4
^ Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (2 de noviembre de 2006). Handbook of Combinatorial Designs (2.ª ed.). CRC Press. pág. 12. ISBN 9781420010541. Recuperado el 28 de marzo de 2017 .
^ Dénes y Keedwell 1974, pag. 128
^ ab Dénes y Keedwell 1974, pág. 126
^ van Lint y Wilson 1992, págs. 161-162
^ Jia-yu Shao; Wan-di Wei (1992). "Una fórmula para el número de cuadrados latinos". Matemáticas discretas . 110 (1–3): 293–296. doi : 10.1016/0012-365x(92)90722-r .
^ Gyarfas, Andras; Sarkozy, Gabor N. (2012). "Correspondencias arcoíris y transversales parciales de cuadrados latinos". arXiv : 1208.5670 [CO math. CO].
^ ab Aharoni, Ron; Berger, Eli; Kotlar, Dani; Ziv, Ran (4 de enero de 2017). "Sobre una conjetura de Stein". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 87 (2): 203–211. doi :10.1007/s12188-016-0160-3. ISSN 0025-5858. S2CID 119139740.
^ Stein, Sherman (1 de agosto de 1975). "Transversales de cuadrados latinos y sus generalizaciones". Revista del Pacífico de Matemáticas . 59 (2): 567–575. doi : 10.2140/pjm.1975.59.567 . ISSN 0030-8730.
^ Koksma, Klaas K. (1 de julio de 1969). "Un límite inferior para el orden de una transversal parcial en un cuadrado latino". Journal of Combinatorial Theory . 7 (1): 94–95. doi : 10.1016/s0021-9800(69)80009-8 . ISSN 0021-9800.
^ Woolbright, David E (1 de marzo de 1978). "Un cuadrado latino n × n tiene una transversal con al menos n−n símbolos distintos". Journal of Combinatorial Theory, Serie A . 24 (2): 235–237. doi : 10.1016/0097-3165(78)90009-2 . ISSN 0097-3165.
^ Hatami, Pooya; Shor, Peter W. (1 de octubre de 2008). "Un límite inferior para la longitud de una transversal parcial en un cuadrado latino". Journal of Combinatorial Theory, Serie A . 115 (7): 1103–1113. doi : 10.1016/j.jcta.2008.01.002 . ISSN 0097-3165.
^ Keevash, Peter; Pokrovskiy, Alexey; Sudakov, Benny; Yepremyan, Liana (15 de abril de 2022). "Nuevos límites para la conjetura de Ryser y problemas relacionados". Transactions of the American Mathematical Society, Serie B . 9 (8): 288–321. doi : 10.1090/btran/92 . hdl : 20.500.11850/592212 . ISSN 2330-0000.
^ Montgomery, Richard (2023). "Una prueba de la conjetura de Ryser-Brualdi-Stein para números pares grandes". arXiv : 2310.19779 [math.CO].
^ Jacobson, MT; Matthews, P. (1996). "Generación de cuadrados latinos aleatorios distribuidos uniformemente". Journal of Combinatorial Designs . 4 (6): 405–437. doi :10.1002/(sici)1520-6610(1996)4:6<405::aid-jcd3>3.0.co;2-j.
^ Bailey, RA (2008), "6 diseños de filas y columnas y 9 más sobre cuadrados latinos", Diseño de experimentos comparativos , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-68357-9, Sr. 2422352
^ Shah, Kirti R.; Sinha, Bikas K. (1989), "Diseños de 4 filas y columnas", Teoría de diseños óptimos , Notas de clase en estadística, vol. 54, Springer-Verlag, págs. 66-84, ISBN 0-387-96991-8, Sr. 1016151
^ Colbourn, CJ ; Kløve, T.; Ling, ACH (2004). "Matrices de permutación para comunicaciones por línea eléctrica". IEEE Trans. Inf. Theory . 50 : 1289–1291. doi :10.1109/tit.2004.828150. S2CID 15920471.
^ La revolución de Euler , New Scientist, 24 de marzo de 2007, págs. 48-51
^ Huczynska, Sophie (2006). "Comunicación por línea eléctrica y el problema de los 36 agentes". Philosophical Transactions of the Royal Society A . 364 (1849): 3199–3214. Bibcode :2006RSPTA.364.3199H. doi :10.1098/rsta.2006.1885. PMID 17090455. S2CID 17662664.
^ C. Colbourn (1984). "La complejidad de completar cuadrados latinos parciales". Matemáticas Aplicadas Discretas . 8 : 25–30. doi : 10.1016/0166-218X(84)90075-1 .
^ La aplicación del cuadrado latino en la investigación agronómica
^ "Cartas de patente que otorgan armas a la SSC". ssc.ca. Archivado desde el original el 21 de mayo de 2013.
^ Sociedad Biométrica Internacional Archivado el 7 de mayo de 2005 en Wayback Machine.

Referencias

Bailey, RA (2008). "6 diseños de filas y columnas y 9 más sobre cuadrados latinos". Diseño de experimentos comparativos . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-68357-9.Señor 2422352 .
Dénes, J.; Keedwell, AD (1974). Cuadrados latinos y sus aplicaciones . Nueva York-Londres: Academic Press. p. 547. ISBN 0-12-209350-X.Sr. 0351850 .
Shah, Kirti R.; Sinha, Bikas K. (1989). "Diseños de 4 filas y columnas". Teoría de diseños óptimos . Apuntes de clase sobre estadística. Vol. 54. Springer-Verlag. págs. 66–84. ISBN 0-387-96991-8.Señor 1016151 .
van Lint, JH; Wilson, RM (1992). Un curso de combinatoria . Cambridge University Press. pág. 157. ISBN 0-521-42260-4.

Lectura adicional

Dénes, JH; Keedwell, AD (1991). Cuadrados latinos: nuevos desarrollos en la teoría y aplicaciones . Anales de Matemáticas Discretas. Vol. 46. Paul Erdős (prólogo). Ámsterdam: Academic Press. ISBN 0-444-88899-3.Señor 1096296 .
Hinkelmann, Klaus; Kempthorne, Oscar (2008). Diseño y análisis de experimentos. Vol. I, II (Segunda edición). Wiley. ISBN 978-0-470-38551-7.Señor 2363107 .
- Hinkelmann, Klaus; Kempthorne, Oscar (2008). Diseño y análisis de experimentos, volumen I: Introducción al diseño experimental (segunda edición). Wiley. ISBN 978-0-471-72756-9.Señor 2363107 .
- Hinkelmann, Klaus; Kempthorne, Oscar (2005). Diseño y análisis de experimentos, volumen 2: Diseño experimental avanzado (primera edición). Wiley. ISBN 978-0-471-55177-5.Señor 2129060 .
Knuth, Donald (2011). El arte de la programación informática, volumen 4A: Algoritmos combinatorios, parte 1. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-03804-0.
Laywine, Charles F.; Mullen, Gary L. (1998). Matemática discreta utilizando cuadrados latinos . Serie Wiley-Interscience en Matemática discreta y optimización. Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-24064-8.Señor 1644242 .
Shah, KR; Sinha, Bikas K. (1996). "Diseños fila-columna". En S. Ghosh y CR Rao (ed.). Diseño y análisis de experimentos . Manual de estadística. Vol. 13. Ámsterdam: North-Holland Publishing Co. pp. 903–937. ISBN 0-444-82061-2.Señor 1492586 .
Raghavarao, Damaraju (1988). Construcciones y problemas combinatorios en el diseño de experimentos (reimpresión corregida de la edición de Wiley de 1971). Nueva York: Dover. ISBN 0-486-65685-3.Señor 1102899 .
Street, Anne Penfold ; Street, Deborah J. (1987). Combinatoria del diseño experimental . Nueva York: Oxford University Press. ISBN 0-19-853256-3.Sr. 0908490 .
Berger, Paul D.; Maurer, Robert E.; Celli, Giovana B. (28 de noviembre de 2017). Diseño experimental con aplicaciones en gestión, ingeniería y ciencias (2.ª edición (28 de noviembre de 2017) ed.). Springer. págs. 267–282.

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Cuadrado latino". MathWorld .
Cuadrados latinos en la Enciclopedia de Matemáticas
Cuadrados latinos en la enciclopedia en línea de secuencias enteras