Categoría pseudo-abeliana

En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , una categoría pseudo-abeliana es una categoría que es preaditiva y es tal que cada idempotente tiene un núcleo . ^{[1] Recordemos que un} morfismo idempotente es un endomorfismo de un objeto con la propiedad de que . Consideraciones elementales muestran que cada idempotente tiene entonces un co-núcleo . ^[2] La condición pseudo-abeliana es más fuerte que la pre-aditividad, pero es más débil que el requisito de que cada morfismo tenga un núcleo y un co-núcleo, como es cierto para las categorías abelianas . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\circ p=p}$

Los sinónimos en la literatura para pseudo-abeliano incluyen pseudoabeliano y karobiano .

Ejemplos

Toda categoría abeliana , en particular la categoría Ab de los grupos abelianos , es pseudo-abeliana. En efecto, en una categoría abeliana, cada morfismo tiene un núcleo.

La categoría de rngs (¡no anillos !) junto con los morfismos multiplicativos es pseudo-abeliana.

Un ejemplo más complicado es la categoría de motivos de Chow . La construcción de los motivos de Chow utiliza la terminación pseudoabeliana que se describe a continuación.

Completitud pseudo-abeliana

La construcción de envolvente de Karoubi asocia a una categoría arbitraria una categoría junto con un funtor ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \operatorname {Kar} C}$

${\displaystyle s:C\to \operatorname {Kar} C}$

de modo que la imagen de cada idempotente en se divide en . Cuando se aplica a una categoría preaditiva , la construcción de la envolvente de Karoubi produce una categoría pseudo-abeliana llamada completitud pseudo-abeliana de . Además, el funtor ${\displaystyle s(p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \operatorname {Kar} C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \operatorname {Kar} C}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C\to \operatorname {Kar} C}$

es de hecho un morfismo aditivo.

Para ser precisos, dada una categoría preaditiva construimos una categoría pseudo-abeliana de la siguiente manera. Los objetos de son pares donde es un objeto de y es un idempotente de . Los morfismos ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \operatorname {Kar} C}$ ${\displaystyle \operatorname {Kar} C}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f:(X,p)\to (Y,q)}$

¿ En qué consisten esos morfismos? ${\displaystyle \operatorname {Kar} C}$

${\displaystyle f:X\to Y}$

tal que en . El funtor ${\displaystyle f=q\circ f=f\circ p}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C\to \operatorname {Kar} C}$

se da tomando como . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\mathrm {id} _{X})}$

Citas

1. Artin, 1972, pág. 413.
2. Lars Brünjes, Formas de las ecuaciones de Fermat y sus funciones zeta, Apéndice A

Referencias

• Artín, Michael (1972). Alejandro Grothendieck ; Jean-Louis Verdier (eds.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1 (Apuntes de clases de matemáticas 269 ) (en francés). Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . xix+525.