En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , una categoría preabeliana es una categoría aditiva que tiene todos los núcleos y núcleos .
Explicado con más detalle, esto significa que una categoría C es preabeliana si:
Tenga en cuenta que el morfismo cero en el ítem 3 puede identificarse como el elemento de identidad del hom-set Hom( A , B ), que es un grupo abeliano según el ítem 1; o como el morfismo único A → 0 → B , donde 0 es un objeto cero , cuya existencia está garantizada por el elemento 2.
El ejemplo original de categoría aditiva es la categoría Ab de grupos abelianos . Ab es preaditivo porque es una categoría monoidal cerrada , el biproducto en Ab es la suma directa finita , el núcleo es la inclusión del núcleo ordinario de la teoría de grupos y el conúcleo es el mapa del cociente en el conúcleo ordinario de la teoría de grupos .
Otros ejemplos comunes:
Estos le darán una idea de en qué pensar; para ver más ejemplos, consulte categoría abeliana (cada categoría abeliana es preabeliana).
Cada categoría preabeliana es, por supuesto, una categoría aditiva , y muchas propiedades básicas de estas categorías se describen en ese tema. Este artículo se ocupa de las propiedades que se mantienen específicamente debido a la existencia de pepitas y coquelas.
Aunque los granos y las coquillas son tipos especiales de ecualizadores y coecualizadores , una categoría preabeliana en realidad tiene todos los ecualizadores y coecualizadores. Simplemente construimos el ecualizador de dos morfismos f y g como el núcleo de su diferencia g − f ; de manera similar, su coecualizador es el núcleo de su diferencia. (El término alternativo "núcleo de diferencia" para ecualizadores binarios se deriva de este hecho). Dado que las categorías preabelianas tienen todos los productos y coproductos finitos (los biproductos) y todos los ecualizadores y coecualizadores binarios (como se acaba de describir), entonces, según un teorema general de teoría de categorías , todos tienen límites finitos y colimits . Es decir, las categorías preabelianas son finitamente completas .
La existencia tanto de núcleos como de núcleos da una noción de imagen y coimagen . Podemos definirlos como
Es decir, la imagen es el núcleo del núcleo y la coimagen es el núcleo del núcleo.
Tenga en cuenta que esta noción de imagen puede no corresponder a la noción habitual de imagen, o rango , de una función , incluso suponiendo que los morfismos en la categoría sean funciones. Por ejemplo, en la categoría de grupos abelianos topológicos, la imagen de un morfismo en realidad corresponde a la inclusión del cierre del rango de la función. Por esta razón, la gente suele distinguir los significados de los dos términos en este contexto, utilizando "imagen" para el concepto categórico abstracto y "rango" para el concepto elemental de teoría de conjuntos.
En muchas situaciones comunes, como la categoría de conjuntos , donde existen imágenes y coimágenes, sus objetos son isomórficos . Dicho más precisamente, tenemos una factorización de f : A → B como
donde el morfismo de la izquierda es la coimagen, el morfismo de la derecha es la imagen y el morfismo del medio (llamado paralelo de f ) es un isomorfismo.
En una categoría preabeliana, esto no es necesariamente cierto . La factorización que se muestra arriba siempre existe, pero es posible que el paralelo no sea un isomorfismo. De hecho, el paralelo de f es un isomorfismo para todo morfismo f si y sólo si la categoría preabeliana es una categoría abeliana . Un ejemplo de una categoría preabeliana no abeliana es, una vez más, la categoría de grupos topológicos abelianos. Como se ha comentado, la imagen es la inclusión del cierre de gama; sin embargo, la coimagen es un mapa de cociente del rango mismo. Así, el paralelo es la inclusión del rango en su cierre, lo cual no es un isomorfismo a menos que el rango ya estuviera cerrado .
Recuerde que todos los límites finitos y colimites existen en una categoría preabeliana. En la teoría de categorías general , un functor se llama exacto a la izquierda si conserva todos los límites finitos y exacto a la derecha si conserva todos los colimites finitos. (Un functor es simplemente exacto si es exacto a la izquierda y a la derecha).
En una categoría preabeliana, los functores exactos se pueden describir en términos particularmente simples. Primero, recuerde que un funtor aditivo es un funtor F : C → D entre categorías preaditivas que actúa como un homomorfismo de grupo en cada hom-set . Entonces resulta que un funtor entre categorías preabelianas se deja exacto si y sólo si es aditivo y conserva todos los núcleos, y es exacto si y sólo si es aditivo y conserva todos los núcleos.
Tenga en cuenta que un funtor exacto, debido a que conserva tanto los núcleos como los cokernels, conserva todas las imágenes y coimágenes. Los functores exactos son más útiles en el estudio de categorías abelianas , donde se pueden aplicar a secuencias exactas .
En cada categoría preabeliana existe una estructura exacta que es máxima en el sentido de que contiene todas las demás estructuras exactas. La estructura exacta consiste precisamente en esos pares kernel-cokernel donde hay un kernel semiestable y un cokernel semiestable. [1] Aquí, hay un kernel semiestable si es un kernel y para cada morfismo en el diagrama de extracción .
el morfismo es nuevamente un núcleo. es un cokernel semiestable si es un cokernel y para cada morfismo en el diagrama de retroceso
el morfismo es nuevamente un cokernel.
Una categoría preabeliana es cuasi-abeliana si y sólo si todos los pares núcleo-cokernel forman una estructura exacta. Un ejemplo en el que este no es el caso es la categoría de espacios bornológicos (Hausdorff). [2]
El resultado también es válido para categorías aditivas que no son preabelianas sino karubianas . [3]
Las categorías preabelianas más comúnmente estudiadas son, de hecho, categorías abelianas; por ejemplo, Ab es una categoría abeliana. Las categorías preabelianas que no son abelianas aparecen, por ejemplo, en el análisis funcional.
